Продольно-поперечный изгиб стержня при его вращении в центрифуге Текст научной статьи по специальности «Физика»

Разработанное устройство позволяет наносить то-копроводящее покрытие на внутреннюю поверхность волноводов малого сечения. К его достоинствам относятся компактность, низкие энергозатраты и возможность автоматизации процесса. Устройство можно монтировать на вакуумных установках с термическим испарением и камерой соответствующих размеров (УВ-18, УВМ-15 и др.).

Библиографические ссылки

1. Айзенберг Г. 3. Антенны ультракоротких волн. М. : Связьиздат, 1957. С. 32-34.

2. Бушминский И. П. Изготовление элементов конструкций СВЧ. Волноводы и волноводные устройства. М. : Высш. шк., 1974. С. 144-170.

3. Василенко Н. В. Механические системы вакуум-но-космических роботов и манипуляторов : учеб. пособие для вузов. В 2 т. Т. 1. Томск : Раско, 1998. С. 58-61.

4. Ефимов И. Е., Шермина Г. А. Волноводные линии передачи. М. : Связь, 1979. С. 84.

5. Костржицкий А. И., Карпов В. Ф., Кабанченко М. П. и др. Справочник оператора установок по нанесению покрытий в вакууме. М. : Машиностроение, 1991. С. 176.

6. Технология композиционных материалов : учеб. пособие / А. С. Янюшкин, Д. А. Рычков, Т. Т. Ереско, Н. П. Петров. Братск : Изд-во БрГУ, 2012. 152 с.

7. Сравнительный анализ способов формирования проводящего покрытия внутренней поверхности вол-

новода малого сечения / Я. И. Бульбик, Т. Т. Ереско, С. И. Трегубов, И. И. Хоменко // Вестник СибГАУ. 2005. № 3. С. 201-205.

References

1. Ajzenberg G. 3. Antenny ul'trakorotkih voln. M. : Svjaz'nzdat, 1957. P. 32-34.

2. Bushminskij I. P. Izgotovlenie jelementov kon-strukcij SVCh. Volnovody i volnovodnye ustrojstva. M. : Vysshaja shkola, 1974. P. 144-170.

3. Vasilenko N. V. Mehanicheskie sistemy vakuumno-kosmicheskih robotov i manipuljatorov. T. 1 : uchebnoe posobie dlja vuzov : v 2 t. Tomsk : Rasko, 1998. P. 58.

4. Efimov I. E., Shermina G. A. Volnovodnye linii peredachi. M. : Svjaz', 1979. P. 84.

5. Kostrzhickij A. I., Karpov V. F., Kabanchenko M. P. i dr. Spravochnik operatora ustanovok po naneseniju pok-rytij v vakuume. M. : Mashinostroenie, 1991. P. 43.

6. Tekhnologiya of composite materials : the manual / A. S. Yanyushkin, D. A. Rychkov, T. T. Eresko, N. P. Petrov. Bratsk : BrGU, 2012. 152 p.

7. The comparative analysis of ways of formation of the carrying-out covering of an internal surface of a wave guide of small section / Ya. I. Bulbik, T. T. Eresko, S. I. Tregubov, I. I. Homenko // Vestnik SibGAU. 2005. № 3, p. 201-205.

© Оськин А. В., Хоменко И. И., Гирн А. В., 2014

УДК 539.3

ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ ПРИ ЕГО ВРАЩЕНИИ В ЦЕНТРИФУГЕ

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: rashidsab@mail.ru

Разработан вариационно-разностный метод расчета устойчивости прямолинейных стержней на осевые инерционные нагрузки. Дискретная задача приводится к обобщенной проблеме собственных чисел. Разработан алгоритм формирования матриц жесткости и внутренних усилий, основанный на единых свойствах вариаций функционала. Вычислены критические угловые скорости для стержней, вращающихся в барабане центрифуги.

Ключевые слова: расчет стержней, устойчивость, вариационно-разностный метод.

LONGITUDINALLY CROSS BEND OF THE CORE AT ITS ROTATION IN THE CENTRIFUGE

R. А. Sabirov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: rashidsab@mail.ru

The variation and differential method of calculation of stability of rectilinear cores on axial inertial loadings is developed. The discrete task is given to the generalized problem of own numbers. The algorithm of formation of matrixes of rigidity and the internal efforts, based on uniform properties of variations of functionality is developed. Critical angular speeds for the cores rotating in a drum of the centrifuge are calculated.

Purpose: to develop a method of calculation of cores on inertial loadings.

Keywords: calculation of cores, stability, variation and differential method.

Решетневскуе чтения. 2014

В качестве конструкций, создающих ускорения в наземных условиях, можно назвать высокоскоростные центрифуги для решения медико-биологических проблем развивающие скорость вращения до 500 об/сек; в атомной промышленности известные центрифуги имели скорость 2000 об/сек.

В работе для задачи продольно-поперечного изгиба стержня длиной 1 получено вариационное уравнение

I I

|Е3(х)м>ххЪм'ххёх -1 х) ёх - Qz (7)5^(7) +

0 0

+ Qz (0)5^(0) + Мх (1) 59(1) - Мх (0) 59(0) =

х=1

= | М(х)м>х 5м>хёх - N (1 )9(1^(1) - N (0)9(0)5^(0), (1)

х=0

где Е - модуль Юнга; 3(х) - момент инерции поперечного сечения; V = w(х) - функция прогиба; wxx -вторые производные функции прогиба по координате х; N = N(х) - мембранные внутренние усилия, Qz = Qz (х), Мх = Мх (х) - поперечные силы и изгибающие моменты; qz - нагрузка распределенная, нормальная к оси стержня. Символ 5 - оператор варьирования. Добавив к (1) главные граничные условия, имеем

1 х=1

|Е3(х)ж,х5м>ххёх = | N(х)Wx5м>хёх . (2)

0 х=0

Для сведения краевой задачи к обобщенной проблеме собственных значений матриц выполним варьирование (2), применяя операторы варьирования 51 и

52:

1 х=1

| Е3 (х)51 wxx52wxxdx = | N(х)5^х52wxdx . (3)

0 х=0

Уравнение (3) можно представить как вторую вариацию функционала.

Для разностной аппроксимации (3) введем на области стержня равномерную сетку юг = {(х ='X),' = 0,1, . .,п} на отрезке [0,1 ]. Здесь х = х^ - узлы сетки; X = 1 / п по направлению оси координат х. Введем вспомогательную сетку с узлами 4 : ю^={=Х/2 + iXx, 1 = 0,1,...,п-1}. Континуальную область в (3) заменим дискретной, а дифференциальные операторы заменим конечно-разностными аналогами

^ Е3 5^г+1 - 25^ +5! V- 52Щ+! - 252V +52Щ-1 , =

1=2

X2

X2

52 ^ +1х-5 2 ^ ^ . (4)

4 = 1

X

X

Здесь , и - площадки интегрирования: = X; , =X - во внутренних узлах 1 области; , = X /2 - в узлах, расположенных на контуре. Применив к выражению (4) циклы

; = 1,2,...,п -1, к = 1,2,...,п -1, (5)

5^а =

1, при а = ],

52 *>а =

1, при а = к, 0, при а Ф к,

[0, при а Ф }, получаем тождество

[ Л]^} = * [ В (6)

в котором [Л] - матрица жесткости; [В] - матрица

внутренних усилий; * - собственное число; {V} -

вектор собственных значений. Например, пусть п = 4, тогда (6) представится так:

Ш2 +4Е73 + Е34 -2Е73 -2Е34

-2Е73 -2Ш4

Ш3 +4Е/4 +Е/5

Е1А -2Е34 -2Ш5

Е1Л

X2

Na + Щ

- N 0

-2Ш4 -Ш5 Ш4 +4Е/5 +Ш6

- ^ 0 w3

Щ + N. - К ■ W4 .

- Nc N. + N. _ w5

w3

W4

(7)

Таким образом, матрицы правой и левой частей тождества (7) сформированы с использованием второй вариации функционала Лагранжа.

В барабане центрифуги (рис. 1), вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ю, расположены стержни, прикрепленные к стенкам барабана, направленные в радиальном направлении. Радиус барабана Я2 = 0,6 м; стержни трубчатые длиной

1 = 0,2 м; радиусом по центру стенки г = 2 • 10-3 м; толщиной стенки t = 1 • 10-3 м. Радиус Яг = Я2 -1 = 0,2 м.

Модуль Юнга материала стержня Е = 2 -1011 Па, плотность материала р = 780 кг/м3. Требуется определить критические скорости вращения ю барабана центрифуги, с позиции устойчивости стержней. Площадь каждого стержня , = 2пгt = 4я-10-6 м2; осевой момент инерции 3х = пгЗt = 8•Ю-12п м4; радиус инер-

стержня

ции г = 3 /, = 0,00141 м. Гибкость Л = 1 / г = 141,4 - стержень гибкий.

Выберем начало системы координат Оху в центре барабана (рис. 1, а). Тогда продольное инерционное внутреннее усилие N (х) в стержне равно

N (х) = (р,ю2 / 2) (Л2 - х2), Кх < х < Л2. (8) На торце стержня х = Л1: Q(Л1) = 0 , Мх (Л1) = 0 , N(Л1) = 0 . На торце х = Л1 - линейные смещения и угол поворота отсутствуют. Приведем матрицу [В] к безразмерному виду. Для этого (8) запишем так: Ы(х) = (Л2 - х2) / (Л22 -Л12), Л1 < х < Л2. Здесь при

безразмерных матрицах Л и В имеем собственное число, равное

* = X2ю2р, / (( -Кх2 ). (9)

Учитывая X = 1 / п = (Л2 - Л1) / п , из (9) получаем искомые значения угловой скорости в зависимости

от п

ю= п /(Л2 - Л )^(2Л22 - Л12 ) * /(р ,) = = п /(Л2 -Л1)/(2Л22 - Л:2 )/(р,**) .

1

4

X

Выполним расчеты на сетках п = 8,16, 32, 64,128 . На сетке п = 128 формы потери устойчивости для первых трех низших собственных чисел покажем на рис. 1 в. Первую, вторую и третью угловые скорости обозначим соответственно символами ю(1), ю(2), ю(3); их значения, полученные для различных сеток, приведем в таблице. На графике сходимости (рис. 2) собственного числа 5 (9) от густоты сетки, видим достаточность сетки п = 64 .

Критические угловые скорости

n ш(1) ш(2) ш(3)

8 11,64 29,58 45,36

16 11,04 28,56 45,80

32 10,75 27,92 45,16

64 10,62 27,59 44,69

128 10,64 27,41 44,44

0

х—

1

3

b

X —►

d

R2 - R1

,-iW

а б в

Рис. 1. Стержни, вращающиеся в центрифуге: а - барабан, вращающийся вокруг вертикальной оси; б - конечно-разностная модель стержня; в - формы потери устойчивости, соответствующие критическим угловым скоростям при: = 10,6 об/сек - сплошная линия; <в(2) = 27,4 об/сек - штриховая линия; <в(3) = 44,4 об/сек - штрихпунктирная линия

4

5

0,2

0,0109

0,04 6 0,00269 — 0,00067 Ф

n=8 n=16 n=32 n=64 n=128

Рис. 2. График сходимости 5

Пример показал хорошую сходимость решений в Подход позволит выполнять расчеты композитных зависимости от густоты конечно-разностной сетки. стержней переменной жесткости.

© Сабиров Р. А., 2014

УДК 539.3

РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИНЫ ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

ОТ ДЕЙСТВИЯ СИЛ ИНЕРЦИИ

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: rashidsab@mail.ru

Разработан вариационно-разностный метод расчета устойчивости тонких пластин на инерционные нагрузки, действующие в плоскости. Краевая задача приводится к обобщенной проблеме собственных чисел. В качестве примера рассмотрена пластина, жестко закрепленная по одной стороне, а по трем другим сторонам пластина свободна от закреплений. Разработан алгоритм вычислений и составлена программа расчета. Получены значения критических ускорений.

Ключевые слова: расчет пластин, устойчивость, вариационно-разностный метод.