CC BY
71
Педагогическая мастерская
Клепиков В.Н.,
к.п.н.,
заместитель директора МОУ «Лицей» г. Обнинск mou.06@mail.ru
ПРИТЧЕВЫЕ МИНИАТЮРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
(Часть 2)
«Мне хочется использовать математические структуры как образы, через которые можно по-новому увидеть Мир».
В.В. Налимов
Поговорки, притчи, мифы и легенды умудрённых жизнью людей были всегда квинтэссенцией культуры народа, к которым приобщались новые поколения. В древних сообществах это были своего рода обряды инициации. Вспомним в этой связи диалоги Платона, где тщательно обсуждаются проблемы и понятия, но однозначного и окончательного вывода не делается, - здесь важно погрузиться в проблему, приобщиться к идее. Все перечисленные тексты и являются такими «точками интенсивности», благодаря которым и пробуждались к духовной жизни всё новые и новые поколения людей.
Притчи, как драгоценные камни, отшлифованные веками, передаются от одного поколения к другому, от одной культуры к другой, являясь универсальным языком духовного общения народов. Первые притчи были записаны уже 3-2 тыс. лет до н.э.
Как считает исследователь А. Княжицкий:
1. притча при всех различиях в трактовке жанра обязательно должна обладать двумя чертами, по которым её можно отличить от любых других произведений, - поучительностью и аллегоричностью;
2. притча - это одновременно и мудрость и путь к мудрости;
3. притча имеет бесконечно много значений и толкований;
4. притча - это слово, поступок, жизнь и искусство;
5. притча тонко отражает всю удивительность и непредсказуемость человеческой жизни и истории человечества [Княжицкий А.И. Притчи. М., 1994].
Все эти качества притчи нужны именно в школьном возрасте, когда происходит пробуждение человека к душевной и духовной жизни. Принципиально важно, что притча - это не только итог обобщения опыта человеческой жизни, но и пространство порождения и бесконечного объяснения этого опыта. Что больше всего отталкивает ученика? Конечно, морализирование, сентенции, поучения, какими бы мудрыми они не были. Дать возможность ребёнку в любой притче найти свой смысл - вот главная цель любого учебного диалога.
Для притчи очень важно, что она «одета» образным содержанием, а сюжетный образ наполняет её живыми персоналиями, реальными жизненными ситуациями. Поэтому притча даёт ребёнку пластичную форму реакции на различные жизненные ситуации, лепит линию его поведения, инициирует адекватные поступки, задаёт нравственные категории, удерживает его в поле этой пластичной формы, а значит, формирует и держит его культуру.
25. «Идеал»
Одни люди считают, что идеала в жизни достичь невозможно, другие - возможно. Первые могут воспользоваться следующим математическим доказательством. Со времён Древней Греции известна апория «Дихотомия» (буквально, «деление на две части»), которая опровергает возможность движения, поскольку тело, раньше чем пройти половину пути до определённого пункта, должно пройти половину этой половины, а чтобы пройти половину этой половины, оно должно пройти половину половины этой половины и т.д. Даже если тело и начнёт перемещаться, то при таком движении оно никогда не достигнет конечного пункта. С точки зрения математики, здесь мы имеем дело с рядом: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...^ 1, который стремится к единице, но никогда её не достигнет. Люди, верящие в достижимость идеала, могут рассуждать следующим образом. Одной из величайших способностей человека является то, что он может «объять необъятное». Например, он имеет представление о прямой, хотя никогда её всю не увидит. Точно также он уверен, что заявленная сумма бесконечного ряда геометрической прогрессии стремится к единству и равна единице, или целому: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...= 1. Это также, с точки зрения математики, верно. Таким образом, каждый человек вправе выбирать. При этом лучшим советчиком по данной проблеме является жизнь.
26. «Вечная тайна истины, добра и красоты»
Каждый пытливый и любознательный человек рано или поздно приходит к выводу, что тайну вечной юности истины, добра и красоты охраняет гармония рационального и иррационального, соизмеримого и несоизмеримого, предсказуемого и непредсказуемого, упорядоченного и хаотического. Одними из первых с этой тайной столкнулись пифагорейцы. На первых порах лик этой тайны привёл их в ужас, так как в нём явно просматривалось нечто иррациональное и непредсказуемое. Пифагор выстроил на сторонах прямоугольного треугольника квадраты и доказал, что площадь квадрата, выстроенного на гипотенузе, равновелика
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
59
Педагогическая мастерская
сумме площадей квадратов, выстроенных на катетах: a2 + b2 = с2. Так появились знаменитые «пифагоровы штаны». Тем самым он не просто доказал истину, но и убедительно, наглядно показал, что проблема несоизмеримости разрешается даже в обычном прямоугольном треугольнике: рациональное и иррациональное сосуществуют, образуя закономерную и в то же время парадоксальную гармонию. Ту же самую гармонию выражают «формула красоты» (х2 + х = 1) и «золотое правило нравственности» (поступай по отношению к другому более великодушно, чем он к тебе). Таким образом, в основе всего истинного, доброго и прекрасного лежит парадоксальное сочетание рационального и иррационального.
27. «Чудо творчества»
Парадоксальная неопределённость точки заключается в её принципиальной противоречивости: она есть единство крайних противоположностей - бесконечно малого и бесконечно большого или, если кратко, бесконечности и нуля, то есть точка есть ничто и всё одновременно. Точка есть ничто, однако именно из неё или на её основе конструируются все геометрические фигуры. Более того, согласно последней космической гипотезе, наша вселенная появилась в результате взрыва сверхплотного вещества малого объёма, сравнимого с «точкой». Также интересно, что библейский Бог творит мир из «ничто». Так и у человека, который занимается творчеством, творения для других возникают как бы из «ничего». В этом и состоит чудо творчества!
28. «Мнимое и действительное»
Как известно, существуют не только действительные, но и мнимые числа. Не все великие математики признавали существование последних чисел. Даже Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой оси, считал, что для комплексных чисел не может существовать никакого реального истолкования и что они обречены навеки оставаться воображаемыми, или мнимыми. В контексте данных рассуждений можно провести аналогию: существует мнимая и действительная жизнь человека, которую можно раскрыть через понятие «присутствие». Присутствие - это подлинное и реальнейшее бытие человека, которое не приковано пространственно к его телу. Например, человек ушёл из дома или из жизни, а пространство его жизни ещё полно его теплом, его присутствием. Люди на портретах Рембрандта умерли в XVII веке, но их присутствие ощутимее, чем существование многих людей XXI века. На их лицах вот уже четыре столетия не прекращается духовная работа, которая и составляет полноту их бытия. Таким образом, понятия «действительное» и «мнимое» взаимодополнительные понятия, наталкивающие на глубокие размышления о смысле человеческой жизни.
29. «Капля-точка»
Капля - это микроскопическая частичка нашей солнечной системы, но в капле отражается Солнце. Поэтому капелька, как и Солнце, есть «целое», т.е. в
ней отражается «целый мир». Точка в геометрии есть «ничто» - она нульмерна, но из точки произрастают все геометрические фигуры. По свидетельству Секста Эмпирика, «...точка в своём течении образует линию, а линия в своём течении образует плоскость, а эта последняя, двинувшись в глубину порождает трёхмерное тело» [Секст Эмпирик, т.1., с.364]. Поэтому точка есть «целое» и «всё». Точка есть «всё» потому, что если она начнёт двигаться с бесконечной скоростью, то охватит целую Вселенную. Так и мысль человека: она никогда не сможет охватить буквально все «мелочи», но может охватить «целое». Кажется, Козьма Прутков заблуждался: «объять необъятное» можно.
30. «Земная точка и точки небесные»
Ещё софисты Древней Греции убеждали, что окружность и касательная имеют не одну общую точку, и, казалось бы, реальный опыт это подтверждает. Однако спустя тысячелетия духовный опыт человечества показал, что не только формальная геометрия права, но и «геометрия сакральная». По словам оптинского старца Амвросия: «Мы должны жить на земле так, как колесо вертится: только чуть одной точкой касаться земли, а остальным непрестанно вверх стремиться; а мы как заляжем на землю и встать не можем».
31. «Всё во всём»
Древнегреческий мыслитель Анаксагор говорил: «Сама по себе каждая вещь и велика, и мала... Во всём может заключаться всё». Другой великий математик эпохи Возрождения Николай Кузанский писал: открой очи ума и увидишь, что бесконечность «находится во всяком множестве, поскольку она в единице, и во всякой величине, поскольку она в точке». Действительно: число делится до бесконечности, движущаяся точка формирует геометрическую фигуру, доля помнит о части и целом, в зерне потенциально содержится плод, в капле отражается солнце, распускающийся цветок является символом всего мироздания и т.д. Все приведённые образы и символы в сущности говорят об одном - часть и целое едины, так как в каждом из них содержится бесконечность.
32. «Связано ли добро с числом?»
Аристотель так оценивал учение пифагорейцев о добродетели: «Первым взялся говорить о добродетели Пифагор, но рассуждал неправильно, возводя добродетели к числам, тем самым не исследуя добродетели как таковые. Ведь справедливость, например, - вовсе не число, помноженное само на себя» [Аристотель, т. 4, с. 296]. Аристотель отчасти прав, но он в те времена даже не догадывался, как обогатится взгляд на число. В III веке до н.э. люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен, а самым большим числом в системе счисления Древней Греции, которое имело название, была «мириада» - 10.000. В современной математике различают числа целые и дробные, положительные и отрицательные, рациональные и иррациональные, действительные и мнимые, даже открыли трансцендентные, комплексные и трансфинитные числа. Если внимательно проанализировать, то несложно за-
60
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
Педагогическая мастерская
метить, что и этика оперирует почти всеми данными понятиями. Так что Пифагор был не так далёк от истины, как это показалось Аристотелю. Этика в определённом смысле всё же нуждается в числовых открытиях
33. «Золотая пропорция»
Пожалуй, одним самых интересных моментов в нравственном учении Аристотеля является разработка им идеи добродетели как «золотой середины» между пороками. Как известно, золотая пропорция устанавливает равновесие между целым и частью: целое так относится к своей большей части, как большая к меньшей. Исходя из этого, Аристотель даёт подробную классификацию добродетелей: «Благоразумие... середина между распущенностью и бесчувственностью к удовольствиям», «Щедрость... среднее между расточительностью и скупостью», «Благородство... это середина между кичливостью и приниженностью», «Широта... это середина между мотовством и мелочностью» и др. [Аристотель, т.4, с. 319-321]. Обратим внимание, что добродетель у Аристотеля никогда не лежит ровно посередине от обоих полюсов. Щедрость всё же ближе к расточительству, чем к скупости. Благородство дальше от кичливости, чем от приниженности. Скромность ближе к стеснительности, чем к бесстыдству. Словом, здесь идёт речь именно о «золотой середине» в смысле «золотого сечения», которое всегда несколько смещено к одному из концов соответствующего отрезка. Таким образом, Аристотель показал, что «золотая пропорция» работает не только в математике и искусстве, но и в этике.
34. «Синтез предельного и беспредельного»
Пифагорейцы одними из первых заговорили о числе как о числовой гармонии, как о диалектическом синтезе предела и беспредельного. Беспредельное длится и простирается в бесконечность; предел же останавливает это распространение, кладёт ему границу, очерчивает определённые контуры. Беспредельное нельзя охватить и познать, ибо всякое познание должно отличить познаваемый предмет от всякого другого и тем самым его ограничить, определить. Вот этот-то синтез беспредельного и предела, впервые разграничивающий предметы и делающий их ясно различимыми, и есть число. Таким образом, предел, будучи соотнесённым с беспредельным, вносит в него некоторую меру, создаёт мерное отношение [Лосев А.Ф. Ранняя классика. М., 1994. с. 247]. Чтобы это прочувствовать, постройте координатную прямую в следующей последовательности шагов: прямую, начальную точку, единичный отрезок, числа; и вы поймёте, что это именно так.
35. «Почему в начале было Число?»
Наш мир есть разрастающийся мир величин - бесконечно больших и бесконечно малых: компьютерные килобайты, мегабайты и гигабайты, количество галактик, землян, долларов, машин, болезней, вирусов, микробов и т.д. Это также тысячи, миллионы, миллиарды земных событий, в которых роль отдельной личности ничтожно мала или, наоборот, вдруг, обретает колоссальное значение. Магия величин завладевает чело-
веком, диктует ему определённую линию поведения и образ жизни. Человек как безликая, среднестатистическая величина становится абсолютно бессильным перед этими, уже ставшими планетарными, энергиями и силами. При этом не важно, кем человек является -школьником, рабочим или министром. И многие люди с их индивидуальными, самобытными мирами исчезают в этом океане бесконечно малых и бесконечно больших величин, не видя альтернативы. Однако виноваты не величины, а отношение к ним самого человека. Существуют слова, но есть и Слово. Существуют знания, но есть и Понимание. Существуют числа, но есть и Число. С возрастанием роли техники человеку нужно всё больше и больше прилагать усилий, чтобы вырваться из притяжения магических величин в мир подлинной жизни и обрести именно свою судьбу. Если сформулировать кратко, то нужно вновь и вновь задумываться над тем, почему в начале было Слово, Понимание, Число?
36. «Линия»
В математике есть удивительная геометрическая фигура - линия. В «Началах» Евклида линия определяется как «длина без толщины». У Аристотеля был целый трактат о так называемых «неделимых линиях». С такой позиции вовсе не точка была минимальным неделимым элементом. После введения Декартом системы координат появилась возможность дать представление о линии как о траектории движущейся точки. Таким образом, линия по своей фундаментальности может сравниться только с точкой. Она при определённых условиях может стать прямой, окружностью, эллипсом, параболой, синусоидой и т.д. Многие мыслители размышляли над загадочностью линии. Леонардо да Винчи истолковывал её как волнистую линию, придающей форму предмету. Анри Бергсона волновал «индивидуальный изгиб» линии, её неповторимое очертание. В живописи особую роль во введении «новой линии» сыграл Анри Матисс, который передавал уникальной линией «прозаические приметы определённого сущего», и тем самым придавал им неповторимое очарование. Если каждый из миллиардов живущих на земле людей проведёт свою линию, то она будет неповторимой, как и он сам. Исходя из вышесказанного, становится понятно, что для нравственной жизни личности линия является образом уникальной человеческой самобытности.
37. «Часть равна целому»
Знаменитый на весь мир русский мыслитель Николай Бердяев писал: «Личность есть микрокосм, целый универсум. Только личность и может вмещать универсальное содержание, быть потенциальной вселенной в индивидуальной форме. Личность не есть часть и не может быть частью в отношении к какому-нибудь целому, хотя бы и огромному целому, всему миру». Таким образом, он считал, что часть равна целому, но может ли быть такое? Исследуем. Ещё древнегреческий мыслитель Анаксагор две с половиной тысячи лет назад выдвинул принцип «всё во всём», который казался его современникам тёмным и даже мистичным. Анаксагор ввёл частицу, которую на-
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
61
Педагогическая мастерская
звал гемеомерией. Гемеомерия - миниатюрная частица сущего, представляющая собой целый мир, даже некую безграничную вселенную, которая заключает в себе всё существующее. Другими словами: как вселенная может оказаться микроскопической частицей по отношению к какому-нибудь целому, так и микроскопическая частица может содержать в себе целую вселенную. Это можно подтвердить сведениями из современной математики. В математической теории множеств бесконечным является такое множество, в котором имеются части, равные целому множеству. Каких чисел больше на числовой прямой: натуральных или рациональных? На языке современной математики они имеют одинаковую мощность. Другими словами, бесконечное множество всех натуральных чисел равно бесконечному множеству всех рациональных чисел. А так как натуральные числа есть лишь частный случай рациональных чисел, то мы приходим, на первый взгляд, к поразительному выводу - целое равно своей части. Итак, человек, личность есть целая вселенная или, точнее, может стать вселенной, если хорошо потрудится...
38. «Здравый смысл»
Иногда некоторые люди кичатся своим трезвым рассудком или так называемым здравым смыслом и подсмеиваются над натурами более утончёнными и романтичными. Однако всегда ли здравый смысл прав? Делая упор лишь на то, что «очевидно» или «естественно», здравый смысл не всегда восходит до понимания того, что может быть на самом деле. Когда-то Ф. Энгельс написал: «Здравый человеческий рассудок весьма почтенный спутник в четырёх стенах своего домашнего обихода, переживает самые удивительные приключения, лишь только он отважится выйти на широкий простор исследования» [К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, с. 21]. Действительно, попробуем это показать с помощью математики. Как вы думаете, к чему будет стремиться сумма чисел 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = ? Те, кто знаком с суммированием членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, отметят, что приведённое выражение потенциально стремится к 1, или актуально равно 1. А к чему будет стремиться сумма чисел 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +...= ? Здравый смысл подсказывает, что данная сумма тоже не превысит какого-либо заданного числа, но он ошибается! На самом же деле написанное выражение бесконечно велико, и если взять в нём достаточно большое количество членов, то сумма их превысит любое число. Таким образом, не спешите давать скорую оценку мнениям других людей - может быть они всё-таки правы.
39. «Два в одном»
Обычно в каждом человеке сочетаются противоречивые черты характера. И, казалось бы, это ему очень мешает и даже ставит в безысходное положение. Но здесь на помощь опять приходит наглядная геометрия. Зададимся следующим вопросом: как вы думаете, какая фигура на одну из перпендикулярных плоскостей даёт проекцию круга, а на другую - квадрата? Это, конечно, цилиндр. Действительно, трёхмерный цилиндр
наглядно демонстрирует, что его проекции кардинально противоречат друг другу, так как на одной плоскости появляется квадрат, а на другой круг. Однако же и квадрат, и круг непосредственно относятся к цилиндру и органично в нём сосуществуют. Вот так и человек, пусть в его характере уживаются противоречивые и оригинальные черты, лишь бы они не несли зло ему самому и окружающим людям.
40. «Удивительное число»
Есть в математике число, обладающее удивительными свойствами, совершенно не похожими на качества других чисел. Иногда кажется, что это число неуловимое и даже одушевлённое. Ведь не случайно, что человечество его осознало далеко не сразу. Даже древние греки его не знали, но, предположим, постоянно чувствовали в нём настоятельную необходимость. Это число нуль. В чём же проявляется живость нуля? Если нуль будет множителем, то превратит все числа в себя. Если он станет делителем, то приведёт любое частное к полному конфузу - никто никогда не поймёт, что получится в итоге: какое-то другое число, бесконечность или сам нуль, поэтому учёные решили, что лучше в такой ситуации с нулём не связываться и на него делить нельзя. Если нуль примет статус вычитаемого или слагаемого, то он лишь напугает другое число, которое вошло с ним в контакт, ведь не очень-то уютно стоять вместе с «приведением», даже когда между ними знак действия. Если он просто скромно подойдёт к какому-либо другому числу справа, то изменит его в десять раз, слева - сыграет с ним злую шутку. Ну а если, подойдя к числу, нуль изловчится и подпрыгнет, став показателем степени, то обезличит почти все числа - они тут же превратятся в единицу. В статусе уменьшаемого нуль может совершить совсем уж невероятное - превратить число в ему противоположное. Вывод? Наверное, очень сложно и ответственно иметь дело с нулём: сам он одновременно как бы «ничто», зато если попадет в неумелые руки, то может навести такую неразбериху, что мало не покажется... Данная притча наводит на следующую мысль: человек должен виртуозно владеть тем материалом, с которым имеет дело. Такого человека за его знания, умения и навыки мы называем Мастером своего дела, и тогда ему не страшны никакие неожиданности.
41. «Понимание»
Иногда можно услышать: «знаю, но не понимаю». Например, я знаю, что самолёты летают, но никак не могу понять, как многотонная машина поднимается в воздух. Оказывается, что понимание - это существенная, наиболее важная сторона знания. Можно запоминать, воспроизводить и передавать громадное количество информации, но быть абсолютно к ней равнодушным. Понимание же - сугубо личностный акт: я сам должен понять, никто за меня понять не может. И если я что-то понял, я не могу своё понимание передать другому - он должен понять сам и по-своему. Поэтому говорят: научить нельзя - можно только научиться. В этом смысле царских путей для познания-понимания нет. Вот, например, как описывает свою встречу с геометрической теоремой в детстве А.Ф. Лосев: «Когда я
62
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
Педагогическая мастерская
понял, что сумма углов треугольника равняется двум прямым углам, я почувствовал в этом нечто своё личное, бесконечно родное, чего никто у меня не отнимет. И среди многочисленных волнений жизни и мысли я нашёл в этом приют. Геометрия, если я её изучил и понял, - моя родная и близкая, всегда ласковая и всегда приятная наука... Знающая любовь и любящие знания всегда хоть чуть-чуть, но обязательно несут в себе стремление к небывалому». Итак, понять - значит найти свою индивидуальную позицию, самому во всём дойти до самой сути, ничему слепо не доверяя и всё подвергая сомнению. Понимать - значит самому выбирать свой жизненный путь. Понять - значит найти своё уникальное место в мире.
42. «Царский путь в математике»
Однажды греческий царь обратился к Евклиду за помощью в освоении математики. После недолгого кропотливого изучения терпение царя закончилось, и он воскликнул: «Неужели в геометрии нет для меня более лёгкого царского пути?» Евклид ответил: «В геометрии царских путей не бывает». Но действительно ли это так? Ведь существует наикратчайшее расстояние между двумя точками - это длина отрезка, между точкой и прямой - это длина перпендикуляра. Может всё-таки такие пути есть? Исследуем. Любой хороший математик знает десятки более продуктивных способов решения задач и примеров, но такие знания достигаются только благодаря глубоким раздумьям. Например, многие ребята затрудняются при решении следующей задачи на заполнение бассейна: через одну трубу бассейн может быть наполнен за 6 часов, а через другую - за 12 часов; за какое время наполнится весь бассейн, если будут открыты одновременно обе трубы? Оказывается, задача легко решается, если вывести формулу 1/х + 1/у = 1/z, где величина z является ответом к этой задаче (1/6 + 1/12 = 1/4), т.е. z = 4 часам. Таким образом, царских путей в математике не бывает для ленивых и нерадивых людей, но для увлечённых математикой таких путей предостаточно. Так что Евклид чуть-чуть слукавил, но в главном он был прав: для царя на первоначальный момент его математического развития царские пути вряд ли бы обнаружились.
43. «Тревожный жизненный парадокс»
Тревожный парадокс жизни человечества заключается в том, что всё то, что обеспечивает лучшую жизнь и процветание человечества на краткосрочный и даже на долгосрочный период, ускоряет и усугубляет его конечное падение, а возможно и исчезновение. Получается так: потребности человека направлены на улучшение качества его жизни, а удовлетворение потребностей приводит к ухудшению этого качества, а в дальнейшем и к прекращению жизни. Здесь возникает «замкнутый круг». Однако хочется думать, что окружность всё-таки не замкнута, и есть на ней некоторая точка, благодаря которой можно выйти из заданной траектории и, превратив окружность, скажем, в спираль, дальше двигаться по линии большего радиуса, где можно удовлетворять свои потребности без опас-
ности для личной жизни и существования человечества. Найдётся ли человек, который найдёт эту точку?
44. «Хаос и порядок»
Пропорция важна не только для понимания мира, но, отчасти, и для его спасения. Как известно, в последнее время нашу планету преследует череда природных катастроф. Экологические катаклизмы постоянно угрожают жизни на всей планете. Как отмечают многие учёные, нарушен баланс взаимодействия человека и природы. Человек нещадно эксплуатирует мир природы, не думая о последствиях. По сути, человечество живёт по принципу «после нас хоть потоп», хотя потоп уже обрушивается на него уже сейчас. Конечно, человек для своего выживания вынужден брать нечто у природы, но он должен постоянно соизмерять свои воздействия, то есть использовать пропорциональные отношения. Поэтому древние не так далеки были от истины, когда в основу мира ставили гармонию между хаосом и порядком.
45. «Зло на пути к добру»
Некоторые люди считают, что добро и зло обладают не только качественными, но и количественными характеристиками, т.е. они могут быть большими или меньшими. И по этой причине существуют границы, за которыми уменьшение добра и зла делает их равными друг другу, т.е. безразличными. Например, если человек в процессе эволюции проходит такие стадии, как насилие - воровство - обман - лукавство - хитрость - равнодушие, то потенциал его личностного зла уменьшается и может перейти в добро. Таким образом, нравственная оценка чего-либо может быть не только абсолютной, но и сравнительной. Такая количественная оценка добра и зла очень сильно напоминает свойство числовой прямой. Как известно, она состоит из начала отсчёта (0) и двух дополнительных числовых лучей, задающих положительное и отрицательное направления. Свойство заключается в том, что при движении слева направо числа увеличиваются, и, пройдя начало отсчёта, становятся уже не отрицательными, а положительными. Неужели и здесь математика диктует свои способы понимания явлений мира?
46. «Личность есть микрокосм »
Однажды русский философ Николай Бердяев заявил: «Личность есть микрокосм, целый универсум. Только личность и может вмещать универсальное содержание, быть потенциальной вселенной в индивидуальной форме. Личность не есть часть и не может быть частью в отношении к какому-нибудь целому, хотя бы и огромному целому, всему миру». По сути мыслитель заявил, что часть равна целому. Но возможно ли это? Как мы знаем, в геометрии предполагается, что любая геометрическая фигура состоит из точек. Однако где содержится точек больше: в стороне (отрезке) квадрата или в самом квадрате? Оказывается, что в стороне содержится столько же точек, сколько и в квадрате, и даже в кубе. Более того, в стороне содержится столько точек, сколько и во всём бесконечном
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
63
Педагогическая мастерская
пространстве. Это связано с тем, что бесконечность не может быть меньше бесконечности. Поэтому философ прав: вселенная есть бесконечность и личность тоже есть бесконечность. Вопрос лишь в том, сможем ли мы открыть в себе эту бесконечность?
47. «Божественная бесконечность»
Великий философ и математик Лейбниц считал, что все творения несут в себе некий отпечаток божественной бесконечности и что он является источником многих удивительных вещей, приводящих в изумление человеческий ум. «Так я считаю, - пишет он, - что нет ни одной части материи, которая не была бы не просто делима, но актуально разделена, и, следовательно, самую малую её частицу надо рассматривать как мир, полный бесконечного числа различных созданий». Действительно, нет ни одной столь малой частицы материи, в которой не был бы заключён некий мир бесконечного множества творений, нет ни одной столь несовершенной сотворённой индивидуальной субстанции, которая бы не воздействовала на все остальные, и не испытывала бы воздействия со стороны всех остальных, и своим полным понятием не охватывала бы всего универсума - всего, что есть, было и будет.
48. «Идея»
Жизнь есть прежде всего становление или, как говорят математики, континуум, то есть сплошное, непрерывное, не делимое ни на какие устойчивые и взаимораздельные точки становление. Жизненное становление нельзя составить из дискретных точек. Движение вовсе не есть сумма неподвижных и безжизненных точек. Поэтому жизнь, взятая в чистом виде, именно как только жизнь, а не что-нибудь другое, есть бурлящая и клокочущая бессмыслица. Ведь в континууме каждая точка исчезает в тот самый момент, в который она появляется. Не хаос ли это неизвестно чего? Конечно, жизнь не есть всегда только жизнь, а она всегда есть ещё и жизнь чего-то. От этого «чего-то» она и получает своё осмысление, уже перестаёт быть слепой. Поэтому если мы хотим осмыслить жизнь, то нужно брать какие-то идеи, которые выше жизни и поэтому могут её осмыслить (А.Ф. Лосев).
49. «Чудо математики»
Кто начинает понимать математику, то чудеса его ждут на каждом шагу. Как пишет А.Ф. Лосев: «Меня потрясло знакомство с уравнением Лоренца (р = Vi - v2/ c2, если v ^ c, то v2/c2 ^ 1, а 1 - v2/c2 ^ 0), которое изображало объём тела в зависимости от скорости движения тела и согласно которому тело со скоростью света вообще теряло всякий объём, а со скоростью выше скорости света принимало объём тела как минимальную величину. Я не придавал значения тому, что в природе не существует тела, которое бы двигалось бы со скоростью света. Меня потрясло только то, что превращение объёма тела в нуль вполне мыслимо, что это чудо можно математически точно формулировать».
50. «Синдром толпы»
Когда беснуется толпа, то подтверждается старое правило: степень принятия персональной ответственности за беспорядки обратно пропорциональна числу лиц, участвующих в данной ситуации. Чем больше лиц участвует, тем слабее каждый из них чувствует собственную ответственность, и наоборот. Ответственность за создавшуюся ситуацию как бы перераспределяется между всеми членами группы и уменьшается для каждого в отдельности. Правда жизни заключается в том, что, например, подростки, сбившиеся в «шайку», могут решиться на куда более дерзкие преступления, чем каждый из них решается в отдельности. Вина, перераспределённая на всех, меньше давит на каждого. Уголовное право учитывает это обстоятельство и борется с подобными проявлениями безответственности, увеличивая меру наказания за групповые преступления. Можно сформулировать и ещё одно универсальное правило: уровень ответственности прямо пропорционален степени самостоятельности субъекта.
51. «От ничто к Всё»
Сравнивая себя со Вселенной, человек чувствует себя песчинкой на Земле, атомом в Солнечной системе и ещё более мелкой единицей по отношению к звёздному миру. Чем более объемлющие системы мы станем брать, тем ничтожнее будет удельный вес личности. Казалось бы, что в пределе должна получиться бесконечно малая дробь. И однако лишь только мы переходим к этому пределу и противопоставляем человеку мировое «Всё», как рассматриваемое нами отношение резко меняется: из дифференциала личность вдруг становится интегральной величиной, величиной того же порядка, что и мировое Целое. Как сказал бы Николай Кузанский, минимум становится максимумом. Это ясно указывает на нелогический, иррациональный характер перехода от «ничто» к «Всё». Удивительно, но где-то в пределе они совпадают.
52.«Истина»
В современной науке под истиной обычно понимают соответствие понятий, высказываний, теорий, моделей окружающему миру. Если они отвечают данному требованию, значит, они правильные, если нет, то - ложные. Однако истина характеризует не только результат познания мира как чего-то внешнего, «объективного», а по сути своей обретение такой позиции, где мир и вещи вдруг приоткрываются, становятся понятными, но в то же время волнующими и таинственными. Такую истину даже не открывают - в ней живут. Живут те, кто по-настоящему познаёт, любит и верит. В этом смысле истина - всегда результат индивидуального и творческого прорыва к Миру как он есть на самом деле.
53.«Познание»
Для понимания процесса познания, некоторые мыслители приводят следующий геометрический образ. Движение разума к истине подобно приближению правильного многоугольника к кругу: чем больше сто-
64
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
Педагогическая мастерская
рон (n) у правильного многоугольника, тем ближе он к кругу, и в конечном пределе при n ^ м многоугольник и круг сливаются. Это значит, что человек достиг абсолютного знания. Однако во многих сферах жизни и науки абсолютного знания достичь невозможно. В этом случае человек обречён на бесконечное приближение к истине. И в таком движении многие находят особую радость вечного познания.
54. «Замечательные точки»
В геометрии более всего изумляют прячущиеся закономерности. К такому скрывающемуся чуду можно отнести существование у треугольника четырёх так называемых замечательных точек, которые могут быть получены при пересечении биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров. Чтобы их получить, нужно немало потрудиться. Таким образом, в плоскости расположения треугольника возникают неявные точки, придающие данной фигуре дополнительную «устойчивость». Но могут ли все эти четыре точки совпасть? Да, в равностороннем треугольнике. Сакральная геометрия считает, что правильный треугольник, благодаря своим изумительным свойствам, содержит громадную лучистую энергию. К.Э. Циолковский даже выдвигал идею выработки в сибирской тайге гигантского равностороннего треугольника для установления контактов с внеземными цивилизациями. Можно ли и личностные качества человека развить таким образом, чтобы они могли сфокусировать внутренние точки опоры и придать духовному миру дополнительную надёжность и энергийность?
55. «Равнодушие»
Равнодушие - средняя точка между положительной и отрицательной направленностью души, таящая в себе больше зла, чем крайности. Равнодушие - враг любого согласия и несогласия. Это - нулевая отметка на шкале отношений. Сумму нулей иногда называют бесконечным кошмаром. Равнодушие безлико. Оно порождает эмоциональную и интеллектуальную тупость. Оно не знает мук совести, не чувствует нанесённой другому обиды, не понимает чужой боли, его не трогает любовь другого человека. Прячась в своём равнодушии от зла, мы одновременно прячемся от многих сторон жизни, в том числе и от добра. Равнодушие -это самый краткий путь к духовной смерти.
56. «Архимед»
В Древней Греции Архимеда любили, уважали и слагали о нём большое количество анекдотов. Говорили, будто он был так поглощён математикой, что забывал есть, пить и мыться; когда он сидел перед очагом, то чертил геометрические фигуры прутом на золе; когда был в бане - чертил пальцем на своём намыленном теле. Однажды его родной город Сиракузы был завоёван. Римский воин ворвался к Архимеду, чтобы арестовать его. Тот сидел в саду и решал на песке очередную задачу. Он поднял голову и сказал солдату: «Не наступи на мой круг». Воин стал торопить мудреца, но Архимед вновь его остановил: «Погоди, я только кончу решение». Солдат не привык к таким ответам, и он убил непокорного мыслителя. На могиле Архимеда
по его завещанию вместо памятника было поставлено изображение цилиндра с вписанным шаром и начертано открытое им отношение их объёмов - 3 : 2.
57. «Триада»
Числу три всегда принадлежала формообразующая роль в науке, культуре и религии. Три ипостаси Бога (Отец, Сын, Дух Святой), ценностные триады «истина - добро - красота» и «вера - надежда - любовь», в русском языке три рода (мужской, женский, средний), три времени (прошлое, настоящее, будущее), в сказах три сына или дочери, три составляющие человека (дух, душа, тело), три агрегатных состояния (жидкое, твёрдое и газообразное), трёхмерное пространство, наименьшее количество сторон в многоугольнике - три и т.п. Некоторые мыслители отмечали такое фундаментальное свойство триады, как оптимальная полнота и самозавершённость. Конечно, в концептуально-организующей роли выступает не только тройка, но именно ей принадлежит внеконкурентная пальма первенства.
58. «Нравственный фундамент»
В любом здании, спускаясь с верхних этажей всё ниже и ниже, мы в конце концов добираемся до фундамента. В геометрии, перебирая теоремы, мы рано или поздно дойдём до утверждений, истинность которых принимается без доказательств, то есть - до аксиом. В этике наблюдается то же самое: от норм и правил этического поведения мы постепенно переходим к базовым нравственным убеждениям, принципам и императивам.
59. «Бесконечность познаёт бесконечность»
Мир - бесконечен, человек - бесконечен. Но разве может бесконечность познавать бесконечность? Разве может одна бесконечность быть «бесконечнее» другой? Казалось бы бесконечность натуральных чисел меньше бесконечности целых чисел. Но это не так. В данном случае бесконечность не может быть меньше бесконечности. И всё-таки сравнивать бесконечности можно. Для этого необходимо ввести понятие «мощность». Так как натуральные, рациональные и целые числа являются счётными множествами, то есть их в принципе можно сосчитать, то они имеют одинаковую мощность. Действительные же числа является несчётным множеством, поэтому они обладает большей мощностью, чем все остальные множества чисел. Таким образом, если человек претендует на познание мира, то его внутренний мир должен быть уподоблен множеству действительных чисел, которые являются самыми мощными.
60. Сила и мощь человеческой мысли
Поразительна сила и мощь человеческой мысли! За несколько сот лет она проникла в такие дали Вселенной, до которых луч света доходит лишь за миллиарды лет. В этом смысле область познания расширяется со скоростью несравнимо большей скорости света (= 300 000 км/с). Но чем больше радиус круга, тем длиннее ограничивающая его окружность. Отсюда следует, что растут не только наши знания.
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
65
Педагогическая мастерская
Непрерывно увеличивается и пограничная зона соприкосновения известного с неизвестным. А это значит, что каждое открытие приносит с собой и множество новых, нерешённых проблем. И так будет продолжаться всегда, потому что Вселенная неисчерпаема, как бесконечен процесс её познания.
61. «Точка зрения»
Известный математик Д. Гилберт на лекции в Гёттингенском университете сказал как-то: «Перед каждым человеком - определённый горизонт. Иногда он по каким-нибудь причинам уменьшается до бесконечно малой величины, сходясь в точку. Тогда человек говорит: это моя точка зрения». Полушутя Гилберт высказал решение проблемы, над которой работало много великих умов: чтобы человек стал подлинно творческим субъектом, он должен, как и Бог, развернуть мир из «ничто», из «точки», из «начала начал», из глубин своего внутреннего мира. И только тогда, действительно, он может заявить, что обрёл уникальный, собственный взгляд на мир.
62. «Круг и окружность»
В Древней Греции окружность и круг считались венцом совершенства. Действительно, каждая точка окружности равноудалена от данной - центра. Одно из интереснейших свойств окружности состоит в том, что она при заданном периметре (С = 2nR) ограничивает максимальную площадь (S = nR2). В русском языке слово «круглый» тоже стало означать высокую степень чего-либо: «круглый отличник», «круглый сирота» и даже «круглый дурак». С кругом связана и классическая задача, ставшая символом неразрешимой проблемы. Это задача на квадратуру круга: можно ли с помощью циркуля и линейки построить круг, равный по площади квадрату? Может быть, решив эту задачу, мы разгадаем тайну совершенства окружности?
63. «Воображение»
Известного математика Д. Гилберта однажды спросили о судьбе одного из его учеников, подававшего когда-то большие надежды. «А, тот, - вспоминает Гильберт. - Он стал поэтом, для занятий математикой у него слишком мало воображения».
64. «Число п»
В математике существует иррациональное и трансцендентное число п. Его можно рассматривать с двух точек зрения: потенциальной и актуальной бесконечности. С точки зрения потенциальной бесконечности данное число приближённо исчисляется так: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415.^ п. Тем самым мы вечно при-
ближаемся к его точному значению, но никогда его не достигаем. С точки зрения актуальной бесконечности мы как бы уже знаем его точное значение и свободно оперируем им в формулах (С = 2nR, S = nR2 , V = 4/3 nR3 и т.д.). Поэтому можно сказать, что данное число парадоксально соединяет в себе конечное и бесконечное, «покой» и «движение»: с каждым годом мы всё более и более приближаемся к его точному значению, однако это не мешает нам его использовать в неизменных формулах.
65. «Я - это Другой»
В математике существует мнимая величина V-а., т.е. она как бы существует и одновременно не существует. В самом деле, с помощью такого числа нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Однако, при умножении двух данных чисел получается вполне действительная величина (V-а • V-а = - а). Напрашивается неожиданное, но вполне оправданное сопоставление: один человек без другого человека также мнимая величина. Только в сопряжении с другой личностью индивид обретает подлинность своего существования, будь то мать, отец, брат, сестра, друг или кто-либо другой. Важно только чтобы он действительно стал этим другим, а не чужим. Французский философ Эмманюэль Левинас однажды записал следующую мысль: «Моё бытие - это и есть бытие другого». Иными словами, моя жизнь неразрывно связана с жизнью другого человека и находит в ней своё подтверждение.
66. «Мнимая нелепость»
Как вы думаете, чему равно 84, если 8 • 8 = «54»? Этот странный вопрос далеко не лишён смысла, и задача может быть решена с помощью уравнений. Пусть основание неизвестной системы счисления есть х. Число «84» означает тогда 8 единиц второго разряда и 4 единицы первого, т.е. «84» = 8х + 4. Число «54» означает 5х + 4. Имеем уравнение 8 • 8 = 5х + 4, т.е. в десятичной системе 64 = 5х + 4, откуда х = 12. Оказывается, числа, входящие в задачу, написаны в двенадцатеричной системе, и «84» = 8 • 12 + 4 = 100. Значит, если 8 • 8 = «54», то «84» = 100. Данная задача напоминает нам о том, что не надо спешить обвинять непонятное в нелепости, глупости, несообразности. А вдруг это явление имеет право на существование, только в другой системе счисления, в другой системе координат, с другой точки зрения? Ведь существуют три знаменитые геометрии: геометрия Евклида, геометрия Лобачевского и геометрия Римана!
67. «Лента Мёбиуса»
Многие величайшие мыслители человечества, такие как К.Э. Циолковский, В.И. Вернадский, Тейяр де Шарден и др., считают, что дух и материя едины. Истина для них заключается в том, что во вселенной есть только материя и законы, имманентно присущие ей. Материя же постепенно развивается и в конце концов пробуждается к жизни, а законы воспроизводятся в сознании человека. Так постепенно физическое бессмертие материи сменяется её духовным бессмертием. Тем самым изначальная иерархия как бы «выворачивается наизнанку»: материя-дух становится духом-материей. Эту ситуацию помогает осмыслить лента Мёбиуса («перекрученное кольцо»): если мы поведём ручкой от какой-либо фиксированной точки одной стороны ленты, то охватим «внешнюю» и «наружную» поверхности и окажемся в той же самой точке, откуда начали своё движение, но подойдём к ней уже с другой стороны.
66
Инновационные проекты и программы в образовании 2009/2
