Проблемы методики преподавания в профильной школе-интернате Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Ю.П. Николаев

ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ В ПРОФИЛЬНОЙ

ШКОЛЕ-ИНТЕРНАТЕ

Николаев Юрий Павлович, сотрудник специализированного учебнонаучного центра МГУ им. М.В. Ломоносова (г. Москва) e-mail: jmoor@mail.ru

Современные тенденции стремления к модели непрерывного образования диктуют переход старшей школы к системе профильного обучения. Однако возникает проблема комплектации высококвалифицированными педагогическими кадрами таких специализированных классов. В крупных городах — университетских центрах удается её решить привлечением преподавателей и научных сотрудников вузов и университетов. Однако Россия сельская страна — большинство населения проживает в сельской местности и небольших поселках городского типа, в этих условиях одним из возможных решений могла бы стать система региональных профильных школ-интернатов (колледжей) для старшеклассников.

В 60-х годах прошлого века выдающимся советским ученым удалось реализовать подобную идею и организовать первые такие школы для одаренных школьников (в Москве, Ленинграде и Новосибирске). Одной из таких школ стала специализированная физико-математическая школа-интернат Главного управления народного образования при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова, которая была открыта 2 декабря 1963 года. Инициаторами создания школы были ведущие ученые страны — академики Андрей Николаевич Колмогоров, Исаак Константинович Кикоин, столетие со дня рождения которого мы отмечаем в этом году, Иван Георгиевич Петровский, Михаил Алексеевич Лавреньтев [1]. В физико-математической школе-интернате № 18 (ФМШ № 18) обучаются школьники десятых и одиннадцатых классов (около 360 учащихся); имеется как двухгодичный цикл обучения, так и одногодичный. Основатели школы одной из её первых задач видели возможность получить ребятам из сельской местности хорошее, наравне со столичными школьниками, физикоматематическое образование. Набор в ФМШ № 18 происходит на местах (более 50 областей и регионов Российской Федерации), куда выезжает команда экзаменаторов из учителей математики и физики школы, студентов, аспирантов и профессоров МГУ им. М. В. Ломоносова. Поступление в колмогоровский интернат происходит на конкурсной основе, зачисление — по приказу ректора МГУ им. М. В. Ломоносова.

Начиная с 1988 года на базе школы-интернат № 18 был организован Специализированный учебно-научный центр МГУ им. М. В. Ломоносова, который стал самостоятельным структурным подразделением Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова со всеми его атрибутами: возникло звание «Учащийся Московского университета» с соответствующим удостоверением, правами и обязанностями, появились кафедры, выпускники школы при наличии рекомендации ученого совета Центра зачисляются в МГУ без экзаменов и т. д.

Сейчас, когда прошло уже почти 20 лет со времени создания СУНЦ МГУ им. М.В. Ломоносова в школе существуют пять специализаций обучения: физико-математическая, компьютерно-информационная, химическая, биологическая и биофизическая; для одногодичного обучения — только физико-математическая. Система обучения лекционносеминарская. На каждом уроке по профилирующим дисциплинам работают одновременно два-три преподавателя, что позволяет обеспечить индивидуальный подход в учебном процессе и значительно повысить эффективность обучения.

Большая методическая проблема, с которой начинается школа-интернат — задача нового набора. Какие критерии являются определяющими для одаренного старшеклассника? Можно ли

говорить о том, что качественно образованный, начитанный или, может быть, «натасканный на определенный вид задач» человек одарен. В СУНЦ МГУ сложилась система контактов с администрациями департаментов образования в регионах, где проводятся выездные письменные и устные экзамены по математике, физике, химии (для химического и биологического потоков). Вступительные экзамены по математике преследуют цель, в первую очередь, отобрать тех школьников, которые не только обладают определенной суммой знаний, но и проявляют стойкий интерес к учебе, умеют нестандартно мыслить, хорошо восприимчивы к новому материалу. Так, например, на устных экзаменах по математике встречались такие задачи [2].

1. Найдите все натуральные числа п и т такие, что 1!+ 2!+... + п! = m2.

(х - а)(х - Ь) 7 (х - а)(х - с) (х - Ь)(х - с)

2. Решите уравнение: с--------------- + Ь------------- + а------------- = х.

(с - а)(с - Ь) (Ь - а)(Ь - с) (а - Ь)(а - с)

3. Три землекопа, работая одновременно, выкопали за 1 час работы 7 / 10 траншеи. Известно, что если бы каждый из них копал траншею самостоятельно, то ему на всю работу потребовалось бы целое количество часов. Известно также, что землекопы работают с разной скоростью. Выясните, за сколько часов выкопают траншею каждый из них.

4. Пятнадцать девятиклассников и пятнадцать десятиклассников выстроились в две шеренги — десятиклассники за девятиклассниками. Оказалось, что каждый ученик во второй шеренге выше стоящего перед ним. Затем в каждой шеренге ученики перестроились по росту. Докажите, что по-прежнему каждый десятиклассник выше девятиклассника, стоящего перед ним.

5. Какие многоугольники можно получить, пересекая куб плоскостью?

6. Доказать, что касательная к гиперболе ху = 1 образует с осями координат треугольник площади 2.

7. Углы треугольника, вершинами которого служат основания высот треугольника АВС, равны 30°, 60° и 90°. Найти углы треугольника АВС.

8. Найти все натуральные числа а, для которых треугольник с длинами сторон 6 см, 7 см и а см будет тупоугольным.

Другим, наиболее действенным, этапом отбора явились Летние школы СУНЦ МГУ (ФМШ № 18). Для участия в них приглашались старшеклассники, набравшие в результате вступительных экзаменов проходной бал или недобравшие 1-2 бала. Однако, мы в школе-интернате считаем, что все школьники, прошедшие вступительные испытания, преодолевшие планку конкурсного отбора, несомненно математически одаренные дети.

В ЛФМШ — шестидневная рабочая неделя. Система занятий, как правило, лекционносеминарская. Учащиеся занимаются 6 часов, из них в среднем 3 часа математики и 3 часа физики. Программа обучения всегда отбирается так, чтобы разница в уровне подготовки учащихся как можно меньше сказывалась на результатах их работы в ЛФМШ. Традиционно проводятся различные олимпиады, конкурсы и тестирования. В каждой группе работают 2-3 преподавателя математики, которые одновременно присутствуют на занятиях, так что во время работы на уроке преподаватель беседует с каждым школьником не менее двух-трех раз. Тесное общение между преподавателями и школьниками, конечно, не ограничивается только уроками — школьники в любое время могут получить нужную консультацию, задать вопрос по окончании обязательных уроков. Традиционно в помощь преподавателям СУНЦ для проведения семинаров привлекаются студенты МГУ, выпускники нашей школы — таким образом, педагогический коллектив заботится о кадровом резерве и сохранении педагогической традиции, заложенной основателями школы академиками математиками А.Н. Колмогоровым, П.С. Александровым. Занятия в ЛФМШ проходят в атмосфере дружбы, взаимопонимания и увлеченности. Все это позволяет всесторонне изучить возможности каждого кандидата. Поскольку обучение в колмогоровской школе-интернат ведется в интенсивном режиме, важно и необходимо, чтобы здоровье ребенка, его психологическая совместимость со школьниками из различных областей и регионов РФ были на должном уровне. Обязательные утренние зарядки, ежедневные выходы на познавательные экскурсии, в том числе за город. Отсюда вытекают задачи летней физико-математической школы:

Проверить, что математически, творчески одаренный ребенок способен в короткие сроки усвоить новый, довольно сложный материал, а полученные знания применить для решения оригинальных, нестандартных задач.

Пробудить интерес школьников к новым знаниям и научным достижениям, показать им красоту и изящество научной формы мышления, расширить их кругозор и рассказать о современных научных достижениях, чтобы у ребят сложилось представление о характере научной деятельности и тех требованиях, которым необходимо удовлетворять, чтобы заниматься наукой. Это, прежде всего, вызвано профессиональной ориентацией школьника, для осознанного выбора специальности.

Выявить и проявить у ребенка организаторские способности, предоставив ему возможность участвовать в управлении деятельности коллектива учащихся.

Выявить другие способности математически одаренного, творчески настроенного школьника: музыкальные, спортивные, художественные, которые могут получить дополнительное развитие при обучении ребенка в колмогоровской школе-интернат.

Определить, насколько ученик способен жить самостоятельно, выполнять нормы и правила общежития, принятые в СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова.

Подготовить кадровый резерв педагогического коллектива из числа преподавателей Летней школы, руководствуясь традицией Московского университета, из числа выпускников школы-интерната.

Вот основные цели и задачи Летней школы. Опыт показывает, что СУНЦ МГУ нуждается в таких школах. Учащиеся, прошедшие обучение в ЛФМШ, более подготовлены к жизни в СУНЦ МГУ и показывают лучшие результаты в обучении [3].

Участие в Летних школах полезно и для учащихся не прошедших по конкурсу в колмогоровскую школу-интернат. Школьники знакомятся со своими сверстниками, разделяющие их интересы, и получают возможность проверить и оценить свои физико-математические способности в ситуации серьёзной конкуренции со стороны более сильного коллектива ребят увлекающихся естественно-научным знанием, чем они сталкиваются в своих классах и школах.

В 2007 году Летняя школа СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова прошла с 1 по 15 июля. В ней приняло участие около 300 школьников, которые поступали на три отделения: физикоматематическое двухгодичного потока, химико-биологическое и физико-математическое одногодичного потока. В одногодичном потоке обучалось 68 человек, из которых в СУНЦ МГУ по итогам Летней школы было зачислено 36 человек. В этом 2008 году в курсе математического анализа Летней школы был использован материал основного курса школы-интернат. Было представлено отличное от классического введение понятия логарифма, основанного на свойствах преобразования плоскости гиперболический поворот. Такое определение логарифма используется на занятиях в одногодичном потоке СУНЦ МГУ.

Феликс Клейн в своем знаменитом произведении «Элементарная математика с точки зрения высшей» подробно обосновал целесообразность «гиперболического» (то есть через площади гиперболических трапеций) введения логарифмов в школе. Сторонником «гиперболического» метода введения логарифмов был и А.Н. Колмогоров. Ф. Клейн и А.Н. Колмогоров увязывали введение логарифмов с введением интеграла, то есть вначале

вводили общее понятие интеграла, а потом — логарифмы как интеграл от у = —. В основе

х

предполагаемого подхода лежит понятие гиперболического поворота. И все свойства логарифмов выводятся из элементарных свойств площади. Гиперболическое введение логарифмов можно осуществить в самом начале курса математического анализа общеобразовательной школы, что важно для смежных дисциплин (например, информатики), использующих логарифмы, и оно является хорошей пропедевтикой для последующего введения интеграла, если таковое планируется.

Фигуру, ограниченную сверху графиком гиперболы у = —, снизу — отрезком [а,Ь] оси

х

абсцисс (0 < а < Ь), а с боков вертикальными прямыми, проходящими через концы этого отрезка мы будем называть гиперболической трапецией с основанием [а, Ь].

Для числа х > 1 его натуральным логарифмом называется площадь гиперболической трапеции с основанием [1, х] и обозначается 1п х (рис. 1).

Теорема о логарифме произведения. При любых х > 1 и у > 1 выполнено равенство

1п ху = 1п х + 1п>>.

Доказательство этой теоремы основано на лемме о сохранении площади гиперболическим поворотом плоскости.

Гиперболическим поворотом называется преобразование плоскости, переводящее точку с

координатами (х, у) в точку с координатами ^ кх, ,

где к — некоторая положительная константа, называемая коэффициентом поворота. Рис.1

Лемма о гиперболическом повороте.

Гиперболический поворот сохраняет площади фигур.

Очевидно, что прямоугольник, со сторонами, параллельными осям координат переводится гиперболическим поворотом в прямоугольник той же площади, потому что одна из его сторон растягивается в к раз, а другая — уменьшается в к раз, в результате чего их произведение остается неизменным. Поэтому и всякая фигура, составленная из таких прямоугольников, также сохраняет площадь. Отсюда можно получить, что и любая фигура не меняет площади. Однако, для того, чтобы привести строгое доказательство леммы по существу необходимо ввести строгое понятие площади фигуры. Мы ограничимся рассмотрением случаем криволинейной трапеции. Мы будем исходить из того, что всякая фигура имеет площадь, которая удовлетворяет аксиомам неотрицательности, монотонности и аддитивности. И нам известно, как находить площадь прямоугольника.

Рассмотрим гиперболу

которая является неотрицательной монотонно

убывающей функцией, определенной на отрезке [а, Ь] (0 < а < Ь). Гиперболической трапецией с

основанием [а, Ь] будет являться фигура Т([а, Ь]) = {(х,у)| а < х < Ь, 0 < у < —}. Возрастающая

х

последовательность Хо,х1,Х2,...,Хп точек отрезка [а,Ь] начинающаяся с х0 = а и кончающаяся хп = Ь называется разбиением отрезка [а, Ь].

Поскольку наша функция является монотонно убывающей для любого отрезка [с,d]

лежащего в [а, Ь], прямоугольник высоты — с основанием [с, d ] содержит трапецию Т ([с, d ]), а

с

1

прямоугольник высоты — с тем же основанием полностью содержится в ней. Первый

d

прямоугольник называется описанным, а второй — вписанным в эту трапецию.

Объединение вписанных прямоугольников с основаниями [хг, хг+1] соответствующими некоторому разбиению отрезка называется вписанным мультипрямоугольником соответствующим разбиению {хг}”=0. Аналогично определяется описанный

мультипрямоугольник.

Площади вписанного и описанного мультипрямоугольников выражаются формулами:

х - х.

г-1

х

г=1 Лг г=1 лг'-1

Следующим шагом можно доказать лемму об аппроксимации, что любая гиперболическая

трапеция, ограниченна снизу отрезком [а,Ь], а сверху графиком функции /(х) = —. Тогда для

х

любого положительного г найдется такое натуральное число N, что площадь вписанного sN и

описанного в нее мультипрямоугольников, соответствующих равномерному разбиению отрезка [а,Ь] на N равных частей, отличаются друг от друга меньше чем на є .

Площадь гиперболической трапеции, очевидно, заключена между площадью любого вписанного и любого описанного мультипрямоугольника. Откуда можно аккуратно доказать, что гиперболический поворот сохраняет площадь гиперболической трапеции, используя методику предельного перехода, но не упоминая его. Продолжим определение натурального логарифма на весь интервал (0, +го). Для 0 < х < 1 его

натуральный логарифм определяется из соотношения 1п х = -1п —.

х

Натуральный логарифм единицы считается нулевым.

Полная теорема о логарифме произведения. При любых х > 0 и у > 0 выполнено равенство Іп ху = 1п х + 1п у.

Эта теорема аккуратно доказывается перебором случаев значений переменных х и у по отношению к единице.

Основанием логарифма называется число, которое необходимо возвести в степень значения логарифма, чтобы получить число, от которого берётся логарифм. То есть

Леї

■>

а

Ь

Рис. 2

Это означает что, для того, чтобы определить основание натурального нужно найти число,

натуральный логарифм которого равен 1. Это число называется е . Попробуем его найти.

Отметим, что из «гиперболического» определения следует, что натуральный логарифм строго возрастающая функция. Для х > 0 оценим значение 1п(1 + х) исходя из рисунка 2.

1

Стороны вписанного прямоугольника равны х и ----------, а стороны описанного прямоугольника

х +1

равны х и 1. Откуда:

1 + х

< 1п(1 + х) < х.

1

После замены переменной х = — получаем следующее свойство для натуральных п:

п

1 < 1п |\+1!< 1.

п +1 V п) п

Рассмотрим правое неравенство:

1п | 1 + — | < — ^ п 1п | 1 + — | < 1 ^ 1п | 1 + —

I п) п I п) I п,

< е.

Аналогичным образом рассмотрим левое неравенство:

—1— < 1п | 1 + — 1 < (п +1) 1п | 1 + — 1 < 1п | 1 + —

п +1 I п) I п) I п,

ч п+1

Таким образом, мы получили двойную оценку:

ч п+1

, которая верна для

любого натурального п. Таким образом, из нашего определения мы пришли к определению числа е — основанию натурального логарифма. График, введенного таким образом логарифма построить не так легко (и это самостоятельная содержательная задача), зато этот подход

х

п

п

п

п

позволяет производить приближенные вычисления значений натурального логарифма, что с успехом используется в задачах на семинарах по теме логарифма.

Далее приведены примеры некоторых задач, которые разбирались на семинарах в СУНЦ

МГУ.

1. Найти (выразить с помощью натурального логарифма) площадь закрашенной

гиперболической трапеции под графиком функции у = — :

х

а) б) в)

2. Доказать неравенства 1 < 1п2 < 1.

3. Доказать неравенство —1— < 1п | 1 +1 |<1.

п +1 ^ п) п

4. Доказать неравенство Х < 1п(1 + х) < х.

1 + х

7 , . 5

5. Доказать неравенства —< 1п2 < — .

12 6

1 1 1 1 1 1 1

6. Доказать неравенства: — Ь------1--1----Ь — < 1пп < 1Ь----1---1---Ь-

2 3 4 п 2 3 п -1

7. Доказать неравенство 1п3 > 1.

23

8. Доказать неравенства — < 1п 2 < —.

34

9. Найти целую часть числа 1п 25 .

10. Найти целую часть числа 1п 100.

11. Найти целую часть числа 1п 1000.

111

12. Доказать, что-1--1------1— = 1п 2.

1-2 3 • 4 5 • 6

1. И.К. Кикоин - физика и судьба / Издание трудов выдающихся ученых / Отв. редактор С.С. Якимов. - М.: Наука, 2008. - 993 с.

2. Алфутова Н.Б., Егоров Ю.Е., Устинов А.В. 18*18. Вступительные задачи ФМШ при МГУ. - М: Школа имени А. Н. Колмогорова, МЦНМО, 2006.

3. Русаков А.А. Проектирование методической системы обучения математически, творчески одаренных детей на основе реализации идей А. Н. Колмогорова: Дисс... д-ра пед. наук. - М., 2006.

4. Шень А.М. Логарифм и экспонента. - М.: Издательство МЦНМО, 2005.

5. Клейн Ф.М. Элементарная математика с точки зрения высшей. - М.: «Наука», 1987.

6. Шерватов В.Г. Гиперболические функции. / Серия «Популярные лекции по математике». - М.: Издательство технико-теоретической литературы, 1954.