CC BY
33
В.И. Волков
Проблема выбора в творческих задачах
Предлагаемый метод решения задач основан на реальной человеческой ситуации выбора. Только выбирать нужно не между «да» или «нет», угадывая ответ, а выбирать подход или путь к ответу. Зачастую у школьников с художественным типом мышления трудности в решении задач связаны не с применением законов и формул, а с выбором из множества приходящих в голову решений одного наиболее правильного. И если критерий правильных подходов к решению не выработан, то основное время, отведенное на решение задачи, у таких учеников уходит на перебор вариантов возможных решений, количество которых может быть просто неограниченно [1]. Особенно сложными для учащихся оказываются задачи на стыке наук, в которых наряду со знанием естественнонаучных дисциплин необходимо использовать знания дисциплин гуманитарного профиля: философии, психологии, истории.
Приведем пример такой задачи.
Список действующих лиц:
Женя - староста и почти отличница.
Иванов Ц.Ц.
Петров Ы.Ы.
Сидоров Щ.Щ. - золотая середина коллектива (сокращенно - ИПС).
Гепта - философиня с многосторонним диалектическим подходом.
Ира - симпатичная школьница.
Миша - симпатичный школьник.
Минус - сторонник очень абстрактных математических взглядов, не физик.
Леня - «Плюс», почти что «Минус», но не признается в этом, в общем, физик-теоретик.
Самсон Кулибин - физик-экспериментатор, все делает сам и никому и ничему не верит.
Саша - способный, легко переключающийся и иногда остроумный.
Света - отличница по законам сохранения.
Тимофей - основательно решает задачи, сам ставит неразрешимые проблемы и терзает всех ими.
Тризер - смышленый ученик, начитавшийся книжек по ТРИЗ (теории решения изобретательских задач).
Фантазер - предлагает невообразимые, не подчиняющиеся никаким законам решения задач.
Фразер - непризнанный словотворец и поэт.
Эвристик - угадывающий формулы и ответы обладатель скрытых, непонятных способностей,
Гепта: Слова Лени о том, что чем симметричней объект, тем красивее, я считаю неверными. Симметрия предполагает некую завершенность или, по-другому, застывшую гармонию. Красота же предполагает развитие или асимметрию.
Тризер: Согласен. Красота - это не то, что мы видим в чем бы то ни было, а то, что мы предполагаем увидеть в дальнейшем, т.е. это наши ожидания. Я бы даже сказал так: красота - это возможность развития. Симметрия - это застывшая красота. Может, кому-то и нравится мертвая красота, но не мне. Чем больше возможности развития, тем красивее смотрится объект. Ребенок красивее родителей. Бутон — роза - не роза. Что красивее всего? Конечно, бутон.
Плюс: Я вообще-то удивлялся не этому, а тому, что в понятие красоты иногда включаются некоторые нравственные критерии, которые чужды природе, а связаны только с человеком. Тем не менее, я настаиваю, что чем симметричнее объект, тем красивее он выглядит. А продолжая мысли Тризера, можно дойти до абсурда, что всего красивее семена или черенки цветов, в них заложена максимальная
программа дальнейшего развития.
Тимофей: Вы спорите о том, у кого борода длиннее - у Карла или у Маркса. Абсолютной симметрии не существует в природе. В любой известной нам симметрии предполагается скрытая антисимметрия. Так что спорить вам не о чем. Но я так и не понял, кто и какую дает задачу?
Гепта: Свою задачу назову условно пока так: «Диалектика симметрии».
Все вы, надеюсь, знаете три закона диалектики. Кто забыл, напомню. Диалектика Гегеля, которую Маркс «перевернул на ноги», в основе имеет три закона. Закон единства и борьбы противоположностей, показывающий взаимное проникновение полярных противоположностей и превращения их друг в друга, отвечающий на вопрос, почему идет развитие; закон перехода количество в качество, отвечающий на вопрос, как идет развитие; и закон отрицания-отрицания, говорящий о том, куда идет развитие. Это три закона - фундамент философии. Попрошу всех назвать, какой из этих законов наиболее важный, и обосновать свой ответ.
ИПС: Прошу сначала объяснить, что такое диалектика, а затем уже можно и о законах поговорить.
Гепта: Диалектика в переводе с греческого - искусство вести беседу, диалог, спор. А сейчас под диалектикой понимают философское учение о всеобщих законах развития природы, человека, мышления и в основном рассматривают как метод познания.
Эвристик: Я не могу пока четко сказать о всех трех законах, но один закон мне явно не нравится. Это закон перехода количества в новое качество. Здесь какая-то спекуляция: с точки зрения физики, не могут метры вырасти в килограммы. А с точки зрения философии, любое добавление количества приводит к новому качеству, так как два не равно одному. Другое дело, что мы эти новые качества не всегда замечаем и не можем объяснить то новое, что они в себе несут, а как заметили, тут же назвали их скачком, хотя такой скачок произошел только в наших головах, и
такие скачки были на каждом шаге.
Тризер: Эвристик где-то прав, хотя он и ушел от решения задачи, как он это привык делать. Если учитывать взаимодействие, которое всегда присутствует, то любое сложение материальных объектов не равно их арифметической сумме. Ну, а по существу задачи, главный закон диалектики — это закон, связанный с противоречиями, отвечающий на вопрос о причинах. Противоположности или противоречия борются, и в этом причина развития всего. А зная причину, можно предсказать и следствия: как и куда идет развитие.
Света: Я уже слышала про триединство, и если диалектику перевернуть в начальное положение, то все три закона автоматически объединяются в ней воедино в одну идею божественного начала.
Тимофей: Здесь есть одна неувязка, которую я пока не могу понять. Некоторые представители китайской философии считали противоречия следствием нашей ограниченности. Все противоречия - в наших головах, так же как и разбиение природы на три закона. У природы есть один закон: закон всеобщей гармонии, по которому она развивается и который Гегель переложил и разбил на три закона, чтобы человек был адекватен остальному окружающему миру.
Саша: Интересная трактовка Гегеля, пожалуй, Света его мысли сформулировала точнее.
ИПС: Но причем здесь красота и диалектика, да и название задачи неудачное, как говорится: «Ни богу свечка, ни черту кочерга».
Плюс: Здесь и сейчас высказана крамольная мысль о новом законе всеобщей гармонии, а вы спорите о названии предложенной задачи. Дорогие мои, разве вы не видите, что мы дети хаоса, как сказал известный физик П. Эткинс. Хаос растет вместе с энтропией, а вы мне о всеобщей гармонии.
Женя: Мы, конечно, готовы разделить твое возмущение, Леня, но неплохо бы для начала пояснить, при чем здесь энтропия.
ИПС: Да, и с чем ее «едят».
Миша и Ира: Может, не надо забивать голову всякими иностранными словами?
Плюс: Нет, почему же, пожалуйста. «Едят» ее постоянно за завтраком, обедом и ужином. Энтропия показывает, насколько хорошо ваш организм преобразует энергию поглощаемой вами пищи, или характеризует условия, при которых запасается, хранится и перерабатывается тепловая энергия. Мы должны как можно более экономно расходовать энергию, что будет соответствовать меньшему производству энтропии и соответствующего хаоса. Энергия в мире сохраняется, а вот качество ее постоянно уменьшается, что соответствует росту энтропии, которая, по-другому, является мерой беспорядка. Как говорится: все мы пришли из праха и уйдем в него, но каждый из нас по-разному увеличит энтропию. Я не знаю, можно ли за свою жизнь настолько увеличить порядок, чтобы компенсировать тот беспорядок, который мы создаем в результате питания и другой жизнедеятельности. Возможно, что эта компенсация - недостижимый предел, как недостижим абсолютный нуль температур. Но если верен второй закон термодинамики, то за свою жизнь человек не может создать такой порядок, который бы превысил созданный им в мире беспорядок. А порядок увеличивают та новая информация, неизвестные законы и механизмы, обнаруженные и созданные человеком за свою жизнь или, по-другому, социальный прогресс. Если кому-либо удастся сформулировать один всеобщий закон, объединяющий все законы, то это будет закон с минимальной энтропией. Поиску частного случая такого закона посвятил большую часть своей жизни А. Эйнштейн, который пытался выразить в одном законе все виды взаимодействия, включая гравитацию и электричество. Так что энтропией можно мерить и ценность отдельно прожитой человеческой жизни. Но независимо от конкретного человека полная энтропия в мире может только возрастать - так утверждают все известные ученые.
Минус: Я всегда подозревал, что фи-
зики занимаются неизвестно чем. Есть же известная теорема, по-моему, Геделя, в которой утверждается, что не существует набора аксиом, с помощью которого можно было бы дать полное описание всех проблем. Вы же пытаетесь сказать, что эти проблемы можно решить, найдя всего один закон. Да и тот набор слов по поводу энтропии меня не сильно убедил. Слова без формул - что интеграл без дифференциала. Порази меня гром, если я что-нибудь понял.
Тимофей: У меня тоже есть два замечания к высказываниям нашего начитанного соклассника. Во-первых, законы природы уже работают независимо от человека, и узнать их можно, только затратив энергию или, как уже сказано, только увеличив хаос и энтропию. Во-вторых, изготовление любых конструкций наверняка тоже увеличивает общий хаос. Незначительное увеличение порядка в одном месте приводит к существенно большему беспорядку во всех других местах. Не так ли, Гепта?
Гепта: Я вообще что-то не улавливаю, о чем речь. В моей задаче ни слова не было про энтропию. Я спрашивала только о трех законах диалектики.
Плюс: Подожди, уважаемая Гепта, ты разве не видИшь, что это мы так подбираемся к решению твоей задачи? Если вы все хотите формулы, нет проблем. Энтропия Я равна:
Д5 =дд/т, (1)
Б=К1п\У, (2)
где (2 - тепло, Т - температура, К -постоянная Больцмана, Ш - число возможных состояний системы, которое пропорционально вероятности нахождения системы в этих состояниях. Первая формула годится для обратимых равновесных процессов, вторую можно использовать и для необратимых процессов. Так как по второму закону термодинамики энтропия имеет максимальное значение при термодинамическом равновесии, то необратимые неравновесные процессы в изолированной системе каждый момент времени имеют меньшую энтропию или *
меньшее число возможных состояний, из-за того, что несут в себе дополнительную информацию. Вот эту новую уже кибернетическую информацию и можно измерять энтропией неравновесного состояния, взяв за начало отсчета энтропию равновесного.
Минус: Приведены два разных определения, и нам остается только догадываться, что они не противоречат друг другу. Взяв дифференциал от второго уравнения, можно получить дробь, но что эта дробь равна отношению параметров первого уравнения, приходится верить Лене на слово. Но все равно, больше не надо ничего говорить, дайте мне числа, и я вам вычислю и энтропию, и ее приращение. Так, из второй формулы сразу получим, что если состояние единственно, то энтропия равна нулю.
Саша: Да арифметику мы и сами знаем, а вот, что энтропию можно пить стаканами, я только сегодня узнал. Беру я так с утра стакан энтропии и погружаю в него кусочек энергии, чем больше я взял энергии, тем сильнее поднялась энтропия. А когда энергия растворилась в стакане полностью, осталась в нем одна энтропия и хаос.
Света: Пожалуй, такая образная картина противоречит закону сохранения энергии. При растворении тепловая энергия поглощается. Как-то непонятно, что растворяющийся «кусочек» энергии поглощает энергию. Уж если создавать образ, то лучше помещать в «кусок» энтропии «каплю» энергии. Тогда при замерзании «капли» часть энергии будет выделяться, и ее, при желании, можно будет превратить в работу, которая, судя по формулам (1,2), не приводит к изменению энтропии.
Эвристик: Да о чем вы здесь говорите?! Как может энергия переходить в энтропию, если одна измеряется в джоулях, а другая вообще безразмерная, при измерении температуры в энергетических единицах?
Тризер: Здесь нет предмета для разногласий. Энтропия и энергия, как я понимаю, характеризуют разные свойства процессов, происходящих в природе, и
поэтому не обязаны иметь одинаковую размерность. Энергия - это способность совершить работу, отвечает за взаимодействия, энтропия — это способность тепловой части этой способности спонтанно увеличивать вселенский хаос.
Фразер: Ну, здорово, я сразу все понял. «Способность способности» — это как «любить любить», дальше трех «любить» подряд мой разум отказывается воспринимать, но на две «способности» моих способностей еще хватает. Спасибо, что остановился на двух.
Тимофей: У меня есть более существенное замечание по двум уравнениям для энтропии, приведенным Леней. Возьмем адиабатически изолированный сосуд с температурой Т, разделим его пополам перегородкой. Объем уменьшился в два раза, следовательно, по первой формуле ввиду отсутствия теплообмена изменение энтропии равна нулю, а по второй - энтропия должна уменьшиться, так как уменьшается число возможных состояний, которые может занимать система. Далее, уберем из одной половины газ, а затем и перегородку, предоставив газу расширяться из одной половины в пустоту другой. Опять каждая из формул приводит к разным результатам вычисления энтропии. По первой формуле ничего не происходит, так как теплообмен равен нулю, а по второй - число состояний системы существенно возрастает, следовательно, должна расти и энтропия.
Плюс: Отвечаю всем по очереди. Пить энтропию стаканами не рекомендую, как и все остальное. Но твердый или жидкий образ энтропии позволяет подчеркнуть одну из ее существенных черт. Энтропия
- функция состояния системы, так же как и внутренняя энергии, т.е. зависит только от внутренних параметров. Это позволят произвести ее вычисления и для необратимых неравновесных процессов. Для этого достаточно задать какой-либо квазистационарный обратимый изопроцесс, который бы привел систему из начального состояния в конечное. Изменение энтропии в таком процессе легко считается по термодинамическим
зависимостям, и оно будет равно изменению энтропии в необратимом про* цессе. В первой формуле подчеркивается, что изменение связано с тепловой энергией. Одно и то же тепло может в зависимости от температуры содержать разную энтропию и, следовательно, будет приводить к разным результатам. Вторая формула относится уже непосредственно к молекулярной системе, и из нее видно, что энтропия системы, так же как и тепловая энергия, - аддитивная величина. Вероятность независимых событий есть произведение вероятностей, а логарифм произведения есть сумма логарифмов сомножителей. Это ответ на первый вопрос Тимофея. Энтропия половинки сосуда при устайовке перегородки не меняется, а всего сосуда имеет в два раза большую величину. Противоречия во второй задаче Тимофея можно исключить, если понять, что расширения газа в пустоту есть необратимый неравновесный процесс. Для таких процессов, как я уже сказал, первая формула не работает, если только не выбран подходящий обратимый процесс, переводящий газ из одной половинки сосуда в обе. Здесь следует учесть, что при адиабатическом расширении газа в пустоту работы не совершается и внутренняя энергия для идеального газа не меняется. Значит, начальное и конечное состояние обладают одной температурой и в два раза отличающимися объемами и давлениями. При обратимом адиабатном расширении одного и того же количества вещества энтропия, как и следует из формулы (1), не меняется, так как положительный вклад в энтропию, происходящий за счет увеличения объема, в точности компенсируется отрицательным вкладом в нее за счет уменьшения температуры. Но в нашем случае расширение газа в пустоту - процесс необратимый, система замкнута, значит, внутренняя энергия и температура не изменились, а положительный вклад за счет увеличения объема остался, следовательно, энтропия возросла, как и ожидалось в изолированной системе. Так что никаких противоречий в этих определениях нет.
Гепта: Еще раз обращаю ваше внима-
ние: где решение моей задачи? Пока одни разговоры про растущую «способность способностей», и только двое высказались по существу: Эвристик о бессмысленности закона перехода количества в качество и Тризер о главенстве закона единства и борьбы противоположностей. Замечания Эвристика не выдерживают никакой критики. Он слишком примитивно понял закон, возможно, я его слишком бегло сформулировала. Гегель понимал под ним накопление количественных изменений до определенной узловой линии меры и скачкообразный переход к новым качественным свойствам того же объекта. Стая хищников обладает новым качеством по сравнению с одним из них. Она может охотиться на более крупного зверя. Одна электронная лампа, так же как их набор, не эквивалентна приемнику или телевизору. И, наконец, в атомах мы имеем самый наглядный пример перехода количества в новое качество. В этом можно убедиться, взглянув на таблицу Менделеева. В зависимости от количества барионов в ядре имеем разные по своим качествам элементы.
Эвристик: Возражаю, такого я не говорил. Я говорил, что два хищника уже отличаются от одного, так же как две электронные лампы - от одной и два ба-риона - от одного. Настаиваю, что в природе нет никаких качественных скачков, то, что мы называем скачками, есть отражение неполноты информации о всей предыдущей истории накопления количественных изменений.
Гепта: Речь не о том: несложно понять, что увеличение температуры на два градуса по-разному может отражаться на ее свойствах в зависимости от начальной температуры. Если это изменение окажется вблизи нуля градусов или 100 градусов Цельсия, то вода может стать жидкой или газообразной. Нагревание же воды в других диапазонах температур практически не сказывается на ее свойствах.
Эвристик: Ладно, оставлю вас в этом заблуждении, вы думаете, что если видите твердую воду в виде льда, то у жидкой воды нет свойств твердого тела. Да давно уже принято считать, что
вода - это жидкий кристалл.
Фразер: Нельзя сказать, что я поддерживаю Гепту в ее споре с Эвристиком, но ссылаться на то, что мы всегда чего-то не знаем, - это легче всего, думаю, что это запрещенный прием, которым, кстати, уже воспользовался Тимофей, говоря о скрытой симметрии. А скрытый еще может обозначать и то, что и скрывать-то нечего. Так что не надо напускать глубокомысленного тумана на возможную пустоту.
Гепта: Вообще говоря, Гегель предвидел возражение Эвристика и привел его как заблуждение неподготовленного ума. Скачок в диалектическом понимании - это появление новых свойств, отсутствующих до скачка. Не было у льда до таяния способности растекаться по всему объему сосуда. Проявление скачков можно заметить уже в натуральном ряде чисел: вдруг какое-то число 71-107 становится равным числу секунд в году.
Минус: Крупно возражаю, число п иррациональное, и его нельзя свести к натуральному ряду чисел. Но в целом я согласен с тем, что в натуральном ряде можно найти много замечательных чисел, например, число 1024 делится без остатка на 210.
Фразер: У меня есть пустяковая просьба ко всем: не мог бы кто-нибудь привести нам для примера какое-нибудь высказывание самого Гегеля, только не из «Диалектики природы» и «Философских тетрадей».
Тризер: К сожалению, язык произведений Гегеля весьма непрост, и после чтения в памяти мало что остается, но вот не слишком по тексту: «Ничто от некоторого нечто есть некое определенное ничто». Вообще, мне кажется, что мыслей в большинстве философских произведений не так уж много, но говорят о них так долго и с такой подробностью, что прочитать все становится или скучно, или невозможно из-за недостатка времени.
Гепта: Это что? Самокритика. Может, посоветовать всем авторам философских произведений для торопливых вначале
давать пару предложений, в которых сформулировано все, о чем будет говориться. Тогда прочитал эти предложения, если заинтересовался, - читай подробнее, если нет, то довольствуйся кратким содержанием. А по существу кто-то еще добавит к решению поставленной задачи, не касаясь физики и энтропии?
Плюс: Считаю постановку задачи некорректной. Разбиение этих законов и выбор главного из них не имеет никакого смысла. Без отрицания невозможен набор другого количества, а без роли физики и энтропии в законах диалектики остаются одни пустые разговоры. Рост энтропии напрямую связан с противоречиями и возникновением нового качества на пути к хаосу. Именно в движении к абсолютному бытию временно возникают правильные структуры, отвечающие за мышление и жизнь. Если я спрошу: что у человека главнее - руки, ноги или голова? Все взаимосвязано и не работает одно без другого. Другой вопрос, почему в диалектике три закона, а не два и не четыре.
Фантазер: Да до четвертого закона мы еще не доросли, вот будет всеобщая мировая система связи, когда у каждого в кармане компьютер, связанный со всеми остальными компьютерами в мире, тогда человечество и сформулирует четвертый закон диалектики. Если хотите, я вам могу предложить несколько вариантов такого закона.
Гепта: Не сейчас, может, немного попозже. Итак, имеется три варианта решения предложенной мной задачи, если быть точнее, даже два с половиной, так как решение, предложенное Эвристиком, нельзя считать полноценным. Считаю, что наиболее верное решение предложено Леней, несмотря на критику его в мой адрес. Высказывание о том, что наиболее главным и важным законом является закон противоречия, было приведено Энгельсом со ссылкой на Гегеля, но в произведениях Гегеля я этого не нашла. Все три закона у него идут неразрывно вместе. Да, он разделяет противоречия мыслящего существа и бесчувственного камня: они разные, но они есть. Борьба противоположностей при-
водит к отрицанию, качество отрицает количество и наоборот. Камень по своей границе уже не камень, а нечто другое, во что он перейдет при разрушении и, как здесь настойчиво говорилось Леней, при росте энтропии. Мне бы тоже хотелось закрепить все три закона в каком-то образе, но я не могу решиться, какому закону отдать «руки», какому - «ноги», а какому - «голову». Хотя формально «руки»
- это как идет развитие: переход количества в качество, «ноги» - закон отрицания отрицания, отвечающий на вопрос, куда идет развитие, а «голова» - закон единства и борьбы противоположностей. Свести все три закона в один, конечно, невозможно, они, как сказал бы Эвристик, имеют разную размерность. А если закончить мысли о красоте, то я бы сказала теперь так: красота - это мера симметрии. Именно не количество, а мера, в которую входит показатель качества, лишающий количество его монотонного и пропорционального изменения.
Реализовать инструментально-педагогическую часть приведенного отрывка полилога можно по-разному. Один из проверенных на занятиях способов реали-
зации заключался в использовании метода малых групп. Группа учащихся делилась на две примерно равные части, из которых выбирались два человека в жюри. Обычно жюри состояло из преподавателей и наиболее способных учащихся, уровень знаний которых существенно превышал средний. Оставлять таких учащихся в группах было нельзя, так как в этом случае большая часть группы выключалась из работы. Внутри группы в соответствии с приведенным списком действующих лиц выбирались: Эвристик, Тимофей, Гепта и т.д. Учащиеся должны были придумать ответ на поставленный вопрос за того героя, которого они в данном случае представляли. Лучшие ответы обычно отмечались призом, открыткой с подписью жюри или книжкой. Все члены команды-победителя получали в журнал оценку «отлично». Таким образом, осуществлялась командная и личная заинтересованность. Приведенный здесь отрывок выступает в качестве контрольного, в который вошли лишь некоторые высказывания учеников. Полный текст их высказываний зачастую более интересен.
