CC BY
44
УДК 519.1: 681.3
Я.Г. ВЕЛИКАЯ, Национальный исследовательский университет
"БелГУ", Белгород
ПРОБЛЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В
СТРУКТУРИРОВАННЫХ МОДЕЛЯХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В статье предлагается модификация трансформационного метода, позволяющая решить проблему эквивалентности для конечных детерминированных автоматов. Ил.: 2. Библиогр.: 8 назв.
Ключевые слова: трансформационный метод, проблема эквивалентности, конечные детерминированные автоматы.
Постановка проблемы. Для моделей вычислений существует ряд фундаментальных проблем: проблема эквивалентности; проблема
построения полной системы эквивалентных преобразований; проблема минимизации. Для некоторых подклассов моделей вычислений данные проблемы решены. Существуют различные подходы для решения описанных проблем. Одним из подходов является подход, основанный на задании структуры модели вычислений в графическом виде. Модели вычислений, структура которых задана графически, будем называть структурированными. В работах Р.И. Подловченко и В.Е. Хачатряна [1] был предложен трансформационный метод для решения проблемы эквивалентности многоленточных автоматов, представленных в графическом виде. Ранее было доказано, что трансформационный метод позволяет доказать разрешимость проблемы эквивалентности для некоторых подклассов моделей вычислений, в частности, многоленточных автоматов с непересекающимися циклами, но не решает её для конечных детерминированных автоматов.
Анализ литературы. Под проблемой эквивалентности обычно понимается нахождение алгоритма, распознающего эквивалентность моделей вычислений. Доказано [2], что проблема эквивалентности в общем случае разрешима для многоленточных автоматов и, в частности, для конечных автоматов. Однако алгоритм разрешения многоленточных автоматов в работе [2] не был предложен. В статье Р. Берда [3] приводится решение проблемы эквивалентности для двухленточных автоматов и пример того, что предложенный в статье подход не решает проблему для трехленточных автоматов. В статье [4] предложен новый подход решения проблемы эквивалентности многоленточных автоматов. Что касается детерминированных конечных автоматов, то для них существует общеизвестный алгоритм разрешения эквивалентности [5].
Целью статьи является модификация трансформационного метода и обоснование того, что обобщенный трансформационный метод позволяет решить проблему эквивалентности для конечных детерминированных автоматов.
Трансформационный метод и его модификация. Как уже было сказано, трансформационный метод работает с многоленточными автоматами, представленными в графическом виде. Модель вычислений будем задавать в виде диаграммы. Последние диаграммы строятся над двумя конечными алфавитами: Р = {рь р2, ..., рп} и Q = {0, 1}, где п -количество лент в автомате. По определению, диаграмма - это конечный ориентированный граф с размеченными вершинами и дугами. Его структура удовлетворяет следующим требованиям: в нем имеются две выделенные вершины, называемые входом и выходом диаграммы; из выхода нет исходящих дуг, а из всех остальных вершин исходят по две дуги; все вершины, кроме выхода, помечены символами алфавита Р, а выходящие из вершин дуги помечены символами алфавита Q, причем дуги, выходящие из одной вершины, помечены различными символами. Любой конечный ориентированный путь и в диаграмме может быть описан историей Ь(и) = ((аь £1), (а2, £2), •••, (ап, еп)), где а1 - это метка вершины, из которой выходит г-я дуга, е1 - это метка /-й дуги пути Ь, / = 1, 2, ..., п.
р/-проекцией пути и называется слово, полученное из Ь(и) удалением всех пар, не содержащих символар, где / = 1, 2, ., п.
Определим маршрут, как путь, начинающийся во входе диаграммы. Маршрутом через диаграмму, назовем маршрут, заканчивающийся на выходе диаграммы.
Диаграммы Б1 и Б2 назовем эквивалентными, если для любого маршрута Ь1 через одну из диаграмм найдется маршрут Ь2 через другую диаграмму, такой что р/-проекции маршрутов Ь1 и Ь2 совпадают.
Диаграммы Б1 и Б2 назовем строго эквивалентными, если для любого маршрута Ь1 через одну из диаграмм найдется маршрут Ь2 через другую диаграмму, такой что истории маршрутов Ь1 и Ь2 совпадают.
Предложенная модель будет интерпретироваться как конечный детерминированный автомат, если при сравнении маршрутов потребовать совпадение только меток дуг.
На рис. 1 приведен пример диаграммы конечного автомата (метка ленты опущена): вход диаграммы обозначен черным кружком, а выход перечеркнутым, дуги с меткой единица снабжены жирной точкой в начале дуги.
Рис. 1. Пример диаграммы конечного автомата
Трансформационный метод основан на полной системе фрагментных эквивалентных преобразований. Определим фрагмент автомата как часть автомата, определяемая заданным множеством состояний автомата и содержащая вместе с этими состояниями все инцидентные им дуги. Вершины и инцидентные им дуги сохраняют приписанные им в автомате метки. Под фрагментным преобразованием будем понимать замену в автомате одного фрагмента другим. В работе [6] построена полная система эквивалентных преобразований многоленточных автоматов.
Определим характеристику диаграммы Б, называемую покрытием. Это древовидный фрагмент, обозначим его -Р(Б), все вершины и дуги, которого являются образами вершин и дуг автомата Б с их метками и список пар эквивалентных вершин, обозначим его & Корнем древовидного фрагмента является образ входа автомата Б. Обозначим через V список всех вершин автомата Б, лежащих на маршрутах через автомат, за исключением его выхода. Внося в -Р(Б) какую-либо вершину из списка, будем вычеркивать ее образ из V.
На первом шаге в -Р(Б) вносится корень - образ входа v0 автомата Б, и вершина v0 удаляется из списка V. Пусть на некотором шаге в -Р(Б) внесена вершина и, являющаяся образом вершины V автомата Б и вершина V вычеркнута из V, причём вершина и - не выход и из неё ещё не выходят дуги. Обозначим а! и а2 - дуги, исходящие из вершины V. Пусть а,, / = 1, 2 оканчивается в вершине V,-. Если vi содержится в V, создаем образ вершины V, и направляем в нее дугу а,; удаляем V, из списка V. Если V, не содержится в списке V, но содержалась ранее и не является выходом, то создаем образ вершины V,, обозначим его V', объявляем его выходом фрагмента -Р(Б) и в нее направляем дугу а, с ее меткой; пару (V,, V,') заносим в список £. Если V, не содержится в списке V, и не содержалась там, то строящийся фрагмент -Р(Б) не меняется. Наконец, если V, является выходом Б, то он также будет выходом для -Р(Б), и дугу а, с ее меткой, направляем в этот выход. В общем случае покрытие диаграммы строится неоднозначно. На рис. 2 изображены различные
покрытия диаграммы, изображенной на рис. 1. Диаграмму, для которой можно построить единственное покрытие назовем однозначной.
Рис. 2. Различные покрытия диаграммы
Опишем шаги процесса сравнения на эквивалентность диаграмм Б1 , Б2, основанного на трансформационном методе.
Шаг 1. Построим покрытие Р(Б1) диаграммы Б1 и определим список пар эквивалентных вершин £ = {(5Ь з^'), ..., (зп, зп')}.
Шаг 2. Трансформируем диаграмму Б2, используя эквивалентные преобразования [6], в диаграмму Б3, начинающуюся куполом, изоморфным -Р(Д). Купол диаграммы - это дерево, состоящее из некоторых вершин и инцидентных им дуг диаграммы, корнем, которого является вход диаграммы.
Если такое преобразование не возможно, то процесс заканчивает свою работу с заключением о том, что диаграммы Б1 и Б2 не являются эквивалентными. В противном случае строится список пар вершин Я = {(гь Г\), ..., (гп, гп')}, каждый элемент которого является изоморфным образом вершин списка £.
Шаг 3. Выполним шаги 1 - 3 для каждой пары диаграмм, входы которых заданы парами из списка Я = {(гь т\ ), ..., (гп, гп')}. Это пары диаграмм: (Щп), Щп')), ..., (Бз(Гп), Бз(гП)).
Описанный процесс прослеживается на дереве потомков Т(БЬ Б2).
Дерево потомков строится параллельно с вышеописанными шагами. Меткой корня дерева служит пара сравниваемых диаграмм (Б1, Б2), а метками вершин - пары сравниваемых подграфов. Непосредственными потомками корня дерева Т(БЬ Б2) будут вершины, помеченные парами (Бз(п), Щп')), ..., (Бз(Гп), Бз(Гп ')). У пар диаграмм (Щп), Щп')), ..., (Б3(гп), Б3(гп')) будут свои потомки и т.д. Сечение дерева Т(Б1, Б2) называется а-сечением, если все вершины сечения помечены парами изоморфных диаграмм. В [7] доказано, что применение трансформационного метода к паре эквивалентных конечных детерминированных автоматов может привести к построению дерева потомков, в котором нет а-сечения.
Предложим следующую модификацию трансформационного метода:
Для каждой пары диаграмм дерева потомков в процессе сравнения диаграмм на эквивалентность необходимо выполнить дополнительный шаг, а именно, первую из диаграмм предварительно преобразовать в однозначную диаграмму. В работе [8] доказано, что любую диаграмму эквивалентными преобразованиями можно трансформировать в однозначную диаграмму.
Обозначим через д алгоритм сравнения на эквивалентность двух диаграмм, использующий модификацию трансформационного метода. Тогда можно доказать следующие утверждения:
Лемма 1. Если диаграммы D1 и D2 - строго эквивалентны, то в дереве потомков T(D1, D2) непременно имеется а-сечение.
Лемма 2. а-сечение в дереве потомков T(D1, D2), где D1 и D2 -строго эквивалентные диаграммы, строится за конечное число шагов, которое задается только количеством вершин в диаграммах D1 и D2.
Теорема. Алгоритм д является алгоритмом разрешения проблемы эквивалентности диаграмм.
Выводы. Модификация трансформационного метода, предложенная в статье, позволила решить проблему эквивалентности для детерминированных конечных автоматов. Данный метод работает со структурированными моделями вычислений и нацелен в общем случае на разрешение проблемы эквивалентности многоленточных автоматов.
Список литературы: 1. Подловченко Р.И. Об одном подходе к разрешению проблемы эквивалентности / Р.И. Подловченко, В.Е. Хачатрян // Программирование. - 2004. - № 3. -С. 3-20. 2. Harju T. The equivalence of multitape finite automata / T. Harju, J. Karhumaki // Theoret. Computer Sci. - 1991. - № 78. - Р. 347-355. 3. BirdR. The equivalence problem for deterministic two-tape automata / R. Bird// J. of Computer and System Science. - 1973. - N° 4. -Р. 218-236. 4. Letichevsky Alexander A. The equivalence problem of deterministic multitape finite automata: a new proof of solvability using a multidimensional tape / Alexander A. Letichevsky, Arsen S. Shoukourian, Samvel K. Shoukourian // Language and Automata Theory and Applications. Lecture Notes in Computer Science. - 2010. - Vol. 6031/2010. - Р. 392-402.
5. Карпов Е.А. Теория автоматов / Е.А. Карпов. - СПб: Питер, 2003. - 208 с.
6. Хачатрян В.Е. Полная система эквивалентных преобразований для многоленточных автоматов / В.Е. Хачатрян // Программирование. - 2003. - №1. - С. 62-77. 7. Хачатрян В.Е. Проблема эквивалентных преобразований для однородных многоленточных автоматов / В.Е. Хачатрян // Программирование. - 2008. - № 3. - С. 77-80. 8. Хачатрян В.Е. Модели вычислений с однозначным покрытием / В.Е. Хачатрян, Я.Г. Великая // Научные ведомости БелГУ. - 2009. - № 7 (62). - С. 116-121.
Статья представлена д.т.н., проф. НИУ "БелГУ" Корсуновым Н.И.
УДК 519.1: 681.3
Проблема еквівалентності в структурованих моделях обчислень / Велика Я.Г.
// Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ". - 2011. - № 17. - С. 10 - 15.
У статті пропонується модифікація трансформаційного методу, що дозволяє вирішити проблему еквівалентності для кінцевих детермінованих автоматів. Іл.: 2. Бібліогр.: 8 назв.
Ключові слова: трансформаційний метод, проблема еквівалентності, кінцеві детерміновані автомати.
UDC 519.1: 681.3
Equivalence problem in the structured models of calculations/ Velikaya Ya.G.
// Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2011. - №2. 17. - P. 10 - 15.
In article updating of the transformational method is offered, allowing to solve a problem of equivalence for final deterministic automata. Figs.: 2. Refs.: 8 titles.
Keywords: the transformational method, a problem of equivalence, finite deterministic automata.
Поступила в редакцию 10.05.2010
