CC BY
114
Электронный журнал Cloud of Science. 2G14. T. 1. № 1.
http://cloudofscience.ru
УДК 519.71
Продукционный метод описания, анализа и синтеза автоматических регуляторов непрерывно-дискретных систем управления1
Г. Н. Рогачев
ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет»
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 244 e-mail: grogachev@mail. ru
Аннотация. В статье рассматривается продукционный метод описания автоматических регуляторов в гибридных системах цифрового управления непрерывными объектами. Моделью устройства управления служит алгоритм его работы в виде системы продукций как набора правил вида «условие-действие». Демонстрируются преимущества такого подхода в задачах анализа и синтеза гибридных непрерывно-дискретных систем управления.
Ключевые слова. Система продукций, автоматический регулятор, гибридная система, цифровое управление.
ГРНТИ 50.03.03
Введение
Одним из важных направлений современного этапа развития теории управления является исследование гибридных непрерывно-дискретных систем управления (ГНДСУ). В таких системах компоненты с непрерывными сигналами отражают физические законы, технологические или технические принципы, которым подчинено функционирование объектов управления, а дискретные элементы моделируют работу цифровых управляющих устройств. К гибридным относится широкий круг систем управления, охватывающий как традиционные, так и новейшие технологии в самых различных областях техники. Практическая реализация таких технологий с требуемыми качественными показателями невозможна без построения соответствующих алгоритмов автоматического управления, что и явилось главным стимулом к созданию теории и методов управления ГНДСУ.
Задачи управления гибридными системами непосредственно относятся к сформулированной в Программе фундаментальных научных исследований Российской академии наук проблеме создания единой теории управления, вычислений и
1 К статье прилагаются файлы на web-странице номера.
сетевых связей, разработки методов автоматического синтеза алгоритмов управления с одновременными их верификацией и валидацией на базе технических устройств, самостоятельно генерирующих свое программное обеспечение. На этом пути возникает ряд представляющих самостоятельный теоретический и практический интерес задач по разработке новых способов синтеза оптимальных по принятым критериям эффективности алгоритмов и программ работы цифровых устройств управления для ГНДСУ в условиях учета целого комплекса разнообразных возмущающих воздействий и ресурсных ограничений, характерных для цифровых и сетевых систем управления.
В статье рассматривается один из возможных подходов к указанному кругу задач — применение продукционного метода описания регуляторов в задачах анализа и оптимального синтеза гибридных непрерывно-дискретных систем управления. Метод базируется на математической модели системы цифрового управления непрерывным объектом, динамическая часть которой, моделирующая функционирование объекта управления, описывается дифференциальными уравнениями, а дискретная часть, моделирующая работу устройства управления, — специальным численным алгоритмом его работы в виде системы продукций (набора правил вида «условие-действие»), структура и содержание которой автоматически формируются в процессе поиска оптимальных решений.
1. Продукционный метод описания регуляторов систем автоматического управления
В когнитивной науке, исследующей процессы познания, существует деление знаний на декларативные и императивные [1]. Их различие в том, что декларативные знания — это правила связи, а императивные — это правила преобразования. Знание об объекте декларативно, если оно описывает, каков он, а не как его создать (добыть, получить). Эти знания представляют собой утверждения об объектах, их свойствах и отношениях между ними. По сути дела — это факты из предметной области, фактические знания. Однако знание может быть представлено не только в форме статичных структур — декларативного знания, но и в форме операций (императивное или процедурное знание). Такие знания имеют активную природу. Они определяют представления о средствах и путях как получения новых знаний, так и проверки существующих. Императивные (процедурные) знания описывают правила преобразования объектов предметной области. Это могут быть рецепты, алгоритмы, методики, инструкции, стратегии принятия решений. Примером императивного знания являются системы продукций, т. е. наборы пар типа «условие» — «действие». Если на вход системы продукций попадает одно из «условий», то оно автоматически приводит к соответствующему «действию».
В теории управления традиционно используется один из декларативных способов представления знания об управляющем устройстве. Например, указывается тип регулятора (П, ПИ, ПИД), описывающее его динамику дифференциальное или разностное уравнение, передаточная функция. Для дискретных линейных систем
используют описание с помощью разностных уравнений, z-преобразований, модифицированных z-преобразований. Если регулятор нелинеен, применяют модели в виде нелинейных дифференциальных уравнений, с нелинейностью, заданной аналитически или графически. Императивная форма используется довольно редко, в основном в регуляторах, основанных на логике (булевой или нечеткой). Имеющееся разнообразие способов описания регуляторов порождает множество различных методов их анализа и синтеза, единый подход к решению этого круга задач отсутствует. Конструктивным способом преодоления этой проблемы может стать более широкое использование императивного метода описания регуляторов систем управления. В качестве императивной формы задания регулятора выберем систему продукций, набор правил вида «условие-действие». Условная (если, IF) часть каждого правила — антецедент (antecedens) — определяет, когда регулятор должен использовать данное правило. Вторая часть (то, THEN) — консеквент (ransequens) — описывает соответствующее действие.
Императивный подход сводит задачу описания регулятора вне зависимости от его формы к заданию системы продукций как одного или нескольких правил вида «условие-действие». Под условием понимается логическое высказывание. Оно определяет правило перехода регулятора от фазы ожидания к фазе реагирования. В свою очередь, «действие» — правило (алгоритм) вычисления реакции системы управления на стимул и применения (видоизменения) этой реакции в течение следующей фазы ожидания. Такой метод описания регуляторов можно назвать продукционным.
2. Примеры использования продукционного метода в задачах моделирования регуляторов систем автоматического управления
Пример 1. Продукционная модель регулятора цифровой САУ с законами управления: П, ПИ, ПИД.
Пусть в системе управления используется цифровой ПИ-регулятор, имеющий стабильный временной шаг срабатывания А. Тогда условие перехода регулятора от фазы ожидания к фазе реагирования имеет вид [t = t(k — 1) + А], где t — текущее
время, t (k — 1) — момент предыдущего (k — 1)-го срабатывания. Очередной момент срабатывания регулятора определяется временем (time-based control). Действие регулятора будет заключаться в смене сигнала управления с u(k — 1) на
u(k) = u(k — 1) + a1PIe(k) + a2 PIe(k — 1), где u(i) и e(i) соответственно управление и ошибка в i-й момент времени, a1PI и a2PI — параметры регулятора. В этом случае система продукции содержит единственную пару «условие-действие» вида
«если [t = t(k — 1) + А] то u(k) = u(k — 1) + a1PIe(k) + a2PIe(k — 1)».
Не меняя условие перехода, а изменив лишь действие, получим П-регулятор, в случае u(k) = aPe(k) или ПИД-регулятор [6], при
Пример 2. Продукционная модель регулятора нелинейной системы управления с гистерезисной характеристикой релейного элемента.
Если используется релейный регулятор с гистерезисной характеристикой, то действие регулятора состоит в изменении управляющего сигнала с итгк на umin или обратно. Если для описания действия использовать функцию
то действие можно выразить соотношением u = iF(и - итах, итах, ит1П). Условие перехода регулятора от фазы ожидания к фазе реагирования задается логическим выражением
где y и y — входной сигнал и его производная по времени. Здесь очередной момент срабатывания регулятора определяется уровнем и динамикой изменения сигнала на его входе (event-based control). Продукционная форма описания такого релейного регулятора будет содержать пару «условие-действие» вида
«если ( (y > y+ ) AND (y > О)) OR ( (y < y— ) AND (y < О)) то u = iF (u — umax , Umax, umin)».
Пример 3. Продукционная форма описания оптимальной по быстродействию системы управления объектом второго порядка.
Изменив по сравнению с примером 2 лишь часть «условие», и не меняя часть «действие», получим регулятор оптимальной по быстродействию системы управления объектом второго порядка. Эта система переводит объект в виде двойного интегратора
из заданного начального состояния
u(k) = u(k — 1) + a1PIDe(k) + a2PIDe(k — 1) + a3 PIDe(k — 2).
если arg1 < О, если arg1 > О,
( > y+) AND (y > О))R ((y < y—) AND (y < О)),
X (О) = Х1О,
X2 (О) = Х2О,
за минимальное время
F
J — 1 • dt ——
min,
О
в начало координат
Xfe) = О,
X2(tF ) = О,
при действии ограничения на управляющее воздействие u вида umin < u < umax. Известно, что для обеспечения оптимального быстродействия момент срабатывания регулятора должен наступить при достижении фазовой траекторией объекта линии переключения вида x1 — —x2 j x2 j /2, чем и определяется условие перехода [1О]. Действие перехода, как и для релейного регулятора с гистерезисной характеристикой, состоит в изменении управляющего сигнала с umax на umin или обратно. Следовательно, в первом приближении продукционная форма описания оптимального регулятора имеет вид
«если X1 — —x2 j X2 j /2 то u — iF(u — umax , umax , umin )».
Пример 4. Продукционная модель нечеткого регулятора.
При использовании нечеткого регулятора с базой правил системы нечеткого вывода вида2:
«если y = N и y = N то u = PB», «если y = N и y = Z то u=P»,
«если y = N и y = P то u = Z», «если y = Z и y> = N то u=P»,
«если y = Z и y = Z то u = Z», «если y = Z и y = P то u=N»,
«если y = P и y = N то u = Z», «если y = P и y = Z то u = N»,
«если y = P и y> =P то u = NB», она и будет служить продукционной формой описания этого регулятора.
Пример 5. Продукционная форма описания системы пространственно -временного управления процессом индукционной пайки.
Рассмотрим систему управления индукционной пайкой тонкостенных оболочек на базе трехканального КСП3 со встроенными релейными регуляторами [11]. Схематично эта система представлена на рис. 1.
Изделие помещается внутрь индукционного нагревателя, состоящего из индуктора, питающегося от источника переменного тока, и теплоизоляции — футеровки. Температура нагрева контролируется термопарами в трех точках, разнесенных по длине нагреваемого тела (выходные сигналы y1, y2, y3).
Температурное поле на завершающей стадии процесса, когда собственно и происходит пайка, должно достаточно продолжительное время быть равномерным на уровне y1,y2,y3 є [ysm — s,узещ +s], т. е. отклоняться от заданной температуры
>’зад не более чем на s. Это требование обеспечивают три управляющих воздействия: u1, u2, u3. Основной канал управления u1 є {umin, umax}— регулируемая двухпозиционным релейным регулятором КСП мощность питающего индуктор источ-
Сокращения для значений основных термов являются общепринятыми и означают NB — отрицательное большое; N — отрицательное; Z — близкое к нулю; P — положительное; РВ — положительное большое.
3 Автоматические показывающие регулирующие и регистрирующие потенциометры типа КСП предназначены для измерения, записи и регулирования (при наличии регулирующего устройства) температуры и других величин, изменения значений которых могут быть преобразованы в изменение напряжения постоянного тока.
ника. Этот канал позволяет воздействовать на среднюю температуру изделия, нагретого до температур, сравнимых с узад (средняя температура при этом растет,
если и1 = итах и снижается, если и1 = ит1П), но не в состоянии существенно изменять закон распределения температуры по длине изделия. Для обеспечения требуемой равномерности нагрева индуктор снабжен дополнительными витками. В разомкнутом состоянии (и = 0,1 = 2, 3) витки не оказывают влияния на процесс нагрева. При замыкании витка (и = 1), в нем наводится противо-ЭДС. Это вызывает локальное снижение мощности нагрева в зоне размещения витка, что способствует выравниванию температуры в нагреваемом изделии.
Рисунок 1. Система управления индукционной пайкой тонкостенных оболочек
С учетом разделения во времени работы трех каналов КСП удобнее использовать в продукционном описании этой системы три отдельных правила, каждое из которых действует в соответствующие интервалы времени. Логическое условие выполнения первого правила будет выглядеть следующим образом:
о е[0, Т] + 3пТ)АЖ)((у < Узад - г)ОЯ(у > Узад + s)),
где Т — длительность работы каждого канала, а п = 0,1, 2,.
Для второго и третьего правил эти условия будут иметь соответственно вид: (ге[Т,2Т] + 3пТ)ЛЫВ(у2 >Узад +8) и (Ге[2Т,3Т] + 3пТ)ЛДЮ(уз >Узад +е).
Действия регулятора можно описать при помощи функции 'Р. Действие первого правила
и1 = Р (У - (Узад -£Х “шах»1) ' Р (У - (У зад +£),1, “щпХ
действие второго правила
“2 = Р(У2 - (Узад +8),0,1),
действие третьего правила
“3 = Р(Уз - (Узад +£)Д1).
Пример 6. Продукционная форма описания системы пространственновременного управления.
Как альтернатива предыдущему варианту с сосредоточенным (т. е. зависящим лишь от времени) векторным вариантом управления может быть использована система распределенного управления как функции и времени и пространственной координаты. Приведем продукционное описание регулятора для нескольких представленных на рис. 2 вариантов релейного распределенного управления с кусочнопостоянным вариантом аппроксимации линий переключения. Для чисто временного трехинтервального управления (рис. 2а) логика работы регулятора задается следующей системой продукций:
«если ( е[0,Й])0Л( е[£2,Г]) то и = “шах», «если t е (?М2) то “ = 0».
В случае чисто пространственного трехинтервального управления (рис. 2б) желаемый режим работы индукционного нагревателя приобретает вид
«если (хе[0,хЩОЯ(хе[х2,X]) то и = “шах», «если хе(х1,х2) то и = 0».
При пространственно-временном управлении (рисунок 2в) продукционная форма описания регулятора может быть задана выражениями
«если (?е[0,t1])ОЯ(е (?1,Г]ЛИБхе[х1,X]) то и = “шах»,
«если t е (1, Г)ЛЫВ х е [0, х1) то и = 0».
а) б) в)
Рисунок 2. Варианты управления при кусочно-постоянной аппроксимации линий переключения распределенного управляющего воздействия
3. Преимущества продукционного метода моделирования регуляторов
Продукционный метод моделирования регуляторов, описывающий регулятор как систему правил вида «условие-действие», потенциально обладает рядом преимуществ по сравнению с альтернативной декларативной формой. Вот лишь некоторые из достоинств продукционного метода описания регуляторов, не полностью используемых в известных автору работах.
Такой подход может быть достаточно универсальным единым методом описания широкого спектра разнообразных регулирующих устройств. Действительно, при разных способах реализации системы управления переход от фазы ожидания к фазе реагирования может выполняться различными способами. «Условие» перехода может включать время (что справедливо для систем с дискретным временем, к которым можно отнести все компьютерные системы управления), состояние (в случае систем с дискретными событиями, релейных и проч.), пространственные координаты (для систем с распределенными управляющими параметрами) или их комбинацию. В качестве инициирующего переход события может выступать сигнал от оператора или другой системы (супервизорного управления, релейной защиты). «Действие» — вычисление управляющего воздействия — может осуществляться по различным алгоритмам, характерным для того или иного закона управления. Таким образом, граница между инвариантными во времени системами и системами с переменными параметрами и структурой, линейными и нелинейными системами, дискретными по уровню и дискретными по времени системами, оптимальными системами и системами стабилизации, присущая декларативному подходу, может быть стерта.
Движение к единой теории управления, вычислений и сетевых связей (Control + Communication + Computation = C3) — важная тенденция, обусловленная запросами практики и осознанная мировым научным сообществом. Частично это единство процессов обработки информации путем осуществления вычислительных процедур, процессов передачи информации посредством сетевых связей и процессов управления может быть отражено в предлагаемой продукционной модели.
Продукционное представление регулятора близко по форме к компьютерной программе на том или ином продукционном языке программирования, т. е. описывает задачу управления как построенную непосредственно на цифровом регуляторе в темпе с управляемым процессом вычислительную процедуру. При исследовании соответствующей модели регулятора будет одновременно подвергаться верификации алгоритм и программа его работы. Распространение такой формы описания будет способствовать открытости кода в области программного обеспечения промышленных регуляторов.
Продукционная форма представления регулятора позволит моделировать наличие различных возмущающих факторов, влияющих на качество работы системы управления. Так, в реальных системах управления передача управляющего воздействия может происходить с меняющимися по случайному закону временными
задержками4 и потерей части информации. На входные и выходные сигналы накладывается шумовая составляющая. Эти эффекты, особенно присущие распределенным сетевым системам управление, могут найти отражение в условиях и действиях системы продукций. Аналогично обстоит дело и с учетом эффекта квантования сигналов в системе по времени и по уровню.
С помощью продукционной формы представления может быть легко обеспечена требуемая степень детализации особенностей работы конкретной системы управления не только на программном, но и на аппаратном уровне. Видоизменяя пару «условие-действие», можно описать свойства используемого в САУ вычислительного устройства (его быстродействие, разрядность), особенности функционирования прочих технических средств САУ, таких как датчики, исполнительные устройства, средства передачи данных. При этом любая нестандартная ситуация может быть отображена достаточно точно, без чрезмерных упрощений, иногда принципиально искажающих картину происходящего и приводящих к неверным выводам.
Продукционная форма представления позволит произвести анализ влияния различных факторов на качество работы системы управления. Среди этих факторов можно назвать такие трудно поддающиеся анализу в рамках традиционных подходов, как нестабильность работы аппаратных средств (например, канала связи), нескоординированность внешних воздействий и реакций на них системы. Этот подход позволит применить традиционные методы анализа САУ во временной и частотной области к таким новым объектам, как реализуемые регуляторами вычислительные алгоритмы и компьютерные программы. Существенно, что одновременно с анализом САУ будет производиться анализ программы действий, реализуемой регулятором. Тем самым частично может быть решена проблема выявления содержащихся в программах синтаксических и семантических ошибок, являющихся важнейшей причиной аварийных нарушений и непредвиденных сбоев работы САУ.
Используя предлагаемую математическую модель системы цифрового управления непрерывным объектом, можно будет оценить влияние определяющего характера эффекта квантования сигналов по времени и по уровню на качественные показатели ГНДСУ; влияние и возможности использования в качестве управляющих воздействий целого комплекса сильнодействующих специфических возмущающих факторов, таких, в частности, как случайные временные задержки и частичные потери информации при передаче управляющих воздействий; осуществить учет комплекса шумовых составляющих сигналов в замкнутом контуре системы; оценить существенное (часто определяющее) влияние характеристик и свойств информационных каналов и сетевых связей на формирование управляющих алгоритмов; оценить возможности автоматического формирования и видоизменения в режиме реального времени алгоритмов управления на основе получаемой в процессе функционирования ГНДСУ рабочей информации о поведении системы и вытекаю-
4 Для описания явления нестабильности периода квантования в цифровых системах используется специальный термин — джиттер (от англ. jitter — дрожание).
щих отсюда требований к разработке вычислительных процедур, обеспечивающих реализацию этих алгоритмов с требуемой динамикой; осуществить учет ограничений со стороны аппаратных средств.
Наконец, продукционная форма описания позволит унифицировать и упростить задачу синтеза. Процедура синтеза регулятора может быть описана единообразно. Вне зависимости от конкретной задачи определению подлежит количество элементов системы продукции (пар типа «условие-действие») и ее наполнение. Вместо многоступенчатого синтеза, включающего выбор структуры регулятора, определение его параметров, разработку реализующих этот регулятор алгоритма и программного кода, можно будет использовать прямой синтез программы действий регулятора. Процесс синтеза можно организовать с использованием полученных эмпирически или аналитически правил, знаний экспертов. Задача синтеза может быть решена с использованием эволюционных вычислений, в частности, генетических алгоритмов и генетического программирования. При определении в процессе синтеза системы продукции можно заранее задать разрешенный набор составляющих ее компонентов (допустимый тезаурус элементов-«условий» и элементов-«действий»). Простота процедуры синтеза регуляторов и единообразие подходов явятся залогом успешного решения задачи, поставленной перед мировым сообществом специалистов в области теории управления в коммюнике «Future Directions in Control in an Information-Rich World» («Будущие направления развития теории управления в информационном обществе») [6]. По мнению составителей коммюнике, в будущем технические системы должны будут самостоятельно генерировать программное обеспечение своих систем управления и при необходимости модернизировать его. Далее они говорят о необходимости создать средства, которые автоматизируют весь процесс проектирования систем управления от постановки задачи до моделирования работы САУ, включая проверку и ратификацию программного обеспечения.
Вычислительные возможности такой модели регулятора достаточно велики. Известно, что система продукций эквивалентна машине Тьюринга, т. е. в ней можно реализовать любую вычислимую функцию. Следовательно, системы продукции представляют собой мощное средство описания достаточно сложных вариантов поведения, что можно использовать при моделировании гибридных, антропоморфных и интеллектуальных систем управления. Тем не менее способ описания регуляторов как системы правил вида «условие-действие» использовался в основном в системах логического управления на базе классической или нечеткой логики. Рассматриваемый подход, который может быть назван также алгоритмическим, выглядит более органичным для регуляторов цифровых САУ, нежели традиционно используемый модельный, предполагающий описание регуляторов в виде дифференциальных или разностных уравнений либо передаточных функций. «В то время как Модель ... обычно используется лишь в качестве формального описания объекта вычислений, Алгоритм является базисом самой организации компьютерного процесса» [6]. Абсолютно доминирующее положение алгоритма «определилось с самого начала эпохи ЭВМ: использовать компьютер означает задать Программу, т. е.
Алгоритм. В подавляющем большинстве случаев указание машине, ЧТО за проблема решается, не имеет смысла, поскольку для ее работы необходимо определение того, КАК это выполнить» [S]. Продукционная форма описания если и не должна полностью заменить традиционную, декларативную или модельную форму, то, по крайней мере, может сосуществовать с ней.
Кроме того, очевидна связь предлагаемого подхода с тем, что используется в системах, основанных на знаниях. В [з] констатируется, что на современном этапе наиболее адекватными компонентами систем управления для реализации высокоинтеллектуальных функций являются системы, основанных на «знаниях» (СОЗ, Knowledge-Based Systems). «В общем случае СОЗ оперируют с более широкой информацией — логическими, объектно-оринтированными и другими моделями, основанными на знаниях экспертов. Вместе с тем СОЗ могут использовать и традиционные алгоритмы, базирующиеся, например, на уравнениях динамики. Поэтому ... класс решаемых задач принципиально расширяется по сравнению с традиционной проблематикой теории управления» [з]. K системам, основанные на «знаниях» относят системы, основанные на правилах (Rule-Based Reasoning). Примером таких систем являются системы продукционных правил (типа «если выполняются условия, то делай»). Нечеткие правила, формулируемые в удобных для человека качественных терминах, обычно также имеют семантику «условие-действие» и поэтому являются частным случаем продукционных правил. Однако, несмотря на очевидные достоинства, до настоящего времени потенциал продукционного метода описания регуляторов в виде системы правил вида «условие-действие» использовался не в полной мере. Причинами недостаточно широкого распространения этого подхода являются возникающие при этом проблемы.
Необходимы разработка и теоретическое обоснование продукционного (базирующегося на математической модели системы цифрового управления непрерывным объектом, динамическая часть которой, моделирующая функционирование объекта управления, описывается дифференциальными уравнениями, а дискретная часть, моделирующая работу устройства управления, — специальным численным алгоритмом его работы в виде системы продукций, структура и содержание которой автоматически формируются в процессе поиска оптимальных решений) метода описания регуляторов в задачах анализа и оптимального синтеза систем управления гибридными системами. Требуется разработка имитационной модели ГНДСУ с продукционной формой представления алгоритма функционирования цифрового регулятора. Необходимы построение и исследование методов, вычислительных алгоритмов и программных средств анализа влияния на качество работы ГНДСУ возмущающих факторов и эффектов квантования сигналов по времени и по уровню. За счет этого необходимо обеспечить учет принципиальных особенностей, обусловленных цифровым характером устройств управления и сетевым способом обмена информацией между ними. Актуальна задача разработки методов решения нового класса задач структурного и параметрического синтеза систем управления, отличающихся существенным расширением ресурсов алгоритма управления путем
формирования структуры и содержания продукционных правил функционирования регулятора в процессе поиска оптимальных решений.
4. Анализ ЦСАУ в условиях ограничений со стороны аппаратных средств и нестабильности работы канала связи
Продукционная форма является чрезвычайно наглядной и удобной в вычислительном плане. Средством компьютерных экспериментов с ГНДСУ с продукционной формой задания регулятора может служить Stateflow®— надстройка над графической средой программирования Simulink® математического пакета МЛТЬЛБ®. Продукционная форма описания регуляторов позволит осуществлять методом имитационного моделирования в MЛTLЛБ-Simulink-Stateflow анализ поведения систем управления, как во временной, так и в частотной области.
Иллюстрацией этого могут служить численные эксперименты с продукционной моделью ПД-регулятора в условиях нестабильного шага квантования. Пусть
5 к — случайная вариация к-го шага квантования лежит в диапазоне 5к е [—0.1Л; 0.1Л]. Передаточная функция объекта имеет вид
передаточная функция регулятора
где К = 1.5, = 0.035, к = 0.0025 с, что соответствует продукционной форме опи-
сания регулятора
с изменяемой случайным образом в процессе моделирования частью «если» (антецедентом). Параметры системы продукций
(постановка задачи заимствована из [5]). Имитационная модель системы представлена на рис. 3, 4.
В условиях, когда система работает преимущественно в переходных режимах, качество ее работы может оцениваться по критерию интегральной квадратичной ошибки (критерий ИКО):
«если [і = кк + 5к] то и(к) = а1РОв(к) - а2РОв(к -1)»,
а1ро = К • Тй / к + К = 27.7500, а2РО = К • Та / к = 26.2500
0
Другим важным показателем качества является время регулирования Трег.
Рисунок 3. БтыШк модель САУ с продукционной моделью ПД-регулятора
Рисунок 4. Stateflow модель ПД-регулятора с нестабильным шагом квантования
Выборка из 1000 модельных экспериментов с имитационной моделью, результаты которых в виде графиков переходных процессов и гистограмм представлены на рис. 5-8, дала следующие результаты. Имеет место преобладание экспериментов, в которых качество работы системы близко к тому, что демонстрирует система со стабильным шагом (т. е. 3 = 0.0152, ^кон = 0.1289 с), математическое ожидание равно 0.0158.
Однако значительная часть экспериментов (приблизительно 33%) дала существенное (до 6%) улучшение качества работы системы по критерию ИКО. Причем часть из них дали улучшение и в показателе качества Трег (таких было 13%). Число срабатываний регулятора за интервал времени 0.2 с при постоянном шаге квантования равно 81, при нестабильном шаге квантования число срабатываний было в диапазоне 81-85.
Анализ временных диаграмм работы регулятора (рис. 9) позволил установить причину бимодальности представленной на рис. 7 гистограммы качества работы ПД-регулятора с нестабильным шагом квантования (критерий — ИКО).
ГФ)2Л
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
г со
/о п(*)
100 300 300 400 500 600 700 800 900 1000
7 рвд
100 200 300 400 500 600 700 800 300 1000
Мераб
100 300 300 400 500 600 700 800 900 1000
Рисунок 5. Качество работы САУ с ПД-регулятором при нестабильном шаге квантования
УФ
Рисунок 6. Переходные процессы в САУ с ПД-регулятором при нестабильном шаге квантования
критерий качества J
Рисунок 7. Качество работы ПД-регулятора с нестабильным шагом квантования (критерий — ИКО)
Рисунок 8. Качество работы ПД-регулятора с нестабильным шагом квантования (критерий — время регулирования 4он)
В худших вариантах сигнал задания приходит сразу после очередного момента срабатывания регулятора, т. е. сигнал ошибки держится на максимальном уровне в течение одного такта работы регулятора и «обработка» ошибки начинается только при наступлении следующего момента срабатывания регулятора. В лучших случаях сигнал задания приходит непосредственно перед очередным моментом срабатывания регулятора, т. е. сигнал ошибки начинает обрабатываться практически мгновенно. Синхронизация работы регулятора с моментами значительного изменения сигнала задания позволит избежать появления худших вариантов. Этот результат является еще одним доводом в пользу тезиса работы [1] о преимуществах основанных на событиях стратегий управления, по сравнению с основанными на времени стратегиями.
Были проведены исследования этой же системы для случая потери N% информации (N = 12.5%), условие перехода при этом записывается так:
[( = кЪ)ШО(гК > N /100)],
где гК — значение равномерно распределенной в диапазоне [0,1] случайной величины. Stateflow-нотация продукционной модели регулятора приведена на рис. 10. Выборка из 1000 модельных экспериментов, результаты которых в виде графиков переходных процессов и гистограмм представлены на рис. 11-13, дала следующие результаты: имеет место преобладание экспериментов, в которых качество работы системы близко к тому, что демонстрирует система со стабильным шагом (т. е. ./ = 0.0152, ^кон = 0.1289 с). Меньшая по сравнению с предыдущим случаем часть экспериментов (приблизительно 9%) дала улучшение качества работы системы по критерию ИКО в сравнении с системой со стабильным шагом. Однако предельное улучшение достигало 19%. Наблюдалось значительно большее количество случаев улучшения в показателе качества Трег (таких было 37%), по этому показателю каче-
ства улучшение было почти двукратным. Число срабатываний регулятора за время 0.2 с было в диапазоне 70-88.
очередной момент следующим £ момент изменения момент
срабатывания сигнала срабатывания регулятора задания регулятора
\ время
_і______і_____і_____£____і_____і___^
момент очередной
изменения момент
сигнала срабатывания
задания регулятора
время _|_______і_^
Рисунок 9. Временные диаграммы работы Рисунок 10. Stateflow модель
регулятора: а — худший вариант; ПД-регулятора, случай потери
б — лучший вариант части информации
Другой эффект, выявленный в результате проведенных расчетов — наличие значительного числа экспериментов, в которых качество работы системы при нестабильном шаге квантования превосходило качество, демонстрируемое системой с постоянным шагом. Наличие этого свойства систем с изменяющимся шагом квантования позволяет сделать вывод о правомочности постановки задачи оптимального выбора последовательности моментов срабатывания регулятора при аритмичности его работы [2].
Simulink-модели исследуемых систем — файлы JitterNol.mdl и JitterNo2.mdl. M-файлы — сценарии запуска процесса моделирования и построения гистограмм — файлы jitter.m и plotgraph.m.
y(t)
Рисунок 11. Переходные процессы в САУ с ПД-регулятором, случай потери части информации
Рисунок 12. Качество работы САУ с ПД-регулятором, случай потери части информации
, Г'-':..,.
«к.
м» ДЦ| .
0012 0.014 0.0^ 0.018 0.02 0.02? I
критерий качества 4
Рисунок 13. Качество работы ПД-регулятора, случай потери части информации (критерий — ИКО)
Рисунок 14. Качество работы ПД-регулятора, случай потери части информации (критерий — время регулирования (кон)
5. Анализ и верификация алгоритма работы цифрового оптимального по быстродействию регулятора
В разделе 1 (Пример 3) рассмотрена оптимальная по быстродействию система управления объектом второго порядка типа «двойной интегратор». Сформирована система продукций как продукционная форма описания оптимального по быстродействию регулятора. На рис. 15 представлена гибридно-автоматная модель оптимальной по быстродействию системы. Предположим, что рассмотренный в примере 3 алгоритм реализован при помощи цифрового регулятора. Такие регуляторы отличает дискретный по времени характер работы. Организуем в Stateflow виртуальное вычислительное устройство и проанализируем качество работы гибридной системы, состоящей из непрерывного объекта управления и цифрового регулятора, осуществляя имитационное моделирование ее поведения.
График переходного процесса при
показан на рис. 16. Из него видно, что предложенный в примере 3 алгоритм приводит к неверной работе системы управления. Причина — в некорректно сформулированном условии перехода как требовании выполнения равенства х1 = —х21 х21 /2 .
Дальнейший анализ показывает, что уменьшение шага квантования регулятора по времени не решает этой проблемы. Как следует из рис. 17, выполнение равен-
h > 0.001 с.
Поскольку предложенный в примере 3, алгоритм несостоятелен, произведем его доработку. Изменим в системе продукций требование равенства x1 = —x2 | x2 | /2 на требование нестрогого неравенства вида x1 < —x2 | x2 | /2 + є , или, что эквивалентно, x1 + x2 | x2 | /2 < є , где є — некоторая малая величина. На рис. 18 представлена гибридно-автоматная модель оптимальной по быстродействию системы с уточненным вариантом алгоритма работы регулятора. График переходного процесса в этой системе представлен на рис. 19. В этом случае первое срабатывание регу-
регулятор
\!и = -зі^(х1 + х 2 |х31 / 2)
объект
управления
[(я, + х2\х21 / 2 = о)/1№) (/ > Л)] /и - -5щп(х| +х-,|х-,|/2);/ = 0;
Рисунок 15. Гибридно-автоматная модель оптимальной системы
ства ^ = —x21 x2|/2 не обеспечивается при любом шаге срабатываний регулятора
лятора происходит в непосредственной близости от линии переключения. Однако после достижения объектом управления малой окрестности заданной точки фазового пространства начинаются высокочастотные колебания, что нежелательно.
-10
-15
—жг(і) и (і)
'V. : Ч • ч \
\ *\ V
\ \ \
\ \
х 10
Рисунок 16. График переходного процесса в оптимальной по быстродействию системе с регулятором, реализующим алгоритм из раздела 1
Й1 О 4-
;-2
4.235 4.2355 4.236 4.2365 4.237 г
Рисунок 17. График изменения значения X + х2 | х2 | /2 в оптимальной по быстродействию системе при шаге срабатываний регулятора И = 0.001 с
Рисунок 18. Гибридно-автоматная модель оптимальной системы с уточненным вариантом алгоритма работы регулятора
г
Рисунок 19. Переходный процесс в оптимальной по быстродействию системе с уточненным вариантом алгоритма работы регулятора, е = 0.01, И = 0.001 с
Доработаем алгоритм, дополнив систему продукций вторым правилом вида «если х,2 + х22 <8 то и = —к(X + х2)». Это обеспечит переключение закона управления с релейного на непрерывный вблизи заданной точки фазового пространства. На рис. 20 представлена гибридно-автоматная модель оптимальной по быстродействию системы с окончательным вариантом алгоритма работы регулятора.
Рисунок 20. Окончательный вариант гибридно-автоматной модели оптимальной системы
Состоятельность этого варианта алгоритма работы регулятора в предположении достаточно высокой точности осуществляемых цифровым регулятором вычислений иллюстрируется представленным на рис. 21 графиком переходного процесса.
*
Рисунок 21. График переходного процесса в оптимальной по быстродействию системе с окончательным вариантом алгоритма работы регулятора
На рис. 22 представлена Simulink-модель оптимальной ЦСАУ с двойным интегратором. Блок «controller» Simulink-модели оптимальной ЦСАУ — это продукционная Stateflow-модель регулятора (рис. 23).
Другим ограничением при проектировании цифровых систем управления является конечная длина машинного слова [9]. Этот эффект известен как квантование по уровню, его влияние на качество работы системы также может быть учтено в
продукционной модели регулятора. Проанализируем, например, качество работы гибридной системы, состоящей из непрерывного объекта управления и рассмотренного ранее оптимального по быстродействию регулятора. Пусть формат представления чисел в регуляторе — с фиксированной точкой, причем Я — длина дробной части числа. Stateflow-модель такого регулятора представлена на рис. 24.
Рисунок 22. 8ітиііпк-модель оптимальной ЦСАУ с двойным интегратором
Рисунок 23. Бґаґе/Іомі-модель оптимального по быстродействию регулятора
/и—ті 5Ідп(тІ.гоипс1(х1/2л-К}*(2л-В)+... тІ.гоипсІ(х2/2л-Р)’{2л-К)*т[.аЬ5(т1.гоипсІ...
\{х2/2л-Р)*(2л-К})/2);
аАег(0.001,єес)[(ті.гоипс1(х1/2л-Р!)... *(2л-Р?}+тІ.гоип{1(х2/2л-Р?)*(2л-Р?)... *тІ.аЬз(тІ.гоипс1<х2/2л-Р)*(2л-РІ))/2<=0.01)... &({{ітІ.гоипсІ{х1/2л-Р)*(2л^))л2+... (тІ.гоип<1(х2/2л-Р!)*(2л-Рї})л2)>0.01)]/ и=-тІ.БІдп(тІ.гоипсІ{х1/2л-РІ)'(2л-РЇ)+... тІ.гоипс1(х2/2л-Р:)*(2л-Р;)*тІ.аЬ5{... тІ.гоипсІ(х2/2л-Р!)*(2л-Р))/2);
after{0.001.sec)[(ml.round(x1/2л-R)'(2л-R)}л2+... (шІ.гоипсі{х2/2л-Р)*(2л-К))л2<0,01]/и=-5*,.. (шІ.гоипй(х1/2л^)*(2л-В)+тІ.гоипсІ{х2/2л-К)'(2л-К));
Рисунок 24. Stateflow-модель оптимального по быстродействию регулятора. Формат представления чисел — с фиксированной точкой; Я — длина дробной части числа
На рис. 25, 26 представлены графики переходных процессов в оптимальной по быстродействию системе при использовании в регуляторе формата с фиксированной точкой.
Рисунок 25. Переходный процесс Рисунок 26. Переходный процесс
в оптимальной по быстродействию в оптимальной по быстродействию
системе при использовании в регуляторе системе при использовании в регуляторе
формата с фиксированной точкой, R = 4 формата с фиксированной точкой, R = 3
При длине дробной части числа Я = 4 переходный процесс немногим отличается от представленного на рис. 21 переходного процесса в системе, регулятор которой использует формат с плавающей точкой. Однако при длине дробной части числа Я = 3 (рис. 26) переходный процесс — расходящийся. В этом случае алгоритма работы регулятора становится несостоятельным и нуждается в дальнейшей доработке.
Simulink модели исследуемых систем — файл БЩТ_МЩ_Т1МЕ.шШ.
Заключение
Рассмотрены методы, вычислительные алгоритмы и программные средства, позволяющие обеспечить анализ влияния на качество работы ГНДСУ возмущающих факторов и эффектов квантования сигналов по времени и по уровню, учет ресурсных ограничений, характерных для цифровых и сетевых систем управления, производить верификацию и валидацию алгоритма и программы работы цифрового регулятора.
В следующей статье будут рассмотрены продукционные методы синтеза автоматических регуляторов технических систем управления, базирующиеся на совместном использовании достаточных условий оптимальности и процедуры конечномерной оптимизации, результаты распространения предлагаемых методов оптимизации ГНДСУ на ряд актуальных задач оптимального управления непрерывными и непрерывно-дискретными, линейными и нелинейными технологическими про-
цессами. Будут рассмотрены интеллектуальные методы синтеза продукционных моделей автоматических регуляторов с использованием генетического алгоритма и генетического программирования, синтез системы правил работы регулятора в задачах управления с нечеткими целями и ограничениями.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 13-08-00676 «Разработка теоретических основ и вычислительных методов императивного способа представления регуляторов в задачах анализа и синтеза цифровых систем управления») и Минобрнауки России в рамках базовой части государственного задания ФГБОУ ВПО «СамГТУ» (код проекта №1271).
Литература
[1] Arzen K.-E. A Simple Event-based PID Controller // 14th World Congress of IFAC.
1999. Vol. 18. P. 423-428.
[2] Astrom K. J. Bernhardsson B. M. Comparison of Riemann and Lebesgue sampling for first order stochastic systems // Proceedings of 41st IEEE Conference on Decision and Control. 2002. P. 2011-2016.
[3] Васильев С. Н. От классических задач регулирования к интеллектному управлению. Ч. 1 // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 1. С. 5-22.
[4] Величковский Б. М. Когнитивная наука: Основы психологии познания. В 2-х т.
Т. 1. — М.: Смысл: Издательский центр Академия, 2006.
[5] Cervin A., Lincoln B. Jitterbug 1.21. Reference Manual. — Dept. of Automatic Control, Lund University, 2006.
[6] Денисенко В. В. ПИД-регуляторы: вопросы реализации // Современные технологии автоматизации. 2007. № 4. С. 86-97.
[7] Murray R. M, Astrom K. J., Boyd S. P., Brockett R. G., Stein G. Future Directions in Control in an Information-Rich // IEEE Control Systems Magazine. 2003. Vol. 23.
No. 2. P. 20-33. (doi: 10.1109/MCS.2003.1188769).
[8] Нариньяни А. С. Модель или алгоритм: новая парадигма информационной технологии // Информационные технологии. 1997. № 4. С. 11-16.
[9] Острем, К., ВиттенмаркБ. Системы управления с ЭВМ.— М.: Мир, 1987.
[10] Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1969.
[11] Рогачев Г. Н. А.с. 1791965 СССР Индукционная нагревательная установка периодического действия / Г. Н. Рогачев.— № 4909970, заявл. 12.02.1991; опубл. 30.01.1993; Бюл. № 4.
Автор: Геннадий Николаевич Рогачев, к.т.н., доцент кафедры «Автоматика и управление в технических системах» Самарского государственного технического университета.
Production method of description, analysis and synthesis of automatic regulators of discrete-continuous control systems
Gennady N. Rogachev Samara Technical University 244, Molodogvardeiskaya street, Samara, 443100
Abstract. The following article is centred around production method of describing digital automatic controllers for continuous objects in hybrid control systems. The controller algorithm is modeled in the form of production system as a set of rules «condition-action». Practical advantages of the proposed approach are demonstrated in tasks of analysis.
Keywords. Production system, automatic control, hybrid system, digital control
Reference
[1] Arzen K.-E. A Simple Event-based PID Controller // 14th World Congress of IFAC. 1999. Vol. 18. P. 423-428.
[2] Astrom K. J. Bernhardsson B. M. Comparison of Riemann and Lebesgue sampling for first order stochastic systems // Proceedings of 41st IEEE Conference on Decision and Control. 2002. P. 2011-2016.
[3] Vasilev S.N. Ot klassicheskih zadach regulirovanija k intellektnomu uprav-leniju. Ch.
1 // Izvestija RAN. Teorija i sistemy upravlenija 2001. № 1. Q 5-22.
[4] Вelichkovskij B. M. Kognitivnaja nauka: Osnovy psihologii poznanija. Vol. 1.— M.: Smysl: Izdatel'skij centr Akademija, .2006.
[5] Cervin A., Lincoln B. Jitterbug 1.21. Reference Manual. — Dept. of Automatic Control, Lund University, 2006.
[6] Denisenko V. V. PID-reguljatory: voprosy realizacii // Sovremennye tehnologii avtomatizacii. 2007. № 4. C 86-97.
[7] Murray R. M, Astrom K. J., Boyd S. P., Brockett R. G., Stein G. Future Directions in Control in an Information-Rich // IEEE Control Systems Magazine. 2003. Vol. 23.
No. 2. P. 20-33. (doi: 10.1109/MCS.2003.1188769).
[8] Narinjani A. S. Model' ili algoritm: novaja paradigma informacionnoj tehnologii // Informacionnye tehnologii. 1997. № 4. C 11-16.
[9] Ostrem, K., VittenmarkB. Sistemy upravlenija s EVM. — M.: Mir, 1987.
[10] Pontrjagin L. S., Boltjanskij V. G., Gamkrelidze R. V. Matematicheskaja teorija opti-mal'nyh processov.— M.: Nauka, 1969.
[11] Rogachev G. N. Patent 1791965. SSSR. Indukcionnaja nagrevatel'naja ustanovka periodicheskogo dejstvija / № 4909970, Publ. 30.01.1993.
