Про оцінки розмірностей атракторів дискретних динамічних систем із антисипацією Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.127+519.7

С.В. ЛАЗАРЕНКО*, О.С. МАКАРЕНКО*

ПРО ОЦІНКИ РОЗМІРНОСТЕЙ АТРАКТОРІВ ДИСКРЕТНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ІЗ АНТИСИПАЦІЄЮ

Національний технічний університет України «КПІ», Київ, Україна___________________________

Анотація. У статті розглядаються атрактори динамічних систем, оператори еволюції яких представляють багатозначними операторами. Отримані оцінки розмірностей Хаусдорфа. Оцінки таких розмірностей передбачають нелінійність операторів. Оцінки здійснювалися на основі побудови d-мір Хаусдорфа. Для іншого випадку показано єдиність розв ’язку оціночного співвідношення. На основі розроблених програмних засобів проведено численні розрахунки карт фрактальних розмірностей динамічних систем на обчислювальних кластерах Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ та КПІ.

Ключові слова: системи ітерованих функцій, фрактальнарозмірність, розмірність Хаусдорфа.

Аннотация. В статье рассматриваются аттракторы динамических систем, операторы эволюции которых представляют многозначными операторами. Получены оценки размерностей Хаусдорфа. Оценки таких размерностей предвидят нелинейность операторов. Оценки осуществлялись на основе построения d -мер Хаусдорфа. В ином случае показано единство решения оценочного соотношения. На основе разработанных программных способов проведены многочисленные расчеты карт фрактальных размерностей динамических систем на вычислительных кластерах Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАНУ и КПИ.

Ключевые слова: системы итерированных функций, фрактальная размерность, размерность Ха-усдорфа.

Abstract. The attractors of dynamical system which evolution operators represent the multivalued operators are regarded in the paper. The estimates of the Hausdorff dimension were obtained. Estimates of such dimensions anticipate nonlinear operators. The estimates were carried out on the basis of dHausdorff measures building. Otherwise, the estimate unity of the solutions relations were shown.

On the basis of the developed software methods a numerous of calculations of cards of fractal dimensions of dynamic systems on computer clusters of Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine named after V.M. Glushkov and KPI.

Keywords: iterated function systems, fractal dimension, Hausdorff dimension.

1. Вступ

Теорія самоподібних множин (self-similar sets) на сьогоднішній день представляє значний прикладний інтерес в області математичного моделювання. Апарат систем ітерування функцій (СІФ (Iterated Function System)) використовується при побудові алгоритмів архівації даних. Такі алгоритми застосовуються при стисненні відео, звуку, зображень тощо (фрак-тальні алгоритми стиснення із втратою даних). Вони базуються, як правило, на фракталь-них властивостях об’єктів стиснення. Так будують системи СІФ афінних перетворень, що представляли б об’єкти стиснення максимально точно. Теорія систем ітерованих функцій бере свій початок з класичних робіт Дж. Хатчинсона [1], М. Барнслі [2], М. Хати та ін.

Обчислення Хаусдорфової розмірності (dim H ) атракторів СІФ, без самоперетинів,

є добре вивченим, на відміну від розрахунку Хаусдорфової розмірності СІФ із самопере-тинами, що є більш складною, та менш вивченою проблемою в теорії СІФ, яка останнім часом представляє все більший прикладний інтерес. Обчисленню dimH із самоперетинами присвячено ряд робіт, як правило, зосереджених на частинних випадках подібних СІФ. Серед таких сучасних робіт варто відзначити здобутки Ванга, Нгаі, Морана, Барані [3-5] та в їхніх посиланнях.

© Лазаренко С.В., Макаренко О.С., 2013

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 4

Серед класичних робіт вивчення систем ітерованих функцій із самоперетинами відзначимо роботи К. Симона, Б. Солом’яка, М. Урбанскі [6]. Вони у своїх роботах проводять розрахунок розмірностей Хаусдорфа граничних множин параболічних СІФ, що залежать від параметра та задовольняють, зокрема, трансверсальній умові. Поміж частинних випадків СІФ, що саме перетинаються, зазначимо роботи Барані [7, 8], де вивчаються СІФ, сформовані із набору лінійних операторів, які мають спільні непорушні точки.

Низка робіт Ванга та Нгаі присвячені підходу в оцінці розмірності Хаусдорфа граничної множини СІФ, що задовольняє умові скінченної кількості типів околів (neighborhood type) [3]. Цей підхід базується на побудові орієнтованого графа інцидентно-сті для типів околів та його редукції, а вже на основі спектрального радіуса матриці інци-дентності такого графа і розраховують фрактальну розмірність граничної множини СІФ. У цих роботах показана рівність фрактальної та Хаусдорфової розмірностей для таких множин.

Також можна виділити окремий напрям в оцінці розмірностей граничних множин СІФ із самоперетинами, що базується на зведенні початкової СІФ скінченного набору операторів, для якої не виконується умова OSC, до СІФ із зліченним набором операторів, для якого виконується OSC, розрахунок же розмірності останнього вже не представляє складності. Серед робіт, в яких вперше були озвучені такі ідеї, відзначимо роботи М. Морана [5], де спрощення такої СІФ базується на побудові індуктивної процедури Віталі. Так, М. Моран показав, що атрактори гіперболічної СІФ із самоперетинами та приведеної СІФ із зліченним набором операторів, для якого виконується OSC, мають однакову фрактальну розмірність.

Таким чином, дану статтю присвячуємо дослідженню фрактальних властивостей частинних випадків атрактора A оператора еволюції H динамічної системи із антисипа-цією (ДСА), а саме ми розглядаємо питання оцінки розмірностей Хаусдорфа множини A зверху. З системами такого типу можна ознайомитись у роботах [9, 10].

2. Основні поняття

Розглядатимемо скінченну систему функцій F = {f1, f2,-- -, fN}, f : I ® I, I £ Rn, визначених у повному метричному просторі (I, d) із метрикою d, яка розглядається як метрика

Хаусдорфа dH (X, Y) = max<! supinf p(x, y), supinf p(x, y) I, X, Y є Comp(I) , p - Евклідова

[ xєX УЄ y^Y xeX

метрика на I. Нехай кожне відображення f є Д - стисненням, тобто Ліпшицева константа кожного з них

Lip(f (I)) = sup (x^ fi(y)) = Д (I) < 1, i = 1N .

"x,уєі, p(x, y )

x Ф y

Таку систему F називають (гіперболічною) системою ітерованих функцій.

Оператор H : Comp(I) ® Comp(I), що діє на множині всіх непустих компактних пі-

N

дмножин із I: H(K) = UU f (x) K є Comp(I), називають оператором Хатчинсона чи

xєK i=1

оператором Барнслі. Як добре відомо [1], такий оператор має єдину непорушну точку

A = QHk (K) ^ A = H(A) в Comp(I). Інваріантну множину A оператора H називають

k=1

самоподібною множиною. Для такої множини вводять самоподібну розмірність s як єди-

ний корінь рівняння У l = 1 (введена Мандельбротом), інколи цю рівність називають фо-

s=1

рмулою Морана.

Для СІФ, що задовольняють умові f (X) n fj (X) = 0 при i Ф j для "i, j є {1, 2,..., N} (часто називають умовою відкритих множин (OSC)), Хатчинсон показав [1], що розмірність Хаусдорфа dimH (a), її атрактора рівна розмірності Мінковського (бокс-розмірності) dim B (A) і рівна самоподібній розмірності s. СІФ, що не задовольняють умові відкритих множин, називають СІФ із самоперетинами. Розрахунок розмірностей таких систем на порядок складніший від розрахунку розмірностей атракторів СІФ із OSC.

Визначають скінченний алфавіт Е = {1, 2,..., N} символьної динаміки із СІФ F . Послідовність застосування операторів із F кодують послідовністю i = i1i2 ...ip , ij єЕ для

j = 1, p і записують i є Еp . У символьній динаміці i називають словом довжини p в алфавіті Е . Позначають довжину слова через |i| = p . Така послідовність визначає порядок композиції операторів із F :

f 0 = fi1i2 ...ip 0 = Л ° f °.° fip Q.

При |i| = 0 (тобто пусте слово) розуміють тотожне відображення f (x) = x. Перші p символів у слові i записують i( p) . Через Е* позначатимемо множину всіх скінченних послідовностей номерів із {1,2,..., N}, тобто Е* = U Еp . На множині Е” визначають адресне

p>0

відображення p : Е” ® A . Як добре відомо, границя p(i) = lim fi (x) існує, але не залежить

|i| ®”

від вибору x є I. Так, i задає адресу x. Варто відзначити, що x може мати більше, ніж одну адресу, тобто адресне відображення p в загальному випадку є сюр’єктивним, до того ж неперервним. Сам атрактор F можна переписати як

A= U f (x) (1)

ієЕ p

для "x є I при p ® ” .

На множині Е* и Е” визначають відношення лексикографічного порядку таким чином. Нехай маємо два слова i, j є Е* иЕ”, в яких співпадають перші k -1 символів i(k -1) = j(k -1). Якщо ik > jk, то кажуть, що слово j передує слову і . На множині Е* иЕ” також визначають операцію злиття слів (конкатенацію). Якщо і єЕp скінченне

• ^->* ^->” •• • • • • . . х^”

слово, а j є Е и Е , то через ij = i1i2 ... i|^ j1 j2 . є Е и Е позначають їх конкатенацію. Через Hd (• ) позначатимемо d -міру Хаусдорфа, тобто

Hd(X) = liminf cd • У diam(ui)d j X е Uui, diam(ui) < d, "i I

{ui} I i 7 )

із нормуючим коефіцієнтом cd [1].

3. Оцінка розмірності Хаусдорфа для атрактора ДСА без самоперетинів

Тепер проведемо оцінку розмірності Хаусдорфа dimH (A) зверху для СІФ F із нелінійними функціями, що задає оператор еволюції антисипаційної системи [9, 10]. Розглядатиме-

мо випадок, коли Е задовольняє умові ОБС. р -те наближення інваріантної множини А системи Е позначимо із (1) як Ар = ^А;, тобто А = А¥ (тобто об’єднання всіх підмно-

жин із адресами зліченної довжини). Для нього, очевидно, виконується наступна умова, що йіат^А^ )<Я, •йіат(А) ([1]), тут під Яі розуміють Ліпшицевий коефіцієнт композиції / (• ). Неважко переконатися, що Я = Д1І2 ^ \ Д2 •••Я| . Нерівності тут перетворюються у рів-

ності у випадку, коли всі стиснення з Е будуть самоподібними на Я" [5].

Можемо записати ё -міру А таким чином (розглядаємо самоподібну множину), опускаючи нормуючий коефіцієнт:

нй(ар)= Уйіат(А-У = у (яіі(/і)Яі2(/2>...• Яр(ір)• аіат(А)).

1єХр 1єХр

Тут Ір ° і, ір . = /І (ір .+) для і = 1, р -1. Звідси неважко побачити, що і. с Ір

р р . ^ Ір-і+1 ' р У'1'1 ' ^ х і р

в силу стиснення /і. Оцінимо Ліпшицеві константи зверху:

Я (іі)£ Я(і) для ".. (2)

Таким чином, запишемо оцінку Н (ар) зверху для міри На (ар):

Н (ар ) < Н (ар) = у (і (і) • і (і) • ... • ір (і) • аіаш(А)) --

ІєХ р

= йшт(А)л • у (і (і )д2 (і > ...1 (і ))і = йшт(А)й • (у Д (і )

ієЕ p

Тут використали той факт, що суму всіх можливих добутків мультиплікаторів відповідних p -слів можна представити як суму цих мультиплікаторів у степені p [1].

Звідси при переході p ® ¥ матимемо умову

N

Zl (I) = 1, (3)

і=1

при якій 0 < H (a)< ¥, що відповідає формулі Морана із максимальними значеннями мультиплікаторів на всьому I кожного із стискаючих відображень f. Враховуючи ту властивість d -міри Хаусдорфа, що із Hd (E1 )< Hd (E2), де E1 c E2, виконується нерівність розмірностей Хаусдорфа dimH (E1 )< dimH (E2). Таким чином, маємо оцінку для dimH (a) зверху dimH (a) < d, де d - єдиний розв’язок (3).

4. Оцінка розмірності Хаусдорфа для атрактора ДСА із самоперетинами

Цей підрозділ присвятимо оцінці розмірності Хаусдорфа dimH (a) зверху для СІФ F із нелінійними функціями, що перетинаються. Розглядатимемо систему F, що задовольняє умовам із [4]. В даній роботі була отримана формула розмірності Хаусдорфа для системи із лінійних операторів. Покажемо, що з її допомогою можна отримати оцінку зверху dimH (a) для системи із нелінійних операторів. Збережемо наступні позначення.

S1 та S2 (при S = S1 u S2) - алфавіти двох наборів операторів із F , що не перетинаються, для кожного з наборів виконується умова OSC. Кожний оператор із S1 має не по-

i =1

рожній перетин із деяким оператором з Е2. У [4] показано, що можна виділити такий набір операторів {/. | і є!,, / є Б2 сЕ 2, і є Е”}, котрий разом з операторами із Е2 задовольняє умові ОБС. Позначимо через Е3 всі такі слова w = і/і. Більш того, показано, що кожна точка на А належить точці атрактора операторів із Е2 иЕ3.

Автори у [4] показали, що СІФ із самоперетинами такого типу задовольняє слабкій умові подільності. Це є важливою умовою при дослідженні оцінок розмірностей таких СІФ, оскільки ще Мораном було доведено, що навіть при виконанні умови ОБС система ітерованих функцій із зліченним набором операторів може мати не додатну міру.

Отже, р -те наближення інваріантної множини А системи Е в цьому випадку

прийме вид Ар = У А и У А . Запишемо ё -міру для Ар (опускаючи нормуючий коефі-

ієЕ р

ієЕ Р

цієнт):

Нё (ар) = Нё УАі

V ієЕр

У А = У ёгат (А і )ё + У ёгат (а . )ё

ієЕр у ієЕр І/ієЕр

= У (Д, (і1 ) Л (і2 )' • • ■ • \ (ір ) ' ёа”(А))ё +

ієЕр

+ У (С,(Л)-•- (іг)-Лат(А)),

(4)

де Jp ° I, ^_к = ^ ^_^+) для к = 1, р -1. За аналогією із іі матимемо Jk с Jp в силу

стиснень /„. Мультиплікатори /„к тут /„к (Л ) = \ (Jk2 %к К 1к (Л0), де wк = ікІк1к,

J^ = Jk, Jk_1 = 1}к (J^ ). Враховуючи (2), оцінимо значення мультиплікаторів / зверху / (Jк )£\ (і 1 (і)1 (і). Оцінка зверху для першого доданку в (4) аналогічна тій, що отримана в попередньому розділі. Другий же доданок не перевищуватиме

ґ \

Н

и А і = Лам(АУ- У (і (1)1/, (1)1, (і)-І2 {% (і)1, (і)-•-\Щ, (іі (і))1 ,

V ієЕр

У іі^і1і^ірУр1 рєЕр

тобто суму всіх можливих добутків по р мультиплікаторів 1 (і)1 (і)1ІІ (і), а маючи на увазі міркування із попереднього розділу, останнє можемо переписати як

ґ

V

V гіїі іі єЕ3

Групуючи доданки по всіх ік, а їх множники по всіх ]к, отримаємо третій множник у вигляді суми мультиплікаторів, що відповідають словам довжини від 1 до т в алфавіті Е1. Таким чином, останній вираз зможемо записати у вигляді

ёгат(А)

V

У і,(і У- У1 (I )"■ У 1(1 Г

т

ієУ ЕІ

гєЕ

/є^2

р єЕ3

к=1

Проведемо оцінку для множника У1 (I) = У У і(і)

m

tej Sk

f Лк If

d

k=1

< 1/

V ieS1 J

1 - У1(і)“

V ieS1 J

Повертаючись до оцінки (4), H (ap)

Hd (A p )< Hd (A p ) = diam(A)

прииме вид

Y f

VieS 2 J

V ieS1

У1 (I )d + У1 (I )d. У1 (I )d л/ 1 - У1 (I)

Je^2

c wv

d

< d,am(Af- yi(I )d + yi(I у. У1 (I )d 4/ 1 - yi(I)

jeD2 / V iGS1 J J

VieS 2

г'єХ,

V ieS1 JJ

^ p

<

При переході р ® ¥, для того щоб оціночна і -міра Н (ар) була строго додатна та скінченна, необхідно, щоб виконувалась умова

У1 (I )d + У1 (I )d. yij (I )d • 1/f1 - У1 (I )d'

ieS2 ZGSj jeD2 j V ZGSj J

Після нескладних перетворень матимемо

У1 (I )d - У1 (I )d. У1 (I )d = 1.

: 1 .

(5)

ieS

ієХі

уЄЇ2\ °2

Лема. Співвідношення (5) має єдиний розв’язок.

Розглядаємо функцію у(і) = у 1(іIі_уі(іУ- уі (і)й . Вона неперервна на [0; ~).

ieS

ієХі

Позначимо Sj = n1, S2 = n2, D2 = m2.

g(o) = n1 + n2 - n • (n2 - m2) > n + n2 - n • n2 = c ^ n = C—— > 1 ^ c > 1, тому g(o) > 1.

g(d)® 0 при d ® ¥ .

Продиференціюємо (5) по d :

g(d )=УЛ^ у in li (I)-У1 (I )d lnl, (I) • У1 (I )d -У1 (I у. У1 (I )d in 1 (I )=

jGS2 \D2

ieS

ieSj

= У1 (I )d in 1і (I)

ieSj

1 - У1 (I)

jeS2 \D2

jGS2 \D2

+ У1 (I )d in 1 (I)

jeS 2 \ D2

І€S,

1 - У1 (I )d

iєS1

+

У1 (I )d in1 (I )< 0

jeD1

бо кожний із доданків - від’ємний. Тобто, ggd) - строго спадна, а тому прийме значення 1 лише в одній точці. Лему доведено.

У результаті маємо оцінку розмірності dimH (A) зверху для атрактора СІФ із само-перетинами зазначеного вище типу dimH (a) < d, де d - єдиний розв’язок (5). Співвідношення (5) співпадає із формулою, отриманою у [4], при урахуванні інтервалу, по якому проводиться розрахунок мультиплікаторів.

5. Комп’ютерні обчислення фрактальних розмірностей

У цьому розділі ми представимо результати комп’ютерних обчислень фрактальних розмірностей атракторів динамічної системи із антисипацією на множині параметрів такої ДС.

k=1

Результати були отримані на обчислювальному кластері СКІТ-4 Інституту ім. В.М. Глуш-кова НАН України. Для розрахунків був спроектований пакет програмних засобів на мові програмування Java.

Розрахунок фрактальних розмірностей проводився по двопараметричній карті у просторі параметрів (1, а) квадратичної динамічної системи хп+1 = 1- xn (1 -xn)-a-x2n+1 з антисипацією першого порядку. Розмірності атракторів, що приймають значення у [0; 1], представлені відтінками чорного кольору. Розмірності 1 відповідає чорний колір, а розмірності 0 - білий.

0,35 0,40 0.45 0,50 0,55 0.50 0.55 0,70 0,75 0.80 0.35 0,00 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1,25 1,30 1.35 1.40 1,45 1.50 1.55 1.Є0 1.85

Lambda

Рис. 1. Карта фрактальних розмірностей ДСА на множині її параметрів (Л, a)

Розрахунок проводився, базуючись на описаній у [10] схемі побудови карт абстрактних показників. Так, суцільні білі області свідчать про те, що на відповідній множині пар (Л, a) чи існують регулярні атрактори, чи траєкторії цієї дискретної ДС «перериваються» або йдуть на нескінченність.

б. Висновки

Проведена робота була орієнтована на один із найперспективніших напрямів математичного моделювання - дослідження фрактальних властивостей атракторів систем різних типів, які можна представляти багатозначними операторами. Зокрема, розглядалися атрактори систем ітерованих функцій, до яких часто зводяться оператори еволюції нелінійних дискретних динамічних систем із антисипацією. В полі зору знаходилися випадки СІФ з нелінійними операторами без самоперетинів та із самоперетинами визначеного типу, що не підпадає під так званий «скінченний тип сусідства».

Так, було отримано оцінки розмірності Хаусдорфа зверху для атракторів обох випадків СІФ на основі оціночної d -міри. Для випадку СІФ без самоперетинів було показано, що оцінка розмірності Хаусдорфа зверху визначається за формулою Морана. Для випадку ж СІФ із самоперетинами типу, що розглядаються, доведено, що така оцінка зверху визначається за співвідношенням, отриманим Денг КіРонгом (Deng QiRong) та Джоном Хардін-гом. Однак обидві оцінки враховують інтервали, за якими визначаються мультиплікатори

відповідних операторів у СІФ. Показано єдиність розв’язку оціночного співвідношення для випадку СІФ із самоперетинами. Проведені чисельні розрахунки фрактальних розмірностей атракторів ДСА у просторі параметрів цієї динамічної систем, на основі яких побудовано карти фрактальних розмірностей.

У подальшому варто проводити оцінки розмірностей знизу для вказаних випадків СІФ чи розглядати інші особливі випадки самоперетинів між операторами СІФ. Розробка апарата побудови та аналізу систем ітерованих функцій дозволить розв’язувати різноманітні проблеми фрактальної геометрії, що може мати потужний прикладний результат, зокрема, в кібернетиці: теорії класифікації, розпізнавання образів тощо.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Hutchinson J.E. Fractals and Self-Similarity / J.E. Hutchinson // Indiana Univ., Math. Journal. - 1981. -Vol. 30, N 5. - P. 713 - 747.

2. Barnsley M.F. Fractals everywhere / Barnsley M.F. - Boston: Academic Press, 1988. - 394 p.

3. Ngai S. Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps / S. Ngai, Y. Wang // J. London Math. Soc. - 2001. - Vol. 63, N 3. - P. 655 - 672.

4. Deng Q. Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps / Q. Deng, J. Harding, Y.H. Tian // J. Science in China Series A: Mathematics. - 2009. - Is. 1, Vol. 52. - P. 119 - 128.

5. Moran M. Hausdorff measure of infinitely generated self-similar sets / M. Moran // Monatsh Math. -

1996. - Vol. 122. - P. 387 - 399.

6. Simon K. Hausdorff dimension of limit sets for parabolic IFS with overlaps / K. Simon, B. Solomyak, M. Urbanski // Pacific J. Math. - 2001. - Vol. 201, N 2. - P. 441 - 478.

7. Barany B. On the Hausdorff Dimension of a Family of Self-Similar Sets with Complicated Overlaps /

B. Barany // Fund. Math. - 2009. - Vol. 206. - P. 49 - 59.

8. Barany B. Dimension of the generalized 4-corner set and its projections / B. Barany // Erg. Th. & Dyn.

Sys.- 2012. - Vol. 32, N 4. - P. 1190 - 1215.

9. Лазаренко С.В. Класифікація операторів однієї дискретної антисипаційної системи першого порядку / С.В. Лазаренко, О.С. Макаренко // Системні дослідження та інформаційні технології. -2013. - № 1. - C. 97 - 106.

10. Лазаренко С.В. Багатопоточні комп’ютерні обчислення у дослідженні нелінійних динамічних систем / С.В. Лазаренко, О.С. Макаренко // Прикладні проблеми програмування. - 2013. - № 3. -

C.109 - 116.

Стаття надійшла до редакції 25.04.2013