CC BY
45Теоретика
УДК: 340 + 51-77 + 510 © В. О. Лобовиков, 2013
Проблема неполноты формально определенных систем норм позитивного права, первая теорема Гёделя о неполноте и юридические фикции как важный компонент юридической техники
В. О. Лобовиков *
Систематически применяя общеизвестные понятия, методы и результаты математической логики, автор развивает критический анализ возможности и уместности непосредственного использования первой теоремы К. Гёделя о неустранимой неполноте логически непротиворечивой формальной теории арифметики для обоснования взглядов юристов на проблему полноты систем позитивного права. Обсуждается проблема логических противоречий в формальных системах, в частности автореферентность и негативная автореферентность как возможные причины таких противоречий. Доказывается, что не всякое негативное автореферентное высказывание является логическим противоречием. Обращается внимание на возможность использования юридической техники, особенно юридических фикций, для решения проблемы неполноты формально определенных систем норм позитивного права.
Ключевые слова: формально-логическая; система норм права; непротиворечивость; неполнота; теорема Гёделя;
юридическая фикция.
1. Об уместности ссылок при обсуждении проблемы неполноты систем формально определенных норм позитивного права на первую теорему К. Гёделя о неустранимой неполноте логически непротиворечивой формальной теории арифметики
Данная статья посвящена общей теории права, точнее, отношениям абстрактной теории права, философии права и математической логики . Некоторые авторы работ по философии права ссылаются на знаменитую первую метатеорему К . Гёделя о неустранимой неполноте формальной арифметики в случае ее непротиворечивости 1 . Они полагают, что эта метатеорема убедительно обосновывает их теоретикоправовой тезис о принципиальной неполноте (неустранимой «пробельности») любых систем позитивного права Однако такие ссылки в большинстве случаев неубедительны, по крайней мере, по двум причинам
Отметим сразу, что индуктивный вывод по аналогии, переносящий принципиальную неполноту
* Постоянный автор нашего журнала .
любых логически непротиворечивых формальных теорий арифметики на любые системы формально определенных норм позитивного права, весьма уязвим . В обсуждаемой теореме Гёделя вывод о неполноте делается в отношении логически непротиворечивой формальной арифметики, а реально существующие системы формально определенных норм позитивного права очень часто логически противоречивы и, следовательно, тривиально полны (дают возможность обосновать любую норму деятельности и любую оценку любых поступков), если обоснование базируется на классической логике . Те, кто признают факт противоречивости многих реально существующих систем формально определенных норм позитивного права, но при этом не признают их тривиальной полноты (возможности логически безупречного обоснования произвола), вынуждены объявить, что юристы в своих противоречивых системах используют некую неклассическую (немонотонную, паране-противоречивую) логику, и поэтому произвола нет,
хотя противоречия есть; именно неклассический характер юридической логики не позволяет противоречиям «расползаться» и поражать всю систему как целое; противоречия «блокируются», «локализуются» (изолируются от целого) . Однако считать такую логически противоречивую систему формально определенных юридических норм аналогичной логически непротиворечивой формальной теории арифметики, на мой взгляд, очень рискованно
Далее, в словосочетаниях «формальная арифметика» и «формальная система норм позитивного права, т. е . система формально определенных норм позитивного права», значения слова «формальная» качественно различны, поэтому возникает возможность нарушения логического закона тождества в процессе рассуждения; могут иметь место психологически незаметные, но логически необоснованные подмены понятий и тезисов в ходе доказательств . То же самое можно сказать и о словах «полнота» и «неполнота», используемых в обсуждаемой аналогии . Слово «полнота» (а значит, и «неполнота») имеет множество качественно различных значений даже в узко профессиональной сфере научных исследований по математической логике и философским основаниям математики, что очень хорошо демонстрируется в статье известного специалиста в этой области науки В . В . Целищева 2 . Значительное расширение круга лиц, систематически использующих слова «полнота» и «неполнота», включающее в этот круг не только чистых математиков, но и юристов, философов права и философов вообще, приводит к еще большей многозначности, сложности и запутанности речи .
Например, юристы и философы права могут иметь в виду полноту системы норм (действий) относительно системы положительных оценок (соответствующих действий) 3, в то время как логики могут иметь в виду полноту системы теорем формализованной теории относительно системы формул, являющихся истинными в стандартной интерпретации этой теории. Эти два понятия о полноте (неполноте) качественно различны: первое относится к формально-аксиологически организованной сфере ценностей; а второе — к формально-логически организованной сфере фактов Две эти сферы принципиально различны и эффективно разделены в абстрактной юридической теории и философии права с помощью логико-методологического принципа, широко известного под условным названием «Гильотина Д. Юма» 4 .
С точки зрения «Гильотины», весьма проблематичен (нуждается в дополнительном обосновании) переход от сферы фактов, а именно от формальнологической неполноты формальных теорий арифметики, к сфере ценностей, а именно к формально-
аксиологической неполноте формализованных кодексов норм деятельности.
Кроме того, доказательство первой теоремы Гёделя о принципиальной неполноте формальной арифметики (в случае ее логической непротиворечивости) содержит некоторые аспекты, требующие дальнейшего прояснения и адекватного истолкования . Особого внимания заслуживает тот факт, что знаменитое неразрешимое автореферентное предложение Гёделя представляет собой аналог парадокса «лжец», известного с античных времен. На эту эвристически важную аналогию указывают многие авторитетные ученые . Но автореферентный парадокс «лжец» в его современной формулировке (а не в старинной версии критянина Эпименида) является формально-логическим противоречием . Индуктивно рассуждая по аналогии, можно предположить, что не только самореферентный «лжец», но и его аналог — неразрешимое самореферентное предложение Гёделя — является формально-логическим противоречием. При этом в качестве индуктивно обоснованной гипотезы может быть предложен тезис о том, что причина парадоксальности как логической противоречивости высказывания заключается в саморефе-рентности
Данный индуктивный вывод порождает стремление к воздержанию от любых актов самоприме-нимости, к абсолютному запрету автореферетности Такой подход в логико-философской литературе существует, но подвергается критике (например, в работах Х. Патнэма 5), на мой взгляд, вполне обоснованной Отвергая гипотезу, что причиной логической противоречивости автореферентных парадоксов является их автореферентность как таковая, некоторые исследователи (например, В. А . Ладов в интересной монографии «Формальный реализм» 6) выдвигают гипотезу, что причиной логической противоречивости автореферентных парадоксов является их негативная автореферентность Таким образом, с «самой по себе» автореферентности вообще обвинение и даже подозрение снимается, «круг подозреваемых сужается» Теперь в качестве эффективного средства против обсуждаемого вида парадоксов предлагается воздерживаться от любых актов отрицательной са-моприменимости Но не является ли такое предложение тоже весьма грубым, чересчур радикальным средством (достаточным, но не необходимым условием) устранения парадоксов обсуждаемого вида? Всякое ли негативное автореферентное высказывание представляет собой формально-логическое противоречие? Или, иначе говоря, существует ли по крайней мере одно такое негативное автореферентное высказывание, которое логическим противоречием не является? Эти интересные вопросы обсуждаются в следующем разделе настоящей статьи
2. Не всякое негативное автореферентное высказывание является формально-логическим противоречием
В данной части статьи представлено доказательство того, что из допущения «всякое негативное ав-тореферентное высказывание является логическим противоречием» логически следует логическое противоречие с первой теоремой К . Гёделя о неполноте логически непротиворечивой формальной арифметики . Если верна указанная теорема Гёделя, то неверно вышеупомянутое допущение, следовательно, не всякое негативное автореферентное высказывание является формально-логическим противоречием
Пусть символ <^» обозначает выражение «высказывание ,^“ истинно». Договоримся далее в статье использовать символы V, &, = для обозначения слабой (неисключающей) дизъюнкции, конъюнкции и логической эквивалентности соответственно, а горизонтальную черту сверху будем использовать для обозначения отрицания того, что находится под чертой . Пусть «^» обозначает некое (любое) высказывание, а «Р» — некое (любое) свойство высказываний. Тогда «^» обозначает утверждение имеет свойство Р» Договоримся далее в статье (по определению) называть q негативным автореферентным (или самореферентным) высказыванием, если и только если ^ = (Pq)).
Верно ли для любого q и любого Р, что ^ = (Pq)) есть формально-логическое противоречие? Этот вопрос заслуживает тщательного изучения и обсуждения, так как некоторые философы полагают, что негативные самореферентные высказывания следует запретить, так как они парадоксальны в том смысле, что содержат в себе формально-логические противоречия 7.
Допустим, что для любого q и любого Р верно, что ((д = (Рд)) = (д & д)). Пусть символ ш обозначает ту специфическую формулу, построенную К . Гёделем в формальной арифметической теории S, которая (формула) недоказуема в S (в случае логической непротиворечивости S), и утверждает (в своей стандартной! арифметической интерпретации) свою собственную недоказуемость в S . Из сформулированного выше допущения (с помощью подстановки ш вместо q и [5 Ь] вместо Р) можно получить допущение 1.
1. (ш = ( 51- ш)) = ( ш & И7). (Допущение).
2. ((Тш) = ш) = (ш & ш) . (Теорема логической семантики8).
3. (ш = (5 I- ш)) = ((Тш) = ш). (Из 1 и 2, согласно пропози циональной л огике) .
4. (ш = ^ \~ ш)) = ((Тш) = ш) . (Из 3, согласно пропозициональной логике) .
5 . (ш = ш) = ((S Ь ш) = (Тш)). (Из 4, с помощью коммутативности и ассоциативности бинарной операции «логическая эквивалентность»)
6. (5 Ь ш) = (Тш). (Из 5, согласно пропозицио-н альной логике).
7. (Тш) = ^ — ш). (Из 6, согласно пропозицио-нальтой логике) .
8. Теорема L: Если (ш = (S — ш)) = (ш & ш), то (Тт) 5 (О — т). (Согласно логическому выводу, представленному последовательностью «шагов» 1-7) .
Консеквент теоремы L логически противоречит первой теореме Гёделя о семантической неполноте любой логически непротиворечивой формальной арифметической теории. Следовательно, если первая теорема Гёделя о неполноте верна, то (ш = ^ — ш)) = (ш & ш) ложно . Следовательно, не всякое негативное автореферентное высказывание является формально-логическим противоречием
3. Юридическая техника: опровержимые презумпции; неопровержимые презумпции и юридические фикции в их отношении к первой теореме Гёделя о неполноте
В настоящее время гениальные ограничительные метатеоремы Гёделя считаются твердо установленными логико-математическими фактами: они — норма современного научного сознания в соответствующей предметной области Поэтому сегодня сомнения в истинности полученных Гёделем результатов, навязчивое стремление к осуществлению попыток их опровержения — явное отклонение от указанной нормы — предмет снисходительных улыбок и шуток профессиональных математиков над любителями-дилетантами, а также объект чисто профессионального интереса и пристального внимания психотерапевтов, озабоченных частыми «вывихами головного мозга» в процессе решения великих проблем: «квадратура круга», «вечный двигатель», «теорема Ферма» и т. п. «головоломки». Поэтому, чтобы не усложнять себе жизнь без достаточного на то основания, вполне разумно принять теорему Гёделя о неполноте и выразить сочувствие врачам-психотерапевтам, пытающимся решать весьма непростую задачу, а затем подумать о том, как жить в мире, в котором обсуждаемая теорема Гёделя верна . Успешная адаптация к такому миру вполне возможна Причем она может осуществляться разными способами . Одна из весьма перспективных стратегий такой адаптации предложена и детально разрабатывается всемирно известной сибирской научной школой математиков, логиков и философов 9. В данном разделе статьи внимание исследователей обращается на возможность использования потенциала юридической техники для успешной адаптации правоприменительной и правотворческой деятельности к миру, в котором верны ограничительные теоремы Гёделя
В юридической технике нас в данной работе будут интересовать презумпции (как опровержимые,
так и неопровержимые), а также юридические фикции 10. От тысячелетий истории названных элементов юридической техники, а также от идеологически обусловленных критических атак на юридические фикции и неопровержимые презумпции, мы в настоящей статье абстрагируемся, отсылая читателей к специальной литературе Внимание к презумпциям и юридическим фикциям будет сосредоточено на их логико-методологическом статусе С чисто логической точки зрения, презумпция есть допущение; опровержимая презумпция у есть допущение истинности у при условии отсутствия опровержения у. Неопровержимая презумпция у есть допущение истинности у при любых условиях, т. е ., в частности, даже при условии наличия опровержения у Когда отсутствует опровержение презумпции у, тогда (и только тогда) нет никакой логической разницы между опровержимой и неопровержимой презумпциями у В свою очередь, при условии наличия опровержения допущения у нет никакой логической разницы между неопровержимой презумпцией у и юридической фикцией у. Поэтому в указанном частном случае (и только в нем) юридические фикции и неопровержимые презумпции оказываются в одинаковом положении объекта яростной критики со стороны лиц, фанатически (абсолютно строго, безоговорочно) преданных истине . Именно этот конкретный частный случай, в котором юридические фикции и неопровержимые презумпции логически неразличимы (совпадают), представляет для нас особый интерес и является основным предметом обсуждения в данном разделе статьи
Допустим, что теоретики права вполне обоснованно применяют обсуждаемую теорему Гёделя (о неполноте логически непротиворечивой формальной арифметики) к конструированию юридически формализованных кодексов правовых норм деятельности (в случае непротиворечивости этих кодексов) Из такого допущения следует, что существует (может быть построен) такой юридически формализованный кодекс правовых норм деятельности, который является неполным (и не может стать полным никогда), если он непротиворечив . Акты негативной авто-референтности неизбежно окажутся источником неполноты этого кодекса .
А если для адаптации к данной сложной гипотетической ситуации применить юридическую1 технику, а именно, ввести в обсуудаемый гипотетический кодекс релевантную (соответствующую ситуации и цели) юридическую фикцию? Вопртс интересный, но какая именно юридическая фикция имеется в виду? Для поиска возможного ответа на этот вопрос обратимся к предыдущему разделу статьи, в котором содержится доказательство теоремы L: Если (ш = ^ \~ ш)) = (ш И ш), то (Тш) у (6 Ь ш). Если,
осущ ествля я мысленный эксперимент, в формализованный кодекс ввести в качестве неопровержимой презумпции (или юридической фикции) антецедент теоремы L, то обусловленный логически непротиворечивой негативной автореферентностью феномен семантической! неполноты исчезнет. Он будет нейтрализован («заблокирован»), так как из конъюнкции введенной юридической фикции с теоремой L, согласно правилу «modus ponens», следует (Тю) = (S h ю).
В ответ на это читатель может возразить, указав на ложность допущения формально-логической противоречивости в сякого негативного автореферентно-го высказывания, которая (ложность) была доказана во втором (предыдущем) разделе настоящей статьи . Более того, в том же (предыдущем) разделе высказывание (ш = (У — ш)) = (ш & ш) было опровергнуто как логически противоречащее первой теореме Гёделя о неполноте . Как же можно ввести это уже опровергнутое допущение в кодекс в качестве нормы? Ответ — его можно ввести как (юридически) неопровержимую презумпцию или юридическую фикцию.
Введение в юридически формализованный кодекс норм (юридически) неопровержимой презумпции (юридической фикции) «всякое негативное авто-референтное высказывание является формальнологическим противоречием» не противоречит математической логике, так как фактическая опровержи-мость и ложность этой презумпции не оспариваются, а признаются и даже доказываются в предыдущем разделе статьи
Вводя юридическую фикцию как таковую, т е как чисто техническое средство, в систему права, профессиональный юрист не может не отдавать себе отчет в том, что вводимая им юридическая норма есть заведомо ложное положение Однако введение такой фикции 1может быть целесообразно, оправданно и даже необходимо в некотором теоретическом или практическом отношении . Иначе говоря, введение юридической фикции должно быть мотивировано тем, что оно крайне необходимо для реализации некой очень важной ценности . Неизбежное отступление от фактической истины извиняется (оправдывается) «крайней необходимостью» такого отступления для осуществления значительно более ценной деятельности. Если полнота системы есть положительная ценность, то если эта ценность значительно превосходит ценность некой пустяковой истины, этой пустяковой истиной можно пожертвовать ради полноты системы . Вопрос о важности или неважности (пустяковости) арифметических истин в формальной арифметике не ставится и не обсуждается. А что если все формулы, недоказуемые в теории S, но истинные в стандартной интерпретации этой теории, являются несущественными (пу-
стяковыми) в S? Для основательного ответа на этот вопрос необходимо специальное метаматематическое исследование, основанное на некой общепринятой экспликации понятия «существенная (непустяковая) истина в стандартной интерпретации S», но это — дело будущих исследований: пока вопрос остается открытым
1 Клини С. К. Введение в метаматематику. М. , 2009. 523 с . ; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М. , 1984.319 с .
2 Целищев В. В. Непротиворечивость и полнота как нормы дедуктивного мышления в свете теорем Гёделя о неполноте арифметики // Философия науки . 2005. № 2. С. 33-52.
3 Лобовиков В. О. Модальная логика оценок и норм с точки зрения содержательной этики и права. Красноярск, 1984.272 с .
4 Лобовиков В. О. Учение Парменида и Мелисса о небытии движения и «Гильотина Д. Юма» с точки зрения двузнач-
ной алгебры метафизики // Вестник Томского ун-та . Философия . Социология . Политология . 2011 . № 2. С. 130-138.
5 Патнэм Х. Реализм с человеческим лицом // Аналитическая философия: Становление и развитие . М. , 1998. С 466-494.
6 Ладов В. А. Формальный реализм . Томск, 2011. 132 с .
7 Там же .
8 Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики // Аналитическая философия: становление и развитие . М ., 1998. С 91-129 .
9 Проблемно-ориентированный подход к науке . Философия математики как концептуальный прагматизм / отв. ред. В. В . Целищев . Новосибирск, 2001. 152 с . ; Ершов Ю. Л., Самохвалов К. Ф. Современная философия математики: недомогание и лечение . Новосибирск, 2007. 142 с .
10 Черниловский З. М. Презумпции и фикции в истории права // Гос-во и право . 1984. № 1 . С. 98-106 ; Лотфуллин Р. К. Юридические фикции в гражданском праве. М. , 2006. 213 с. ; Fuller Lon. L. Legal fictions . Stanford, Calif. , 1967. 142 p . ; Oliver Pierre J. J. Legal fictions in practice and legal science . Rotterdam, 1975 176 p
