CC BY
28
Задорожная О.В.
Проект на занятиях по математическому анализу_
ПЕЛНГОГПЧЕСКПЕ ИНУКП
ПРОЕКТ НА ЗАНЯТИЯХ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
О.В. Задорожная
THERE IS A PROJECT ON THE STUDIES OF MATHEMATICAL ANALYSIS
Zadorozhnaya O.V.
Author makes out some aspects of the application project in the mathematical analysis in the process of teaching. The author cites an example of project, opens the method of it's execution.
Автор рассматривает применение проекта в математическом анализе для студентов-математиков при формировании умения проектной деятельности в процессе обучения. Описывается конкретный проект, обозначена его структура, раскрыт метод его выполнения.
Ключевые слова: Метод проектов, математический анализ, формирование умения проектной деятельности.
УДК 371
Модернизация высшего образования означает в соответствии с требованиями современности усиление внимания к личности студента, к развитию его способностей, а также ориентацию обучения на максимальный учет индивидуальных особенностей. Цель образования сегодня - это создание условий для развития и саморазвития студентов, воспитание у них способности принимать самостоятельные решения. Среди разнообразных направлений новых педагогических технологий наиболее адекватным современной парадигме обучения является вовлечение студентов-математиков в проектную деятельность. Американский педагог, философ Д. Дьюи определил, что работа по методу проектов, формирующая умение проектной деятельности, опирается на научный метод познания (1). Для успешной проектной деятельности необходимо овладеть проектными умениями, которые по утверждению И. С. Якиманской, неизбежно связаны с такими основными мыслительными операциями, как анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, используемыми в математическом анализе (2). Проектные умения - это владение умственными и практическими действиями, позволяющими осознанно и самостоятельно реализовать выполнение специальных заданий по математическому анализу, направленных на формирование умения проектной деятельности.
Мы разработали состав проектных умений, которые формировали в процессе изучения математического анализа:
1. Учебно-математические - умение формулировать цели предстоящей работы; определять разделы из курса математического анализа, способствующие решению данного задания; подбирать соответствующие определения, теоремы, факты, математические методы для его решения; определять свои возможности в выполнении задания; анализировать, сравнивать, обобщать, выбирать оптимальные пути решения задач; создавать и осуществлять свои варианты решения; анализировать и корректировать результаты деятельности.
2. Научно-поисковые - умение найти научную информацию, используя различные источники; анализировать собранные сведения, делать логические выводы; искать пути преодоления возможных затруднений в своей учебной деятельности.
3. Креативные - умение собирать и накапливать мысли, замыслы, выдвигать идеи, гипотезы, предположения для решения возникающих проблем, для чего требуются углублённые знания по разделам математического анализа; умение выделять рациональные способы решения задач; умение перенести изученные методы на решение нестандартных задач по математическому анализу.
Овладение проектными умениями происходит в процессе всего курса обучения при решении специальных задач, ориентированных на формирование проектной деятельности.
Предлагаемый проект по математическому анализу относится к информационным проектам. Этот тип проектов изначально направлен на сбор информации о каком-то объекте, явлении; предполагается ознакомление участников проекта с этой информацией, ее анализ и обобщение фактов, предназначенных для широкой аудитории. Такие проекты часто интегрируются в исследовательские проекты и становятся их органической частью. Структура такого проекта может быть обозначена следующим образом:
Цель проекта ^ предмет информационного поиска ^ поэтапный поиск информации с обозначением промежуточных результатов ^ аналитическая работа над собранными фактами ^ выводы ^ корректировка первоначального направления (если требуется) ^ дальнейший поиск информации по уточненным направлениям ^ анализ новых фактов ^ обобщение ^ выводы и так далее до получения данных, удовлетворяющих всех участников проекта ^ заключение, оформление результатов (обсуждение, редактирование, презентация, внешняя оценка); ^ результат (статья, реферат, доклад и пр.) (3).
Итак, целью данного проекта является: получение сведений (информации) о функции, определяемых знаками функции и ее производных в отдельных точках и на множествах.
Тема проекта: Исследование роли знаков значений функции и ее производных.
На первом этапе работы над проектом происходит знакомство с содержанием материала о функциях, изучаемом в школе и вузе. Дано задание проанализировать литературу (4, 5, 6) по теме исследования. Здесь систематизируются собранные факты, вычленяются сведения о функции, определяемые знаками значений вещественнозначной функции одной переменной, которые оформляются в едином блоке. Вырабатывается умение формулировать цели предстоящей работы; определять разделы из курса математического анализа, способствующие решению данного задания; подбирать соответствующие определения, теоремы, факты, т.е. формируются учебно-математические проектные умения.
В ходе работы получена информация следующего характера:
1. Если Д(х0)=0, то точка х0 является нулем функции Д(х) кратности не менее один (возможно и большей кратности), при этом, если существует равный нулю предел функции Д(х) в точке х0, то функция Д(х) непрерывна в точке х0 и является (называется) бесконечно малой функцией при х^ х0.
ы
ШЗадорожная О.В.
Проект на занятиях по математическому анализу
2. Если /(х) определена и непрерывна в некоторой окрестности и(х0)точки х0 и /(х0)ф0, то существует окрестность ^(х^точки х0, в которой функция /(х) сохраняет знак значения /(х0).
3. Если/(х)>0 (/(х)<0) в Е, то график функции /(х) расположен в верхней (нижней) полуплоскости.
4. В ситуациях
а) /(х0)=0, /(х)>0 Vх е и_ (х0), /(х)<0
V х е и+ (х0),
б) /(.х0)=0, /(х)>0 Vх е и_(х0), /(х)>0
V х е и + (х0),
в) /(х0) =0, /(х)<0 V х е и_ (х0), /(х)>0
V х е и + (х0),
г) /(х0) =0, /(х) <0 V х е и_ (х0), /(х) <0
V х е и + (х0),
точка х0, будучи нулем функции /(х), является точкой перехода графика функции из верхней полуплоскости в нижнюю в случае а) и перехода из нижней полуплоскости в верхнюю в случае в) и не является точкой перехода из соответствующих полуплоскостей в случае б) и г), причем в случае б) график расположен в верхней полуплоскости, а в случае г) - в нижней полуплоскости. Следовательно, если /(х0) =0, то точка х0 возможно (необходимо) является точкой изменения знакоопределенности функции /(х).
В качестве выводов сформулируем факт и правило.
Факт. Функция /(х) может изменить свой знак лишь при переходе через свои нули или через точки разрыва. Внутри частичных промежутков с этими концевыми и граничными точками функция сохраняет постоянный (один и тот же) знак во всех точках данного частичного промежутка.
Правило. Для нахождения интервала знакопостоянства функции /(х) находят точки, в которых функция равна нулю или терпит разрыв. Этими и граничными точками область определения функции разбиваем на частичные промежутки, определяем знак функции в одной произвольной внутренней точке каждого частичного промежутка. Этот знак будет иметь функция во всех внутрен-
них точках соответствующего частичного промежутка.
Полученные результаты используем для определения полуплоскостей, в которых расположены части графика исследуемой функции.
Таким образом, на данном этапе работы над проектом, на примере функции /(х) был систематизирован материал, определен и сформулирован факт, а также указано правило по реализации полученного факта.
Следующий этап проекта направлен на сбор, анализ, обобщение новой информации в непрерывной связи с полученными на первом этапе данными.
Систематизация в случае производной /(х).
Итак, на втором этапе приобретенный теоретический и практический опыт распространяется на случай функции //(х). Здесь происходит анализ собранных сведений, формируется умение делать логические выводы, т.е. развиваются научно-поисковые проектные умения.
Так как производная //(х) функции /(х) также является функцией, то целесообразно приобретенные ранее умения и опыт распространить на случай функции //(х) и систематизировать, свести в один блок полученный материал.
На этом пути получено следующее:
1. Если //(х0)=0, то точка х0 при дополнительном условии /(х0)=0 является нулем функции /(х) не менее кратности два (возможно и большей кратности).
2. Если //(х0)=0 или / /(х0) не существует или равна бесконечности, то точка х0 возможно (необходимо) является точкой экстремума функции /(х).
3. Если//(х0)>0 (//х)<0) в Е, то функция /(х) не убывает (не возрастает) на Е.
4. В ситуациях
а) / /(х0)=0, / /(х)>0 V х е и_ (х0) , / /(х)<0
V х е и+ (х0),
б) / /(х0) =0, / /(х)>0 V х е и_ (х0) , / /(х)>0
V х е и+ (х0),
в) / /(хо) =0, / /(х)<0 V х е п_ (х0), у /(х)>0
V х е п + (х0),
г) / /(хо) =0, / /(х)<0 V х е п_ (х0) , у /(х)<0
V х е п + (х0),
точка х0 является точкой экстремума функции /(х) в случаях а), в) и не является точкой экстремума в случаях б), г). При этом имеем:
а) /(х) возрастает в п_ (х0) и убывает в п+(х0), х0 - точка перехода от интервала возрастания к интервалу убывания;
б) /(х) возрастает в п_ (х0) и в п + (х0), х0 не является точкой перехода;
в) /(х) убывает в п_ (х0) и возрастает в
п+(х0), х0 - точка перехода от интервала убывания к интервалу возрастания;
г) /(х) убывает в п_ (х0) и в п + (х0) , х0 не
является точкой перехода.
Точка х0 является точкой максимума функции /(х) в случае а) и точкой минимума в случае в). Следовательно, если//(х0)=0, то х0 возможно (необходимо) является точкой перехода от интервала возрастания (убывания) к интервалу убывания (возрастания) функции /(х). Таким образом, на втором этапе также удалось систематизировать материал в случае функции /!(х), являющейся производной функции /(х).
Третий этап проекта побуждает студентов к расширению поиска и анализа полученных данных. Происходит обобщение и систематизация в случае второй производной ///(х).
Так как вторая производная функции /(х) также является функцией, то, естественно, по аналогии с предыдущими этапами, провести систематизацию соответствующего материала для функции / //(х). Приведем результаты этой систематизации.
1. Если / "(х0)=0, то точка х0, при дополнительном условии /(х0)=0, /!(х0)=0, является нулем функции /(х) не менее кратности три (возможно и большей кратности).
2. Если /!/(х0)=0 или ///(х0)=ж или //(х0) не существует, то точка х0 возможно
(необходимо) является точкой перегиба функции /(х).
3. Если ///(х)>0 а!/(х)<0) в Е, то функция /(х) вогнута (выпукла) на Е.
4. В ситуациях
а) / //(х0)=0, / //(х)>0 V х е п_ (х0) , / //(х)<0
V х е п + (х0),
б) / //(х0) =0, / //(х)>0 V х е п_ (х0) , / //(х)>0
V х е п + (х0),
в) у "(х0) =0, у //(х)<0 V х е п_ (х0) , у //(х)>0
V х е п + (х0),
г) у "(х0) =0, у //(х)<0 V х е п_ (х0) , у //(х)<0
V х е п + (х0),
точка х0 является точкой перегиба функции /(х) в случаях а), в) и не является точкой перегиба в случаях б), г). При этом имеем:
а) /(х) вогнута в п_ (х0) и выпукла в
п + (х0), х0 - точка перехода от интервала вогнутости к интервалу выпуклости;
б) /(х) вогнута в п_ (х0) и в п + (х0) , х0 не является точкой перехода;
в) /(х) выпукла в п_ (х0) и вогнута в
п + (х0), х0 - точка перехода от интервала выпуклости к интервалу вогнутости;
г) /(х) выпукла в п_ (х0) и в п + (х0) , х0 не является точкой перехода.
Следовательно, если ///(х0)=0, то точка х0 возможно (необходимо) является точкой перехода от интервала вогнутости (выпуклости) к интервалу выпуклости (вогнутости) функции /(х).
Таким образом, на третьем этапе также удалось систематизировать материал в случае функции///(х).
После выполненных этапов проекта естественным образом возникает предположение о некоторой систематизации в случае производных высших порядков /к>(х).
1. Если /50=0, /к)(х0)=0, к=1,...,п-1, /п(х0)ф0, пеЫ, то точка х0 является нулем кратности п.
2. Если//(х0)=0, /к)(х0)=0, к=1,...,п-1, /п>(х0)ф0, пеИ, п>2, то при п=2т, теЫ, точка х0 является точкой экстремума функции /(х),
ы
ШЗадорожная О.В.
Проект на занятиях по математическому анализу
при этом если /п>(х0)<0, то х0 - точка максимума функции /(х>, а если /п>(х0>>0, то х0 -точка минимума функции /(х). Если же п=2т+1, теЫ, то точка х0 не является точкой экстремума функции /(х).
3. Если /"(хо>=0, />(хо>=0, к=2,.. ,,п-1, /п>(хо)ф0, пеН, п>3, то при п=2т+1, теЫ, т>2 точка х0 является точкой перегиба функции/(х>. Если же п=2т, теЫ, то точка х0 не является точкой перегиба функции /(х).
Замечание. Полагая /(х>=ф(х> или / /(х>=ф(х> или //(х>=ф(х>, ситуации в 4) предыдущих трех этапов можно единообразно выразить в терминах функции ф(х>.
Этот этап формирует умение собирать и накапливать мысли, замыслы, выдвигать идеи, предположения, умение перенести изученные методы и полученный материал на общий случай, т.е. происходит формирование креативных проектных умений.
Наблюдения за деятельностью студентов в ходе выполнения проекта показывают, что они стремятся сами добывать нужные сведения из различных источников - не только из лекций, но и справочников, учебной и методической литературы. Преподаватель при этом выполняет роль консультанта-помощника, руководя проектной деятельностью студентов. Хотя работа над проектом требует от педагога большой предварительной подготовки, она является многообещающей и интересной для установления связей с индивидуальными учебными стилями студентов.
Рефлексия. После завершения работы над проектом, проведя анализ выполненной работы, студенты делают обобщающий вывод, что с помощью знаков значений функции и ее производных можно определить:
1. Нули функции и их кратности.
2. Интервалы, в которых функция расположена выше и ниже оси ОХ (интервалы знакопостоянства функции).
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы знакопостоянства первой производной функции).
4. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.
5. Интервалы выпуклости и вогнутости функции (интервалы знакопостоянства второй производной функции).
6. Необходимые и достаточные условия точки перегиба.
Рефлексия побуждает студентов к дальнейшему расширению и обогащению своих знаний. Возникает вопрос о возможности перенесения полученных результатов на случай функции многих переменных, т.е. происходит расширение границ проекта. Студенты сами осознанно пришли к обобщению полученных ранее результатов. Происходит рождение замысла нового проекта: какие сведения можно получить о функции многих переменных, определяемые знаками функции и ее частных производных в отдельных точках и на множествах?
Для реализации этого проекта необходимо сделать замену х0 е Я на
М0= (х0,..., хтт) =х0 еЯт, а х еЯ на
М= (х1,...,хт) =х еЯт, провести анализ соответствующей литературы, использовать полученные ранее результаты, сделать соответствующий вывод.
Выполняя проекты по математическому анализу, студенты учатся самостоятельно принимать решения, брать на себя ответственность, учатся самостоятельно делать предположения и работать над ними - доказывая их или опровергая. Они анализируют каждый этап работы над проектом, определяют свои недостатки, ищут причины возникших затруднений, находят пути исправления ошибок. Им предоставляется право выбора способов деятельности, выдвижения предположений, гипотез. Студенты раскрепощаются, делают деятельность осмысленной, сознательной, продуктивной и более результативной.
Необходимо отметить, что традиционные занятия по математическому анализу нельзя заменять полностью обучением по методу проектов или использовать его часто. Данная дисциплина является фундаментальной для студентов-математиков и строится согласно классическим представлениям о ней. Это один из наиболее сложившихся консервативных учебных курсов, основной
целью которого является формирование фундаментальных знаний. Деятельность преподавателя при использовании метода проектов должна быть направлена на активизацию работы студентов, их внимания, высказывания конструктивного мнения, выдвижения идей, гипотез, проблем, на управление развитием познавательного интереса, мыслительных умений высокого уровня, стремление к обучению, освоение учебного материала. Необходимо использовать дидактические материалы развивающего характера, материалы, стимулирующие самостоятельную мыслительную активность и деятельность студентов. Метод проектов в математическом анализе можно удачно применять при проведении обобщающих занятий, при интеграции тем и установлении связей между различными понятиями.
Главной ценностью проектов, выполненных студентами, является то, что они учат их самих не только решать, но и ставить задачи, планировать действия и способы их выполнения, отыскивать новые, объективно ценные способы. В проектах от них требуется принятие решений, проявление инициативы. Хотя эти задачи поначалу сложны для студентов, но большинство их считает проектную работу содержательной, реальной и привлекательной. В результате студенты получают конкретную мотивацию, лучше решают поставленные задачи и осваивают новые знания.
Благодаря сочетанию знаний по математическому анализу с приобретенными проектными умениями студенты-математики оказываются более приспособленными к жизни, умеющими адаптироваться к изменяющимся условиям, ориентироваться в разнообразных ситуациях, трудиться в разнопрофильных учреждениях. Все это под-
нимает студентов на более высокий квалификационный уровень. Полученные математические знания в комплексе с умением проектной деятельности позволяют формировать на качественно новом уровне высококвалифицированных специалистов, востребованных в научно-образовательной и производственной сферах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дьюи, Дж. Психология и педагогика мышления / Дж. Дьюи; пер. с англ. Н.М. Никольской, под ред. Н.Д. Виноградова; изд. 2-е. - Берлин, 1922. - 196 с.
2. Якиманская, И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе / И. С. Якиманская. - М.: Сентябрь, 1996. - 96 с.
3. Шилова, О.Н. Как разработать эффективный учебно-методический пакет средствами информационных технологий: Методическая лаборатория программы Intel «Обучение для будущего» / О.Н. Шилова, М.Б. Лебедева; под ред.: Е.Н. Ястребцева. - М: Ин-туит.ру, 2006. - 144 с.
4. Зорич, В.А. Математический анализ / В.А. Зарич. Ч. 1. - М.: Наука, 1981.
5. Зорич, В.А. Математический анализ. Ч. 2. -М.: Наука, 1984.
6. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. Т. 1. М.: Высшая школа, 1988.
Об авторе
Задорожная Ольга Владимировна, старший преподаватель кафедры алгебры и анализа Калмыцкого государственного университета. Исследование выполнено на базе Ставропольского государственного университета. Сфера научных интересов - педагогика, проблемы преподавания математических дисциплин в вузе. ovz_70@mail.ru
