Проблема реализуемости функции со свойствами функции Головача Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 2

МАТЕМАТИКА

УДК 517.977, 519.173

ПРОБЛЕМА РЕАЛИЗУЕМОСТИ ФУНКЦИИ СО СВОЙСТВАМИ ФУНКЦИИ ГОЛОВАЧА

Т. В. Абрамовская

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

Введение. Функция Головача — центральный объект исследований в .задаче е-поиска. Большинство результатов, полученных в этой области (см., например, [1-4]), требуют внушительных по размеру и объёму обозначений доказательств. Проблема реализуемости функции, обладающей свойствами функции Головача, была поставлена с целью проверки гипотезы о невырожденности [2] функции Головача для некоторого класса графов, прямое доказательство которой казалось необозримым. Предполагалось, что решением некоторого набора неравенств удастся исключить функции, имеющие более чем единичный скачок, из числа тех, которые могут быть функциями Головача для рассматриваемого класса графов. Несмотря на то, что первоначальная цель в результате этих исследований не была достигнута (гипотеза оказалась неверна), обнаружились нетривиальные факты, показывающие, что задача реализуемости функции со свойствами функции Головача представляет самостоятельный интерес. Мы приведём несколько примеров построения графов, функция Головача которых совпадает с данной (реализуемой), покажем, что даже в достаточно простых случаях реализация в некоторых классах графов невозможна.

1. Задача е-поиска и проблема реализуемости. Задача е-поиска ставится следующим образом. В трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается связный топологический граф с рёбрами, представляющими собой конечнозвенные ломанные, которые могут пересекаться только в вершинах. На графе находятся преследователи Р\,...,Рк и убегающий Е. Предполагается, что игроки обладают простыми движениями,

(Р.): х. = { е{1,...,&} , (Е): у = ио,

ограничения по скорости отсутствуют, причём граф является для всех участников © Т. В. Абрамовская, 2012

фазовым ограничением. Допустимыми управлениями игроков являются кусочно постоянные функции, заданные на произвольных замкнутых временных отрезках [0,т].

На графе введена метрика р — длина кратчайшего по евклидовой норме пути, соединяющего две точки и целиком лежащего в графе. Команда преследователей пытается поймать невидимого убегающего, которому выбранная ими программа действий становится известной «до начала поиска». Считается, что убегающий пойман преследователем, если оба участника находятся на расстоянии, не превосходящем заданного неотрицательного числа е. Задача е-поиска состоит в том, чтобы для каждого топологического графа найти е-поисковое число, т.е. наименьшее число преследователей, необходимое для успешного завершения е-поиска. Функция, которая каждому е сопоставляет е-поисковое число з£(О), называется функцией Головача.

При е = 0 е-поисковое число называется рёберно-поисковым, а поимка вырождается в поточечную поимку. Задача об определении рёберно-поискового числа хорошо изучена, имеет множество связей с различными инвариантами графов и ряд важных приложений [5].

Совокупность П траекторий {х1(Ь),... ,хи(Ь),Ь е [0,т]} команды преследователей V = {Р1 ,...,Ри} будем называть программой.

Программа П называется выигрывающей с радиусом поимки е, если для любой траектории убегающего у, заданной на [0,т], существуют Ь е [0,т] и г е {1,...,к} такие, что р(х^(Ь),у(Ь)) < е.

Поставим задачу реализуемости функции как функции Головача некоторого графа. Пусть дана некоторая функция /(е), заданная на [0, кусочно постоянная, невозрастающая, непрерывная справа, принимающая целочисленные значения, причём существует е1 > 0 такое, что / (е) = 1 для всех е > е1. Функция / называется реализуемой, если существует граф О такой, что его функция Головача совпадает с / (граф О тогда будем называть реализацией /).

Уместно некоторое замечание. Условия, накладываемые на /, являются необходимыми свойствами функции Головача произвольного графа О. Однако указанный набор характеристик не является критерием функции Головача графа, например, в настощий момент неизвестно, существует ли реализуемая функция, имеющая более одного нетривиального (т. е. неединичного) скачка.

2. Серии Парсонса. Будем говорить, что граф Н содержится в графе О, если О имеет подграф О', который либо изоморфен Н, либо из О' стягиванием некоторых рёбер можно получить граф, изоморфный Н.

Дерево Т называется минимальным деревом с рёберно-поисковым числом к, если ■?о(Т) = к и для любого дерева Т', неизоморфного Т и содержащегося в Т, в(Т') < к.

В работе [6] рекурсивно строится последовательность множеств деревьев 71,72,..., где 71 —полный граф с двумя вершинами, и если Ти (к > 1) уже определено, то Ти+1 будет содержать всевозможные попарно неизоморфные деревья, которые получаются следующим образом. Пусть В1,В2,Вз е Ти (возможно, изоморфные), выберем вершины а е УВ^, г = 1, 2,3, не имеющие смежных вершин степени один, и дополнительную вершину а, соединим её рёбрами с а1 ,а2,аз, из полученного дерева удалим вершины степени два. Первые четыре множества представлены на рис. 1. Тогда Ти (называемое к-й серией Парсонса) — множество минимальных деревьев с рёберно-поисковым числом к. Известно также [7], что для произвольного дерева Т выполняется во(Т) = к тогда и только тогда, когда существует Т' еТи, которое содержится в Т, а для любого Т'' е 7и+1 дерево Т не содержит Т''.

Рис. 1.

Рассмотрим минимальные по числу рёбер деревья Ть с данным рёберно-поиско-вым числом к. Таким образом, Т\,Т2,... образуются следующим образом. Пусть Т — полный граф с двумя вершинами, и если Ть (к > 1) уже построено, то Ть+1 определяется так: пусть ,В2,Вз изоморфны Ть, выберем вершины а е УБ¿, г = 1,2, 3, степени 1, и дополнительную вершину а, соединим её рёбрами с 0,1,0,2,0,3, из полученного дерева удалим вершины степени 2.

Исходя из построения, дерево Ть для каждого к > 1 имеет 3к-1 рёбер. Отметим также, что рёберно-поисковое число является топологическим инвариантом графов, поэтому длины рёбер деревьев в построении Т\,Т2,... не фиксируются, таким образом, деревья строятся с точностью до изоморфизма.

Построенное множество {Тг}°11 обозначим через М.

Отметим, что проблема описания множества всех графов-реализаций для данной фукнции / исключительно трудна, а построение подобных множеств для всех функций, удовлетворяющих свойствам функции Головача, решает задачу Головача для всех топологических графов. Автора интересует возможность построения графа-реализации функции / из класса М. Ставится вопрос: какие дополнительные условия требуется наложить на функцию /, чтобы она была реализуема в классе М.

3. Реализуемость функции со свойствами функции Головача в классе М. Рассмотрим произвольную функцию /, удовлетворяющую свойствам функции Головача, /(0) = п. Тогда естественно в качестве реализации / исследовать деревья, изоморфные Тп: можно ли подобрать длины рёбер дерева Т изоморфного Тп так, чтобы функция Головача для Т совпала бы с /. Выясним также, всякая ли функция, обладающая свойствами Головача, реализуема в М. Начнём с простого примера, для которого не составит труда описать всё множество графов-реализаций.

Пример 1. Пусть /1 = 1. Тогда в качестве реализации можно рассматривать произвольное дерево, изоморфное Т1. Таким образом, функция, тождественно равная 1, реализуема в классе М.

Как было отмечено выше, для рассматриваемой /1 нетрудно описать всё множество графов-реализаций. Действительно, понятно, что реализацией /1 является граф

без циклов, так как ни на каком цикле один преследователь не может гарантировать поточечную поимку. Далее, наличие вершины степени 3 даёт возможность убегающему выбирать ту ветвь для уклонения, которую преследователь не будет очищать следующей (подробнее описание выигрывающих программ одного преследователя на деревьях см. [2]). Значит, граф О является реализацией для /1 тогда и только тогда, когда О является простой цепью.

Пример 2. Минимально усложним рассмотренный выше пример: пусть теперь

/2(е) = {1 °"""

[1, е1 < е.

Пусть дерево Т, изоморфное Т2, имеет рёбра (о, а), (о,Ь), (о,с) длины 2е1. Тогда для очищения Т о радиусом е1 один преследователь из вершины а следует в вершину о, доходит до середины ребра (о, Ь), возвращается в о и переходит в вершину с. То, что с меньшим чем е1 радиусом один преследователь очистить Т не может, достаточно очевидно и следует из результатов [2].

В этом примере описание множества всех графов-реализаций для /2 существенно трудней. В рамках настоящей статьи приведём описание всех реализаций /2 в классе деревьев.

Теорема 1. Дерево Т является реализацией /2 тогда и только тогда, когда выполнены следующее условия:

1) Т не содержит (см. определение на стр. 4) графа Т3;

2) в дереве Т существует поддерево Т' (содержащее Т2), от вершины степени не менее 3 которого отходят две цепи длины не менее 2е1 и одна цепь длины 2е1;

3) в дереве Т не существует поддерева, содержащего Т2, имеющего три цепи длины более 2е1, отходящих от одной вершины.

Доказательство. Необходимость. Пусть Т является реализацией /2; Т не может содержать Тз, так как во(Т) = 2. Значит, пункт 1 выполняется. Далее, дерево, состоящее из трёх цепей длины более 2е1, отходящих от одной вершины, не может быть очищено одним преследователем с радиусом поимки е1. В силу монотонности е-поискового числа для деревьев (е-поисковое число называется монотонным для графа О, если е-поисковое его связного подграфа не больше е-поискового числа О [4]) третье условие также выполнено для Т.

Рассмотрим диаметральную цепь (цепь наибольшей длины) 2 = (а1,...,ат) в Т и произвольную цепь, ведущую от некоторой вершины аг, г е{2,...,т - 1}, к висячей вершине V, и имеющую с 2 единственную общую вершину аг. Тогда, в силу диаметральности 2, верно, что р(а1,аг) > р(агр(ат,аг) > р(аг^).

Предположим, что 2 имеет длину менее 4е1. Если р(а^ ,аг)=2е1, ] е{1,т} (одновременно для обоих значений ] это равенство не может выполняться), то р(аг^) < 2е1. Понятно, что в этих условиях возможна поимка одним преследователем с радиусом меньшим е1 : следуя вдоль 2, один преследователь очищает отходящие от вершин 2 ветви, все точки которых отдалены от 2 менее чем на 2е1. Таким образом, в Т диаметральная цепь имеет длину не менее 4е1.

Длина цепи, ведущей из аг в V, не может превышать 2е1, так как либо возникает противоречие с пунктом 1 (необходимость которого уже доказана), если

р(а,1,щ) > 2е1, р{а,1,ат) > 2е\, либо, если р(а^,а^) = 2е\, ] е {1,ш}, нарушается условие диаметральности Z. Однако, если предположить, что длина всякой цепи, отходящей от вершин Z и имеющей с нею одну общую вершину, меньше 2е1, то становится возможной поимка с радиусом меньшим £1. Таким образом, необходимость пункта 1 доказана.

Достаточность. Первое условие гарантирует возможность поточечной поимки двумя преследователями. Второе указывает на невозможность поимки одним преследователем с нулевым радиусом поимки (так как Т содержит Т2). Третье позволяет выделить диаметральный путь в Т, от которого отходят ветви, не имеющие точек, отдалённых более, чем на 2£1 от выбранной диаметральной цепи. Значит, один преследователь может очистить Т с радиусом £1. Невозможность поимки одним преследователем с меньшим радиусом обеспечивается пунктом 1 — указанный подграф Т' не может быть очищен одним преследователем с радиусом, меньшим £1. □

Отметим, что доказательство теоремы 1 основывалось на известных выигрывающих программах для одного преследователя на деревьях. Решение задачи построения выигрывающей программы на деревьях для произвольной группы преследователей большей численности автору неизвестно. По всей видимости, описание множеств всех деревьев, реализующих более сложные функции, столь же трудоёмко, что и построение упомянутых выигрывающих программ. Следующий пример показывает, что построение реализации «трёхступенчатой» функции в классе М оказывается нетривиальной задачей.

Пример 3. Рассмотрим /з(£) =

3, 0 < £ < £2,

2, £2 < £ < £1,

1, £1 < £.

Предварительно построим функцию Головача для произвольного дерева, изоморфного Т3 (мы будем использовать обозначение Т3 для рассматриваемого дерева, так как результат верен для всех изоморфных ему деревьев). Далее мы укажем условия реализуемости /3 в классе М.

На рис. 2 изображены изоморфные Т3 деревья и принятые далее в настоящей статье обозначения.

Рис. 2.

Для обозначения длин рёбер, инцидентных вершине о, будем использовать /¿, г = 1, 2,3. Величины т*, г = 1,2, 3, ] = 1,2, характеризуют длины висячих рёбер в соответствии с обозначениями на рис. 2.

Известно [2], что з£(Тз) = 1 для

е > ё\ := - тш тах{^ + тахг* ; тахттг^}. (1)

2 ¿=1,2,3 [ ¿=1,2 3 кФг 3=1,2 3 )

Покажем, что з£(Тз) = 2 для е2 < е < £1, где

£2 = 1шп {-к, -гЛ. (2)

г,к=1,2,3, ¿=1,2 \ 4 2 3 / ^

Для описания выигрывающих программ двух преследователей с радиусом ¿2 введём следующие обозначения: если (а,Ь) —ребро графа, то 1/2(а,Ь) обозначает середину ребра (а,Ь), а 1/4(а,Ь) —точку (а,Ь), отстоящую от а на четверть длины ребра (a, Ь).

Если минимум в определении е2 достигается на некотором висячем ребре, для определённости, (а1,аз), е2 = г\/2, то выигрывающая программа двух преследователей выглядит следующим образом:

Р1-Ь1 ^ Ьз ^ о ^ сз ^ С1;

Р2-Ъ2 -^Ьз о аз а3 а2 а3 о с3 с2.

Если минимум достигается на некотором ребре, инцидентном о, для определённости (о, аз), то е.2 = ¿1/4, и выигрывающая программа двух преследователей описывается следующим образом:

Р\'-Ь\ Ь3 о ->±(о,а3) о ->с3 -Ю!;

Р2--Ъ2 ~+Ъз о аз а1 а3 -+|(а3,о) а3 а2 а3 о с3 с2.

Невозможность поимки двумя преследователями на Тз с радиусом, меньшим е 2, следует из леммы о трёх ветвях [1].

Будем говорить, что преследователь Р е-близок (е-неблизок) к точке дерева а в некоторый момент Ь, если р(а,х(Ь)) < е (р(а,х(Ь)) > е).

Лемма 1. Пусть на дереве Т существует вершина а, от которой отходят три ветви В1, В2, Вз. И пусть для каждой ветви Вг, г = 1, 2, 3, выполнено следующее: в любой программе команды V, выигрывающей в задаче е-поимки на Вг, найдется момент времени, в который каждый из преследователей е-неблизок к а. Тогда команда V не может успешно завершить е-поиск на Т.

Действительно, каждая ветвь, отходящая от о, для поимки с радиусом е < е2 требует двух е-неблизких к о преследователей.

Функция Головача для Тз полностью построена.

Теорема 2. Функция /з реализуема в классе М тогда и только тогда, когда для всех 1 < а < 3 выполнено е1 > ае2.

Доказательство. Необходимость. Пусть /з является функцией Головача для дерева Т, изоморфного Тз; тогда минимальные радиусы поимки е1, е2 для одного и двух преследователей соответственно могут быть вычислены по формулам (1) и (2).

По определению, £1 > £2. Тогда существует а > 1 такое, что £1 < «£2. Определим, при каких а выполняется последнее неравенство, если £1 и £2 заданы формулами (1) и (2) и достигаются на некоторых рёбрах дерева Т.

1. Пусть минимум в определении £2 достигается на некотором висячем ребре, £2 = 1/2гр, р е{1, 2,3} е{1, 2}. Таким образом,

[. тр

- для всех г = 1,2,3; (3)

га г

p

для всех i= 1,2,3, j = 1,2. (4)

Зафиксируем произвольное i е {1,2, 3}:

Значит,

I , i ■ fc! i (З-4^ p

max i ¿i + max га ; max mm г ^ У > li + max г A > 2rp +

j=1,2 j fc^i j=1,2 j J j=1,2 j 4

1 3

£1 > - min (2r^ + =

1 2 i=i,2,3 q qJ 2 q

Тогда,

2. Пусть теперь

3 p a p

£1 < «£2 <=> -i*o - —ro ^ a > 3.

¿i rfc

— < ~ для всех г, /г = 1,2, 3, j = 1, 2;

£2 = - min /j = -L.

4 ¿=1,2,3 4 p

Зафиксируем произвольное i е {1,2, 3}:

maiiL + mair® ; max min rH > L +maxr* > Lh—L = —L.

13

(5)

IIIOjvV / , IIIOJVV 111111 I A I t"? I IIIOJVV / I I r> — v r> •

j=1,2 j ' кФъ j=1,2 j J ' j=l,2 j P 2 P 2 P Тогда,

1 • í, i • kl 3,

- mm max < l¡ + max г,- ; max mm г,- > > -L.

2 i=1,2,3 I i j=1,2 j ' k*i j=1,2 j J 4 p

3 a

£1 < «£2 <=> —/p < — íp <=> a > 3.

Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть относительно величин £1, £2 известно, что для всех a < 3 выполнено £1 > a£2. Построим дерево, для которого функция Головача совпадает с /3.

Заметим, что неравенство £1 < 3£2 невозможно. Тогда £1 > 3£2; определим 5 = 2(£1 -3£2) > 0. Пусть в дереве T все рёбра, инцидентные центральной вершине, имеют длину 4£2 + 5, одно висячее ребро имеет длину 2£2, а остальные висячие рёбра имеют длину 2£2 + 5.

p

4 ъ,

4e,+ö

Рис. 3.

Нетрудно убедиться, что f является функцией Головача для T. Минимальный радиус, с которым два преследователя ловят убегающего на T, достигается на половине длины ребра (Ъ2,Ъз) (обозначения вершин на рис. 3 совпадают с обозначениями на рис. 2) и равен е2, а минимальный радиус для поимки убегающего одним преследователем— на половине длины цепи (о,Ъз,Ъ\) и равен 1/2(6^2 + 25) = е\.а

Литература

1. Абрамовская Т. В., Петров Н. Н. О некоторых задачах гарантированного поиска на графах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 2. С. 64-70.

2. Абрамовская Т. В. Нетривиальные разрывы функции Головача для деревьев // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 3. С. 3-12.

3. Абрамовская Т. В., Петров Н. Н. О сколь угодно больших скачках функции Головача для деревьев // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 1. С. 84-93.

4. Абрамовская Т. В., Петров Н. Н. О монотонности поискового числа в задаче Головача // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2011. Вып. 4. С. 3-9.

5. Головач П. А., Петров Н.Н., Фомин Ф.В. Поиск на графах // Труды института математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6(№1). С. 39-54.

6. Parsons T. D. Pursuit-evasion in a graph // Theory and Applications of Graphs. / Y. Alavi and D. R. Lick, eds. Springer-Verlag. Vol. 642. 1978. P. 426-441.

7. Головач П. А. Минимальные деревья с данным поисковым числом // Кибернетика и системный анализ. 1992. №4. С. 25-31.

Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.