ПРОБЛЕМА РАЗНОУРОВНЕВОГО СОДЕРЖАНИЯ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В КОЛЛЕДЖЕ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

© Мшзеша Ь.

ПРОБЛЕМА РАЗНОУРОВНЕВОГО СОДЕРЖАНИЯ СРЕДСТВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В КОЛЛЕДЖЕ

Л.И.Майсеня, кандидат физ.-мат. наук, доцент, Минский государственный педуниверситет им. М. Танка,

г. Минск, БЕЛАРУСЬ

В статье аргументируется необходимость реализации разноуровневого обучения математике в колледжах. В условиях действия госстандартов, которые регламентируют требования к минимуму содержания и уровню подготовки специалистов-техников, обучение этому минимуму может быть весьма вариативным по форме, содержанию и уровню сложности В качестве аргументов выступают также полифункциональный характер образовательной системы колледжа, потенгцшльные различия в будущих образовательных траекториях выпускников, различная степень стартовой математической грамотности абитуриентов колледжа и различная степень обучаемости Приводится пример созданного комплекса учебных пособий с разноуровневой системой учебных заданий -репродуктивного, продуктивного и творческого типов.

Непрерывность и преемственность математического образования, которые имеют черты стабильности в средней школе, претерпевают разрыв при переходе на ступень колледжа. Этот разрыв особенно ощутим после общего базового образования. Он усугубляется неоднородностью «входящего» уровня математических знаний учащихся. В связи с этим проблема обеспечения преемственности математического образования оказывается сопряженной с проблемой организации дифференцированного подхода в обучении математике. Если речь идет об обучении математике в тех колледжах, где готовят специалистов для наукоемких производств, то мы находимся еще в более непростой методической ситуации, связанной с реализацией фундаментально-прикладного уровня математического образования. Из-за многогранности целевых установок при моделировании содержания математического образования успешное решение возникающих проблем возможно только при условии следования теоретическим предпосылкам гностической, гуманистической и компетентно-стной парадигм. С одной стороны (начиная с 1-го курса), мы стоим перед проблемой фундаментализации математического образования, поскольку речь идет о подготовке специалистов для

наукоемкого производства, с другой -перед проблемой реализации личност-но-ориентированного подхода в обучении. За этим стоит формирование средствами математики теоретического типа мышления, прикладных умений и навыков. Все это - в оболочке компетентно-стного подхода к профессиональному образованию.

При усвоении большого объема учебного материала в условиях ограниченных временных рамок стало традицией, что учащийся проходит учебный путь лишь до умений действовать по образцу. Приобщение учащихся к опыту творческой деятельности в соответствии с его возможностями так и остается желаемым. Большое значение для обеспечения преемственности и реализации дифференцированного подхода в обучении имеет соответствующее проектирование содержания учебников и учебных пособий.

Принято считать, что обучение должно быть доступным и посильным для учащихся, соответствовать их способностям и уровню развития. В условиях действия госстандартов, которые регламентируют требования к минимуму содержания и уровню подготовки специалистов-техников, обучение этому минимуму может быть весьма вариативным по форме, содержанию и уров-

®

ню сложности. Более того, факт сложности содержания образования носит относительный характер даже в пределах одной аудитории: что сложно для учащихся с относительно низкой стартовой обученностью, может оказаться примитивным для хорошо подготовленных.

Учитывая полифункциональный характер образовательной системы колледжа, потенциальные различия в будущих образовательных траекториях выпускников, различную степень математической грамотности абитуриентов колледжа и различную степень обучаемости, приходим к заключению об обязательности разноуровневого обучения математике.

В реальной педагогической практике задача усложняется тем, что к концу 90-х годов в Беларуси оказался утраченным опыт централизованной подготовки специальных средств обучения по математике для системы средних специальных учебных заведений. «Суетливое» использование школьных и вузовских учебников и учебных пособий не способствует созданию размеренного образовательного движения и по содержанию, и по форме, и по методам. К общим трудностям следует прибавить неоднородный стартовый уровень по-слешкольной математической грамотности учащихся, неоднородный уровень обучаемости математике, по сути, различную ценностную ориентацию и мотивацию учащихся. Указанные факторы привели нас к заключению, что успешное решение методической проблемы обеспечения должного качества математического образования и формирования математической компетентности учащихся возможно, прежде всего, при наличии специальных средств обучения, которые создают предпосылки для организации разноуровневого обучения математике и соответствуют по своему содержанию поставленным в обучении целям. «Под средствами обучения понимаются приспособления, источники и носители учебной информации ... Сред-

ства обучения, как и методы, выполняют обучающую, воспитывающую и развивающую функции, а также содействуют побуждению учащихся к учебно-познавательной деятельности, управлению этой деятельностью и контролю» [1, с. 44].

Для достижения названных целей нами создан комплекс из шести учебных пособий под общим названием «Математика в примерах и задачах» (первые четыре части [2]-[5] уже изданы с грифом Министерства образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования, и учащихся учреждений, обеспечивающих получение среднего специального образования по специальностям электротехники, радиотехники и информатики). Разработанные учебные пособия имеют свою упорядоченную структуру, которая реализована во всех частях издания: по всем темам дана краткая теоретическая информация, приведено определенное количество задач с решениями и - самое главное - содержится иерархическая система заданий. Задания «разбиты» на три уровня сложности, что позволяет обеспечить процесс разноуровневого обучения математике не только в одной конкретной учебной группе, но и потенциально в системе колледжей для различных специальностей и различного типа математического образования. Градация заданий произведена следующим образом:

1-й уровень - задания репродуктивного типа;

2-й уровень - задания продуктивного типа;

3-й уровень - задания творческого типа.

Мы исходим из того, что реализация педагогом лишь репродуктивного типа обучения не является оптимальной для перспективы развития учащегося, т. к. не создаются должным образом предпосылки для развития всех видов мышле-

(лм)

© Мшзеша Ь.

ния, разносторонних качеств ума, разноплановых стилей мышления. Формирование мыслительных операций и познавательных умений происходит в ограниченном объеме. Получение математического образования в таком случае сводится к заучиванию некоторого объема математических сведений, к решению задач по образцу, к «зубрежке». Математические знания, полученные таким путем, могут стать бесполезными и абстрактными. Использование репродуктивных методов и методик в качестве подготовки к продуктивному типу и в комплексе с ним создает все предпосылки для оптимального умственного развития учащихся и реализации дея-тельностного подхода с целью саморазвития учащихся. В этом и состоит значение включенных нами в пособие задач 1-го уровня.

Различные личностные возможности учащихся и закономерности интеллектуального развития требуют, чтобы средства обучения содержали учебный материал, обеспечивающий как репродуктивный, так и продуктивный типы обучения. Репродуктивный тип обучения в преобладающей степени соответствует эмпирическому типу интеллектуальной активности учащегося, продуктивный - теоретическому типу.

Продуктивный тип учения создает условия для творческого роста личности, обеспечивает развитие индивидуальных способностей каждого учащегося и создает базу для самообучения и самообразования. Деятельность педагога в таком случае направлена не столько на передачу математической информации, сколько на организацию учения, самообучения, самовыражения, саморазвития неповторимой личности каждого учащегося. Этому призваны служить предлагаемые нами в учебных пособиях задания 2-го уровня.

Для тех учащихся, чей математический «багаж» велик, чья учебная деятельность достаточно активна и самостоятельна, чья дальнейшая образова-

тельная траектория прогнозируется как университет - магистратура - аспирантура, в их образовании должен широко использоваться метод научного образования (по А. О. Карпову [6]). Целью его использования является формирование стиля научного мышления у способных и одаренных учащихся. Учитывая популярность колледжей в Беларуси, такие молодые люди не являются редким исключением из контингента учащихся. В таком случае стиль научного мышления следует воспринимать «не просто как сильную сторону индивидуального ума, но зачастую как желательное приобретение и даже острую необходимость для автономного состояния личности» [6, с. 20]. Поэтому учебный материал обязательно должен содержать определенную часть для способных учащихся. По нашему замыслу это задания 3-го уровня.

В будущей профессиональной деятельности выпускников колледжа проблемная ситуация будет возникать перманентно и перманентно от них потребуется готовность разрешить ее. Математическая компетентность, находясь в контексте профессиональной компетентности, предполагает сформированность у будущего специалиста готовности входить в проблемное пространство и способности выходить из него путем решения проблемы. В связи с этим воспитание и формирование этих качеств является методически актуальной задачей. В условиях разноуровневого обучения степень сложности предлагаемой учащемуся проблемной ситуации учебного задания зависит от уровня теоретической и практической готовности учащегося решить эту проблему.

Разрабатывая упомянутые средства для организации разноуровневого обучения, мы исходили из того, что методически обоснованной является такая дидактическая система обучения, в которой каждое искомое решение в цепи обучающих проблем логически вытекает из предшествующих этапов когни-

тивного, практического, эмоционального роста учащегося. Здесь следует учитывать, что слишком сложная проблемная ситуация может сыграть регрессивную роль, снижая познавательную мотивацию и дестабилизируя умственную активность учащихся. Часто это проявляется даже во внешнем поведении группы. Такой отрицательный эффект возникает, если для решения поставленной математической проблемы от учащихся требуется не свойственный им уровень мыслительной деятельности и если педагог переоценивает степень самостоятельности учащихся в решении этой задачи, т. е. если проблемная ситуация находится за пределами зоны ближайшего развития. Организуя разноуровневое обучение с помощью разработанных пособий, такая ситуация преодолевается достаточно успешно, т. к. каждый учащийся получает возможность сознательно выбирать свой посильный уровень сложности решаемых заданий. Использование системы заданий различного уровня позволяет обеспечить достаточное разнообразие подготовки: от учащихся с замедленным темпом усвоения до способных к математике учащихся. Структура книг создает также предпосылки для успешного математического самообразования.

Разрабатывая комплекс учебных пособий «Математика в примерах и задачах», мы ставили перед собой цель создания именно системы задач для обеспечения процесса обучения математике в колледжах. Заметим, что задача - это всякая операционально и диагностично выраженная цель (по М.Е.Бершадско-му). Как известно, характеристиками системы являются целостность, структурность, иерархичность. В названных учебных пособиях [2-5] представлена совокупность задач, последовательно связанных между собой логикой развития математической теории, педагогически адаптированной в содержании учебного материала. В данном пособии представлены задачи по всем темам

курсов математика и высшая математика, изучаемых в колледже (после общего базового образования) на различных уровнях сложности, поэтому система задач характеризуется целостностью.

В качестве примера обратимся к содержанию только одного параграфа 1.2 «Множества и операции над ними. Числовые множества» учебного пособия [2]. Согласно рабочей программе это вторая учебная тема на первом курсе.

После краткой теоретической информации, представленной в справочном стиле, в параграфе содержатся решения следующих 4-х примеров.

Пример 1. Доказать равенство A\( A \ B) = A n B.

Пример 2. На первом курсе учатся 200 студентов. Из них своевременно сдали зачет по математике 175 человек, а по физике - 185 человек. Не сдали зачет ни по математике, ни по физике 10 человек. Сколько студентов сдали оба зачета?

Пример 3. Сократить дробь (2n -1)!+ (2n)! (2n+1)! .

Пример 4. Вычислить сумму

I

(-1)

=1(п-1)!' Задания

I уровень

1.1. Пусть А = [-2,3],

В = (-<,0), С = [0, 4). Найдите множество:

1) А и В; 2) А п В; 3) В и С;

4) В п С; 5) А и (В п С); 6) А \ (В п С).

1.2. Пусть А - множество натуральных делителей числа 15; В - множество простых чисел, меньших 10; С - множество четных чисел, меньших 9. Найдите множество:

1) А и В; 2) А п В; 3) В п С; 4) (А и С) п В;

5) А и (С п В); 6) А п В п С.

1.3. В группе учатся 28 студентов,

(ш)

© Ма1зета Ь.

каждый из которых умеет кататься на лыжах или коньках. При этом 20 человек умеют кататься на лыжах, 15 человек - на коньках. Определите, сколько студентов умеют кататься и на коньках, и на лыжах.

1.4. Задано некоторое количество натуральных чисел, которые кратны или числу 2, или числу 3. Известно, что числу 2 кратны 10 чисел; числу 3 кратны 7 чисел; и числу 2, и числу 3 кратны 4 числа. Определите общее количество заданных чисел.

1.5. Все 25 человек класса сходили в театр или кино. Известно, что 20 человек были в кино, 10 человек - и в театре, и в кино. Сколько человек было в театре?

1.6. Вычислите:

1) 31+21- 2) 5!. 3) . 4) (5-2)!

1) 3!+2!. 3!; 3) 2.3! ; 4) 5!_2! •

1.7. Сократите дробь:

1)

(п+1)1.

2)

(2п)1

2 ■ п1 ' (2п+1)1'

1.8. Определите целую и дробную части числа:

3

1) 1,02; 2) -1,2; 3) 3; 3

4) 28; 5)-5,2; 6) 3,25.

1.9. Вычислите выражение:

1) [2,8]+3[_2,8] _2{2,25};

2) +[-7,08]. [5,25] 1 ' -1

1.10. Запишите сумму, указав каждое слагаемое, и вычислите ее:

5 1

п=2 п

1) 2) ¿Ц^

п=1 п п=2 п 1

4 / 1\п+1

3) У(-1)

) пу(п +1)1.

II уровень

2.1. Запишите, с помощью каких операций над множествами А, В, С получено заштрихованное множество на рис. 1.9:

2.2. Пусть А = 2], В = [_3; 5) -

подмножества универсального множества и = Я. Найдите множество:

1) А и В; 2) А п В;

3) А и В; 4) А п В.

2.3. Заданы множества:

А={ап\ап = 2п, п е К}; В = {ъп\ъп = 4п_2,пе N1; С ={сп\сп = 4п + 2,пе

Найдите множество:

1) А и В; 2) А п В;

3) В \ С; 4) А \ В;

5) А п В п С; 6) А и В и С.

2.4. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 - на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на лыжах, и на коньках?

2.5. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский, 45 французский и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

2.6. В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и коробку конфет. В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?

2.7. В первом туре олимпиады участвовали 100 студентов, из них 70 человек получили право участвовать во втором туре олимпиады по физике, 45 - по математике. Известно, что 23 человека могут участвовать во втором туре и по физике, и по математике. Сколько студентов не допущено ко второму туру ни по физике, ни по математике?

2.8. Сравните дроби:

1) (2п)!- (2п - 2)! и (2п)!+ (2п - 2)!.

(2п-1)! (2п + 2)! '

2) (2п-1)!+(2п+1)! и (2п)!+ п2(2п-1)! ) п(2п)! (2п + 2)! .

2.9. Сократите дробь и упростите полученное выражение:

(п-1)+3п!

1)

(n+1Xn-1)!-(n-2)!' 2) (n-1)!+(n-3)! . 2n2(n-3)!+(n-2)!' 2nn!-3(n -1)!, (n+1)!-4n! ' (2n)!+ (2n + 2)!

3)

4)

(2n - 2)!- (2n)! III уровень

3.1. Для универсального множества R рассматриваются подмножества

A={x| x2 - 4 < 0, x е R},

B = {x| x2 -6x+5>0,xе R}. Найдите множество:

1) A n B;

2) A u B;

3) (А п В)\В.

3.2. Докажите включение:

1) ((А и В)\С )<(А и (В \ С));

2) ((А п В)\С )<=((А и В)\С).

3.3. Докажите равенство:

1) (А\В)и(В \ А) = (Аи В)\(Ап В);

2) (А \ В)\С = А\(В и С).

3.4. Среди абитуриентов, которые успешно выдержали вступительные экзамены в университет, оценку «отлично» получили: по математике - 48 чело-

век; по физике - 37; по белорусскому языку - 42; по математике или физике -75; по математике или белорусскому языку - 76; по физике или белорусскому языку - 66; по всем трем дисциплинам -4. Выясните: 1) сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятерку; 2) сколько человек получили только одну пятерку.

3.5. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике - 50, по информатике - 48. Когда учеников опросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем «в одной», а «в трех» - втрое меньше, чем «в одной». Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

3.6. Из 100 абитуриентов на первом экзамене получили отличные и хорошие оценки 80 %, на втором экзамене -72 %, на третьем - 60 %. Какое может быть наименьшее число абитуриентов, получивших отличные и хорошие оценки на всех трех экзаменах?

3.7. Выясните, при каком натуральном п справедливо неравенство и докажите его методом математической индукции:

1) 2п <п!;

2)пп >2п • п!;

3) Д (п!)2 >2п!.

п+1

Заключение. При создании разноуровневой подборки задач в пособиях [2-5] мы исходили из того, что интеллектуальная активность учащегося, способность к познанию могут быть сформированы только в случае включения его в поэтапную деятельность от репродуктивного до творческого характера. Только в том случае, если содержание учебника, учебного пособия «направлено на стимулирование самостоятельного поиска учащегося, его научного и творческого мышления, а форма предъявления учебного материала следует за естественным ходом восприятия информации, становится реальным развитие

© Maisenia L.

личности, способной к самовыражению, с продуктивным отношением к миру, со свободным мышлением, с умением конструктивно решать проблемы» [7, с. 17].

В заключение отметим следующее. При совершенствовании математического образования важно активизировать познавательную деятельность учащихся, которая является необходимым компонентом учебной деятельности. Роль педагога, наставника сводится к обеспечению условий для превращения ученика в субъекта учебной деятельности, превращения ученика в учащегося, который учиться самостоятельно, мотивированно и с интересом.

1. Цыркун ИИ. Генеративное обучение педагогике: программно-методический комплекс для организации самостоятельной работы студентов / И.И.Цыркун, Л.А.Козинец, В.И.Пунчик - Минск: Жасскон, 2005. - 192 с.

2. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей: в 6 ч. / под общ. ред. Л.И.Майсеня. - Минск:

, 2006. - . 1: -ния и неравенства. Функции. Логарифмы / Л.И.Майсеня, С.Б.Мшснач, Д.И.Радюк, . . . - 2006. - 226 .

3. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей: в 6 ч. / под общ. ред. Л.И.Майсеня. - Минск:

МГВРК, 2006. - Ч. 2: Тригонометрия. Векторы. Аначитическая геометрия на плоскости Предел. Производная. Стереометрия / Л.И.Майсеня, С.Б.Мштач, МЛ.Качугина, Е.В.Уласевич, Т.В.Есипович. - 2007. - 274 с.

4. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей: в 6 ч. / под общ. ред. Л.И.Майсеня. - Минск: МГВРК, 2006. - Ч. 3: Линейная ачгебра. Век.

пространстве. Предел и непрерывность функции. Дифферен1{иачъное исчисление. Функции многих переменных / Л.И.Майсеня, . . , . . , . . . - 2007. - 282 с.

5. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей: в 6 ч. / под общ. ред. Л.И.Майсеня. - Минск:

, 2006. - . 4: -

рач. Определенный интеграч. Несобственные интеграчы. Дифферен1{иачъные уравнения / . . , . . , . . -лова. - 2007. - 248 с.

6. . .

контексте новой педагогической парадигмы / . . // . - 2004. - 2. -

С.20-27.

7. . .

особенностей познавательной сферы учащихся при создании учебника / В.И.Матюшонок // Вестк адукацъй. - 2006. - № 2. - С. 17-23.

Резюме. Майсеня Л.И. ПРОБЛЕМА Р1ЗНОРШНЕВОГО ЗМ1СТУ ЗАСОБШ НАВЧАН-НЯ МАТЕМАТИКИ В КОЛЕДЖ1. У статтг розглядаетъся проблема орган1зацй р1зноргв-невого навчання математики в коледжг та створення спещалъних засобгв навчання.

Summary. Maisenia L. THE PROBLEM OF MULTILEVEL CONTENT OF MATHEMATICAL TRAINING MEANS IN THE COLLEGE. The article deals with the problem of the organization the multilevel training of mathematics in the college and the creation the special means of training.

Надшшла до редакци 25.10.2008р.

<ш)