CC BY
50
ЭПИСТЕМОЛОГИЯ & ФИЛОСОФИЯ НАУКИ • 2011 • Т. XXVIII • № 2
роблема редукции многозначной логики
Н.Н. ПРЕЛОВСКИИ
В знаменитом рассуждении Декарта о злокозненном гении преодоление радикального сомнения возможно за счет особенностей естественного языка и допущений относительно структуры логического мира. При распространении этих особенностей и допущений на современные многозначные логики выясняется, что большинство из них являются в некотором смысле «картезианскими», в то время какфилософ-ская обоснованность подобных допущений представляется как минимум сомнительной. Странным образом свойство «быть картезианской» для произвольной логики оказывается связанным с существованием алгоритма построения бивалентной семантики в стиле Сушко для этой логики.
Ключевые слова: бивалентные семантики, картезианская логика, злокозненный гений, многозначные логики, тезис Сушко.
Семантический анализ, проведенный Г. Фреге в статье «Функция и понятие»1 и известной работе «О смысле и значении»2, предполагает рассмотрение предложений в качестве «насыщенных языковых выражений», т.е. имен особого типа, обозначающих особого типа объекты, некоторым образом выделен-
1 См.: Фреге Г. Функция и понятие // Г. Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000. С.215-229.
2 См.: Фреге Г. О смысле и значении // Там же. С. 230-246.
ф
■ М
■о
3
СО ф
о
с
ф
■м
о со
со ф
СО ■
ф
СО
Я
®
ф
ф
со
®
ные из универсума всех остальных предметов мысли. Специфика предложений заключается в том, что в области их значений, в отличие от остальных имен, находятся лишь два объекта определенного рода: истина и ложь, являющиеся единственными истинностными значениями. Так возникает логический мир Фреге, населенный всего двумя абстрактными объектами, онтологический статус которых может быть уподоблен онтологическому статусу чисел и других абстрактных объектов математики. Мотивацией введения в рассмотрение истинностных значений здесь является семантическая однотипность предложений и имен как языковых выражений определенного рода. Логика в этом случае есть наука о наиболее общих законах бытия истины, репрезентируемой истинностным значением «истина».
Данный подход позволил Я. Лукасевичу сформулировать в 1921 г. определение логики в качестве «науки об объектах специального вида, а именно, науки о логических значениях»3. И здесь сразу настораживает закравшаяся в формулировку тавтологичность, создающая видимость порочного круга. Действительно, если понятие «истинно» раскрывается в наиболее общих законах бытия истины и, возможно, лжи или иного рода объектов, сопоставляемых предложениям как их значения, денотаты и т.д., возникает вопрос о критерии, в соответствии с которым возможно отнесение предметов рассмотрения к миру логических значений, претендующих на статус значений истинностных. Здесь проявляется недостаточность аргументации через семантическую однотипность имен и предложений, ведь таким образом невозможно установить подлинную «численность населения» логического мира. Проблематизация истинностных значений приводит поэтому к проблематизации самого понятия логики как науки.
Эти сложности возникают, уже когда мы переходим от логического мира Фреге к логическому миру Лукасевича, который может содержать число объектов, большее двух. И в связи с этим переходом ^ разворачивается полемика вокруг тезиса польского логика Романа <0 Сушко, в соответствии с которым существует всего два логических ® значения. Так, по Малиновскому, «тезис Сушко гласит, что любая логика [под логикой здесь понимается стандартный язык с установленным на множестве его формул структурным отношением следования, до удовлетворяющим условиям Тарского] является логически двузнач-I ной»4. В данном утверждении вновь возникает характеристика сферы (А логического через его соотнесение с объектами, рассматривающими-.2 ся в качестве логических по умолчанию. Подобные тавтологии и порождающая их проблематика представляются отнюдь не случайными и, более того, связанными с некоторыми интуициями относительно
■
(А 3 Lukasiewicz J. Logikadwuwartosciowa//PrzegledFilozoficzny. 1921. № 13. P. 189-205.
4 См.: Malinowski G. Inferential many-valuedness // Philosophical Logic in Poland. Dordrecht, 1994. P. 75-84.
природы логики и языка, берущими свое начало как минимум в философии Декарта.
Если изначально логика трактуется как наука о законах бытия истины (Фреге), единственной альтернативой которой является ложь, то с умножением альтернатив или расщеплением значения, репрезентирующего истину, на несколько истинностных значений мы приходим к необходимости признать, что логику следует рассматривать в качестве науки об общих законах того, что уже относится к сфере логического, исходя из некоторых соображений философского характера, находящихся в пересечении онтологической и гносеологической проблематики. И вопрос теперь заключается в том, могут ли в логический мир включаться объекты, отличные от значений истина и ложь, или они относятся к этому миру лишь косвенно, как способы алгебраического описания некоторых свойств подлинных истинностных значений.
Сам Сушко, по всей видимости, не оставил более-менее развернутого философского обоснования для своего тезиса, за исключением формальной процедуры, получившей название «редукции Сушко» и состоящей в указании возможности двузначной, неистинностно-функциональной характеризации практически всех известных многозначных логик. Философская аргументация в пользу определения сферы логического через соотнесение с двумя истинностными значениями как заведомо относящимися к этой сфере может, как представляется, опираться на два «аргумента», а именно: бритву Оккама и аргумент рогатки.
Аргумент бритвы Оккама получил большое распространение в философской литературе и в достаточном для рассмотрения приближении может быть сформулирован как требование не умножать сущности без необходимости. Аргумент рогатки существует в нескольких формулировках, самые известные из которых принадлежат Черчу, Гёделю и Дэвидсону. Обзор и анализ подходов этих авторов содержится в статье Я. Шрамко5, где автор пишет: «Имеется знамени- И) тый аргумент (точнее, совокупность родственных аргументов), пред- ® назначенный для того, чтобы строго доказать тезис, что все истинные предложения имеют одно и то же значение и все ложные предложения также обозначают одну и ту же вещь». Заметим, что, несмотря на кажущуюся прозрачность, аргумент рогатки в чистом виде отнюдь не |
является сильным аргументом в пользу логической двузначности, по- (А скольку обосновывает лишь тот факт, что эквивалентные истинные « (как и ложные) высказывания могут принимать одинаковые значения, даже если описываемые ими «факты» не имеют между собой ни- ^ чего общего. Речь, значит, идет о том, что если в качестве значений ф
(а
®
5 Шрамко Я.В. Истина и ложь: что такое истинностные значения и для чего они нужны // Логос. 2009. № 2(70). С. 96-121.
ф
■ М
■о
ф
■м
о со
предложений берутся факты, ситуации, положения дел или иные «фактоподобные сущности», в универсуме этих сущностей не всегда найдется пара различных значений для каждой пары предложений, описывающих различные ситуации.
При этом определение логической эквивалентности двух предложений как невозможности одновременной истинности одного из них и ложности другого вовсе не отсылает непосредственно к логической двузначности, поскольку логически эквивалентными могут оказаться в том числе и предложения, не являющиеся ни истинными, ни ложными, т.е. описывающими ситуации, относительно которых не имеется точного знания об их соответствии или несоответствии действительности. Вопрос о значениях таких неистинных и неложных предложений просто игнорируется, зато убедительно демонстрируется тот факт, что все истинные предложения имеют значение «истина», а все ложные - «ложь». Здесь в свою роль вступает аргумент бритвы Окка-ма, в соответствии с которым мы должны отсечь последнюю возможность: исключить из рассмотрения любые сущности, отличные от двух заведомо логических истинностных значений и соответствующие различным степеням неполноты знаний о мире. И этот аргумент представляется единственным весомым аргументом в пользу принятия логической двузначности. Но так ли он хорош?
Непосредственно используя здесь бритву Оккама, мы предполагаем возможность завершенного знания о действительности. В этом случае необходимо отказаться от рассмотрения предложений, соответствие или несоответствие которых действительности является проблематичным или принципиально непроверяемым. В то же время аргумент рогатки требует, чтобы все истинные предложения относились к действительности в целом, которая репрезентируется истинностным значением «истина» и может быть интуитивно представлена в качестве «большого факта». Значением всех ложных предложений становится пустое множество фактов, соответствующее «лжи». Все Ф остальные неистинные и неложные предложения должны быть проф игнорированы, для них просто не хватит онтологического пространства, исчерпанного двумя альтернативами. В мире, конституируемом ф аргументом рогатки и бритвой Оккама, торжествует абсолютное, веч-Р ное, неизменное и бесконечно точное знание.
Здесь можно, конечно, возразить, что логика не говорит ничего о природе знания или истины, но тогда мы вынуждены допустить и то, ф что логическая семантика может оперировать своими, а по сути при таком понимании «чужими» понятиями, слепо руководствуясь указаниями со стороны некоей «внешней» по отношению к ней «философии», что представляется в корне неверным. В данном же контексте
ф
■ м
•а
со
со
со
ф " к
(/) речь идет о внутренней логике становления понятия об «истинност-
Я ных значениях» внутри самой логики как полноценной философской дисциплины. Ведь если логика не говорит о природе знания и истины,
®
она не имеет и прагматического измерения, поскольку невозможно применять с уверенностью и пользой то, природа чего не установлена с достаточной определенностью. Подобные возражения расходятся и с традиционным пониманием логики в качестве инструмента - Органона познания.
Очевидно также, что названные выше допущения являются слишком сильными, если мы не желаем игнорировать неполноту знаний о мире или из философских соображений различаем истину абсолютную и относительную. Возможна критика подобной аргументации и с диалектических позиций, поскольку в момент качественного скачка наличие или отсутствие качества у субъекта высказывания является проблематичным. Подобные соображения подтолкнули Лука-севича к созданию первой многозначной логики - трехзначной логики Лукасевича.
Проблематизация истинностных значений приводит к проблема-тизации логики в ее отношении к знанию. Возможность знания о мире ставилась под вопрос неоднократно начиная с античности. Результатами отрицательного ответа на этот вопрос стали скептицизм и агностицизм. Нас же интересует возможность ответа утвердительного. Пожалуй, самой известной, предпринятой уже в Новое время попыткой преодолеть скептическое решение вопроса о знании является рассуждение Декарта о злокозненном гении: «Итак, я сделаю предположение, что не всеблагой Бог, источник истины, но какой-то злокозненный гений, очень могущественный и склонный к обману, приложил всю свою изобретательность к тому, чтобы ввести меня в заблуждение: я буду мнить небо, воздух, землю, цвета, очертания, звуки и все вообще внешние вещи всего лишь пригрезившимися мне ловушками, расставленными моей доверчивости усилиями этого гения; я буду рассматривать себя как существо, лишенное рук, глаз, плоти и крови, каких-либо чувств: обладание всем этим, стану я полагать, было лишь моим ложным мнением; я прочно укореню в себе это предположение и тем самым даже если не в моей власти окажется познать <А что-то истинное, по крайней мере, от меня будет зависеть отказ от ® признания лжи, и я, укрепив свой разум, уберегу себя от обманов это- с го гения, каким бы он ни был могущественным и искусным»6. ®
Вмешательство злокозненного гения в этом фрагменте рассматривается как обман во всем, что представляется истинным. И Декарт предлагает простой рецепт избавления от этого обмана. Достаточно (А отрицать все, что представляется истинным, чтобы получение по- « длинного знания стало как минимум не невозможным. Этот обман злокозненного гения равносилен интерпретации логики посредством ^ матрицы, единственным выделенным значением в которой является ф __(А
6 Декарт Р. Размышления о первой философии // Р. Декарт. Соч. Т. 2. М., 1994.
С. 20.
Ф
■ М
■о
о
со
я
®
ложь, или, что то же самое, построению исчисления, теоремами которого являются все тождественно ложные формулы и только они, а отношение следования сохраняет ложность. Но тогда подлинное сообщение Декарта и его метод созидания возможности истины означали бы отрицание всех содержащихся в нем утверждений и утверждение отрицаний. А значит, обсуждаемое допущение об обмане злокозненного гения есть одновременно и допущение того, что отнюдь не злокозненный гений обманывает нас повсюду, но всеблагой Бог является источником истины, что позволяет избавиться от излишней в таком случае гипотезы об обмане, коль скоро нас интересует только истина.
Однако ситуация усложняется, если мы допускаем возможность «молчаливости» злокозненного гения или его чрезмерной «болтливости». Так, находясь в дурном расположении духа, он может не пожелать обманывать кое в чем, обходя молчанием трудные вопросы, относительно ответов на которые имеются сомнения. Или вдруг он может, разговорившись, создать видимость того, что некоторые предложения являются и истинными, и ложными одновременно, и здесь способ решения вопроса о знании, предложенный Лукасевичем, перестает работать. В этом случае, продолжая следовать аргументам рогатки и бритвы, мы неизбежно окажемся либо в ситуации невозможности делать предположения об истинности или ложности некоторых суждений, так как лишимся критерия для подобных предположений, либо будем вынуждены иметь дело с противоречиями, которые губительны в рамках классической логики. Выход, казалось бы, существует и в этой ситуации. Он заключается в отказе от соответствующего классике логического мира Фреге и слишком «бедного» мира Лукасе-вича (последний, впрочем, особым образом включается в более поздние построения Белнапа) и переходе к логикам, допускающим истин-нозначные провалы и пресыщенные оценки.
Продолжая аналогию с рассуждением Декарта, мы можем считать, что все предложения, относительно которых злокозненный ге-(¡5 ний не высказал своего мнения, принимают в качестве значения пус-ф тое подмножество множества классических истинностных значений.
А значением одновременно и истинных, и ложных предложений буф дет само это множество. Сходными интуициями, касающимися рабо-О ты компьютера, руководствовался Белнап, создавая известную четырехзначную логику. Однако компьютерная метафора представляется не вполне убедительной в решении вопроса о возможности знания. ф Ведь если злокозненный гений в достаточной степени «искусен и умел», он сумеет сделать, например, так, чтобы по крайней мере некоторые из предложений, не являющихся ни истинными, ни ложными, были на уровне языка неотличимы от предложений, являющихся ис-
ф
■ м
•а
со
со
со
тинными и ложными одновременно. Белнаповская интерпретация в
СО
®
некотором смысле продолжает линию наивной веры во всемогущество разума, свойственной онтологии логического мира Фреге, и в воз-
можность полного знания как минимум о незнании и «избыточности» знания. Это означает, что всегда есть способ установить, имеются или нет знания об истинности некоторого предложения, и если имеются знания об истинности (ложности) данного предложения, всегда можно достоверно выяснить, нет ли знаний еще и о его ложности (истинности). Обобщение подхода Белнапа содержится в нескольких работах Шрамко и Ванзинга7.
На основании этого подхода возможно конструирование различных логических систем, особое место среди которых занимает система «тавтологических следований» Efde, впервые рассмотренная в «Entailment» Андерсона и Белнапа и представляющая собой перво-уровневый относительно вхождений импликации фрагмент систем релевантных логик Е и R. Попытаемся показать, почему данная система, как и большинство других известных многозначных логик, не проблематизирует в полной мере возможность знания, а значит, не может рассматриваться в качестве приемлемой альтернативы двузначному миру Фреге и поэтому не может считаться имеющим убедительное философское обоснование формальным аппаратом, предполагающим возможность наличия достоверного, но неполного (непо-полнимого) или сверхполного знания. Более того, избыточность четырехзначности для характеризации логики Белнапа демонстрируется в работе Ж.И. Безье под недвусмысленным названием «Бивалентная семантика для логики де Моргана (бесполезность четырех-значности)», в которой демонстрируется метод двузначной харак-теризации данной логики в духе идей Сушко, теории биоценок Ньютона да Коста и универсальной логики. Естественно, любая такая характеризация не является истинностно-функциональной.
Вернемся к преодолению радикального сомнения в мысленном эксперименте Декарта. Оно становится осуществимым благодаря тому, что в естественном языке присутствует возможность замены всех утвердительных предложений их отрицаниями и наоборот. С точки ^ зрения логики это означает, что в языке рассматриваемой логической <А системы имеется связка (отрицание), которая в характеристической ® матрице этой логической системы проинтерпретирована таким образом, что позволяет каждой формуле, принимающей в некоторой интерпретации на этой матрице выделенное значение, сопоставить формулу (отрицание исходной формулы), которая в той же интерпретации примет невыделенное значение и выделенное - в другой. Таким (А образом, проблематизация истинностных значений приводит не толь- .2 ко к проблематизации логики и знания, но и в конечном счете языка. Ведь если бы в естественном языке отсутствовала возможность по- ^¡J строить для каждого предложения его отрицание, аргументация Де- ф
(а
®
7 Ванзинг Г., Шрамко Я.В. Логика компьютерных сетей // Логические исследования. 2005. №12. С. 119-145.
ф
ф
■ М
о со
карта стала бы просто невозможной, как и большая часть других рассуждений.
Заметим теперь, что большинство известных многозначных логик, включая классическую логику, трехзначную логику Лукасевича и логику Белнапа, является в некотором смысле картезианским, поскольку их языки, как правило, содержат достаточно выразительных средств, чтобы для каждого значения, приписываемого в различных интерпретациях каждому атомарному предложению, построить молекулярное предложение с использованием только этого атомарного предложения и логических связок так, что это молекулярное предложение будет в данной интерпретации логически несовместимо с самим собой в любой другой интерпретации, в которой значение исходного атомарного предложения отлично от первоначального. Два некоторым образом проинтерпретированных предложения называются логически несовместимыми в данной интерпретации, если и только если одно из них принимает в этой интерпретации выделенное значение, а второе - невыделенное. Частным и наиболее простым примером таких молекулярных предложений в классической логике как раз является отрицание произвольного атома.
В серии работ Калейро и других авторов8 такие молекулярные предложения называются «разделяющими формулами» в том смысле, что они позволяют «разделить» произвольную пару значений внутри классов как выделенных, так и невыделенных значений. Два значения из логической матрицы называются разделенными, если и только если одно из них является в этой матрице выделенным, а второе невыделенным. Формула, построенная с использованием только одного пропозиционального символа, разделяет два значения в матрице, если и только если значения этой формулы являются разделенными при интерпретациях пропозиционального символа в ней каждым из значений данной пары. ^ Наличие или отсутствие формул, разделяющих каждую пару вы-
<А деленных либо невыделенных значений в логической матрице, зависит не только от самой матрицы и того, какие значения в ней являются выделенными, а какие - нет, но и от наличия в языке логической системы подходящих для построения таких формул связок. В функционально полных и-значных системах имеются формулы, разделяющие любую пару значений, однако это неверно для произвольных подсис-(А тем таких систем. Поэтому априорно возможные многозначные аль-■2 тернативы классической логики, соответствующие отличным от мира Фреге логическим мирам, отнюдь не с необходимостью являются ^ картезианскими. И здесь возникает соблазн использовать в качестве ф подобной альтернативы четырехзначную логику Белнапа, поскольку
(А
®
Ф о
С
ф
■ м
о со
8 Caleiro C., Carnielli W, Coniglio M.E., Marcos /.Two's Company: The Humbug of Many Logical Values // Logica Universalis; J.Y. B 'eziau (ed.). Birkhauser, 2005. P. 169-189.
в исходной формулировке данной системы не используется понятие выделенного значения (логическое следование определяется с использованием только отношения частичного порядка на четырехэле-ментной решетке), а значит, логика является претендентом на «звание» некартезианской.
Но это не так. В работе Д.В. Зайцева и Я.В. Шрамко «Логическое следование и выделенные значения»9 показано, что определение логического следования по Белнапу равносильно принятию в качестве выделенных значений характеристической матрицы двух элементов: Т и В в нотации Белнапа. Заметим, что четырехзначная матрица логики Белнапа характеризует систему тавтологических следований Бйе, представляющую собой первоуровневый относительно вхождений импликации фрагмент логики, определяемой матрицей Т. Дж. Смай-ли, и совпадающую с первоуровневыми фрагментами релевантных систем Е и К. Расширение оценок в матрице Смайли на весь язык, т.е. на импликативные формулы всех уровней, при двух выделенных значениях определяет картезианскую логику. Картезианской логикой является и система Бйе. Однако при одном выделенном значении полная логика, соответствующая матрице Смайли, не является картезианской.
Рассмотрение некартезианских логик в качестве полноправных потенциальных альтернатив классике наравне с картезианскими многозначными построениями, по всей видимости, противоречит установившейся в логической науке исследовательской традиции и некоторым фундаментальным допущениям относительно свойств объектов логического мира. Так, у Шрамко в названной выше работе, посвященной проблеме истинностных значений, читаем: «Элементы такой обобщенной совокупности [множества истинностных значений] могут удовлетворять тем или иным требованиям качественного харак- ^ф тера, существенным для структурирования логического универсума в ¡3 целом. Среди этих возможных требований два представляются наиболее важными, даже необходимыми, так что они, по-видимому, действуют в любом нетривиальном логическом мире. Во-первых, объекты, населяющие логический мир, должны быть попарно различны, т.е. все они должны отличаться друг от друга (принципразличия).
ческие исследования. 2004. № 11. С. 127-138.
10 Шрамко Я.В. Указ. соч. Р. 96-121.
Во-вторых, некоторые - но не все - из этих объектов должны обла- до
дать особым статусом (принцип выделенности)»10. Несмотря на от- |
сутствие разъяснений относительно того, что в данном высказывании (О
подразумевается под «попарным различием объектов» и «нетриви- ™
альностью логического мира», вполне можно предположить, что не- з
различимость на уровне языка некоторых пар значений в некартези- ф
■
9 Зайцев Д.В., Шрамко Я.В. Логическое следование и выделенные значения // Логи- ®
Я
®
ф
■ м
•а з
(а ф
о
с
ф
■ м
о со
«я ф
<0 ■
ф
(а
(в
®
анских логиках нарушает первое из качественных требований, касающихся объектов логического мира.
В работах Калейро совместно с другими авторами описан алгоритм построения конструктивных бивалентных семантик для любой конечнозначной картезианской логики. Таким образом, любая картезианская логика может быть охарактеризована через соотнесение с логическим миром Фреге, что является аргументом в пользу принятия тезиса Сушко. Этот факт также свидетельствует о неслучайности «тавтологий» в определениях сферы логического. Допущение того, что свойство «быть картезианской» является необходимым для формальной системы, чтобы считаться логической, позволяет рассматривать всякий набор значений в характеристической матрице такой системы, отличный от классического, в качестве алгебраического суррогата подлинно логической двузначной характеризации этой системы.
Таким образом, картезианские логики могут рассматриваться в качестве своеобразного щита, позволяющего укрыться от обманов злокозненного гения и создать видимость обоснования неиллюзорности знаний о действительности. Однако недостаточная исследован-ность конечнозначных некартезианских логик и затруднительность непосредственного распространения определения свойства «быть картезианской» на все бесконечнозначные логики не позволяют в настоящий момент дать окончательный ответ на вопрос об обмане злокозненного гения и тезисе Сушко.
