CC BY
57Проблема структуры универсальной логики1
В.Л. Васюков
abstract. The subject of the inquiry is the nature and the structure of the general universe of possible combinations of logical systems. Some categorical constructions are introduced which along with the coproducts underlying the fibring of logics describe the inner structure of the category of logical systems. It is shown that categorically the universe of universal logic turns out to be a paraconsistent complement topos.
Введение
Интерес к комбинированию логических систем в последнее время привел к публикации множества статей, посвященных этому вопросу (см. [3, 13, 14, 19, 20]). Многочисленные исследования в этой области используют расслоение — самый общий механизм комбинирования логических систем, предложенный Д. Габба-ем [10]. Расслоение может применяться не только к модальным системам, по pi в случае основных логических систем. Область этих логик достаточно богата, чтобы проиллюстрировать наиболее интересные свойства расслоения pi спабдртть пас базртсом для комбртацрш логртческртх сртстем пачртпая от рттурщотшстскртх pi закапчршая мпогозпачпымр! логрткамрт (включая в себя модальные сртстемы в качестве частного случая) [4, 8, 10, 17, 21].
В областрт основных логртческртх сртстем копструртроватше рас-слоетшя не вызывает особых затрудпетшй. Более ртптереспым случаем было бы, по-врщршому, ртсследоватше прртроды pi структуры общего утшверсума возможных комбртатщй всех логртче-ckpix сртстем. И здесь па помощь прртходртт котщепцрга универсальной логики (см. [о, 6]), позволяющая выдвртуть гртпотезу отпосрттелыго структуры подобного утшверсума. Утшверсальпая
'Работа поддержана РГНФ. Грант Л® 06-()3-()0195а.
логика представляет собой общую теорию логик, рассматриваемых как особая разновидность математических структур, по аналогии с тем, как универсальная алгебра рассматривает конкретные алгебраические системы. Переходя па точку зрения универсальной логики, нетрудно прийти к заключению, что теорети-ко-категорттый подход, когда логические системы объединяются в категорию специального вида, снабжает нас некоторым фундаментом для исследования универсума универсальной логики. В статье эта проблема решается путем введения категорттых конструкций, которые наряду с копроизведеттиями, лежащими в основе расслоения логик, описывают внутреннюю структуру категории логических систем. Главной целыо является демонстрация того факта, что универсум универсальной логики оказывается пара непротиворечивым дополняющим топосом.
Во втором параграфе формулируется понятие категории Log логических систем, которая будет использоваться в качестве основного инструмента па всем протяжении исследования.
В третьем параграфе рассматриваются копроизведения в Log, чья конструкция лежит в основании техники расслоения логических систем. Показано, что неограниченные расслоения являются, по сути дела, копроизведеттиями в Log.
Действуя дуально предыдущему случаю копроизведеттий, в четвертом параграфе вводится понятие произведений, спетцт ал ь-ттый случай требуемой ттам конструкции расслоенного произведения, и понятие уравнителя (с точностью до изоморфизма). Показывается, что неограниченные индексирования представляют собой произведения в Log. Приводятся некоторые примеры логических систем, являющиеся произведениями.
В пятом параграфе рассматривается конструкция коэкспонен-циала, дуального обычному экспоттетттцталу в декартовых категориях. Вводится понятие возможной переводимости, основанное тта технике семантики возможной переводимости, и показывается, что возможные переводимости представляют собой коэкс-поттетттцталы в Log. В качестве примера подобного подхода рассматривается возможная переводимость трехзначной логики Р1 в классическую логику.
Наконец, путем использования понятия дополняющего классификатора, разработанного К. Мортеттсеттом, показывается, что
Log является дополняющим топосом, т.е. декартовой козамктту-той категорией с дополняющим классификатором подобъектов. Поскольку, согласно Мортеттсепу, дополняющий топос соответствует парапепротиворечивой логике, основывающейся па брау-эровой алгебре, так же как обычный топос соответствует интуиционистской логике, основывающейся па алгебре Гейтиттга, то утверждение о том, что Log по своей природе является дополняющим топосом, позволяет развить параллель с хоропто известным результатом А. Тарского о том, что рептетка всех элементарных теорий классической логики является брауэровой алгеброй.
1 Логические системы и пространства теорий
Опишем основной формализм, служащий фундаментом дальнейших исследований. Следуя [7, р. 101-103], рассмотрим логический язык, который свободно порожден некоторой сигнатурой, включающей в себя, как это обычно делается, конструкторы различной местности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Сигнатура представляет собой индексированное множество Е = {Ега}гае^, где каждое Еп является парным конструктором.
Будем считать, что множество пропозициональных переменных включено в Е0.
Е
будет обозначаться Ls, строится индуктивно обычным способом:
• Е0 С Ls;
• есл и п £ N £ Ls и c £ Еn, то c(<pi,..., £
Ls-
Будем называть Е-формулами элементы Ls, или просто форЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Логическая система является парой L = (Е, Ь), где Е есть сигнатура, а Ь представляет собой оператор
Ls
есть, Ь: 2Le ^ 2Le является функцией, обладающей следующими свойствами для каждых Г, Ф С Ls-
Экстенсивность: Г С Г";
если Г С Ф, то Г1" С Ф1";
Идемпотентность: (Г")" С Г".
Здесь Г" есть множество следствий Г. Для сохранения общности не будем требовать здесь и в дальнейшем, чтобы оператор присоединения следствий был финитным, и тем более структурным.
Поскольку нам потребуется принимать во внимание выразительную силу данной логической системы, нам придется ссылаться па ее логические связки (примитивные или производные). Будем считать раз и навсегда зафиксированным множество 2 = метапеременных. Для данной сигнатуры £ и к € N будем рассматривать множество Ь^ определенным индуктивно:
• }С Ь|;
• £0 С Ь|;
• если п € N ф1, ... ,фп € Ь^ъ с € £п,то с(ф1,..., фп) € Ь|.
Очевидным образом Ь^ = Ь^. Для данного фп € будем записывать как ф(£Дфь • • • ,£к\фк) формулу, получаемую из ф одновременной заменой каждого вхождения £1 в ф на фг для каждого г < к.
Производная связка местности к € N является А-термом d = А£1,..., £кгде ф € Ь|. Обозначим через БС^ множество всех производных к-местных над £. Отметим, что если с € £п является примитивной связкой, то она также может рассматриваться как производная связка с = А£1,..., £к.с(£ь ..., £к)■ Для данной производной связки d = А£ь ..., £к.ф будем писать d(фl,..., фп) вместо ф(£ДФъ..., £к\фк)■
Различные языки, порожденные различными сигнатурами, могут переводиться друг в друга с помощью понятия морфизма, когда примитивные связки одной сигнатуры отображаются в производные связки другой сигнатуры с сохранением соответствующей местности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Для данных сигнатур Е1 и Е2 морфизм сигнатур Н : Е1 ^ Е2 является М-индексированным семейством функций Н = {Нп : ЕП ^ ОСП2 }пен-
Для данного морфизма сигнатур Н : Е1 ^ Е2 определяем его
свободные расширения h : L|1 — L|2 для k £ N, следующим образом:
• h(ii) = {i, если { £ S;
• h(c) = h°(c), если c £ Е?;
• h(c(ipi,..., фи)) = h°(c)(h(^i),..., h(ipn)), если c £ Е™.
h
требованиям, будем называть унифицированной.
Сигнатуры PI Pix морфизмы образуют категоррпо Sig с тождествами ids : Е? — Е2, такими, что для каждого n £ N и c £ Еп idS(c) = Xi?,...,ik-c(ii) а композиция морфиз-мов сигнатур f : Е? — Е2 и g : Е2 — Е3 будет определяться как g о f : Е? — Е3, такая, что (g о f )n(c) = ,..., £n.g(p), полагая, что fn(c) = \{l,...,Cn.<f-
Удобство использования унифицированных переводов сказывается nppi формулировке потштрш морфизма между логическими системами. Для данной функции h : Ls1 — Ls2 с Ф С Ls1 мы будем рассматривать множество h[Ф] = {h(<p) : ф £ Ф}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть L? = (Е?, h?) и L2 = (Е2, ^2) будут логическими системами. Морфизм логических систем h : L? — С2 представляет собой морфизм сигнатур h : Е? — Е2, такой, что Л^Ф1"1 ] С ^.[Ф]"2 для каждого Ф С LSl.
Логические системы pi pix морфизмы образуют конкретную категоррпо Log над Sig. Уместно напомнить следующую хорошо известную полезную лемму.
ЛЕММА 6. Пусть L? = (Е?, h?) и С2 = (Е2, h2) будут логическими системами, ah : L? — L2 — Ьод-морфизмом. Тогда Л[Ф"1 ]"2 = Л[Ф]"2 для каждого Ф С LSl.
Теорией логической системы L = (Е, h) является, как обычно, множество Ф С Ls, такое, что Ф" = Ф. Обозначим как
ТН(С) множество всех теорий С. Хорошо известно, что множество ТН(С), упорядоченное по отношению включения, всегда является полной решеткой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пространство теорий есть полная решетка 1вр = {ТН, <), то есть частичный порядок < на множестве ТН, такой, что каждое Т С ТН имеет наименьшую верхнюю грань Т
В частности, для данной логической системы С = {£, Ь) структура 1врс = {ТН(С), С) всегда будет пространством теорий (см., напр., [11]). Более того, переводы языков, ассоциированные с морфизмами логических систем, всегда действуют па операторы присоединения следствий таким образом, что в соответствующих пространствах теорий сохраняются пересечения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть гвр1 = {ТЪ,1, <1) и гвр2 = {ТЬ,2, <2) будут пространствами теорий. Морфизм пространств теорий Н : 1вр1 ^ 1вр2 представляет собой функцию Н : ТН1 ^ ТН2 такую, что Н(\/ 1Т) = \/2 Н[Т] для каждого Т С ТН.
Следующая формулировка представляет собой хорошо известную полезную лемму.
ЛЕММА 9. Пусть гвр1 = {ТН1, <1) и гвр2 = {ТЪ,2, <2) будут пространствами теорий и Н : Ьвр1 ^ Ьвр2 будет морфизмом
Н
Ф, Г € ТН1 Ф <1 Г Н(Ф) <2 Н(Г)
Пространства теорий и их морфизмы образуют категорию Тер с обычными тождествами и композицией функций. Более того, определение пространства теорий, индуцированного логической системой, может быть расширено па случай функтора.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отображения
• ТН(Н : А ^ С2) : Ьвр1 ^ Ьвр2, с ТН(Н)(Ф) = Н[Ф]Ь в С2 = {£2, Ь2) для каждого Ф € ТН(С{),
образуют функтор ТН: Ьоg^Tsp.
ТН
функтор, но этот факт нам здесь не понадобится.
2 Копроизведения и расслоения в Log
В [4, р. 153] указывается, что категория Sig является хорошо
N
N
дующее предложение:
УТВЕРЖДЕНИЕ 11. Категория Sig является (малой) копол-ной категорией.
В частности, в Sig имеются копроизведения и амальгамы. Первые позволяют нам объединить две сигнатуры с различными конструкторами, в то время как последние могут быть использованы для объединения конструкторов. Определим копроизведения, требуемый нам специальный случай конструкции амальгам рт коуравтштель (с точностью до изморфизма) следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Копроизведение двух сигнатур Е? и Е2 представляет собой сигнатуру Е? фЕ2, наделенную инъекциями i? : Е? — Е? ф Е2 и i2 : Е2 — Е? ф Е2, такими, что для каждого k £ N:
• (Е? ф Е2)к является дизъюнктным объединением Ек и
• ik и ik являются инъекциями Ек и Ек на (Е? ф Е2)к соответственно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Амальгама двух ипъективпых морфиз-мов сигнатур с одним и тем же началом f? : Е — Е? и f'2 : Е — Е2 есть сигнатура Е? ф/1Е/2 Е2, морфртзмамрт
g? : Е? — Е? ф/1Е/2 Е2 и g2 : Е2 — Е? ф/1Е/2 Е2, такими, что для каждого k £ N:
• (Е? ф/1Е/2 Е2)к есть Ек U ik (Ек\Ь(Ек)) U ik (Ек ШЕк));
( ;к/„л
• g\(c?) =
iftd), если c? £ f\ (Ек)
(fi)-?(c ?) B противном случае,
к
и аналогично для gl,.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Коуравнителем двух морфртзмов сигнатур с одним и тем же началом и концом /,д : Е ^ Е 1 является
сигнатура £1/ =f'9, снабженная морфизмом q : £1 ^ £1/ =f'g, таким, что
• (£1/ =f'9)к есть фактор-множество £k(=f'g)k, где (=f'g)k является наименьшим отношением эквивалентности на £k, содержащим {(fk(c), gk(c)) : c £ £k};
• qk(c1) является (=f'g^-классом эквивалентноеmu для c1 £ £k.
Амальгамы существуют, если даже мы не предполагаем, что f 1 и f2 являются инъекциями. Что касается коуравнителя, то каждый коуравттитель является, в сущности, семейством сто-рьективттых отображений. В дальнейшем оказывается полезным следующий факт: амальгама двух морфизмов f : £ ^ £1 и f2 : £ ^ £2 может быть получена путем построения вначале копро-изведения £1 ф £2, снабженного инъекциями ¿1 : £1 ^ £1 ф £2 и ¿2 : £2 ^ £1 Ф £2, а затем конструированием коуравнителя ¿1 о f 1 и ¿2 о f2-
Для рассмотрения неограниченных расслоений в Log мы используем конструкторы и операторы присоединения следствий из обеих логических систем. Заметам, что метаперемеппые играют важную роль в получении точной конструкции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Пусть L = (£1, — 1) и L = (£2, —2) будут логическими системами. Тогда их неограниченным расслоением является логическая система (£1,1-1) ф (£2, —2) = (£1 Ф £2,—192) где 1-1ф2 есть оператор присоединения следствий —1®2: 2Li1(s1)ui2(s2) ^ 2Lii(Ei)ui2(E2) и i1,i2 являются инъекциями ко-£1 ф £2
УТВЕРЖДЕНИЕ 16. Неограниченные расслоения являются ко-произведениями в Log.
Доказательство. 1) Инъекции i1 и i2 являются морфизма-ми в Log согласно определению о. 2) Универсальность. Пусть h : (£1,-1) ^ (£3, -э),^2 : (£2, -2) ^ (£3, —з) будут произвольными морфизмами в Log. Пусть к : £1 ф £2 ^ £3 будет единственным морфизмом в Sig, таким, что к о ¿1 = h-1 и к о ¿2 = h-2-
к
ственный такой, что к о ¿1 = h-1 и к о ¿2 = h. Q.E.D.
Когда ттадо совместно использовать (объединить) конструкторы, то расслоение ограничивается за счет введения какого-то взаимодействия между двумя логическими системами. Техника подъема морфизмов по кодекартовому квадрату снабжает пас средствами получения объединения, определенного па уровне сигнатур.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Пусть L? = (Е?, -?) и L2 = (Е2,1-2) бу-
f1 : Е — Е 1 , f2 : Е — Е 2
штъективпыми морфизмами сигнатур. Тогда Pix ограниченным совмещенным расслоением является
(Е?,-?) ф^/2 (Е2, -2) = 9((Е?,-?) ф (Е2, -2)),
где q : Е? ф Е2 — Е? ф^/2 Е2 является коуравнителем i? о f?: Е — Е? ф Е2 и i2 о f2: Е — Е? ф Е2.
Совмещение логических операторов отражается, в первую очередь, па синтаксисе расслоенной логики. Но поскольку допускается совмещение как пропозициональных символов, так и логических операторов, то совмещение логических операторов дает нам способ наложения ограничений путем постулирования взаимодействия между двумя логиками. Примеры (внося соот-ветствугопще изменения) можно найти в [20].
3 Произведения и индексирование в Log
Опять, поскольку категория Sig представляет собой хоропто из-
NN
хранятощртх индексирование отображений, то как следствие справедливым будет следующее предложение.
УТВЕРЖДЕНИЕ 18. Категория Sig является (малой) полной категорией.
В частности, в Sig имеются произведения и обратные образы. Действуя дуально случаю копрортзведетшй, определим прортзве-детшя, специальный случай требуемых нам обратных образов и уравнитель (с точностью до изоморфизма) следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 19. Произведение двух сигнатур Е? и Е2 представляет собой сигнатуру Е? ® Е2, снабженную проекциями pr? : Е? ® Е2 — Е? и pr2 : Е? ® Е2 — Е2, такими, что для каждого k £ N:
• (Ei ® Е2)2 есть Е2 х Е2;
• рт^ъ pr2> являются инъективными проекциями (El ® E2)k вЕ{ и Е2 соответственно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Обратный образ двух иттъективттых мор-физмов сигнатур с одинаковым концом /1 : Ei ^ Е и /2 : Е2 ^ E есть сигнатура Ei ®flSf2 E2, снабженная морфизма-ми gi : E1 ®flSf2 Е2 ^ Ei и g2 : E1 ®flSf2 Е2 ^ Е2, такими, что для каждого к Е N:
• (Ei ®flSf2 Е2)2 есть {(pr2((ci,C2)),pr2(<ci,02)) : /2(ci) = /2 (ci)}
• gf2 (<Ci,C2)) = Ci,g2 (<ci ,C2)) = C2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Уравнитель двух сигнатур с одинаковым началом и концом /,g : Ei ^ Е2 является сигнатурой Е, снабженной морфизмом q : Е ^ Ei, таким, что
• Е2 является множеством {c Е Е2 : /2(ci) = g2(ci)};
• /2 о q2 = g2 о q2.
Следующий факт пригодится в дальнейшем: обратный образ двух морфпзмов /i : Ei ^ Е и /2 : Е2 ^ Е может быть получен вначале построением произведения Ei ® Е2, снабженного проекциями pri : Ei ® Е2 ^ Ei и pr2 : Ei ® Е2 ^ Е2, а затем получением уравнителя /i о pri ж /2 о pr2-
Рассмотрение неограниченного индексирования (unconstrained labelling) в Log (понятие индексированных дедуктивных систем см. в [17] ) требует использования конструкторов pi операторов присоединения следствий из обеих логических систем. Заметам, что использование метаперемеппых необходимо для точности конструкции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. Пусть А = (Ei, h) и А = (Е2, Ь) будут логическими системами. Тогда их неограниченное индексирование представляет собой (Ei, hi) ® (Е2, ^2) = (Ei ® Е2, bi®2), где hi02 является оператором присоединения следствий h^:
2Vi(Ei®E2)xPr2(£i®E2) ^ 2LPr1(E1®E2)XPr2(Sl®S2^ pri,pr2 ЯВЛЯЮТСЯ проекциями произведения Ei ® Е2.
УТВЕРЖДЕНИЕ 23. Неограниченные индексирования являются произведениями в Log.
Доказательство. 1) Проекции pri и pr2 являются морфизма-ми в Log согласно определению о. 2) Универсальность. Пусть hi : (S3, Ьз) ^ (Si, hi), h2 : (S3, Ьз) ^ (S2, будут произвольными морфизмами в Log. Пусть к : S3 ^ Si ® S2 будет единственным морфизмом в Sig, таким, чторг!ок = hi и pr2о к = h2-
к
ственный морфизм, такой, что pri о к = hi и pr2 о к = h2- Q.E.D.
Если нам нужно отождествить конструкторы, то мы накладываем ограничение па индексирование с помощью введения взаимодействия между двумя данными логическими системами. Средствами получения отождествления па уровне сигнатур снабжает пас техника подъема морфизмов по декартовому квадрату.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Пусть А = (Si, hi) и L = (S2, Ь) будут логическими системами и fi : Si ^ S, f2 : S2 ^ S будет инъек-тивттым морфизмом сигнатур. Тогда их ограниченным индексированием является (Si, (S2, Ь2) = q((Si, hi)®(S2, Ь2)), где q : Si ®flSf2 S2 ^ Si ® S2 является уравнителем fi о pri : Si ® S2 ^ S и f2 о pr2 : Si ® S2 ^ S.
Отождествление логических операторов прежде всего отражается па синтаксисе логики с индексированием. Но поскольку мы допускаем отождествление как пропозициональных символов, так и логических операторов, то отождествление логических операторов может снабдить пас способом формулировки некоторого взаимодействия между двумя логиками.
ПРИМЕР 25. k-дедуктивные системы.
2-мерпая дедуктивная система (или 2-дедуктивттая система для краткости) [11, р. 51] является логической системой (S, Ь2), где S = Si ® Si и Ь2: 2Leixei ^ 2LEixEi является оператором присоединения следствий, таким, что
• если (ф, ф) £ П, то П Ь2 (ф, ф),
• если для каждой (ф,ф) £ Ф, П Ь2 (ф,ф) и Ф Ь2 (5,е), то П Ь2 (6,е),
• если Ф Ь2 (ф,ф) и Ф С ^оП Ь2 (ф,ф).
Для каждого к > 0 к-дедуктивные системы или к- мерные дедуктивные системы определяются путем замены в определении 2-дедуктивной системы пар формул последовательностями фор-кк
видпые изменения.
ПРИМЕР 26. Следуя общему рецепту для индексированной дедукции в [22] рассмотрим логические системы:
• £2 = (£2,—2), где £ есть множество истинностных значений с выделенным значением Т, £2 = {П°} и —2 соответствует < (следовательно, в —2 Т, и мы будем писать
= в2 в том случае, когда —2 в2 и в2 —2 в!)]
• £1 = (£1,1-1), где £° является множеством пропозициональных переменных, £1 = {—, □}, £ = {э, Л, V} и -1 есть соответствующий фрагмент оператора присоединения следствий модальной логики.
£1 £2
ся в рамках системы (£1, -1) ® (£2, —2) = (£1 ® £2, —102), гДе £1®£2-формулы имеют форму в : ф (что означает, что истинное значение ф больше или равно в)- —102: 2Ьрг1(Е1®Е2)Хрг2(£1®£2) ^ 2Ьрг1(£1®£2)хрг2(£1®£2) является оператором присоединения следствий, таким, что (записываем в :: ф, если для каждого в1 мы имеем в1 = в2 : ф):
• в : ф £ П, тогда П —102 в : ф,
• если для каждой в : ф £ Ф, П —102 в : ф и Ф —102 5 : ф, то П —102 5 : ф,
• если Ф —102 в : ф и Ф ^ ^оП —102 в : ф,
• если для каждой в1 : ф £ Ф,в1 : ф —102 в2 : ф, то в2 : ф £ Ф
• :: ф —102 в :: ф,
• в : □ф —102 :: ф-
Содержательно последние два случая означают, что формула истинна, по меньшей мере, во множестве миров в тогда и только тогда, когда формула <р истинна во всех мирах, достижимых для миров из в, что подразумевает □°в.
4 Коэкспоненциалы и возможная переводимость в Log
Предлагаемый подход сталкивается с непреодолимыми трудностями, если попытаться определить экспопептщроватше в Log обычным образом. Дело в том, что общепринятое понимание экспоненциала AB как множества всех отображений из B в A (по крайней мере в Set) в нашем случае приводит к «логике» всех переводов из одной логической системы в другую. Однако трудно сказать что-либо определенное о такой конструкции или понятии. Поэтому нам следует либо отказаться от продолжения исследования, либо сменить направление рассмотрения.
Выход заключается в использовании дуальных понятий. Мы говорим, что категория допускает коэкспоненцирование, если в пей существует копроизведеттие любых двух объектов pi для двух произвольных объектов a, b всегда имеется объект ab, называемый коэкспоненциалом, и стрелка ev° : b ^ ab + a (кооценка), такая, что для любого объекта с и стрелки g : b ^ с + a существует стрелка g : ab ^ с, такая, что (g + ida) о ev° = g.
Как пример категории с экспопетщироватшем обычно рассматривают алгебру Гейтипга, взятую категорпо (то есть как категорию предпорядка с произведениями pi копроизведепиями), где экспоненциалом будет импликация Гейтипга, являющаяся псев-
ab категоррш с коэкспопетщироватшем в этом случае можно рассматривать алгебру Брауэра, где в роли коэкспопептцтла выступает брауэровская импликация a b, являющаяся псевдо-ba
roppipi с экспопетщироватшем pi коэкспопетщироватшем будет так называемая алгебра Гейтипга—Брауэра, представляющая собой алгебру Гейтипга, пополненную брауэровской импликацией (см. [18]). '
Конечно, в категории Set конструкция коэкспопептщала будет выглядеть гораздо более сложной, например, мы можем pic-
пользовать с этой целыо так называемые антифункции (согласно [16J антифункция g^ : X ^ Y является бинарным отношением между X и Y, чьим обратным отношением будет функция g : Y ^ X). Вообще, если мы можем с каждым переводом из одной логической системы в другую связать отношение (апти-фупкцито), то это дает нам возможность рассмотреть конструкцию коэкспопепциала. А в случае, когда антифупкция является обратной функцией (если принять во внимание, что функции представляют собой частный случай отношений), конструкция коэкспопепциала превращается в конструкцию, полученную с помощью обратных функций.
Техника семантики возможной переводимости (см. [9]) подсказывает нам конструкцию коэкспопепциала в Log.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Коэкспоненциалом двух сигнатур £i и £2 является сигнатура £i с функцией кооценки ev° : £i ^ £iф ф£2 такой, что для каждого k Е N:
• (^2£1)fc есть множесmeo O = {Ora}raeN реляционных бинарных операторов и язык реляционных формул Lo представляет собой множество o(c2, ci) для всex o Е O и ci Е £k,С2 Е £k;
• (ev°)k является биекцией, причем (ev°)k(ci) = o(c2,ci) или (ev°)k(ci) = c2 в противном случае (где o Е O , ci Е £k,c2 Е £k).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Коэкспоненцированием морфизма сигтта-тур g : £i ^ £3 ф£2 является сигнатура £i ф£2 с морфизмом g : S2£i ^ £3, таким, что для каждого k Е N:
• (g + idS2) о ev° = g;
• Qk(ci) = ! (ev°)k(ci), ecли(ev°)k(ci) Е £k
\ g((ev°)k(ci)) в противном случае.
Чтобы рассмотреть возможную переводимость в Log, нам требуются конструкторы pi операторы присоединения следствий из обеих логических систем. Вновь существенным является использование метан временных, позволяющее сделать конструкцию точной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Пусть Li = (Ei, hi) и А = (Е2, I-2) будут логическими системами. Тогда возможной переводимостью из Li в L2 будет (^2 Ei ф Е2, Ьд^)), где Ьд^) означает Ьд^): 2Lot°(ei)ue2£i ^ 2Lev°(ei)ue2ei и ev° есть морфизм кооценки в Sig.
УТВЕРЖДЕНИЕ 30. Возможные переводимости являются ко-экспоненциалами в Log.
Доказательство. 1) Кооцеика является логическим морфиз-мом в Log согласно определению о. 2) Универсальность. Пусть g : Ei ^ Е3 ф Е2 будут морфизмами в Log. Пусть g : S2Ei ^ Е3 будет единственным морфизмом в Sig, таким, что (g + id^2) о ev° = g. Тривиальным образом g является таким единственным морфизмом в Log, что (g + id^2) о ev° = g. Q.E.D.
Мы можем улучпшть pi уточнить перевод, налагая огратшче-ттртя па свободные расширения морфизмов между двумя даппы-mpi Л0гр1ческр1мр1 сртстемамрь
ПРИМЕР 31. Возможная переводимость трехзначной логики P1 в классическую логику.
Рассмотрим логические системы (см. [9|):
• L3 = (Ei,hi) (трехзначное паранепротиворечивое исчисление P1), где Ei есть множество пропозициональных переменных, Ei = {—3}, Ei = {D3, Л3, V3} и hi является оператором присоединения следствий трехзначной логики P1;
• Lpc = (Е2, Ь2) (классическая логика), где ЕЦ есть множество пропозициональных переменных, Е2 = {—}, Е2 = = {D, Л, V} и Ь2 является оператором присоединения след-ctbpipi классической логики.
Перевод g : L3 ^ L3 ф Lpc можно было бы определить в части, касающейся Е^, как g(—3) = —, g(^) =^,g(Лз) = Л, g(V3) = V. Свободное расширение морфизма g : Е1 ^ Е3 ф Е2 определяется следующими условиями:
• g(p) = Р Для атомарного р,
• g(-3V>) = — g(<fi) Для неатомарной <р,
• д(ф Da ф) = д(ф) D д(ф).
Свободная переводнмость L^ Lpc есть экспоненциал (^2 £1 ф £2,1 (1,2)) и мы определяем
• д(01(ф,р)),д(02(ф,р)),д[Г] Ьз®2 р в случае, если д(01(ф,р)), д[Г] Ьз®2 ^и g(o2(ф,р)), д[Г] Ьз®2 p (для атомарного р),
• д(01(ф,р)),д(02(ф,р)),д[Г] Ьз02 д(-зр) если <7(oi(^,p)),
д[Г] Ьз02 д(-зр) или д(02(ф,р)), д[Г] Ьз02 д(-зр) (для ато-р
• д(01(а, -зф)),д(02(ф, -зф)),д[Г] Ьз®2 д(-зф) тогда и только тогда, когда д(01(а, -зф)), д(02(ф, -зф)), д[Г] ^з®2 д(ф) (для неатомарной ф),
• д(01(а,ф D ф)), д(02(т,ф Эз ф)), д[Г] Ь®2 д(ф Эз ф) тогда и только тогда, когда д(01(а,ф Эз ф)), д(02(т,ф Эз ф)) д[Г] ^з®2 д(ф) или д(01(ст,ф Эз ф)), д(02(т,ф Эз ф)), д[Г] Ьз02 д(ф) (для любых ф и ф).
Очевидным образом подобные условия дают нам синтаксическую версию семантики возможной переводимости из [9], если
мы определим Г | A тогда и только тогда, когда д[Г] Ьз®2 д(В) д
5 Log как дополняющий топос
На основании предыдущего рассмотрения мы можем прийти к выводу, что Log является по крайней мере биполпой категорией (в качестве терминального объекта мы можем рассматривать логическую систему L1 = (£, h^, где £0 = {Т} и £1 = 0 для k > 0 a h является таким, что 0h = {Т}, в то время как за начальный объект принимается пустая сигнатура). Единственной проблемой является то обстоятельство, что в отличие от Set мы получаем не декартову замкнутость (поскольку Log не допускает экспопепцировапия), по лштть кодекартову замкнутость. Конечно мы можем получить экспоненциал, строя его из тех отношений из конструкции коэкспопепциала, которые являются функциональными отношениями (с соответствующей дуализа-цией морфизмов). Но в этом случае экспоненциал оказывается
частичном конструкцией — ситуация, сразу же отличающаяся от обычного категорного способа рассмотрения.
Тем не менее это еще не окончательный результат, несмотря па то что декартова козамкттутость Log, по-видимому, закрывает дорогу для дальнейшего продвижения в нужном нам направлении. На первый взгляд кажется, что пет пи малейптей возможности получить структуру топоса в Log, поскольку, согласно определению топоса, последний представляет собой декартово замкнутую категорию с классификатором подобъектов.
Но здесь па помощь приходит интересный факт, касающийся классификатора подобъектов: К.Мортеттсеп в [15] ввел понятие дополняющего классификатора как инструмента рассмотрения парапепротиворечивости в теории топосов. Его определение выглядит следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. В категории С дополняющий классификатор является C-стрелкой false : 1 ^ П, где для любой монострелки f : a ^ b имеется одна и только одна С-стрелка b ^ П, обозначаемая Xf> превращающая следующую диаграмму
C
f
false
b
Xf П
a
1
Мортепсеп показал, что дополняющий классификатор в топ осе Set неотличим (с помощью теоретико-категорттых методов) от стандартного классификатора подобъектов, что они изоморфны. Таким образом, в Set всегда присутствует паранепротиво-речивость ввиду наличия обоих типов классификаторов подобъектов. Более того, справедливо следующее предложение.
УТВЕРЖДЕНИЕ 33. Дополняющие топосы отвечают паране-противоречивой логике, основывающейся на брауэровой алгебре, аналогично тому как топосы отвечают интуиционистской логике, основывающейся на алгебре Рейтинга.
Поскольку топосы отвечают интуиционистской логике, отражая структуру алгебры Рейтинга в строении классификатора
под объектов, то в дополняющем топосе дополняющий классификатор отражает соответственно структуру брауэровой алгебры. Отсюда нам требуется как раз дополняющий классификатор, а поскольку Log не является декартово замкнутой категорией, то, собственно говоря, присутствие обычного классификатора подобъектов необязательно. Иными словами, Log должна быть лить дополняющим топосом, что подразумевает декартово козамкпутую категорию с дополняющим классификатором. Как следствие нам нужно рассмотреть только диаграмму дополняющего классификатора Мортеттсепа.
УТВЕРЖДЕНИЕ 34. Log является дополняющим топосом.
Доказательство. Определим Q = (£, Ь), где £0 = {Т, £1 =
{-}, £2 = { <== , А, V} a h соответствует < в брауэровой алгебре (в частности, 0h = {±}). Поскольку 1 = (£, Ь^, где £0 = {Т} и £1 = 0 для k > 0, а Ь таков, что 0h = {Т}, то false(T) =±. Остальное очевидно. Q.E.D.
Выражаясь более точно, Log будет паранепротиворечивым дополняющим топосом. Фактически эта глобальная структура накладывается па универсум универсальной логики, если мы в качестве последней подразумеваем общую теорию логических систем. И конечно же, полученная структура не исчерпывает всех возможностей дальнейшего анализа, окончательно закрывая тему исследования.
Литература
[1] Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики. М.: 1983.
[2] Расква Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М.: 1972.
[3] Armando A. (ed.). Frontiers of combining systems. Lecture Notes in Computer Science, V. 2309 Berlin, 2002.
[1] Bander F. and Schulz K. U. (eds.). Frontiers of combining systems, Applied Logic Series. V. 3. Dordrecht, 1996 (Papers from the First International Workshop (FroCoS'96) held in Munich, March 26-29, 1996)
[5] Beziau J.-Y., de Freitas R.P., VianaJ.P. What is Classical Prepositional Logic? (A Study in Universal Logic) // Logical Investigations, V. 8, 2001. P. 266-277.
[6] Beziau J.-Y. From Consequence Operator to Universal Logic: A Survey of General Abstract Logic // Logica Universalis. J.-Y. Beziau (ed.). Basel, 2005. P. 3-18.
[7] Caleiro C., Gougalves R. Equipollent Logical Systems // Logica Universalis. J.-Y. Beziau (ed.). Basel, 2005. P. 99-111.
[8] Caleiro C., Carnielli W.A., Coniglio M. E., Sernadas A., and Sernadas C. Fibring non-truth-functional logics: Completeness preservation // Journal of Logic, Language and Information. V. 12 № 2. 2003. P. 183-211.
[9] Carnielli W. Possible-Translations Semantics for Paraconsistent Logics // Frontiers of Paraconsistent Logic / D. Batens et al (eds.). Baldock, TIerfordshire, 2000. P. 119163.
[10] Goniglio M.E., Sernudus A., and SernudusG. Fibring logics with topos semantics // Journal of Logic and Computation. V. 13. № 1. 2003. P. 595-621.
[11] Font J.M., Jansanu R., Pigozzi D. A Survey of Abstract Algebraic Logic // Studia Logica. Vol. 71, No 1/2, 2003. P. 13-97.
[12] Gubbuy D. Fibred semantics and the weaving of logics: part 1 // Journal of Symbolic Logic. V. 61. № 1. 1996. P. 1057-1120.
[13] Gubbuy D. uiid Pirri F. (eds.). Special issue on combining logics // Studia Logica, V. 59. № 1,2. 1997.
[11] Kirchner II. and Riugeisseu C. (eds.). Frontiers of combining systems. Lecture Notes in Computer Science. V. 1791. Berlin, 2000.
[15] Morteuseu G. Inconsistent Mathematics. Dordrecht, 1995.
[16] Prutt V.R. Rational Mechanics and Natural Mathematics // Proc. TAPSOFT'95, LNCS V. 915. Aarhus, Denmark, May 1995. P. 108-122.
[17] Rusgu J., Sernudus A., Sernudus G. and Vigand L. Fibring labelled deduction systems // Journal of Logic and Computation. V. 12. № 3. 2002. P. 1 13-173.
[18] Ruuszer G. A Formalization of the Prepositional Calculus of TI-B-logic // Studia Logica. V. 33. № 1. 1973. P. 23-31.
[19] de Rijke M. and Bluckburn P. (eds.). Special issue on combining logics // Notre Dame Journal of Formal Logic, V. 37. № 2. 1996.
[20] Sernudus A., Sernudus G., Guleiro G. Fibring of Logics as a Categorial Construction // Journal of Logic and Computation. V. 9. № 2. 1999. P. 1 19-179.
[21] Sernudus G., Rusgu J., and Gurnielli W.A. Modulated fibring and the collapsing problem // Journal of Symbolic Logic. V. 67. № 1. 2002. P. 1511-1569.
[22] Sernudus G., Vigand L., Rusgu J., and Sernudus A. Truth-values as labels: A general recipe for labelled deduction // Journal of Applied Non-Classical Logics. V. 13. № 3-1. 2003. P. 277-315.
[23] Wdjcicki R. Theory of Logical Calculi. Synthese Library. VI. 199. Dordrecht, 1988.
