CC BY
146
УДК 519.92
ПРОБЛЕМЫ И ПАРАДОКСЫ КОНТИНУУМА © С. Векшенов
Vekshenov S. Issues and paradoxes of continuum. The notion of continuity is analysed from the angle of concrete issues of natural science.
Е. Е.
Часто приходится слышать, что понятие бесконечности представляет интерес только для математиков, философов и теологов. К проблемам естествознания она имеет косвенное отношение, тем более что horror infinity (страх бесконечного) едва ли ни родовая черта всех естественных наук. В этой статье мы попытаемся подойти к проблеме бесконечности с другой стороны -от конкретных проблем естественнонаучного характера, прежде всего, проблем физики. Мы убедимся, что понятие бесконечности возникает в самых принципиальных и ответственных моментах наших интеллектуальных построений, направленных на осмысление внешнего мира. И от того, какой смысл мы предадим этой бесконечности, во многом, если не в главном, зависит результат этой деятельности.
Оказывается, что последовательное построение непротиворечивой картины окружающего нас материального мира невозможно без привлечения понятия бесконечного. Более того, чем «бесконечнее» оказывается бесконечность (имеется в виду, что существуют много типов бесконечностей, которые можно сравнивать друг с другом), тем реальнее она проявляется в окружающем мире! Дойдя до конца этой статьи, мы будем неоднократными свидетелями этого парадокса.
Математический результат, который лежит в основе приведенного ниже построения (или лучше сказать - построенная теория высвечивает этот результат), состоит в том, что порядковых чисел А много больше, чем чисел количественных ю, причем «много» настолько, что количественные числа «тонут» в порядковых, как конечное в бесконечном.
Этот результат внешне выглядит неожиданным и обескураживающим. Совпадение количественного и порядкового конечного числа кажется чем-то вполне очевидным. То, что в случае бесконечных множеств одному количеству (мощности) можно сопоставить разные порядки - уже не вызывает удивление. Но то, что порядку вообще невозможно сопоставить никакого количества человеческой интуиции, переживается с трудом. Причина этого, прежде всего, психологического свойства. Подобное несовпадение является проявлением асимметрии по бесконечности, причем, в одной из наиболее фундаментальных областей нашего интеллектуального мира, - арифметике.
Более того, факт этой асимметрии и вложенности большей бесконечности в меньшую дает исходную
точку для более глубокого осмысления феномена непрерывности. При этом выявляются ее поразительные связи с квантово-механическими представлениями и рядом других фундаментальных положений о Міре. Развертыванию этой картины и посвящена настоящая статья.
§ 1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ
1.1
Непрерывность - дверь в бесконечное. Однажды открыв ее, мы уже навсегда становимся заложниками двух миров: реального и трансцендентного. Поскольку новое понимание бесконечного, несомненно, повлечет за собой и новое понимание непрерывного, имеет смысл еще раз вглядеться в эти понятия в их изначальной «наивной» (а скорее всего, наиболее глубокой) трактовке.
Понятие непрерывного возникло из необходимости отобразить в мышлении феномен движения. Возникшие при этом проблемы оставили след на всем дальнейшем развитии науки. Обычно их связывают с именем Зенона Элейского. В четырех дошедших до нас «апориях» он доказывает, что движение не может быть мыслимо без внутреннего противоречия.
Мы не будем пытаться реконструировать аргументы Зенона, а попытаемся понять, какие именно проблемы возникают при осмыслении феномена движения. При этом мы активно будем пользоваться двумя видами бесконечности - количества (ю) и порядка
(П) [1].
Рассмотрим наиболее известную апорию «Ахиллес».
Пусть Ахиллеса отделяет от финиша расстояние в I, а черепаху в 1/2. Предположим, что Ахиллес бежит быстрее черепахи в два раза. Ахиллес и черепаха начинают двигаться одновременно. Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Действительно, в то время как Ахиллес пробегает половину пути, т. е. приходит в точку начала движения черепахи, она успеет проползти отрезок в 1/4. Когда же Ахиллес преодолеет расстояние в 1/4, черепаха пройдет расстояние в 1/8, и опять окажется впереди Ахиллеса и т. д. Таким образом, всякий раз, когда Ахиллес преодолевает расстояние, отделяющее его от черепахи, она успевает уползти от него на некоторое расстояние.
Данная апория опирается на понятие непрерывного, в смысле бесконечного деления. Аристотель понимал непрерывность как то, что делится на части, всегда в свою очередь делимые. Это означает, что в непрерывном нет неделимых частей. Следовательно, его нельзя сложить из этих, неделимых частей. С этой точки зрения, окружность, например, нельзя мыслить состоящей из точек, поскольку точка есть «то, что не имеет частей». Существенным является то, что вместе с понятием непрерывного Аристотель рассматривает понятие неделимого. Неделимое, с одной стороны, противопоставляется непрерывному. С другой стороны, - только с помощью неделимого непрерывное обретает форму и может быть познано как нечто определенное. Аристотель исходил из предположения, что пространство и время непрерывны. Это позволило ему сформулировать аргументы против апории Зенона и, в конечном итоге, непротиворечиво мыслить реальное движение. Отметим, что, в этом контексте, понятие бесконечности имеет вполне определенное естественнонаучное содержание, и только в более позднее время оно получило теологическую трактовку.
Попытаемся выявить формальную сторону этой апории.
Рассмотрим конечный отрезок [А, В]. Представим его в виде счетной суммы отрезков (иначе можно сказать, что мы осуществили вложение бесконечности ю в отрезок ко-неч-ной длины I = | А, В |: ю с АВ):
и
А В] = ^[ак, ак+1],
к=1
где а1 = А и аю = В.
Если считать ак - шагами Ахиллеса, а ак+1 - шагами черепахи, то очевидно, что в точке В Ахиллес догонит черепаху. С другой стороны, точки этой последовательности занумерованы натуральными числами (точнее, порядковыми натуральными числами), которые вовсе не оканчиваются на ю, поскольку всегда можно сделать еще один шаг и образовать числа: ю + 1, ю + 2... . Таким образом, последовательность {ак}, с одной стороны, сходится к В, с другой, с точки зрения номеров, - неограничена.
Эта двойственность в понимании сходимости последовательности {ак} отразилась в двойственной оценке этой апории. Значительная часть авторов считала, что проблема исчерпывается введением актуальной бесконечности, которую Зенон (как, впрочем, и вся античная наука) предпочитал избегать. Однако после всестороннего исследования теоретико-множественной бесконечности, такое решение стало рассматриваться как не вполне убедительное.
Примером этому является следующее замечание Д. Гильберта и П. Бернайса, высказанное ими в знаменитой монографии «Основания математики». «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждениями о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенный парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже и представить (не только фактически,
но хотя бы даже и в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться...
В действительности, конечно, существует более радикальное решение этого парадокса. Ведь на самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математические пространственно-временные представления движения являются физически осмысленными также в случае произвольно малых пространственных и временных интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области в пределах того порядка величин, которые еще доступны нашему наблюдению, подобно тому, как совершает определенную экстраполяцию механика сплошной среды, которая кладет в основу своих рассмотрений представление о непрерывном заполнении пространства материей. Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение. Если мы встанем на эту точку зрения, то этот парадокс исчезает» [2].
Мы оставим на время этот крайне интересный поворот мысли и вернемся к формализованным рассуждениям.
В приведенном выше представлении отрезка [А, В] имеются два взаимосвязных параметра: число разбиений ю и длина отрезка [ак, а^]. Число разбиений имеет своим пределом число О. Можно предположить, что этому случаю соответствует нулевая длина отрезка [ак, ак+1], т. е. справедливо следующее соотношение:
О
[А, В] = £ (ак ) ,
к=1
где а1 = А и аА = В и (ак) означает точку с номером к.
Однако, к сожалению, это не так.
Бесконечность А имеет своим носителем сверхмножество, в котором наряду с элементами - «точками» присутствуют и другие образования, которые условно можно назвать «не-точками» (более подробно об этом будет сказано в § 3). В этом случае отрезок [А, В] можно представить в следующем виде:
[А, В] = Х+ 7,
где X - множество «точек», 7 - совокупность «не-точек» (можно сказать, что А с [А, В]).
В этой конструкции «не-точки» определяются «апофа-тически», т. е. через отрицание, и это есть их самое точное определение. Однако это мало проясняет свойства континуума, в частности отрезка [А, В]. Поэтому в конкретных задачах нас будет интересовать вполне определенная конструкция «не-точек». При соблюдении общей непрерывности X + 7(в ее конкретном уточнении), конструкции «не-точек» выбираются абсолютно свободно и в зависимости от поставленных целей.
Применим эту идею к анализу механического движения.
Поскольку основной абстракцией механики является материальная точка, было бы желательным предста-
вить весь континуум [А, В] в виде точек. Однако, в этом случае, на множество точек (и, возможно, на сам характер движения) необходимо наложить такие условия, которые бы имитировали наличие «не-точек».
Возможный вариант решения заключается в следующем.
Если предположить, что весь континуум [А, В] состоит только из точек, то движение от А до В, проходящее через все точки, заведомо не может быть линейным. Действительно, если существует переход от точек ак к а/, то по непрерывности должна существовать точка а;. ак < аг < а, которая проходится уже после точки а. Таким образом можно предположить, что поточечное движение от А до В имеет характер волны, которую естественно назвать волной непрерывности (в § 4 мы дадим этому утверждению более строгое обоснование).
Если же мы желаем иметь линейное движение, необходимо каким-то образом «подавить» названный волновой процесс. Для этого достаточно организовать движение не по точкам, а по бесконечным множествам точек. Каждый шаг в этом случае означал бы в этом случае переход через бесконечное множество точек. Заметим, что различные вариации этого подхода активно использовались для преодоления парадокса Зенона (А. Бергсон, Б. Рассел и др.).
На основании всего вышесказанного можно предложить следующее разложение континуума [А, В]:
[А, В] = Х+ %
где X- линейно упорядоченное множество «точек», %-совокупность «не-точек» - волн непрерывности.
Вопрос: какими должны быть «не-точки», чтобы движение от А до В происходило сразу по нескольким траекториям. И возможно ли это?
Таким образом, линейное движение в континууме, т. е. непрерывное изменение, которое в первом приближении является линейным, в действительности имеет волновой характер. Эта волна не является результатом каких-либо взаимодействий, а является не-объемлемым свойством движения в континууме. Можно сказать, что это волна характеризует внутреннюю природу континуума, которая проявляется при внешнем движении.
В дальнейшем мы покажем, что это появление этой волны является следствием вложенности бесконечности П в бесконечность ю.
Волна непрерывности, по-видимому, носит фундаментальный характер и проявляется в самых различных ситуациях. Приведем только некоторые примеры.
1. Дуализм волны и частицы, высказанный Л. Бройлем, является прямым следствием непрерывности континуума. Таким образом, несмотря на всю парадоксальность этого тезиса, - квантовая механика может мыслиться как теория непрерывного (об этом речь пойдет в § 6 данной главы). В этом плане стоит еще раз вернуться к приведенному выше замечанию Д. Гильберта и П. Бернайса, которые также увидели в конструкции Зенона намек на квантовую механику. Более того, универсальный характер волны непрерывности (а следовательно, и принципа де Бройля) дает возможность понять существование устойчивых энергетических состояний на всех иерархических уровнях
материи, поскольку везде имеются ограничения на распространение этой волны, что приводит к появлению энергетических «узлов». Однако критерий устойчивости может измениться, а сами состояния могут иметь неизвестную продолжительность. Этот факт, впервые отмеченный В. Вайскопфом [2], в целом, оставался необъяснимым.
2. Удивительным является то, что идею волнового движения можно встретить в теориях, внешне очень далеких от нарисованной выше схемы, но в которых речь идет о непрерывных изменениях. Приведем несколько примеров.
а) В современном мире экономика играет определяющую роль, что подвигает исследователей на внимательный анализ эмпирики. Именно наблюдение за этой эмпирикой дало возможность вполне прочувствовать идею волнообразных процессов. Еще Н.Д. Кондратьев в своей работе «Длинные волны конъюнктуры» писал, что волнообразные движения представляют собой процесс отклонения от состояний равновесия, к которым стремится Экономическая система. Он ставил вопрос о существовании нескольких равновесных состояний и о возможности нескольких колебательных движений. В настоящее время существует множество теорий «длинных волн», так или иначе развивающих идеи Н.Д. Кондратьева [3]. В целом же важность идеи цикличности для понимания общественных процессов была осознана еще в конце 20-х годов. Примером этому может служить статья Питирима Сорокина «Циклические концепции социально-исторического процесса» (1927). В предисловии к этой статье автор отмечал следующее: «Общественная мысль второй половины XIX века отмечена линейной концепцией социально-исторических перемен. Большинство социологов, экономистов и философов истории занимались в основном формулированием «законов исторического развития» и открытием «исторических тенденций и трендов» . .Если я не ошибаюсь, сейчас. мы находимся на поворотном этапе общественной мысли. социальная мысль, кажется, начинает вновь уделять несколько большее внимание повторениям, ритмам и циклам в социально-исторических процессах. Большой успех концепции (Бергсон) бесцельной креативной эволюции в современной философии, замена термином «социальные перемены» термина «социальная эволюция» в социологии, все более внимательное изучение бизнес-циклов, флуктуаций, колебаний в экономике и других социальных науках, необычайный успех книги
О. Шпенглера «Закат Европы» с ее циклической концепцией истории, - это лишь часть многих признаков, обозначивших поворот в современной социальной мысли» [4].
б) В начале ХХ века выдающийся лингвист Бодуэн де Куртене в статье «Языкознание и лингвистика XIX века» отметил следующее: «Понятие эволюции должно привести к допущению постоянных осцилляций, колебаний в строении языка» [5].
в) В сейсмологии в последние десятилетия появилась гипотеза ,0-волны (Ш.А. Губерман, Институт прикладной математики РАН), которая движется от полюса к экватору, медленно, со скоростью около 17 километров в год. Попав в сейсмическую зону в период тектонических напряжений, такая волна, подобно спусковому механизму, «включает» землетрясение. В 1977 г. Гу-
берман опубликовал прогноз для 17 сейсмоопасных регионов. Из 12 землетрясений, произошедших там за 10 лет, правильно предсказаны 10. Однако природа ,0-волны в рамках теории Губермана оставалась неясной [6].
Разумеется, столь широкое поле применения идеи колебаний может обернуться ее легковесностью. Однако этого не стоит опасаться, поскольку всегда есть возможность отделить точное содержание этой идеи от ее гуманитарной разработки. Аналогичная ситуация имеет место, например, с принципом неопределенности Гейзенберга. В частности, в теории перевода существует свой аналог этого принципа - невозможность с равной полнотой отразить смысл и художественные особенности текста. Принцип Гейзенберга от такой «вольности», разумеется, не страдает.
Можно ли каким-либо образом «увидеть» волну непрерывности?
Это очень не простой, но крайне важный момент. Без выяснения ее реального содержания, идея «волны непрерывности» становится просто еще одним фантомом нашего интеллектуального мира. Поскольку создание таких фантомов в настоящее время стало почти технологией, - «прорыв к бытию» жизненно важен для любой теории.
Выскажем предположение, что волну непрерывности, несмотря на ее универсальный характер, можно все же увидеть. Действительно, колебания в континууме должны отразиться на измерении параметров изменяющихся во времени процессов независимо от их природы. Однако при этом возникает следующая проблема. Традиционные методы измерения, основанные на статической, теоретико-множественной концепции континуума, ориентированы на «подавление» флуктуаций, неизбежно возникающих при измерении. Между тем, очевидно, чтобы названные колебания можно увидеть, только сделав срез самого движения. Характер возникающих при таком срезе флуктуаций может прояснить природу континуума.
Если остановиться на ортодоксальной теоретиковероятностной модели, - флуктуации будут распределяться по нормальному закону: флуктуации с большими и малыми отклонениями будут встречаться редко, а со средними - часто. Если же применить гипотезу о существовании «не-точек» в форме волн непрерывности - флуктуации будут иметь характер колебаний: средние отклонения могут встречаться так же часто как малые и большие.
Этот умозрительный вывод вполне подтверждается многочисленными экспериментами С.Э. Шноля и его сотрудников, которые они проводили, начиная с середины 50-х годов [6]. Основным методом выявления закономерностей временных процессов было построение «несостоятельных» гистограмм. На рис. 1 дан пример двух таких гистограмм, построенных по 250 измерениям скорости химической реакции аскорбиновой кислоты с дихлорфенолиндофенолом и по такому же числу синхронных измерений В-активности 14С. Хорошо видны колебания флуктуаций вокруг нормального распределения.
Разумеется, многие высказанные в данном пункте тезисы, особенно касающиеся гуманитарных областей, сделаны с «наскоку» и нуждаются в более строгих обоснованиях. Ряд таких обоснований будет приведен ниже.
г.зї і.я ОЛі п 0.7І 1.ч ї.-м *
Рис. 1.
Причина, по которой они все же высказаны, заключается в желании дать эмоциональный заряд дальнейшему исследованию и хотя бы приблизительно представить характер возможных «приобретений».
1.2
«Непрерывность» Зенона - Аристотеля - «рабочее» понятие, необходимое для непротиворечивого описания движения. Подлинную метафизику это понятие приобретает в рамках идеи всеобщей взаимосвязи, которая позднее трансформируется в идею «Всеединства». В контексте этой идеи континуум является разновидностью согласованности. Согласованность определяется как то, что выражается в непрерывном контакте. Фома Аквинский пояснял: «Континуум» происходит от слова «содержимое» (соПшеМит). Следовательно, когда много частей содержится в одном, они содержатся все вместе и в одно и то же время - это и есть континуум. Континуума не может быть там, где есть два конечных термина, но только там, где присутствует один. Из этого следует, что континуальность присутствует в тех вещах, где есть единство взаимодействия. Поскольку любое целое есть одно, и оно протяженно само по себе, то один континуум состоит из многих: из примкнувших к нему, из пребывающих в нем, из исходящих из него, так что один конец оказывается сотворенным из двух, подобно тому, как одно рождается от другого, как фрукт рождается на дереве и таким образом содержит в себе его продолжение». Следовательно, «континуум есть то, что делимо до бесконечности» [8].
Совершенно оригинальную трактовку понятие континуума приобретает в метафизике Г.В. Лейбница.
Центральным понятием этой метафизики Лейбница было понятие монады. Он определяет монаду следующим образом:
«1. Монада есть простая субстанция, которая входит в состав сложных; простая, значит не имеющая частей.
10. Я принимаю также за бесспорную истину, что всякое сотворенное бытие - а, следовательно, и сотворенная монада - подвержена изменению и даже что это изменение в каждой монаде беспрерывно.
11. Из сейчас сказанного следует, что естественные изменения монад исходят из внутреннего принципа, так как внешняя причина не может иметь влияния внутри монады» [9].
Коротко, монады - это неделимые, обладающие собственным внутренним самодвижением. В этом монады принципиально отличаются от точек. В математике и естественных науках монады хорошо известны под именем «бесконечно-малых величин». В отношении этих величин позиция Лейбница заключалась в следующем. «Если кто-то не желает рассматривать бесконечно-малые и бесконечно-большие как реально существующие, он может пользоваться ими как «идеальными понятиями», которые сокращают рассуждения подобно мнимым корням в обычном анализе (вроде, например V-2 ). Таким же образом представляют более трех измерений. - все это для установления идей, способных сокращать рассуждения и основывающихся на реальностях.
Не следует все же воображать, что наука о бесконечном унижается этим объяснением и сводится к фикциям, ибо постоянно остается, говоря языком схоластики, синкатегорематическая бесконечность. Например, остается верным, что 2 равно 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 и т. д., что есть бесконечный ряд, в котором содержатся сразу все дроби с числителем 1 и со знаменателями, образующими удваивающуюся геометрическую прогрессию, хотя здесь все время употребляют лишь обыкновенные числа и не вводят никакой бесконечно-малой дроби или дроби с бесконечными знаменателями. <. > Правила конечного сохраняют силу и в бесконечном, как если бы существовали атомы <...>, хотя они вовсе не существуют, ибо материя в действительности делима без конца, и, наоборот, правила бесконечного сохраняют силу в конечном, как если бы имелись метафизические бесконечно малые, хотя в них и нет нужды, и хотя деление материи никогда не приходит к бесконечно-малым частицам. Это объясняется тем, что все управляется разумом и что иначе совсем не было бы ни науки, ни правила, а это не согласовалось бы с природой верховного начала» (Цит. по кн. Robinson А. «Non-Standart analysis». Amsterdam: North - Holland, 1966. С. 262).
Цель введения бесконечно-малых становится ясной из следующего отрывка. «Новый анализ бесконечных рассматривает не линии, не числа, но величины вообще, как это делает обыкновенная Алгебра. Этот Анализ содержит новый алгоритм, т. е. новый способ складывать, вычитать, умножать, делить, извлекать корни, соответствующий несравнимым величинам, т. е. тем, которые бесконечно велики или бесконечно малы в сравнении с другими.» [10].
Бесконечно малые величины очень хорошо отражали двойственность непрерывности, о которой речь шла выше. Континуум нельзя свести к совокупности точек (даже бесконечной), но только через такую сово-
купность он и может быть представлен и познан. Бесконечно-малая величина - этот одновременно точка и не-точка (точнее «не-точка», допускающая редукцию к «точке», см. об этом следующий параграф). Это делает континуум более «техничным», но никак не более понятным. Действительно, наследующие позицию Лейбница поколения математиков и, особенно, физиков воспринимали величины dx и dy отнюдь не как бесконечно малые переменные величины (хотя на экзамене надо было отвечать ровно так), а как некоторые, хотя и очень малые, но все же величины постоянные.
Тем не менее, бесконечно малые величины после создания теории пределов стали считаться фикцией, затемняющей ясную картину анализа. Но в 1961 году А. Робинсон показал, что этому понятию можно придать точный смысл, и, соответственно, построить анализ, названный «нестандартным» (более точно, это «неархимедов анализ», т. е. математический анализ, использующий числа, для которых несправедлива аксиома Архимеда: если х < у, то 3 п, такое, что хп > у). В этом анализе бесконечно-малые уже являются постоянными числами, хотя и с довольно необычными свойствами [11].
И все же магистральное направление в осмыслении континуума пошло по иному пути - созданию его теоретико-множественной модели (заметим, что и нестандартный анализ может быть построен только на основе теоретико-множественных понятий, поэтому названная модель видится почти «неизбежной»).
Основные достижения на этом пути связаны с именами Р. Дедекинда и Г. Кантора.
Идея Дедекинда состояла в том, чтобы расширить множество рациональных чисел так, чтобы оно стало подобно прямой линии, т. е. непрерывным. Он рассуждает следующим образом: каждая точка прямой линии делит ее на две части «таким образом, что каждая точка одной части находится влево от каждой точки другой» [12, с. 17]. Дедекинд усматривает сущность непрерывного в обращении этого принципа. «Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска» (там же). На основе этой идеи был сформулирован один из хорошо известных принципов непрерывности действительной прямой - «принцип сечений».
Действительная прямая является частным случаем континуума. В настоящее время его общепринятой моделью, как известно, является множество, т. е. совокупность неделимых (элементов), удовлетворяющих определенным свойствам. Конкретно - континуум в теоретико-множественном понимании есть связное совершенное множество. Безусловно, это канторовское определение формализует на теоретико-множественном уровне все ту же идею Аристотеля (хотя Кантор, в отличие от последнего, ищет конструкцию континуума, а не просто констатирует его свойства). Действительно, совершенное множество - это множество, каждая точка которого является точкой конденсации, т. е. любая ее окрестность содержит несчетное число точек. С другой стороны, в континууме не должно быть разрывов, следовательно, он должен быть связным.
При таком подходе континуум становится полностью обозримым (во всяком случае, принципиально). Тем самым мысль Аристотеля, что континуум, состоящий из неделимых частей, есть всего лишь форма проявления «идеи непрерывности», утрачивается. Тем не менее, теория множеств видит в точечном континууме, в частности, в множестве действительных чисел, вполне удовлетворительную модель континуума.
Это мнение не разделяли математики, критически относящиеся к теории множеств в целом. К числу таковых относился и Г. Вейль. В своем блестящем эссе «Das Kontinuum» он исключительно ярко и эмоционально обрисовал суть проблемы.
В качестве наиболее фундаментального континуума, непосредственно данного созерцанию, Вейль справедливо называет время. Чтобы строго установить связь этого континуума с математическими понятиями, прежде всего с понятием числа, необходимо установить в этом континууме строго точечную констатацию моментов времени «теперь». Тогда можно ввести отношение порядка: что будет «раньше», что «позже». Далее, два момента времени можно соединить отрезком, выяснить условия равенства отрезков и т. д. Все это является по Вейлю построением математической теории времени.
Дальше Вейль ставит вопрос таким образом: «Если моменты времени с их отношением «раньше» и «позже» могут действительно служить фундаментом чистой теории времени, то в созерцании времени должен быть заложен ответ на вопрос: имеется ли такого рода соответствие между моментами времени и действительными числами или нет? Если оно отсутствует, то следует попытаться так расширить или изменить наши дефи-нициональные принципы, чтобы достигнуть желаемого согласия. Если же это окажется недостижимым, то чисто арифметический анализ лишается реальной ценности, и учение о континууме придется рассматривать как нечто самостоятельное и стоящее на одной ступени с учением о числе.» Ответ на этот вопрос, с точки зрения Вейля, очевиден: «Фундаментом математической теории может быть, по-видимому, натуральное число (Вейль старается не прибегать к понятию множества. - Примеч. С. В.), но не континуум, поскольку ему не хватает опоры в наглядном созерцании. Заслугой философии Бергсона следует считать подчеркивание глубокого отчуждения мира математических понятий от непосредственно переживаемого феноменологического времени («la duree»)...
Например, если я воспринимаю свет в течение короткого интервала времени, то в момент времени А я обладаю переживанием не только этого восприятия, но и теми воспоминаниями, которые «о» переживаемых восприятиях во все прошлые моменты времени. непрерывное восприятие .бесконечно много вложенных друг в друга и взаимосвязных систем бесконечно многих воспоминаний (в литературе это называется «потоком сознания». - Примеч. С. В.). .Представление о потоке, как о состоящем из отдельных точек, и поэтому распадающемся на эти точки, оказывается ошибочным. От нас ускользает то, что составляет непрерывность, переливание от точки к точке.
Для объективного представления времени получается вот что: 1) отдельная временная точка не является самостоятельной; 2) каждый момент времени непредсказуем, возможна лишь приближенная фиксация.»
И далее: «Не от нашей воли зависит, что мы не можем связать непрерывность с системой целых чисел. И все же, кто знает, что еще дремлет в лоне физики будущего - квантовой теории!» [13]. Напомним, что книга Вейля была написана в 1917 году.
Обращает на себя внимание следующий факт. Перенесем идею Бергсона о всеобщей связи временных ощущений из времени в пространство. Будем говорить о всеобщей связи материальных точек пространства. Тогда мы немедленно приходим к т. н. «принципу Маха», который можно считать одним из форм принципа непрерывности.
В последние десятилетия канторовская теория множеств подвергается все более жесткой критике. Одновременно делаются попытки построить некую «альтернативную теорию множеств», в которой понятие «множества» вводится не столь прямолинейно, как в теории кантора. Одна из интересных попыток в этом направлении была предпринята выдающимся чешским математиком и логиком П. Вопенкой (он независимо от П. Коэна решил континуум-проблему, но его публикация появилась несколько позже).
Основным мотивом альтернативной теории множеств является построение теории, в которой феномен бесконечности согласуется с опытом. С точки зрения этой теории, бесконечность встречается при наблюдении очень больших, необозримых множеств. Актуальная бесконечность, на которой базируется канторов-ская теория, - не рассматривается. Аналогичный «естественнонаучный» подход к бесконечности, при котором понятие актуальной бесконечности заменялось понятием «неосуществимости», был предложен еще в 50-х годах А.С. Есениным - Вольпиным [14] (ср. рассмотренные выше понятия «бесконечной» прямой и «безграничного» пространства). В альтернативной теории множеств бесконечность вводится с помощью, т. е. «полумножества». Лучше всего это понятие проиллюстрировать конкретным примером. Возьмем свойство «быть любимым человеком». С точки зрения традиционной теории множеств можно вполне образовать множество любимых (кем-то) людей. С другой стороны, подобную совокупность невозможно образовать, поскольку нет четкой границы между «еще не любимым» и «уже не любимым». Совокупность, которая учитывает не только наличие элемента, но и его качества, является полумножеством.
В этой концепции феномен непрерывности возникает тогда, когда мы наблюдаем множество, но не в состоянии идентифицировать (различить) его индивидуальные элементы. Например, когда мы наблюдаем кучу песка с большого расстояния, она представляется нам непрерывной.
Если отвлечься от методологических установок альтернативной теории множеств (которые удивительно напоминают борьбу за «наблюдаемость» в физике), идея непрерывности (и, соответственно) бесконечности как неразличимости является новым моментом по сравнению с аристотелевской и канторовой традицией.
Как было выяснено в п. 1.1, идея непрерывности как неразличимости существенным образом опирается на идею вложенности большей бесконечности в меньшую. Эта вложенность сама по себе является фундаментальным методологическим моментом, поскольку наряду с идеей симметрии возникает в самых различ-
27З
ных ситуациях и так же является источником нетривиальных закономерностей. В следующем параграфе мы несколькими штрихами наметим эту методологию.
§ 2. СИММЕТРИЯ И АСИММЕТРИЯ -ДВЕ ГРАНИ М1РА
Фундаментальные принципы рождаются из конкретного мироощущения. Древние греки видели Мир в равновесии, гармонии и симметрии, наше же самочувствие напрямую связано с движением, т. е. тем, что эту симметрию заведомо стремиться нарушить. Из сложения этих двух начал и возникло фундаментальное и столь знакомое современному человеку понятие «инвариантности». Если до конца формализовать эту идею, зафиксировав изменения, или как иначе говорят - «преобразования», приводящие к возникновению инварианта, то можно придти к одному из самых важных и плодотворных изобретений современной науки - понятию «группы». Инвариантами различных групп преобразования является бесчисленное множество объектов. Назовем только наиболее яркие и важные из этих объектов.
1. Алгебраическое уравнение и-ой степени. Этот объект может считаться «праосновой» всех остальных инвариантов.
Возникает он в следующей ситуации. Что значит решить уравнение:
п . п—1 , , Г\ о
а„х + <Лп—гх + . + а0 = 0 ?
(1)
Самое простое - это найти формулу, с помощью которой можно было бы сразу определить его корни. В случае п = 1, 2, 3, 4 такие формулы существуют. А дальше?
Попробуем посмотреть на задачу иными глазами. Симметрия этого уравнения проявляется через теорему Виета:
а,
— = —(хі + х2 +... + хп )
— = хх + хх + ... + + XX +... + х„-іХи
3 ґ
— = —(х, Х2 хз + Х1Х2 Х4 + ... + хп—2 Хп—і Хп
= (—1) П— (х1 х2 ... хп—1 + х1 х2 ... хп—2 хп + х2 х3 ... хп
а
п / 1 \«
---- = (—1) х1 ... хп
Переставляя корни этого уравнения, мы сохраняем неизменными его коэффициенты, т. е. само уравнение.
Решить уравнение (1) - это, значит, разложить его на множители:
где х,...,х - его корни. В этом утверждении еще
мало интереса, но мы попытаемся выразить его на другом языке. Пусть имеется простейшее разложение:
ап (х — х0)(Ъхп 1 + . + Ь0) = 0
(2)
(х — х0)(х — х!).(х — Хп ) = 0,
где уравнение Ьхп 1 +... + й0 = 0 является неразложимым (как говорят иначе, - неприводимым).
Если мы будем переставлять корни уравнения: Ъп_хХп Х + • •• + Ъ0 = 0, то в силу теории Виета соотношение (2) не изменится. Если же мы будем переставлять все корни уравнения (1), то, очевидно, что при некоторых перестановках корней соотношение (2) нарушается. Отсюда вытекает принципиально важная мысль: нахождение корня уравнения (1) ведет к нарушению его симметрии.
Дальнейший ход мысли уже понятен.
Каждому уравнению (1) сопоставляется группа О автоморфизмов (преобразований) алгебраического поля К(а0,...,а,X х„), содержащего все корни
и все коэффициенты уравнения, которые оставляют его без изменения (или то же самое, что оставляют неподвижным алгебраическое поле коэффициентов
Р(а0,...,а) ). Далее, будем расширять алгебраическое поле К, добавляя в него элементы 91,...,9п такие, чтобы уравнение (1) с коэффициентами из этого поля имело корни. Для определенности будем последовательно добавлять по одному коэффициенту 9,- и следить за подгруппами О1 группы О, которые оставляют неподвижным алгебраическое поле К (а0, ..., ап, 9,). В результате получается следующий критерий разрешимости алгебраического уравнения: уравнение (1) разрешимо, если для него существует композиционный ряд
о з О. .. з О з I,
где I - тождественное преобразование.
Приведенные рассуждения составляют сущность теории Галуа, которая спустя семьдесят лет после ее создания была, наконец, оценена и послужила отправной точкой беспрецедентного развертывания теоретико-групповых методов. Факт тем более поразительный, что ее автору Эваристу Галуа в момент создания теории не исполнилось еще и 20 лет (как известно, в 21 год он трагически погиб на дуэли).
2. Пространство-время Г. Минковского.
Начнем с, казалось бы, постороннего факта.
Один из основоположников французского импрессионизма Клод Моне в 1894 году многократно писал Руанский собор в разное время дня при различном освещении. Мы знаем серию этих картин. Возникает вопрос, можем ли мы по этим картинам сказать что-то определенное о самом Руанском соборе. Или, по-иному, -как организовать наши представления, чтобы по отдельной картине иметь точное представление об оригинале.
Этот пример, несмотря на свою кажущуюся отдаленность от предмета обсуждения, фактически являет-
а
0
а
0
а
0
а
0
ся иллюстрацией одного и того же образа мысли. В самом деле, любой физический закон должен иметь всеобщность, в противном случае он не является законом. С другой стороны, большинство законов «привязаны» к системе отсчета («данному освещению»). Спрашивается, как определить пространство и время («образ мысли»), чтобы данный закон обладал всеобщностью, т. е. был бы независим от систем отсчета, и можно ли это сделать вообще?
Попробуем сказать об этом более формально.
Пусть некоторый физический закон и имеет в системе отсчета , вид и. Можно сказать, что и1 является моделью и.
Рассмотрим случай, когда некоторые и, совпадают друг с другом.
Если посмотреть на переход от одной системы отсчета к другой как на некоторое преобразование, аналогичное перестановке корней алгебраического уравнения, то не изменяющиеся модели и, можно считать инвариантами этого преобразования. Чтобы на основе этих моделей и, получить представление об объекте и, необходимо создать некоторую целостность, например, «замкнув» эти преобразования на себя. В этом случае закон и определяется группой преобразований, которые сохраняют его модели и,. Само же пространство и время можно считать этой группой. Такое подведение объекта под заранее заданную структуру, в данном случае группу, является основным методологическим приемом Н. Бурбаки (см об этом подробнее в третьей главе).
Выбор же законов, которым надо придать всеобщий характер, определяется исключительно идейными соображениями.
Сформулировав основной закон механики F = та, И. Ньютон, естественно, позаботился, чтобы придать ему всеобщий характер. Так появились инерциальные системы отсчета. Группа, которая сохраняет инвариантным этот закон, т. е. преобразует одну инерциаль-ную систему отсчета в другую, носит название группы Галилея. В группе Галилея пространство и время абсолютны, т. е. независимы друг от друга и протекающих в них физических процессов.
С другой стороны, открытый позднее, закон распространения волн, в частности, электромагнитных:
д-И = к Ли , также претендует на роль всеобщего. Это
дг-
значит, что в группе Галилея необходимо найти подгруппу, сохраняющую оба этих уравнения. Соответствующая группа называется группой Лоренца.
В группе Лоренца пространство и время уже объединены в единое пространство - время, - четырехмерный континуум Минковского.
3. Фундаментальные физические величины: энергия, импульс, заряд. Сохранение при определенных условиях ряда фундаментальных величин является отличительной чертой точного естествознания. Мысль
о связи законов сохранения и свойств симметрии пространства и времени возникла еще в античности [15]. Теория групп дает для этой идеи адекватный математический аппарат. Сохраняющую физическую величину можно считать инвариантом некоторой группы преобразований, и задача сводится к поиску этих групп. В настоящее время соответствие «закон сохранения» -
«группа преобразования» выглядит следующим образом:
- сохранение энергии в замкнутых системах -группа непрерывных сдвигов времени (отсюда следует, в частности, ненаблюдаемость абсолютного времени);
- сохранение импульса - группа непрерывных сдвигов пространства;
- сохранение моментов количества - группа поворотов в пространстве на фиксированный угол.
Названные симметрии могут быть описаны единым образом (как сохранение функции Лагранжа), что составляет содержание теоремы Нетер.
Но существуют другие физические величины, сохранению которых соответствуют иные, внутренние симметрии. Например, сохранение заряда - есть следствие симметрии волновой функции относительно сдвига фазы.
Асимметрия, разумеется, более свойственна окружающему миру, чем симметрия. Но в отличие от симметрии она не имеет еще адекватного математического аппарата, и тем самым не может претендовать на роль универсально метода, каким является теоретикогрупповой метод. Однако введение порядковой бесконечности, может, по-видимому, в корне изменить ситуацию. Попробуем обосновать эту мысль.
Как известно, в математике существует чрезвычайно простой и, вместе с тем, очень эффективный эвристический метод установления закономерностей, использующий идею асимметрии - принцип Дирихле.
В самой простейшей, общеизвестной формулировке он звучит так. Если в п клеток посадить т кроликов, где т > п, то хотя бы в одной клетке будут сидеть по два кролика. Этот принцип допускает следующие вариации, в зависимости от числа «клеток» и «кроликов»:
- число «кроликов» и «клеток» конечно;
- число «кроликов» - ю, число «клеток» - п, где п -конечное число;
- число «кроликов» - П, число «клеток» - п;
- число «кроликов» - П, число «клеток» - ю.
Приведем несколько примеров.
П р и м е р 1. На белую скатерть нечаянно брызнули чернилами. Принцип Дирихле утверждает, что всегда найдутся две точки одного цвета на расстоянии одного метра друг от друга.
П р и м е р 2. Теорема Пуанкаре о возвращении.
Во время своих занятий небесной механикой А. Пуанкаре сформулировал следующую замечательную теорему.
Пусть/— сохраняющее меру непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область Р евклидова пространства в себя: Д(Р) = Р. Тогда почти все точки любой окрестности и любой точки области Р возвращаются в и, т. е. Д (х) є и при некотором п.
Докажем существование хотя бы одной такой точки.
Рассмотрим образы окрестности и:
и,ди,/2и, ...,/■пи,...
Все они имеют одинаковую положительную меру. Если бы они не пересекались, то мера Р была бы бес-
конечной. Следовательно, при некоторых т и п /пи П / ти ф 0 (в этом месте и применяется принцип Дирихле). Следовательно, /п-т П и ф 0. Точка у = /п-т(х) удовлетворяет требуемому условию.
Как известно, эта теорема приводит к нетривиальному физическому предсказанию («демон Максвелла»): если открыть перегородку, разделяющую камеру с газом и камеру с вакуумом, то через некоторое время все молекулы соберутся в первой камере.
П р и м е р 3. Геометрия Римана. В своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854) Б. Риман замечает, что в основе всех геометрических построений лежит допущение о том, что прямые имеют бесконечную длину. С другой стороны, пространство, с точки зрения Римана, безгранично, но конечно. Применение принципа Дирихле приводит к тому, что прямая становится замкнутой линией, на которой точки расположены как на окружности. Если мы будем перемещаться по этой прямой в одном направлении, то, в конце концов, вернемся к исходному месту. При таком понимании пространства понятие параллельности теряет смысл, поскольку для движущейся точки нет никакого предельного положения. В этом случае мы приходим к новому варианту неевклидовой геометрии (геометрии Римана), в которой через точку, взятую вне прямой, невозможно провести ни одной прямой, параллельной данной прямой.
Примеры использования принципа Дирихле с П - ю и с П - п бесконечностями будут даны в следующих параграфах.
Принцип асимметрии задевает одну из самых чувствительных сторон современного естествознания - его самодостаточность. Теорема Нетер показывает, что фундаментальные симметрии пространства и времени, а также единого пространства-времени означают, в частности, сохранение таких основополагающих величин как энергия, импульс, заряд. Нарушение симметрии может привести к коллизиям типа «возникновения энергии из ничего», что, разумеется, означало бы полный крах всех концепций мира, основанных на тезисе о его самопричинности. В целом, опытное естествознание уже готово к подобным переменам, однако зафиксировать их на концептуальном уровне пока еще очень трудно.
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ КАК НЕОГРАНИЧЕННОЕ ПОПОЛНЕНИЕ
3.1
Вернемся еще раз к апории Зенона «Ахиллес». Две возникающие в ней последовательности: точек пространства 1/2, 1/4, 1/8, ., в которых побывал Ахиллес, догоняя черепаху, и последовательность моментов времени: 1, 2, 3, ..., которая соответствует этим точкам, имеют существенно различную природу. Для сходимости первой последовательности достаточно канто-ровой, количественной бесконечности, сходимость же последовательности порядковых чисел: 1, 2, 3, ..., требует уже привлечения бесконечности неканторовой, порядковой.
Классическая, аристотелевская схема непрерывности как неограниченного деления это различие не улавливает. Попробуем подойти к этой проблеме иначе. Рассмотрим обращение идеи Аристотеля: объект будет непрерывным, если его можно неограниченно пополнять неделимыми (элементами). Это избавляет нас от «россыпи» заранее заданных элементов, из которых должен состоять непрерывный объект, т. е. в конечном итоге от давления теоретико-множественной доктрины, поскольку добавляемые элементы могут приходить «со стороны».
Реализация этой идеи в явном виде обнажает те проблемы, с которыми пришлось столкнуться при анализе апорий Зенона. Процессу добавления новых элементов можно сопоставить натуральный ряд чисел. Но тогда возникает вопрос, на каком шаге (разумеется, бесконечном) можно оборвать этот процесс, чтобы его результат можно было бы считать непрерывной совокупностью элементов. Ответ, в общем-то, очевиден -на шаге О. Если оборвать его раньше, непрерывной совокупности может и не получиться. Более того, в этом случае образуется эффективная упорядоченность континуума, при которой каждое непустое множество имеет минимальный элемент. Однако, как известно, такая упорядоченность выводится из аксиомы выбора, при этом элементы континуума полностью теряют свою индивидуальность. Например, нет никакой возможности определить, будет ли 1 > 0 или 0 > 1 в смысле этой упорядоченности.
Примечательно то, что названная идея обращения присутствует уже в классической, теоретико-множественной модели континуума.
Рассмотрим простейшую ситуацию.
Пусть {1п} - неограниченная последовательность вложенных отрезков действительной прямой: 11 3 12 3 ... з Iп з ... и {ап} - последовательность действительных чисел, таких что ак £ 1к. Рассмотрим пересечение
всех этих отрезков П Iк . Согласно аксиоме Кантора,
к
существует точка р, принадлежащая этому пересече-ниюр е ПIк . При этом, очевидно, что Ук р ф ак. На-
к
глядно эту ситуацию можно изобразить в виде следующих последовательностей:
11 3 12 3 .3 Iп 3. р е П 1к . (3)
к
а2 ... ап ... р ф ак. У к. (4)
Мы видели, что из (3) следует (4). Попытаемся понять, при каких условиях из (4) может следовать (3).
Прежде всего заметим, что если оставаться в рамках теории множеств, утверждение (4) можно вывести из диагонального метода.
Действительно, представим числа последовательности {ап} в виде десятичных дробей (для определенности можно считать, что все члены {ап} принадлежат отрезку [0, 1]):
а1 = 0, хц *12... *1п...
а2 = 0, Х21 *22. *1п---
ап 0, Хп1 хп2 . хпп- ■ ■
В этом случае р можно положить равным 0, у1 у2, .,
Уп ., гдеУ1 Ф Хц,У2 Ф Х21, ..., Уп Ф Х^...
Если отвлечься от теоретико-множественной оболочки, диагональный метод сводится к следующим действиям (мы сохраним это название, хотя собственно диагональная конструкция имеет смысл только в рамках теории множеств):
- рассматривается неограниченная последовательность различных объектов {ап}. В данном случае, - это последовательность действительных чисел {ап};
- предположим, что существует объект и, ограничивающий сверху последовательность {ап}. В данном случае, - это множество {ап} (хотя обозначение последовательности и множества совпадают, необходимо хорошо понимать, что речь идет о разных вещах). В общем случае, естественно, необходимо уточнить, как мы понимаем для объектов ап ограниченность сверху;
- мы исходим из предположения, что последовательность номеров {п} завершается числом О, в то время как последовательность {ап} - объектом и, которому соответствует число меньшее О. Если речь идет
о множестве, как в данном случае, то ему соответствует некоторый кардинал К*,.;
- при названных предположениях последовательность {ап} «отражается» от объекта и, образуя новый объект р. При этом как всякий «отраженный» предмет объект р «ложится» по отношению к объектам {ап} случайным образом. Эту случайность, однако, можно определенным образом регламентировать, чтобы в конечном итоге получать совокупность объектов с заданными свойствами. [16].
3.2
Как уже говорилось в первой главе, диагональный метод был изобретен Кантором как метод доказательства ряда принципиально важных утверждений в теории множеств, в частности, касающихся континуума. Однако приведенная выше структура этого метода подсказывает мысль, что его можно использовать как метод построения континуума. Для этого достаточно сделать приведенную последовательность циклической, добавив следующие пункты:
- «подсоединить» объект р к последовательности
{ап} ■ {а^р};
- считать эту новую последовательность последовательностью {ап} [17].
Существенно заметить, что основным, рабочим механизмом этого диагонального процесса является асимметрия между двумя бесконечными числами, которые выражают, с одной стороны, завершение последовательности { ап}, с другой стороны, завершение ее нумерации. Образно можно сказать, что диагональный процесс работает от «разности потенциалов», создаваемой этими двумя бесконечностями.
В целом же в обрисованной ситуации можно усмотреть искомое обращение, при котором неограниченное деление, формализованное в аксиоме непрерывности Кантора, заменяется неограниченным пополнением, реализуемым в диагональном методе.
Остался последний момент. Необходимо найти условия, при которых непрерывность в смысле пополнения эквивалентна непрерывности в смысле деления, поскольку в ином случае вся идея «обращения» теряет
смысл. В применении к конкретной ситуации это означает эквивалентность утверждений (З), (4).
Для начала введем несколько определений.
Объект p в известном смысле можно понимать как предел последовательности {an}. Однако, поскольку место p по отношению к an не определено, будем называть p блуждающим или стохастическим пределом (limit stohastic) последовательности {an} и обозначать Ls(an < U) = p [18].
Рассмотрим последовательность {Sn} целых неотрицательных чисел: 0, 1, 2, ... , n, ... . Эта последовательность завершается числом Q.
С другой стороны, число ю является бесконечным по отношению к числам 0, 1, 2, ... , но видится «конечным» по отношению к Q. В этом случае, блуждающий предел Ls (Sb < ю) = pO можно представить как результат отражения последовательности Sn от числа ю. Этот предел не совпадает ни с одним из чисел 0, 1, 2, ... , в, ... .
Будем считать, что pO не нарушает линейный порядок последовательности {Sb}, т. е. «попадает» между числами n и n + 1 для некоторого n. Следующим шагом можно рассмотреть последовательность {Sn, pO}: O, 1, ... ,
в, pO, п+1, ... , которая также ограничена числом ю. Блуждающий предел последовательности обозначим через p1: Ls (Sn, pO < ю) = p1, при этом будем считать, что m <p1 < m+1 для некоторого натурального числа m. Аналогичным образом получаются числа: p2 . pn . .
В результате этого процесса исходная последовательность {Sn} пополняется числами: pO, p1 , p2, . , pn . В результате этих действий получается следующая последовательность вложений:
Ko с K1 с ... с Kn с K ... с Ko, (5)
где Ko = {Sn}, Ka+1 = Ka U {pa}.
Начальный сегмент этой последовательности, очевидно, состоит из множеств, но конечная совокупность чисел Ko является, очевидно, сверхмножеством [7]. Возникает вопрос, какую совокупность чисел Ka из последовательности (5) можно считать действительной прямой (мы не будем заранее предполагать, что совокупность действительных чисел является «множеством»). Ответ дает следующая теорема.
Т е о р е м а 2.З.1. Для сверхмножества Ko выполняются все аксиомы действительных чисел.
Для любого кардинального числа a, множество Ka будет отличаться от Ko на совокупность элементов меры нуль (предполагается, что понятие меры распространяется и на сверхмножества).
Отсюда следует, что процесс построения действительной прямой завершается числом Q, т. е. D = Ko.
Это теорема означает, в частности, что идея обращения аристотелевского определения непрерывности (замены неограниченного деления неограниченным пополнением) не меняет его сути.
Доказательство почти очевидно.
а. Достаточно проверить выполнение аксиомы непрерывности.
Воспроизведем еще раз последовательность вложенных отрезков:
In с (- ю, + ю) I1 с I2 с ... с In с ... ,
где I с (- ю, + <ю), и образуем последовательность чисел аь а2, ..., а» ... , такую, что а! і Іь а2 і І2, ... , а і 1п ... . Возьмемр є п Іп, тогда ап ф р.
Рассмотрим последовательность чисел:
а1, -а1, а2, -а2, аи, -аи, ..., р0, -р0, Р1, -р1, р2, -Р2, ■■■, рп, -рп, .,
гдер, = (аи,р0, ., р,-1 < ю).
Если для какого-либо т є {0, 1, 2, ..., ю, ..., О}, Рmv - рт = р, то аксиома непрерывности выполнена. Предположим, что это не так, и для любого т є {0, 1,
2, ..., ю, ..., О}, рт л - рт ф р. (Мы используем для сверхмножества обозначение, принятое для множеств, -в данном случае это не ведет к путанице). В этом случае можно образовать последовательность различных чисел: аь -аь а2, -а2, аи, -аи, ., р1, -р1, р2, -р2, ., ри,
-рп, ., рО, -рО, р, . . Но тогда числу р необходимо присвоить номер, больший О, что невозможно.
Ь. Если отвлечься от процесса отражения последовательности {>?„} от числа ю, каждое число рі = (ап,
р0, ., р,-1 < ю) можно считать случайным числом (случайной величиной). Множество случайных чисел заполняет действительную прямую почти всюду. С другой стороны, со всяким множеством можно связать некоторый кардинал Ха. Отсюда следует, что процесс отражения {>?„} от числа ю, доведенный до любого кардинала Ха, образует множество чисел, отличающихся от всей совокупности действительных чисел на множество меры нуль. При этом, сверхмножество случайных чисел совпадает с действительной прямой Р.
Из этих двух утверждений следует, что процесс построения действительной прямой завершается числом О и не раньше. Таким образом, Р = К0. ■ [19].
3.3
Предлагаемый подход наводит на мысль, что действительную прямую можно трактовать как совокупность случайных чисел. Это было отмечено, в частности, Д. Скоттом и Р. Соловеем при анализе метода форсинга, изобретенного П. Коэном для доказательства независимости континуум-гипотезы от остальных аксиом теории множеств (подобнее об этом см. следующий параграф). Однако в рамках теории множеств речь могла идти только о модели действительной прямой, и фундаментальная связь непрерывности и случайности проявлялась лишь в форме некой экзотической конструкции [20]. Общую схему взаимосвязи непрерывного и случайного можно изобразить следующим образом (рис. 2). При этом стоит вспомнить, что идея о вероятностном характере утверждений в совокупности действительных чисел была высказана еще Г. Вейлем.
Непрерывность Случайность
Диагональный процесс (вложенность О в ю). Рис. 2
Приведенная конструкция действительной прямой (которая, очевидно, может быть распространена и на любую среду непрерывности) говорит о том, что континуум является объектом двойственной природы. С одной стороны, он является переменной величиной, поскольку состоит из возрастающего числа точек. Говоря словами выдающегося голландского математика и одного из главных оппонентов канторовой теории множеств Я. Брауэра, континуум представляет собой среду «свободного становления». С другой стороны, -континуум есть некая завершенность.
Чтобы ярче представить себе этот континуум, нарисуем себе картину разлива большой реки. Столкнувшись с преградой, течение реки поворачивает вспять, сталкивается с текущими к преграде водами, - возникает водоворот. Потом все успокаивается, - течение уходит вглубь, а сверху остается «недвижное зеркало вод». Внешне мы видим лишь почти неподвижную непрерывную среду, которую мы считаем ареной движения. Но оказывается, что сама эта среда также обладает движением, флуктуациями. И чем дальше мы продвинемся вспять по времени, к началу движения, тем заметнее становится самодвижение этой среды. Быть может, река на рис. 3 и есть самый точный образ континуума.
3.4
Рассмотренная модель континуума, хотя и проясняет многие принципиальные моменты (например, высвечивает связь непрерывности и случайности), все же не обладает техническими достоинствами теоретикомножественной модели, что ограничивает сферу ее применения. Чтобы сделать данную модель более функциональной, можно, в принципе, идти двумя путями.
1) Некоторым образом регламентировать диагональный процесс, т. е. процесс построения новых элементов континуума. В этом плане существует определенная традиция, идущая от Я. Брауэра (свободно становящиеся последовательности), С. Банаха и С. Мазура (игра Банаха-Мазура) [21]. При этом следует помнить, что, начиная с некоторого «места», а именно, - от границ теоретико-множественного мира, мы уже не сможем различать элементы, которые генерирует диагональный метод. С другой стороны, всякая регламентация подразумевает различимость элементов. Поэтому данный подход, в целом, не может дать адекватной модели континуума. Об этом подходе имеет смысл говорить только в рамках программы «конструктивной математики» [22].
2) Второй путь заключается в констатации дуализма: «точка» - «не-точка», который был намечен в § 1. Это значит, что теоретико-множественная, точечная, модель континуума дополняется принципиально иными образованиями - «не-точками», которые «ответственны» за свойства континуума как непрерывной среды. Этот подход в максимальной степени реализует первоначальную идею Аристотеля, что «неделимые» являются только внешним проявлением непрерывного.
Поскольку первый путь является явно ограничи- второго пути. тельным, сосредоточим свое внимание на реализации
Рис. 3
О п р е д е л е н и е.
1. Будем называть «точками» объекты, полученные итерацией диагонального метода. Теоретически существует некоторый шаг т, после которого точки перестают быть «элементами» какого-либо множества. Эту ситуацию трудно вообразить, но легко помыслить, поскольку существование порядковой бесконечности О неизбежно обозначает границу мира множеств т.
2. От шага т до конечного шага О объекты, генерируемые диагональным процессом, различимы только предикатом порядка (который не стоит смешивать с теоретико-множественным отношением порядка). Мы будем называть эти объекты «не-точками». Именно «не-точки» являются основным механизмом обеспечения непрерывности, в то время как «точки» являются носителями тех или иных свойств. В теоретикомножественно мире, эти задачи, как известно, совмещаются.
Подобное разбиение континуума напоминает разложение функции в ряд Тейлора с выделением линейной части («точки») и остаточного члена («не-точки»).
О п р е д е л е н и е.
Под средой непрерывности, континуумом К будем понимать тройку объектов: X, % у, где X- совокупность «точек», % - совокупность «не-точек», у - механизм, осуществляющий редукцию «точки» к «не-точке» и наоборот. Это этот механизм позволяет соединить
«точки» и «не-точки» в одно целое». Символически континуум это можно записать так:
К = < X, % у >.
Существенным является то, что континуум в данном понимании является сверхмножеством, в то время как традиционное канторовское определение представляет его теоретико-множественную модель. Можно сказать, что именно наличие «не-точек» отличает сверхмножество от множества.
З а м е ч а н и е. В приведенной выше конструкции выполняется своеобразный «принцип дополнительности»: будучи единым целым, континуум, тем не менее, состоит из элементов существенно различной природы. Все элементы континуума нельзя охватить каким-то одним предикатом (и, следовательно, погрузить в теоретико-множественный универсум), но они взаимно дополняют друг друга.
Рассмотрим несколько примеров.
П р и м е р 1.
Классическое топологическое пространство, с точки зрения приведенного выше определения, не является континуумом, а является лишь его теоретикомножественной моделью, в которой, естественно, можно выделить структуру континуума.
X - («точки») - конечное или множество объектов любой природы;
% - («не-точки») - некоторая система «открытых» множеств, замкнутая относительно любого объединения, конечного пересечения и содержащая в качестве элементов всю совокупность, а также пустое множество.
у - (механизм редукции) - принадлежность точки из А некоторому множеству из В.
«Модельность» этого конструкции заключается в изначальном использовании множеств, в то время как континуум является сверхмножеством.
П р и м е р 2.
X - («точки») - точки пространства Кп;
% - («не-точки») - фундаментальные последовательности {ап} точек Кп, причем, подразумевается, что пределом номера является О;
у - (механизм редукции) - очевиден.
Этот континуум нам потребуется в дальнейшем, при обсуждении квантовой механики.
П р и м е р 3.
X - («точки») - точки пространства Кп;
% - («не - точки») - бесконечно-малые и бесконечно-большие переменные величины в их изначальном понимании;
у - (механизм редукции) - стягивание бесконечномалой величины в точку.
Этот континуум мы будем обозначать как К* и в дальнейшем придерживаться правила: всякий континуум будем обозначать как Кх, где К символизирует точки, а X - конкретный вид «не-точек».
Это конструкция допускает теоретико-множественную формализацию. Множество *К нестандартных действительных чисел, в котором бесконечно-малые и бесконечно-большие элементы рассматриваются как постоянные величины, можно считать теоретикомножественной моделью К* Следует подчеркнуть, что во всех рассуждениях, связанных с *К, всегда оговаривается, какие числа, стандартные или нестандартные (т. е. бесконечно-малые или бесконечно-большие), являются в данный момент предметом внимания.
Все это вместе взятое говорит о том, что приведенную выше конструкцию континуума можно рассматривать как далеко идущее обобщение конструкции нестандартной действительной прямой.
П р и м е р 4.
Отметим одну особенность континуума. Для определенности ограничимся континуумом действительных чисел.
Натуральные числа, рассмотренные «сами по себе», разумеется, различимы. Но как элементы континуума действительных чисел они утрачивают свою индивидуальность. В этом континууме нельзя установить, например, что больше: 0 > 1 или 1 > 0, поскольку свойство вполне упорядоченности для него не эффективно, т. е. не существует процедуры, позволяющей по любым двум элементам континуума установить, какой из них больший.
Этому факту можно дать следующие интерпретации.
а) Между натуральными числами существует естественное, арифметическое, отношение порядка « ЧЧ А». К
сожалению, это отношение не допускает естественного расширения на все действительные числа, при условии того, что мы считаем их множеством. Аксиома выбора позволяет упорядочить действительные числа с помощью какого-то отношения «ЧЧ ?». Это отношение полностью оторвано от арифметической составляющей континуума, основанной на отношении « ЧЧ А» и связанных с ним арифметических операций. С другой стороны, реальная арифметика континуума в условиях порядка « ЧЧ ?» приобретает характер вероятностных утверждений. Например, утверждение что
0 ЧЧ А 1 верно лишь с некоторой вероятностью, поскольку вполне возможно, что в действительности
1 ЧЧ ? 0. Эта интерпретация послужила основой для создания П. Коэном «метода форсинга», с помощью которого была, в частности, доказана независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы от остальных аксиом теории множеств (см. § 4 настоящей главы).
б) Естественное отношение « ЧЧ А» можно расширить на все действительные числа, при условии нивелирования различий между числами, соединенными этим отношением. Это значит, что континуум обладает свойством «размывать», «нивелировать» индивидуальные различия чисел (представим себе, что два человека разного роста попали в густой туман - внешний наблюдатель не в состоянии их различить). Для ортодоксальной теории множеств такая интерпретация не приемлема, поскольку а'ргюгу в нее не закладывается механизм «размывания» чисел-множеств (то, что он там все же возникает, является главным идейным и техническим дефектом теории).
Данная интерпретация является иной формой теоремы 2.3.1. В самом деле, поскольку континуум завершается числом О, он включает в себя все числа строго меньшие О и эффективно различимые « ЧЧ А» («точки»). С другой стороны, в континууме обязательно присутствуют «не-точки», дополняющие его до О. Их можно получить путем «растягивания» имеющейся совокупности чисел (которое пока является множеством) так, чтобы они завершались ровно на О. Это можно сделать, предположив, что процесс порождения этой совокупности стабилизируется на О, в смысле предиката « ЧЧ А». Это как раз и дает их неразличимость относительно « ЧЧ А».
Факт нивелирования континуум конкретных различий подсказывает мысль, что его можно представить, опираясь на идею симметрии (см. еще раз примеры симметрий в § 1 данной главы). Более точно, с помощью симметрии вводятся объекты, которые можно считать «не-точками».
Рассмотрим множество М «точек» - элементов а1, а2, ..., ап, ... и множество «не точек» Я = {г,-,} отношений между элементами М. Совокупность М и Я еще не определяет континуума. Нужно дополнительное условие, при котором все а, были бы неразличимыми. Это может быть сделано следующим образом. Рассмотрим уравнения Ф(г,, ..., ги) = 0, связывающее соотношения
г, Нивелировать различие аІ можно путем предположения, что для любого Ф уравнение Ф(г,,, ..., ги) = 0 будет инвариантно относительно замены отношения г,, отношением Ги для любых і,,, к, I.
Таким образом, континуум К можно определить следующим образом:
X - множество точек а, ;
7- множество отношений гу , таких, что уравнение Ф(г,, ., ги) = 0 инвариантно относительно замены г, отношением гк1 для любых і, у, к, I.
у - точки а, и а,, соответствующие отношению гу.
Этот континуум будем обозначать как Ягу.
Примечательным является следующее обстоятельство.
Ровно такая же конструкция: объектов, отношений между ними, а также инвариантных уравнений, связывающих эти отношения, возникла в работах Ю.И. Кулакова в рамках его программы «бурбакизации физики». Более того, в этом подходе Ю.С. Владимиров усмотрел возможность развить физическую концепцию, названную им теорией бинарных систем комплексных отношений (БСКО), в которой пространство и время не входят число основополагающих категорий, но определяются взаимодействиями между частицами (реляционный подход) [23]. При этом как теория Кулакова, так и теория Владимирова никак не апеллируют к идее непрерывности, а рассматривают объекты и отношения между ними, прежде всего, как адекватное языковое средство описания физических взаимодействий. Возникает представление, что для описания физических явлений вполне достаточно дискретных конструкций. Приведенные выше рассуждения показывают, однако, что язык объектов и отношений теорий Кулакова -Владимирова в действительности описывает среду непрерывности, континуум. Именно этим и можно объяснить эффективность применения их подхода к описанию физических явлений. С другой стороны, их подход интересен тем, что он видит «источник» непрерывности в структуре физических законов, тогда как традиционный подход опирается на априорную непрерывность пространства-времени (как будет показано ниже, для этого необходимо предположить, что время имеет большую бесконечность, чем пространство).
П р и м е р 5. Возьмем в качестве «точек» - точки евклидова пространства Яп и рассмотрим различные траектории, выходящие из этих точек.
Зададимся вопросом: при каком условии совокупность траекторий можно считать «не-точками». Применяя те же соображения, что были высказаны в предыдущем примере, можно предположить, что «не-точками» могут быть те совокупности траекторий, которые «уравняют в правах» точки а, Ь... Простейшее условие состоит в том, чтобы рассмотреть все траектории, выходящие из этих точек. В этом случае такие точки становятся равноправными. С другой стороны, начальную точку всегда можно выделить из любого пучка траектории, т. е. осуществить редукцию «не-точки» к «точке». Таким образом, совокупность этих «точек» и «не-точек» можно считать континуумом.
X - («точки») - точки пространства Яп;
7 - («не-точки») - все возможные траектории, исходящие из всех точек Яп ;
у - (механизм редукции) - очевиден.
Будем обозначать этот континуум через Ят(/).
П р и м е р 6. Волновой континуум
X - («точки») - точки пространства Яп;
7 - («не-точки») - функции вида Т(ґ) = {^ЛХ) , Т/ґ)}. Функции ¥л(ґ) и Т/ґ) описывают, соответственно, ко-
лебания радиуса-вектора г в пространстве Яп и «короткого» времени ґ (бесконечности ю ) относительно «длинного» (бесконечности О) времени. Эти функции имеют следующий вид:
г = Чл (ґ) = Аде-"' , ґ = (ґ) = Аге-"'.
у - (механизм редукции).
Обозначим через {Т(ґ)°Т*(ґ)} множество, полученное в результате «пересечения» двух противоположно направленных процессов Т(ґ) = Ае-"' и Т*(ґ) = = Ае'1". Меру этого множества естественно положить равной Т(ґ)Т*(ґ). Для любой точки а из Яп, Т(ґ)Т*(ґ) есть вероятность того, что а принадлежит множеству {Т(ґ)°Т*(ґ)}. Это определяет необходимый механизм редукции.
Будем обозначать этот континуум через ЯТ. В дальнейшем мы подвергнем его более детальному изучению.
3.5
Мы имеем следующие виды континуумов (в действительности их гораздо больше):
д* дпу ду|ї) дТ
В соответствии с идей априоризма И. Канта, которую нет основания радикально пересматривать, объект внешнего мира Е видится через а'ргюгу заданные абстрактные формы. Если считать, что непрерывная среда, континуум, является необходимым условием движения, он и является одной из таких форм [24]. Наглядно эта ситуация изображена на рисунке 4.
Можно предположить, что именно выбор континуума ответственен за принятие той или иной физической парадигмы. Например, континуум ЯТ индуцирует парадигму, в которой главными «действующими лицами» являются частицы и поля - «не-точки Т», что соответствует представлениям квантовой теории поля.
Континуум Я* можно рассматривать как предельный случай континуума ЯТ, когда амплитуда волны Т пренебрежительно мала. Поскольку бесконечно-малые величины не имеют собственного физического аналога, можно предположить, что континуум является «чистой средой непрерывности», свойства которой определяют свойства физических объектов. К теориям этого типа можно отнести общую теорию относительности А. Эйнштейна и геометродинамику А. Уилера.
Континуум Ят(/), очевидно, соответствует лагранже-вой механике и фейнмановскому варианту квантовой механики.
Континуум Ягіу имеет, по крайней мере, два соответствия в области физики. Первое - традиционный ньютоновский подход, когда взаимодействие между точками (отношения гіу на языке Ягіу) происходит на фоне абсолютного и непрерывного (в смысле «не-точек» dx, dy, dz) пространства. Второй подход, развиваемый Ю.И. Кулаковым и Ю.С. Владимировым, исходит из взаимодействия частиц и не нуждается в таких субстанциях как пространство и время.
1^х
дТ
Рис. 4.
3.6
Введение многообразия континуумов стало возможным благодаря расширению интуиции непрерывного. Со времен Лейбница непрерывность мыслилась как одно из условий самодостаточности мира, как следствие общего принципа законопостоянства: «Свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они здесь и сейчас» [25]. В мире непрерывным по Лейбницу нет места «особым точкам», а значит, и нет места любому «вмешательству извне».
В нашем понимании непрерывность есть, по сути, синоним всеобщей связи, всеединства различных уровней бытия, поскольку «точки» можно соотнести с «реальным» бытием, а «не-точки», - с трансцендентным.
Такое понимание непрерывности позволяет реконструировать (разумеется, в авторской трактовке) ряд поворотных моментов в развитии фундаментальных представлений современной науки.
Общая схема их развития представляется в следующем виде.
«Апории» Зенона традиционно принято считать отправной точкой современного естествознания и математики, что, по-видимому, соответствует действительности. Именно при разрешении этих апорий Аристотелем было введено фундаментальное понятие непрерывности. Это, свою очередь, повлекло за собой введение не менее фундаментального понятия - бесконечности. Аристотель не разрешил проблемы до конца, предпочитая оставаться в рамках потенциальной бесконечности. Однако без разрешения апорий Зенона феномен движения не получал необходимой абстрактной модели и, следовательно, дальнейшее развитие физики было невозможно. С другой стороны, трудности, возникающие при решении этих апорий, значительно превосходили возможности даже самых выдающихся последователей Аристотеля. Основные проблемы группировались вокруг понятия бесконечного. Требовалось принять не только актуальную бесконечность, что само по себе вылилось в исключительно сложную проблему. Но и это оказалось недостаточным. Надо было принять существование качественно различных бесконечностей. В этом случае можно было бы завершить временной и пространственной ряды, возникающие в апории Зенона, и тем самым строго определить среду непрерывности, континуум. Именно по отношению к этой среде можно корректно говорить и о самом понятии движения.
Исключительная сложность этой задачи находилась в явном противоречии с очевидностью самого феномена движения. После безуспешных попыток соединить его свойства со свойствами континуума, которые растянулись на весь период Античности и Средневековья, пришло новое понимание проблемы.
Со времен Галилея отправной точкой развития физической теории становится движение как таковое. Свойства среды, континуума, отошли на второй план, и основная задача в понимании движения свелась к выяснению его характера или, говоря языком математики,
- определению его уравнения. В свою очередь, характер движения, его уравнение, зависит от вполне определенных причин. В физике Галилея эти причины должны были иметь материальную природу, что символизировало принципиальный разрыв с физикой Аристотеля, в которой причина движения лежала, как известно, в метафизической плоскости. Эта традиция была нарушена в общей теории относительности А. Эйнштейна. В ней характер движения частицы в гравитационном поле определялся метрикой пространства-времени, т. е. свойствами среды непрерывности (точнее само поле было объявлено метрикой пространственно-временного континуума).
В классической, а позднее в релятивистской физике идея непрерывности была своего рода фоном всех без исключения теорий. Например, в механике Ньютона пространство и время были не только абсолютной системой отсчета, но и средой непрерывности, которая обеспечивала саму возможность движения.
В этой связи примечательной является та критика, которой подвергалась механика Ньютона со стороны Э. Маха. С точки зрения развитой в данном параграфе теории, Мах предъявлял к механике Ньютона претензии именно исходя из идеи непрерывности. Действительно, структура континуума этой теории выглядела следующим образом:
Континуум Ньютона = {множество материальных «точек»} + {абсолютное пространство и абсолютное
время, обеспечивающее существование «не-точек»: dx, сУ, dz, dt}.
Критикуя абсолютность пространства и времени Мах, по ходу дела, мысленно спрашивает: нельзя ли обеспечить непрерывность континуума Ньютона другим способом, помимо пространства и времени. Прямо такого вопроса он все же не ставил, но его принцип всеобщей взаимосвязи «точек» - «принцип Маха», как было выяснено, является именно принципом непрерывности. Полностью «отменить» субстанциональное пространство-времени и перейти к отношениям как новым «не-точкам» удалось только в теории БСКО Ю.С. Владимирова.
В конце XIX века Кантором была сделана первая масштабная попытка формализовать понятие непрерывного. Как известно, он свел непрерывность к множеству «точек», не включив в рассмотрение «не-точки». В его «непрерывности» фигурировала только одна бесконечность - количественная. Тем самым он построил лишь теоретико-множественную модель непрерывности. Таким образом, к началу XX века программа Аристотеля по обоснованию феномена движения была продвинута лишь немногим дальше, чем это удалось сделать ее основателю. С другой стороны, в рамках классической физики не возникло потребности «побеспокоить» среду непрерывности, и канторовский континуум виделся вполне удовлетворительной конструкцией.
Ситуация стала кардинально меняться, когда физика предприняла попытку «прорваться» к атому. На этом уровне стали проявляться свойства не только «точек», но и свойства «не-точек». Именно тогда квантовая механика в поисках адекватной модели непрерывности вспомнила забытого Кантором Зенона. Именно Зенона вспоминал Н. Бор, объясняя принцип дополнительности (компоненты импульса рх, ру, pz соответствуют корпускулярному аспекту частицы, в некотором смысле исключающему по Зенону Элейскому идею движения. В противоположность этому координаты х, у, z соответствуют волновому аспекту, носящему чисто динамический, нелокализованный характер [26]. Появление же такого понятия как «квантовый эффект Зенона» (Б. Мизра, Е. Судершан) говорит сам за себя [27]. Таким образом, есть все основания видеть в квантовой теории ту самую теорию непрерывно-
сти, которая осталась незавершенной со времен Аристотеля.
Однако строить теорию непрерывного на основе квантовой механики, - значит поставить проблему с ног на голову. Необходимо вернуться к ее истокам, -
апориям Зенона. Именно анализ апорий показывает, что в непрерывном с необходимостью присутствуют две бесконечности: количественная и порядковая. С этих позиций можно очень многое понять как в самой математике, так и в современной физике, в частности, квантовой теории.
Следующие параграфы служат иллюстрацией этой мысли.
(Продолжение и список литературы в последующей части.)
