Обобщенный трансформационный метод и конечные детерминированные автоматы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1: 681.3

ОБОБЩЕННЫЙ ТРАНСФОРМАЦИОННЫЙ МЕТОД И КОНЕЧНЫЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ АВТОМАТЫ

Я.Г. ВЕЛИКАЯ

Белгородский

государственный

университет

e-mail: velikaya@bsu.edu.ru

Предложена модификация трансформационного метода, позволяющая решить проблему эквивалентности для конечных детерминированных автоматов.

Ключевые слова: трансформационный метод, проблема эквивалентности, конечный детерминированный автомат.

Модель вычислений в широком смысле может трактоваться как множество конструктивных объектов с приписанной ему универсальной процедурой, посредством которой каждому объекту сопоставляется порождаемое им множество.

Классическими моделями вычислений являются алгебраические выражения, формулы логики, конечные автоматы, абстрактные вычислительные машины, схемы программ, просто программы и другие.

Для моделей вычислений одной из фундаментальных проблем является проблема эквивалентности.

Эквивалентными в модели считаются объекты, порождающие одинаковые множества.

Отметим, что до настоящего времени не предложен алгоритм, решающий эту проблему для многоленточных автоматов, однако известно, что эта проблема разрешима [1].

Для решения проблемы эквивалентности многоленточных автоматов предложен трансформационный метод [2]. Было доказано, что данный метод решает проблему эквивалентности для некоторых подклассов многоленточных автоматов, в частности, для многоленточных автоматов с непересекающимися циклами [3].

С помощью трансформационного метода не удалось построить алгоритм, решающий проблему эквивалентности для конечных детерминированных автоматов [4].

В данной статье приводится модификация трансформационного метода и предлагается алгоритм, основанный на этой модификации, решающий проблему эквивалентности для конечных детерминированных автоматов.

Сформулируем основные понятия и опишем модификацию трансформационного метода. Предложим алгоритм и докажем, что он решает проблему эквивалентности для конечных автоматов.

Для простоты изложения материала будем рассматривать детерминированные конечные автоматы над алфавитом Q={o,l} и называть их диаграммами.

По определению, диаграмма - это конечный ориентированный граф с размеченными дугами. Его структура удовлетворяет следующим требованиям:

• в нем имеются две выделенные вершины, называемые входом и выходом диаграммы; из выхода нет исходящих дуг, а из всех остальных вершин исходит по две дуги;

• все дуги помечены символами алфавита Q, причем дуги, выходящие из одной вершины, помечены различными символами.

При изображении диаграмм условимся дуги, которые должны быть помечены символом 1, снабжать жирной точкой в начале дуги; метки дуг с символом 0 не отображать. Вход автомата будем обозначать черным кружком, а выход - перечеркнутым кружком. Пример диаграммы приведен на рис. 1.

Л

Рис. 1

Введем понятие эквивалентности диаграмм. Любой конечный ориентированный путь L в диаграмме может быть описан историей L=(£ъ £2, £п), где £ - это метка ьй дуги

Ь1—г <_> О О и

. Путь, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине, назовем циклом. Определим маршрут [5] как путь, начинающийся во входе диаграммы. Маршрутом через диаграмму назовем маршрут, заканчивающийся в выходе диаграммы. Маршрут называется простым, если он не содержит циклов.

Диаграммы Dl и D2 назовем эквивалентными, если для любого маршрута Ll через одну из диаграмм найдется маршрут L2 через другую диаграмму, такие, что истории путей Ll и L2 совпадают.

Определим характеристику автомата D, называемую покрытием [6]. Это древовидный фрагмент, обозначим его F(D), все вершины и дуги которого являются образами вершин и дуг автомата D с их метками. Корнем является образ входа автомата D. Обозначим через V список всех вершин автомата D, лежащих на ее маршрутах через автомат, за исключением ее выхода. Внося в F(D) какую-либо вершину из списка, будем вычеркивать ее образ из V.

На первом шаге в F(D) вносится корень - образ входа V. автомата D, и вершина V. удаляется из списка V. Пусть на некотором шаге в F(D) внесена вершина и, являющаяся образом вершины V автомата D и вершина V вычеркнута из V, причём вершина и - не выход, и из неё ещё не выходят дуги. Обозначим а,1 и а,2 - дуги, исходящие из вершины V. Пусть а^ i=l,2 оканчивается в вершине V . Если V содержится в V, создаем образ вершины V и направляем в нее дугу а^ удаляем V из списка V. Если V не содержится в списке V, но содержалась ранее и не является выходом, то создаем образ вершины ^; объявляем его выходом фрагмента F(D) и в нее направляем дугу аi с ее меткой. Если V не содержится в списке V и не содержалась там, то строящийся фрагмент F(D) не меняется. Наконец, если V является выходом D, то создаем образ V , он также будет выходом для F(D), и дугу ai с ее меткой направляем в этот выход.

Списком эквивалентных вершин покрытия F(D) назовем список $={(81,81'),..., ^п,&’)}, где (8^'), i=l,..,n - пара, состоящая из вершин, являющихся образом одной и той же вершины из списка V,

Отметим, что покрытие диаграммы в общем случае строится неоднозначно. На рис. 2 изображены покрытия диаграммы, приведенной на рис. 1.

Рис. 2

Диаграмму назовем однозначной, если она обладает единственным покрытием. Опишем некоторые свойства однозначных диаграмм.

Маршруты диаграммы, ведущие в одну вершину, назовем параллельными, если последние дуги этих маршрутов не совпадают и один из маршрутов не является продолжением другого. Вершину диаграммы назовем правильной, если в неё не ведут параллельные маршруты. Вход и выход диаграммы условимся считать правильными.

В работе [7] описан алгоритм, назовем его алгоритмом у, который преобразует любую диаграмму в эквивалентную ей однозначную диаграмму.

Приведем схему алгоритма у построения однозначной диаграммы:

1) помечается вход диаграммы;

2) выбирается помеченная вершина и просматриваются все выходящие из нее дуги:

а) если дуга ведет в непомеченную вершину, то пометить дугу и инцидентную ей вершину;

б) если дуга ведет в помеченную вершину, то:

• если дуга не нарушит правильность вершины, тогда пометить дугу и инцидентную ей вершину,

• если дуга нарушает правильность вершины, тогда направить ее в уже существующие копии вершины, если дуга не нарушит её правильность, иначе создать копию вершины и дугу направить в нее. Из копии вывести те же дуги, что и из исходной вершины;

3) повторять пункт 2 до тех пор, пока есть помеченные вершины, выходящие дуги которых не помечены.

Однозначная диаграмма, построенная по диаграмме, изображенной на рис.1, приведена на рис. 3.

1 2

3

Рис. 3

Справедливы утверждения.

Утверждение 1 [7]. Если D - однозначная диаграмма и ^^'), i=l,...,n, - пара из списка S эквивалентных вершин покрытия F(D), тогда вершина Si на пути в F(D) предшествует вершине Si'.

Обозначим через D' диаграмму, полученную из диаграммы D по алгоритму у.

Утверждение 2. Диаграммы D и D' таковы, что:

1) множества простых путей в диаграммах совпадают;

2) для любого простого цикла одной диаграммы в другой существует простой цикл с той же историей.

Доказательство пункта 1) имеется в работе [7]. Проведем доказательство пункта 2).

Рассмотрим в D некоторую вершину а, и пусть существует простой цикл L, образованный последовательностью дуг (а,Ь),(Ь,с),...(^а). Тогда алгоритм у для каждой дуги (а,Ь) цикла L построит в диаграмме D' дугу (а',Ь'), где а' - это образ вершины а; Ь' - это образ вершины Ь. Причем, согласно алгоритму у, если на пути из входа уже построен образ некоторой вершины или его копия, то другие копии вершины на этом пути больше не строятся, а следовательно, в D' будет построен простой цикл L', образованный последовательностью дуг (а',Ь'),(Ь',с'),...(^,а'). Понятно, что истории путей L и L' совпадают.

Докажем обратное. Пусть существует простой цикл L', начинающийся в некоторой вершине а' в диаграмме D' и образованный последовательностью дуг (а',Ь'),(Ь',с'),...№,а'). Тогда в диаграмме D существует путь L, образованный последовательностью дуг (а,Ь),(Ь,с),...(^а). Последнее объясняется тем, что дуга (а',Ь') могла быть

построена только в случае существования дуги (а,Ь) в диаграмме D, причем с той же меткой. Истории путей L и L' совпадают.

Опишем шаги процесса сравнения на эквивалентность диаграмм Dl , D2, основанного на трансформационном методе [3].

Шаг 1. Построим покрытие F(Dl) диаграммы Dl и определим список $={(81,81'),...,

Оп^пО}.

Шаг 2. Трансформируем диаграмму D2, используя эквивалентные преобразования [8], в диаграмму Dз, начинающуюся куполом, изоморфным F(Dl). Купол диаграммы - это дерево, состоящее из некоторых вершин и инцидентных им дуг диаграммы, корнем которого является вход диаграммы.

Если такое преобразование невозможно, то процесс заканчивает свою работу с заключением о том, что диаграммы Dl и D2 не являются эквивалентными. В противном случае строится список пар вершин R={(rl,Гl'),.,(Гn,Гn')}, каждый элемент которого является изоморфным образом вершин списка $.

Шаг 3. Выполним шаги 1-3 для каждой пары диаграмм, входы которых заданы вершинами списка R: Фз(г 1), Dз(r 1')),., Фз(г п), Dз(r п')).

Описанный процесс прослеживается на дереве потомков Тф^2). Дерево потомков строится параллельно с вышеописанными шагами. Меткой корня дерева служит пара сравниваемых диаграмм ^1^2), а метками вершин - пары сравниваемых подграфов. Непосредственными потомками корня дерева Тф^2) будут вершины, помеченные парами Фз(г0, Dз(rl')),..., (Dз(r п), Dз(rn')). У пар диаграмм Фз(г0, Dз(rl')),..., (Dз(rn), Dз(rn')) будут свои потомки и т.д.

Предложим следующую модификацию трансформационного метода:

• для каждой пары диаграмм дерева потомков в процессе сравнения диаграмм на эквивалентность необходимо выполнить дополнительный шаг, а именно первую из диаграмм предварительно преобразовать в однозначную диаграмму.

Обозначим через ц алгоритм сравнения на эквивалентность двух диаграмм , использующий модификацию трансформационного метода. Такой алгоритм легко получить из описанного процесса, алгоритмизируя неоднозначность выбора сравниваемых на эквивалентность диаграмм дерева потомков.

Теорема. Алгоритм ц является алгоритмом разрешения проблемы эквивалентности диаграмм.

Легко видеть, что доказательство теоремы следует из справедливости следующих двух лемм.

Лемма 1. Если диаграммы Dl и D2 - эквивалентны, то в дереве потомков Т^^) непременно имеется а-сечение.

Сечение дерева Тф^2) называется а-сечением, если все вершины сечения помечены парами изоморфных диаграмм.

Лемма 2. а-сечение в дереве потомков Тф^2) строится за конечное число шагов, которое задается только количеством вершин в диаграммах Dl и D2.

Доказательство леммы 1. Пусть алгоритм ц, примененный к паре ^1^2), выявил пары поддиаграмм, требующие проверки на эквивалентность Фз(гО, Dз(ri')), i=l,..,n, где Dз - диаграмма, эквивалентная D2 и начинающаяся куполом, изоморфным F(Dl'), где F(Dl') - покрытие диаграммы Dl', причем Dl' - однозначная диаграмма, эквивалентная Dl.

Из эквивалентности диаграмм Dl и D2 следует, что любые пары Фз(гО, Dз(ri')), i=l,..,n состоят из эквивалентных диаграмм. Согласно утверждению 1, вершина г предшествует вершине г/. Т.к. г и г/ являются входами эквивалентных диаграмм, то существует вершина г/', которой предшествует вершина г/ такая, что диаграмма Dз(ri') эквивалентна диаграмме Dз(ri''). История пути между вершинами г и г/, обозначим его L', совпадает с историей пути между вершинами г ' и г/'. Поскольку число вершин диаграммы Dз, входы которых задают эквивалентные диаграммы, конечно, то существует вершина

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2010. № 19 (90). Выпуск 16/1

г*, такая что Dз(rO и Dз(ri*) эквивалентны, причем г* является началом и концом цикла, обозначим его L. Истории путей L и L' таковы, что одна из них непременно кратна другой. Это означает, что при проверке на эквивалентность пары диаграмм Фз(гО, Dз(ri')) алгоритм ц обязательно найдет потомка Фз(г^), Dз(ri**)), метка которого содержит пару изоморфных поддиаграмм. Аналогичные рассуждения можно проделать для любой пары поддиаграмм, являющихся меткой любой вершины дерева потомков Тфъ D2). Количество таких пар конечно, поскольку они определяют циклы в диаграмме. Следовательно, при проверке потомка пары D2) алгоритм ц найдет на каждой ветви дерева потомков пару изоморфных поддиаграмм, т.е. построит в дереве потомков Тфъ D2) а-сечение.

Для доказательства леммы 2 предварительно докажем утверждение 3.

Пусть Dl и D2 - пара сравниваемых на эквивалентность диаграмм. Диаграмма Dl приводится к однозначной диаграмме Dl' с покрытием F(Dl') и списком $={(81,81'),., (8п,8п')}. Обозначим через V множество поддиаграмм диаграммы D2. Диаграмма D2 преобразуется в Dз с куполом, изоморфным F(Dl'). Вершины купола, изоморфные вершинам из списка $, обозначим списком R={(rl,rl'),..., (Гп,Гп')}.

Утверждение 3. Если ^1^2) - пара диаграмм, сравниваемых на эквивалентность, с количеством вершин п1 и п2 соответственно, тогда любой потомок ф''^') вершины, помеченной парой Фз(гО, Dз(ri')), i=l,..,n, удовлетворяет условиям:

- D'' начинается куполом, на листьях которого расположены диаграммы из множества V, а высота купола не превышает п2;

- D' принадлежит множеству V.

Доказательство. При сравнении пары Dз(rO, Dз(ri') на эквивалентность диаграмма Dз(ri) будет преобразована к однозначной. Обозначим её Dз'(ri). Согласно утверждению 2 диаграмма Dз'(rO содержит циклы с той же историей, что и Dз(ri). Легко видеть, что в диаграмме Dз содержатся циклы с той же историей, что и в D2. Поскольку длина пути, являющегося циклом диаграммы D2, ограничена числом п2, то и длина циклов, принадлежащих диаграмме Dз, а значит и поддиаграмме Dз(rO, ограничена этим же числом. Следовательно, длина циклов диаграммы Dз' (гО ограничена числом п2. Из утверждения

1 следует, что для покрытия F(Dз'(ri)) диаграммы Dз'(rO в списке М={(тът1'),..., (mt,mt')} пар эквивалентных вершин, первая вершина пары предшествует второй, причем путь между эквивалентными вершинами т^т/, где i=l,...,t, не превышает п2. Диаграмма Dз(ri'), принадлежащая множеству V, будет преобразована в диаграмму D4(ri'), начинающуюся куполом, изоморфным покрытию F(Dз'(ri)), с некоторым списком пар эквивалентных вершин К={(кък1'),..., (к^к/)}. Диаграмма D4(ki'), i=l,...,t принадлежит множеству V, и для любой пары из списка К длина пути между вершинами (Ь,Ь'), i=l,...,t ограничена числом п2. Аналогичное рассуждение можно провести для потомков пары ^4(к0, D4(ki')), где i=l,..,t и всех последующих.

Доказательство леммы 2. Согласно лемме 1, в дереве потомков Т^1^) будет построено а-сечение. Из утверждения 3 следует, что число потомков вершины, помеченной парой Фз(гО, Dз(ri')), i=l,..,n - конечно и зависит от количества вершин диаграммы D2. Это означает, что а-сечение в дереве потомков Т^1^) строится конечным числом шагов.

Рассмотрим пример, приведенный в работе [4], для которого применение трансформационного метода не позволило в дереве потомков получить а-сечение. Покажем, что предложенный нами алгоритм, основанный на обобщенном трансформационном методе, позволяет для этой пары диаграмм получить в дереве потомков а-сечение. Пара диаграмм, взятая из [4], приведена на рис. 4.

Рис. 5

Рис. 4

Для диаграммы Dl построим эквивалентную ей диаграмму Dl' с однозначным покрытием (рис. 5).

Покрытие F(Dl') со списком пар эквивалентных вершин -А={(а1,а1'),(аъаГ),(а2,а2'),

ап-&1

аі-зі"

Щ&п

Рис. 6

Эквивалентными преобразованиями алгоритм пытается преобразовать диаграмму D2 в диаграмму Dз, которая начинается куполом, изоморфным F(Dl').

Если построение купола не удается, то алгоритм останавливается с заключением о том, что исходные диаграммы Dl и D2, не эквивалентны. В данном примере алгоритм смог построить диаграмму Dз, начинающуюся куполом, изоморфным Dl'(F) (рис. 7). На рис. 8 приведен купол диаграммы Dз , изоморфный Dl'(F). На куполе диаграммы Dз отмечены пары вершин, которые являются образами эквивалентных вершин древовидного покрытия из списка А, принадлежащие списку В: В={(Ьі,Ьі'),(Ьі,Ьі"),(Ь2,Ь2'), (Ьз,Ьз’)}.

В списке В хранятся пары вершин, «претендующих» на эквивалентность. Причем видно (рис. 8), что пары вершин (Ьі,Ьі’) и (Ьз,Ьз’) содержат эквивалентные вершины, т.к. этими вершинами обозначено одно и то же состояние диаграммы Dз.

Рис. 7

Рис. 8

Далее алгоритм применяется к поддиаграммам, входы которых задаются парами вершин из списка В, эквивалентность которых необходимо доказать: (ЬЪЬГ) и (Ь2,Ь2'). Рассмотрим применение алгоритма к первой паре поддиаграмм.

Применим алгоритм к поддиаграммам (СВ3(Ьі),В3(Ьі")) (рис. 9).

Алгоритм приводит первую из диаграмм, диаграмму Dз(bl), к эквивалентной ей

Далее алгоритм построит покрытие диаграммы Dз'(bl), причем для поддиаграммы с входом в вершине Ь1 покрытие не будет построено, поскольку вершины, изоморфные паре (Ь^Ь/), должны быть эквивалентны. Так же не будет построено покрытие для поддиаграммы с входом в вершине Ьз', поскольку вершины, изоморфные паре (Ьз,Ьз'), должны быть эквивалентны.

На рис. 11 изображено древовидное покрытие диаграммы Dз'(bl) и построен список эквивалентных вершин С={(със1'),(с2,с2'), (С2,С2М), (Сз,сз'),(с4,с4'), (С5,С5'), (Сб,Сб'), (Сб,Сб''), (Сб,Сб'")}-

Рис. 11

3

Далее алгоритм пытается преобразовать диаграмму Dз(bl") в D4 с куполом, изоморфным F(Dз'(bl)). Если построение купола не удается, то алгоритм останавливается с заключением о том, что исходные диаграммы Dl и D2 не эквивалентны. В данном случае алгоритм построил вышеописанную диаграмму D4. Купол диаграммы D4 приведен на рис. 12. Списком пар вершин, являющихся изоморфными образами вершин из списка С, будет список М={(ті,ті'),(т2,т2'), (т2,т2М), (тз,тз),(т4,тУ), (т5,т5'), (тб,тв'), (тв,тб"), (тб,тб'")}.

Рис. 12

Так как пары вершин из списка М являются входами эквивалентных диаграмм, то на следующем шаге алгоритм будет применен к каждой паре поддиаграмм, и алгоритм завершится с заключением об эквивалентности диаграмм Dз(bl) и Dз(bГ).

Затем алгоритм применяется к поддиаграммам, входы которых задаются второй парой вершин из списка В, «претендующих» на эквивалентность: ^2^2'). Т.е. алгоритм применится к паре поддиаграмм (Фз(Ь2№з(Ь2')) (рис. 13).

Для диаграммы Dз(b2) алгоритм построит эквивалентную однозначную диаграмму, обозначим её Dз'(b2). Диаграмма Dз'(b2) изображена на рис. 14.

Рис. 13 Рис. 14

А после этого алгоритм построит покрытие диаграммы Dз,(b2), обозначим его F(Dз,(b2)), и список пар эквивалентных вершин - К={(кък1'), (къкГ), (к^Г'),^^'), (^кЛ, (кг,^'")} (рис. 15).

Рис. 15 Рис. 16

Далее алгоритм пытается преобразовать диаграмму Dз(b2') в диаграмму D5 с куполом, изоморфным F(Dз,(b2)) . Купол диаграммы D5 приведен на рис. 16. Списком пар вершин, являющихся изоморфными образами вершин из списка К, будет список Т = {(^1Д1 ),0-2,"^-2 ),0-2,1-2 ),0-2,1-2 )}.

Далее алгоритм применяется к поддиаграммам, входы которых задаются парами вершин из списка Т, «претендующих» на эквивалентность, эквивалентность которых необходимо доказать. Это пары поддиаграмм: ^(Ъ)^^")) и ^^О^^Г’)).

Рассмотрим процесс применения алгоритма к паре ^5(^)^5^Г)) (рис. 17).

Рис. 17

Для диаграммы D5(tl) будет построена однозначная диаграмма, которая изображена на рис. 18, обозначим её D5’(tl).

Далее алгоритм построит покрытие диаграммы D5’(tl), причем для поддиаграммы с входом в вершине Ъ’ покрытие не будет построено, поскольку вершины, изоморфные паре (Ъ,Ъ’) , должны быть эквивалентны.

Рис. 18

На рис. 19 изображено древовидное покрытие диаграммы D5’(tl) и построен список эквивалентных вершин ^{(П1,П1’),(П2,П2’), (П2,П2„), (П2,П2’’’), (пз,пз’), (пз,пз’’), (пз,пз’’’)}.

Рис. 19

Далее алгоритм пытается преобразовать диаграмму D5(tl’) в D6 с куполом, изоморфным покрытию диаграммы D5’(tl). Купол диаграммы D6 приведен на рис. 20. Списком пар вершин, являющихся изоморфными образами вершин из списка N будет список Ь={(11,11'),(1а,1а’), (12,12’’), (12,12’’’), (УУ), (УУ’), (УУ’’)}.

Рис. 20

Поскольку пары вершин из списка L являются входами эквивалентных диаграмм, то на следующем шаге алгоритм будет применен к каждой паре поддиаграмм, и алгоритм завершится с заключением об эквивалентности диаграмм D5(tl) и D5(tl,).

Применение алгоритма к паре (D5(tx),D5(tr’)) аналогично его применению к паре (D5(ti),D5(ti')) в виду того, что пары поддиаграмм ^(tO^^i’)) и ^(tO^^r’)) образованы одними и теми же диаграммами.

Алгоритм завершится с заключением об эквивалентности исходных диаграмм Di и D2.

Литература

1. Harju T., Karhumaki J. The equivalence of multitape finite automata // Theoret. Computer Sci. 1991. 78. Р. 347-355.

2. Подловченко Р.И., Хачатрян В.Е. Метод трансформационного распознавания эквивалентности в моделях вычислений // 8-й межд. сем. «Дискретная математика и ее приложения». -М.: МГУ, 2004. С. 38-43.

3. Подловченко Р.И., Хачатрян В.Е. Об одном подходе к разрешению проблемы эквивалентности // Программирование. 2004. № 3. С. 3-20.

4. Хачатрян В. Е. Трансформационный метод в моделях вычислений // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2008. № 4. С. 52-55.

5. Подловченко Р.И., Айрапетян М.Г. О построении полных систем эквивалентных преобразований схем программ // Программирование. 1996. № 1. С. 3-29.

6. Хачатрян В.Е., Великая Я.Г. Модели вычислений с однозначным покрытием // Научные ведомости БелГУ. 2009.№ 7(62). С.116-121.

7. Хачатрян В.Е., Великая Я.Г., Сунцова А.И. О преобразовании модели вычислений к однозначному виду// Информационные системы и технологии. 2010. № 3(59). С.45-49.

8. Хачатрян В. Е. Полная система эквивалентных преобразований для многоленточных автоматов // Программирование. 2003. №1. С. 62-77.

THE GENERALIZED TRANSFORMATIONAL METHOD AND FINITE DETERMINISTIC AUTOMATA

Y.G.VEUKAYA The transformational method updating is offered, allowing to solve a

problem of equivalence for finite deterministic automata.

Belgorod State University

Key words: the transformational method, a problem of equivalence, finite e-mail: velikaya@bsu.edu.ru deterministic automata.