Проблема Гекке-Кестена для нескольких интервалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения профессора Сергея Михайловича Воронина

Том 12 Выпуск 1 (2011)

УДК 519.21

В работе получено полное описание множеств ограниченного остатка проблемы распределения дробных долей па, состоящих их нескольких интервалов. Также получена явная оценка остатка на найденных множе-

СТВЭ.Х.

Г.Вейль в работе [15] ввел понятие последовательности, равномерно распределенной по модулю 1, а также доказал свой знаменитый критерий равномерного распределения. В той же работе были приведены превые примеры последовательностей, равномерно распределенных по модулю 1. Простейшей такой последовательностью является последовательность (па)п>1 при иррациональном а.

Пусть X - некоторое множество с интегрируемой по Риману характеристической функцией, {•} - дробная доля и N(а, п, X) = §{к : 1 < к < п, {ка} Е X}. Тогда теорема Вейля о равномерном распределении эквивалентна асимптотической формуле

где \Х | - мера множества X. Пусть г(а, п, X) = N (а, п, X) — \Х\п - остаточный член формулы (1). Ясно, что

Возникает естественный вопрос об улучшении оценки (2). Хорошо известно, что в общем случае оценка (2) неулучшаема без дополнительных предположений об а и X. Выделяется два основных направления исследований функции г (а, п, X).

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 11-01-00578-а.

N (а, п, X) - IX\п,

(1)

г(а, п, X) = о(п).

(2)

1) Получение оценок для функции Б(а,п) = 8ирх=(-а;Ь) т^уп^) при раз-

а

2) При фиксированном а найти множества X для которых справедлива оценка т(а,п^) = 0(1) и получить оценку т(а,п^) для этих множеств. Соответствующие множества X называются множествами ограниченного остатка.

Второе направление берет свое начало в работе Гекке [9], в которой было показано, что интервалы / длины вида а + Ьа, а,Ь Е Ъ являются интервалами ограниченного остатка и для них справедлива оценка

\т(а,п,1 )\ < \Ь\. (3)

Позднее Кестен [10] доказал обращение результата Гекке, то есть показал, что длина каждого интервала ограниченного остатка представима в виде а + Ьа, а,Ь Е Ъ и высказал предположение, что оценка (3) может быть существенно улучшена. В дальнейшем было получено еще несколько доказательств теоремы Гекке-Кестена без улучшения оценки (3) [8], [12]. Позднее оценка Гекке была улучшена в работах [4], [5], [6], [14]. В работе [3], были получены неулучшаемые по порядку оценки для т(а,п^) в случае когда X является интервалом. Более того, в работе [1] были найдены точные значения максимума и минимума остаточного члена.

В настоящей работе рассматривается случай, когда множетсво X является объединением нескольких интервалов. Очевидно, что объединение интервалов ограниченного остатка также является интервалом ограниченного остатка. Обратное утверждение однако неверно, то есть существует множества ограниченного остатка / = /\ и /2 для которых интервалы Д, /2 не являются интервалами ограниченного остатка.

Исследование проблемы Гекке-Кестена для объединений интервалов фактически было начато в работе [11]. Приведем основной результат данной работы. Пусть / : [0; 1) ^ К - полунепрерывная справа функция с конечным числом точек разрыва. Пусть 8/ (х) = /(х+) — /(х-) и А/(х) = ^¿=_оо 8/({х + га}).

Теорема 1. [11] Пусть а - иррационально и Еп(х) = ^!П=\ /({х + га}). Тогда последовательность {Еп(х) — п /0 /(г)йг} ограничена для некоторого (или каждого) х тогда и только тогда, когда, А/(х) = 0.

Для описания множеств ограниченного остатка необходимо подставить в /

теорема ?? доказывается методами эргодической теории, что не позволяет получить какой-либо оценки остатка. Кроме того, условие, даваемое теоремой ??, ненаглядно и сложно для понимания.

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть / = /\ и /2 и ... и /т, где /к = [гк;Зк) и пересечение /г П Д = 0 для всех г,З Тогда / является множеством ограниченного остатка тогда и только тогда, когда, существует перестановка (1\,12,..., 1т)

множества (1, 2,..., т) такая, что Згк — гк = ак + Ька, ак,Ьк Е Ъ, 1 < к < т. Более того, в этом случае справедлива оценка

т

\т(а,п,/^ < 2^ \Ьк\. (4)

к=1

Доказательство. В начале докажем достаточность условий теоремы. Для этого заметим, что характеристическая функция полуинтервала [с; д) может быть записана в виде х(х) = (д — с) + {х — д} — {х — с} Ясно, что N (а, п, X) = ЕП=1 XI({¿а}). Учитывая, что XI(х) = 'Т^т=1 XIк(х) и подставляя выражение для характеристической функции, имеем

N(а, п,/) = ^2 ^2(\/к \ +{га—Зк} — {¿а — гк}). г=1 к=1

Поскольку \/\ = ^2т=1 \/к\> получаем

пт

N (а, п, /) = п\/\ + ^ ^2(&а — Зк} — {¿а — гк}), г=1 к=1

или

(а

т(а, п,/) = ^ ^2(&а — Зк} — {¿а — гк}). г=1 к=1

Меняя порядок суммирования и перегруппировывая слагаемые, получим, что

т(а, п,/) = ^ ^2({1а — З1к } — {1а — гк}). к=1 г=1

Поскольку Зк — гк = ак + Ька, имеем

тп

т(а, п,/) = ^ ^2({(г — Ьк)а — гк} — {¿а — гк}). к=1 г=1

Обозначим внутреннюю сумму через Бк, то есть

т

т(а,п, /) = ^ Як, (5)

к=1

где Бк = ^n=1({(¿ — Ьк)а — гк} — {¿а — гк}^. Предположим, что Ьк > 0. Тогда

о

Бк 'У {Ьа — гк} — ^ {-а — гк}. (6)

Ь=1-Ък 1=п—Ък+1

Сумма Бк содержит не более 2Ьк слагаемых вида {Ьа—гк}. Так как 0 < {Ьа—гк} < 1, имеем \Бк\ < 2Ьк. Рассматривая аналогично случай Бк < 0, получаем оценку

\Бк\ < 2\Ьк\.

Учитывая (5), имеем

т т

\г(а,п,1)\ < ^\Бк \ < 2^ \ Ьк\-к=1 к=1

Таким образом достаточность условий теоремы и оценка (4) доказаны. Перейдем к доказательству необходимости условий теоремы. Для этого воспользуемся теоремой ??, взяв в качестве функции f характеристическую функцию множества I. Заметим, что 8/ (¿1) = 1. Поскольку А/(¿1) = 0, существует целое Ь такое, что 8/({^ + Ьа}) = — 1. Но тогда {г1 + Ьа} есть правый конец некоторого интервала. Обозначим его номер через /ь Получаем, что jll = {г1 + Ьа} откуда и следует, что jl1 — г1 = а1 + Ь1а с целыми а1; Ь1. Далее рассмотрим функцию 8/ (х) отличающуюся от 8/ (х) тем, что она принимает нулевые значения в точках г1 и ^.Функция А/(х) = ^ ¿=.00 8/ ({х + га}) вновь тождественно равна нулю. Повторяя приведенные выше рассуждения для г2,г3,... ,гт получаем утверждение теоремы.

Отметим, что оценка (4) может быть существенно усилена для некоторых классов иррациональностей. Перепишем равенство (6) в виде

Ьк Ьк

Бк = ^2 {Ьа — (Ьк а + гк)} — ^{Ьа — (Ьк а — па + гк)}. г=1 г=1

Пусть Сг(а) = ^1=1({ка + ^} — 1 )• Тогда имеем

Бк = СЬк (а,71) — СЬк (а,Ъ),

с 71 = — (Ька + гк) и 72 = — (Ька — па + гк). Обозначая С*(а) = вир7 \ СГ(а,7)\, получаем

Бк < 2С*к(а), откуда выводим следующую теорему.

Теорема 3. Пусть в обозначениях теоремы ?? I является множеством ограниченного остатка. Тогда справедлива оценка

т

\г(а,п,1 )\ < 2^ С*к(а). к=1

Задача об оценке величины С* (а) является классической задачей теории чисел. В настоящее время получены неулучшаемые по порядку оценки для С*к (а)

а

этих оценок.

Следствие 1. Пусть в обозначениях теоремы ?? I является множеством, ограниченного остатка и неполные частные разложения а в цепную дробь ограничены,. Тогда справедлива, оценка

m

\r(a,n,I)| < ln\bk\

k=l

с некоторой абсолютной константой Cl.

I

ограниченного остатка и а - алгебраическое число. Тогда для, любого е > 0 справедлива, оценка

m

\r(a,n,1 )\ < C (e)Y, \bk\£ k=l

е

Отметим, что теорему ?? можно переформулировать следующим образом: I

тогда, когда, запись функции r(a,n,I) в виде суммы дробны,х долей содержит n

В связи с этим замечанием представляет интерес следующая гипотеза. Гипотеза. Пусть числа, 1,Yl, ... ,Ym - линейно независим, ы, над Z, kl,..., km Е Zu '}^m==l ki =0. Тогда

m

lim \ S^ kiCn(a,Yi)\ = ж.

П—^ i=l

Более того

m

\ kiCn(a,Yi)\ > c(a; Yl, ...,1m] kl,..., km) ln n

i=l

n

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Красильщиков В.В., Шутов A.B. Описание и точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей // Математические заметки. -2011. -Т. 89. -Вып. 1. -С. 43-52.

[2] Шутов A.B. О минимальных системах счисления // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. :Межвуз.сб.науч.тр. -Саратов: Из-во Саратовского Университета. -2007. -Выи 4. -С. 125-138.

[3] Шутов A.B. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2007. -Вып. 7(57) -С. 168-175.

[4] Шутов A.B. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. -Тула: Изд. ТГПУ. -2004. -Т. 5, Вып. 3. -С. 112-121.

[5] Шутов A.B. О распределении дробных долей II // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. :Межвуз.сб.науч.тр. -Саратов: Из-во Саратовского Университета. -2005. -Выи 3. -С. 146-158.

[6] Шутов A.B. Системы счисления и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. - 2006. - Т. 7, Вып. 3. - С. 110-128.

[7] Drmota М., Tichy Е. Sequences, discrepancies and applications. Springer. -1997.

[8] Furstenberg H., Keynes M., Shapiro L. Prime flows in topological dynamics // Israel J.Math. -1973. -V. 14. -P. 26-38.

[9] Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math.Sem.Hamburg Univ. -1921. -V. 5. -P. 54-76.

[10] Kesten H. On a conjecture of Erdös and Szüsz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. -1966. -V. 12. P. 193-212.

[11] Oren I. Admissible functions with multiplie discontinioutes // Israel J.Math. -1982. -V. 42. -P. 353-360.

[12] Petersen K. On a series of cosecants related to a problem in ergodic theory // Compositio Math. -1973. -V. 26. -P. 313-317.

[13] Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {na + 7} // J.Number Theory. -1997. -V. 65. -P. 48-73.

[14] Shutov A.V. New estimates in the Hecke-Kesten problem // Anal. Probab. Methods Number Theory. Edited by E.Manstavicisus et al. Vilnius:TEV. -2007.

[15] Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene // Eendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. -1910. -V. 30. -P. 377-407.

Владимирский Государственный Университет

Поступило 15.08.2011