Присоединенные сферические волны в фуллеренах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Присоединенные сферические волны в фуллеренах

Кузнецов Б.С. (boriskuzma@mail.ru), Дьячков П.Н.

Институт общей и неорганической химии им. Н.С. Курнакова

Понимание строения наноматериалов важно для науки и технологических применений. В связи с этим возникает задача разработки методов расчета электронной структуры, адаптированных к геометрии наноматериалов. Для зонной структуры кристаллов Слейтер предложил метод присоединенных плоских волн1. Позднее на его основе был разработан более быстрый метод линейных присоединенных плоских волн (ЛППВ)2. Различие между кристаллами и наноматериалами состоит в том, что в кристалле движение электронов неограниченно, а в наноматериале оно лимитировано его размерами и геометрией. Цель данной работы - описать метод линейных присоединенных сферических волн (ЛПСВ) для электронной структуры систем, имеющих сферическую геометрию. В качестве приложения мы рассчитали электронные уровни углеродных и неуглеродных фуллеренов С 20, Si 20, Р 20 и С 60 с симметрией 1к.

Метод ЛПСВ

Будем исходить из уравнений Хартри-Фока, т.е. будем считать, что отдельные электроны характеризуются своими волновыми функциями (г), зависящими от координат электрона.

Орбитали и энергии Е находятся из уравнения Шредингера:

%¥г (г) = Ег¥г (г) (11

с эффективным одноэлектронным гамильтонианом:

Н = -

С д2 д2 д2 ^ + -

+ и = -А + и. (2)

^ д/ д^)

Гамильтониан содержит оператор кинетической энергии электрона, -А, и оператор и, описывающий суммарное действие всех остальных электронов и всех ядер а многоатомной системы на данный электрон. Базисные функции срп (г) (линеаризованные присоединенные

сферические волны, ЛПСВ) будут построены так, что они будут всюду непрерывны и дифференцируемы, поэтому для нахождения собственных значений и собственных функций уравнения (1) можно разложить волновую функцию в ряд:

^ (Г) = Е Сг,пФп (Г) (3)

п

и использовать вариационный принцип Релея-Ритца, приводящий к секулярному уравнению:

- Е = 0, (4)

Е[(^п1&|^т)-Е (?п1?т)]Сп = 0, (5)

п

для энергий Е1 электронных уровней и коэффициентов с1п разложения орбиталей по базису, где | Н | и ((рп 1$>т) - матричные элементы гамильтониана Н и интегралы перекрывания.

Для электронного потенциала кластера будем использовать приближение функционала локальной плотности и маффин-тин (МТ) приближение. Последнее означает, что потенциал сферически симметричен в области атомов (МТ-сфер, 0.а ) и постоянен в пространстве 0.1 между

ними. Так как в молекуле фуллерена С 60 имеется внутренняя полость, и движение электронов ограничено приближенно сферическим слоем толщиной порядка удвоенного атомного ван-дер-

ваальсова радиуса, будем считать, что движение электронов в пространстве между МТ-сферами ограничено двумя непроницаемыми для электронов сферическими барьерами: внешним барьером радиусом а и внутренним барьером 0.ь радиусом Ь (рис. 1).

В пространстве между МТ-сферами базисные волновые функции будем искать как решения уравнения Шредингера для свободного движения электрона в сферическом слое с непроницаемыми потенциальными барьерами. В сферической системе координат Я, 0 ,Ф с

началом в центре кластера это уравнение имеет вид:

1Я 2 + и (Я )}*(( 0 ф) = Е 0 ф),

Я2 дЯ дЯ Я2

где

Л = -

sin 0

д2

д Г гл д ^

-1 Sin 0- 1 +-7

д0 V д0) sin 0дФ2

(6)

(7)

(8)

В области 0.1 для кластера со сферической полостью электронный потенциал имеет вид:

( Г 0, Ь < Я < а ( Я < Ь, Я > а'

Решения уравнения Шредингера (6) ¥( Я,0,Ф) называют сферическими волнами3. Сферическая волна представляется в виде произведения сферической гармоники УЬМ (() (где Ь = 0,1,2... и М = 0,±1,..,±Ь ) и радиальной волновой функции /мЬ (Я) (где N = 1,2...):

¥ г

(Я, 0, Ф) = Л,Ь (Я) УЬМ (0, Ф)- fN,Ь (Я) Уьм ().

Сферические гармоники имеют вид:

тЬМ (0,Ф) = (-1)(М-1М1)/2

(2Ь + 1) (Ь -М )! 4п (Ь + М )!

Радиальная функция fN Ь (Я) является решением уравнения:

Ь (Ь +1)

1/2

?ЬМ (^0)ехр(1МФ).

' й2

2 й

• + —

" + KN Ь

fNЬ (Я) = 0,

(9) (10)

(11)

йЯ2 Я йЯ N,Ь Я2

\ /

где KNЬ = 4Е. Подстановкой кЯ = х, f (Я) = у(х), уравнение (11) сводится к сферическому

уравнению Бесселя х2у + 2ху + х2у - Ь(Ь +1)у = 0, решение которого представляется в виде комбинации сферических функций Бесселя первого ]Ь (х) и второго уЬ (х) рода порядка Ь.:

(Я) = сМ^Ь (КЬЯ)+^ Ьуь (^ЬЯ) •

должны обеспечить нормировку волновой функции:

{Ь7^Ь (Я )Я2 йЯ = 1 (13) и её обращение в ноль на внутреннем и внешнем потенциальных барьерах ^ Ь (а) = (Ь) = 0 :

4¿ь (к ьа) + сМ,ЬУЬ (к ьа) = 0 , (14)

4¿Ь (к ,ьь) + сМ,ЬУЬ (к ,ЬЬ) = 0 5

Из уравнений (14,15) очевидным образом можно получить уравнение для нахождения к Ь :

л (к^ ,Ьа) уь (KN ,ЬЬ ) = Л (к ,ЬЬ ) уь (KN ,Ьа), О6)

которое решается численно. Из (14,15) также находится одно соотношение между с]м Ь и с

у

(12)

где константы с11Я Ь и сN Ь

у .

N,Ь ■

1

сУМ,ь = -4¿ь (^,ьа) / Уь (к,ьа)• (17)

Второе соотношение между с]м ь и суы ь находится из интеграла (13), который с учетом выражения4

| пь (кг)ть (кг)г= (г3 /4)[2п (кг)ть (кг)-(кг)ть+1 (кг)-пь+1 (кг)тЬ-Х (кг)] , (18)

(где пь и ть - сферические функции Бесселя и к - комплексное число) преобразуется к виду:

Я3 ь

(CNN,L ] JL-1jL+1 + (CN,L ] Уь-1 Уь+1 + CN,LCN,L ( jL-1Уь+1 + jL+1 Уь-\

= 1. (19)

a

Здесь ¿-1 = Л-1 (кл,ьк) ^ь+1 = Л+1 (кл,ьк), -

Внутри МТ сферы а в локальной сферической системе координат р,в< (рис. 1), базисная

функция разлагается в ряд по сферическим гармоникам У1т (р) = У1т (в, <<

¥ 1а ММ (рв<< = Е[А1т,аи1 а (ЕаР) + В1тасЩа (Еар)]^ (р)• (20)

1т

œ l

Здесь ^ , ща - решения радиального уравнения Шредингера в области МТ-сферы а

lm l=0 m=-1

для энергий Et а :

Нщ а(р) = E щ а(р). (21)

Функции ula(Ela,p) нормированы внутри MT сфер радиуса га на единицу так, что

£а u2P dp = 1 , £а ЩаНщР dp = Eha. (222

Функция ща(Elа,р) =dulа (El,aP)/dEiа удовлетворяет уравнению:

Нйа(р) = ЩаР) + El aUl а (р)- (23)

Функции ul а(El ,р) и Ul a(El,р) ортогональны:

J7 Щ , щ ар2 ^р = о , (24)

Г

iо

и

J7 ul,аНиаdр = 0\о щаdр = 1 \о Ulаdр = ElаNlа (25)

N, а=П Щ , а) 2р2 dp- (26)

Наконец, на границе МТ-сфер2 :

р21

|\а(Р)и1,а(Р - и1 ,а(Р)и&',а(Р)] = = 1 (27)

Р га

где и1 а =ди1 а/др и и а =ди1 а/др - радиальные производные функций и1 а и и а .

Коэффициенты Л1т а и Б1т а выбираются так, чтобы функция ¥льМ и ее первая производная не имели разрывов на границах МТ-сфер. Для того, чтобы приравнять значения функций ¥алЬ1М ((,0,Ф) и ¥ 1аЛГ1М (р,в,<< и их производных на границах МТ-сфер, воспользуемся теоремой сложения7 для сферических функций Бесселя и выразим сферическую волну ¥алЬМ (Я,0 ,Ф) через сферические координаты Яа,0а,Фа центра сферы а и связанную с этим центром локальную сферическую систему координат р,в<. Согласно теореме сложения:

]ь (кЯ)Уш (&) = 4пЕЕ+'-Ь1 ■ '' (ЬМ, I т')/, Ю У; . (&„)./> (кр)У„ . (¿), (28)

\/ ' ' '' '' 1т 1 1 т 1 I т ^ '

уь

(кЯ)Уш (&) = 4жЦМ +Г-ь1„ .(ЬМ, ¡т )у (кЯ„)Г , (¡^У,, (р ■ (Р), (29)

\/ ' ' '' '' 1т 1 1 т 1 I т 4 '

I т I т

где интеграл Гаунта I „ „ \ЬМ,1 т | от произведения трех сферических гармоник:

I т

I,, ,, (ЬМ/ т ]=Г \2ЖУ„ ,, (0,р(УМ(0,р(У. ' (0,ррsin0й0йр=

1т ( J •'0 •'0 1т 1т

21 +1II 21 +1

1/2

4п(2Ь+1)

ГЬ0 гЬМ

С:„:С: (30)

I 010 I т 1т

коэффициенты Клебша-Гордона СЬ,0, и СЬМ„, , 5 вычисляются по формулам:

I 01 0 I т 1т

1/2

СЬМ '' ' = 3 ' ''

/ т / т М, т + т

(Ь +М )!(Ь -М )!(2 Ь+1) / + т ||(/ -т V / +т V/ -т I!

ха((/Ь

V / , к!|Ь-/ +/

(-1) +т +к| Ь +/ +т -к |!| / -т +к |!

(31)

- к |!(Ь+М - к)) / -/ -М + к ]

где

(¡Ь )

I +/ -Ь |!| / + Ь |!| +/ + Ь |!

/ +/ + Ь+1 |!

1/2

(32)

а суммирование проводится по всем целым неотрицательным значениям к, при которых стоящие под знаком факториала величины неотрицательны. В результате сферическая волна ¥ДММ ((,0,Ф) в локальных координатах р,0,р сферы а принимает вид:

¥ а ыш = +1 - Ь1„ .(ЬМ, /

т

СN ,ь .1 ' [к, ЬЯа) + Ьу ' (к^,

/ т / т

Приравнивая ¥ 1аШМ (20) и ¥ПаММ (33) и их производные на границе МТ сферы, находим:

= г 2 рМ1МаЖ ¡т,а а ¡т,а ¡т,а'

= г 2 т^ММЬ^

¡т,а а ¡т,а /т,а

где

ГСМ = 4П т IМЬ11т (ЬМ,/

¡т | Ж

т

4, Ь J' к,ьК) + у, [к,ЬЯа

¥т »Л'

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

а/т,а = .¡/ (KN ,ЬГа ) Щ/ а (Га ) .Л (KN ,ЬГа ) Щ/ а (Га ), Ь/т,а = J¡ [к,ЬГа 0)Ща (Га ) - J¡ С,ЬГа 0)Ща (Г'а )'

Интеграл перекрывания равен интегралу от произведения двух сферических волн по межсферной области 0.и , к которому следует добавить сумму интегралов по МТ-областям О1а от сферических частей ЛПСВ (20). Интеграл по межсферной области равен интегралу по всему сферическому слою О за вычетом суммы интегралов от той же функции по МТ-областям О1а, а

интеграл от произведения сферических волн по всей ячейке, в силу их ортонормированности, равен 3 -функции:

I / ¥IIa,N2Ь2M2^Ua,NlЬlMlй^ + 1 ^ ¥^a,N2L2M2'^/а^ЬМ!й^ (39)

а О„ а О„

¥ | ¥ =3

\ -1 N2ЬМ2\ N!L!M! l■УN2Ь2М2 ^ЬМх

Подставляя сюда явный вид функций ¥IIaNLM и ¥ 1аУ,1М,

имеем:

-(4П)2УУ 1к-'2 - Ь + Ь

N2Ь2М2 I Л1ЦМ1 ^N2Ь2М2 ,л1ЦМ1 V / Аи Аи

¡2т2

¥К1ТМ |¥К1ТМЖ) = 5

Х Е Л (кл2ЦЯа О) flí У2т2 («)Ут (&а)

а

хЕ 1т (ЦМ2,/2т2) 1Ы (ЦМ1, ^)[,-;в412'

т

где

Л (клЬЯа ) = [СМЬМ (клЬЯа ) + СуьУ/ (клЬЯа )] ,

2

ла=г л ( р) (РР^Р ;

2 2 кл2ь2 - кЛ1ь1

Х \_кл2Ь2 ]/+1 \кл2Ь2 Га ) \укл1Ь1Га ) кл1Ь1]/ \^кл2Ь2 Га ) Л+1 ^ЛЦ^а ) ^/л 2 х1ь = а/т,а [кщЬ2Га ] а/т,а {^кл1Ь1Га ) + Л/аЬ/т,а {^кЛ2Ь2Га ] Ь/т,а {^кл1Ь1Га

С учетом (30), (31) и (32) уравнение (40) может быть переписано в более удобном для программирования виде:

(41)

(42)

(43)

¥ | ¥ =5

\ -1 Л2ЬгМг \ -1 Л1ЦМ1 иЛ212М2 ,Л1ЦМ1

7(2 Ц +1)(2 ь +1) Е Е^ -/2 -Ь+Ч (2/2 + 1)(2/, + 1)

/2 =0 1 =0

/2 /

Е Л \кл2Ь2 Яа) Е Е У/2т2 (й. а)УЛ(й. а)

(44)

а т2 =-/2 т =-/1

ад /

Х V (2/ + Л ГЬ2 0 сЦ10 [ 7Л2Ь2 .Л1Ц1 - ;4 0Л2, Л1Ь1 ] V СЬ2М2 ГЬМ1

/ /0/20^/0^0 I 1,/а 'а°/а /т/2т2 /т/1т1 *

/=0 т=-/

Матричные элементы гамильтониана вычисляются с помощью того же приёма интегрирования по сферическому слою. Примем также значение постоянного МТ-потенциала в

межсферной области за начало отсчета энергии, тогда в межсферной области Н = -А и

¥ | Н | ¥ \ = к к 5

-1 Л212М2\11 I -1 ЛЦМ^ Л212 Л1ЦиЛ2Ь2М2,Л1Ь1М1

Е | (-Я^иа^М, (Я)¥ПаЛЖ^ +

(45)

а О

Е/¥

1а,Л2Ь.М2 1а,ЛЦМх '

а Оа

Для вычисления первого интеграла в правой части (45) воспользуемся записью оператора V в локальной сферической системе координат:

^ д 1 д 1 д

V = — е +---ев +---е .

др р дв р sin в д<

(46)

Тогда из (45) получаем:

¥N2LгM2 | Н | ¥ Л ь м) = клг ь кл ь 5

Л1ЦМ1 I ""Л2N ^ Л2 Ь2М2, Л1ЦМ1

2ЕЕ//! -/2 - ¿1 + ¿2

/2т2 /1т1

ХЕ Л (кл2 Ц Яа) ^Л^а) У/2т2 (а)Ут (а)х

а

Х Е 7т (Ь2М2, /2 т2) 7т (ЬМх, /1т1)Х

/т

х [ 12, + / (/+1) 1Ъ. - а { еоо +га

(47)

где

12а, Л1Ц1 &=[; ^ ^р2* р

[;л (кЛ2 ь р)л (к, ь! р) *р,

тЛ2Ь2, ЛЦ _ 7 3,/а =

(48)

(49) 575

Х

интегралы, которые мы рассчитываем численно, а

ЛЬ ,Л№ = и Щ

I /а /а ¡а

.11 ( ,1г (к Лр) + Jl (KN2 ,Ь2 р) J¡ (к Лр)

и1 аи1 (2Ьр) (KN!,Ар) + и1 ,аи1 ¿1 (KN2ЬР) (KN!,Ар)

р=га

При выводе (47) мы приняли во внимание соотношение

2п п'

и

0 0

дГТ' дГ„ » дГТ ' дТ -

I т I т + ^ ¡т I т

д0 д0 агОдр агОдр

=3.3 ' / ( +1).

/ / тт

(51)

Подставляя (30), (31) и (32) в уравнение (40), получаем окончательное выражение для матричных элементов гамильтониана:

4п

¥ I Н 1¥ \=к к 3 --_

N2 ЬМ2 \21 I IN!LM!¡ "-N2 N1 ,^N^2, ^ЬМ Ь2 +1)(2 4+1)

Х^/(2 ¡2 + 1)(21, + 1)2 ./¡2 Кь Я, ) .А к,Ь Д ] Х

а

Х I I У (й.)^ (¡^а)1;=0 (2/ + 1+^0

'«2 =-¡2 т1 =-¡1

-Г N2 Ь2, I . ,N2 Ь2, N!L!

12 1а + /(/ + 1)IХ1а- га I Е/X2Ь2,^

Х I СЬ2М2

/ 1т/2т2 ¡т/т '

(52)

Практические аспекты вычислений

Развитый метод реализован в виде программы на языке ФОРТРАН. Практическая реализация метода потребовала вычисления специальных функций. Присоединенные полиномы Лежандра Рт (2) определяются уравнением3

-1 т 1 , (1 - 2 2)Т й¡+т

РГ (2) = -

-(22 - 1),

21 /! й21+т

При вычислении на первом этапе, полагая т = / в (53), рассчитывали Рт^2) по формуле:

Рт (2) =

т

(1 -2 )2(2т)! Тт!

(53)

(54)

(555

(56)

Далее, применяя формулу (55) и рекуррентное соотношение (56) (/ - т - 2) раз,

РГ+1( 2) = 2Р2 (2 )(2т +1)

Рт ( 2) 2(2/ - 1)Р+т1(2) - (/ + т - 1)Рт (2)

Р+2 ( 2 ) =-Т.---

(/ - т)

получали окончательные значения Рт (2) .

Численные значения интегралов 121а и 131а находились стандартным методом трапеций.

Сферические функции Бесселя рассчитывались с использованием процедуры Миллера, основанной на рекуррентной формуле (57)6:

Jn-1 (х) + Jn+1 (х) = ^^ Jn (х).

(57)

На первом этапе полагали FN+1 (х) = 0 и FN (х) = 1 для достаточно большого индекса N > п . Используя (57) в направлении убывания N, получали последовательность

Fn _j( x),..., Fn ( х),..., F0( x),..., F_ „ ( x). Каждый член этой последовательности пропорционален соответствующему члену в последовательности jN_j(x),...,j0(x),...j_„(x) истинных значений. Множитель пропорциональности p получается сравнением F0(x) с истинным значением j0(x) = xsin x, вычисленным отдельно. Члены последовательности pF0(x),...,pFn(x) имеют столько точных значащих цифр, сколько их сохраняется в промежуточных значениях Fi ( x). Для расчета сферических функций Бесселя второго порядка yn ( x) использовалось уравнение:

Уп(x) = (-1)n+1 j n_i (x) • (58)

Производные сферических функций Бесселя первого и второго рода находились по формуле (59) :

(2n -1) d fn (x) = nfn_i (x) - (n +1) fn+i (x) (59)

dx

где f„( x) = j„( x) или Уп ( x).

Решение секулярного уравнения осуществлялось методом Холецкого для эрмитовых матриц.

Электронный потенциал внутри МТ-сфер полагался совпадающим с потенциалом изолированных атомов, рассчитываемым в приближении функционала локальной плотности с использованием слейтеровского обменного взаимодействия. Радиальные волновые функции и их производные по энергии на границе МТ-сфер находились численным интегрирования уравнений (21) и (23) с использованием равномерной логарифмической шкалы по R2.

Радиусы маффин-тин сфер выбирались так, чтобы сферы соседних атомов соприкасались Обоснование этому можно видеть в опыте расчетов зонной структуры ковалентных кристаллов, где эти радиусы выбираются также. Такой выбор и физически очевиден: только внутри маффин-тин сфер содержится информация (электронная плотность и потенциал) о химической природе атомов, составляющих многоатомную систему. При максимально большом выборе маффин-тин областей содержится максимальное количество этой информации.

Радиусы потенциальных барьеров a и b в нашем методе, фактически, определяются опытом расчетов - грубо говоря, это подгоночные параметры. Однако ясно, что радиусы потенциальных барьеров должны быть где-то между внешним (a) и внутренним (b) ковалентными и ван-дер-ваальсовыми размерами молекулы. Действительно за пределами ван-дер-ваальсовых размеров электронная плотность молекулы практически равна нулю, но она очень большая в пределах ковалентных размеров. Наш предыдущий опыт расчетов нанотрубок8"10 (методом линеаризованных присоединенных цилиндрических волн) показал, что эти радиусы можно рассчитывать по формулам b = Ra - (rCov+rVdW)/2, a = Ra + (rCov+rVdW)/2, где Ra это расстояние от центра молекулы до ее атомов, а rCov и rVdW атомные ковалентный и ван-дер-ваальсов радиусы. Именно так брались радиусы сфер a и b в данной работе.

Длины связей С-С при расчете молекулы C20 полагались равными 1,45 Â11. Для молекулы

С60 была взята экспериментальная геометрия с длинами связей С-С между углеродными шестиугольниками 1,40 Â и длинами связей между углеродными шестиугольниками и пятиугольниками 1,46 Â12. Длины связей Si-Si и P-P в кластерах Si20 и P20 выбраны равными удвоенным ковалентным радиусам.

Электронные уровни молекул

Результаты расчетов электронных уровней пустого сферического слоя и расщепление этих уровней при размещении в нем двадцати атомов C по вершинам додекаэдра приведены на рис. 2. Эта корреляционная схема связывает электронные уровни кластера С 20 с решениями задачи для

движения электрона в сферически симметричном потенциале, что позволяет приписать уровням кластера атомоподобные квантовые числа, которые, вместе с индексам симметрии точечной группы, позволяют наглядно представить вид молекулярных орбиталей кластера. На этом рисунке

13

отмечены также ;г-уровни хюккелевского расчета этой системы . Как и в методе Хюккеля, в методе ЛПСВ электронное строение кластера С 20 характеризуется незаполненной оболочкой с

двумя неспаренными электронами на вырожденном уровне, и, как следствие, система должна обладать ян-теллеровской нестабильностью. Однако порядок следования п-орбиталей в этих методах не вполне совпадает, что, возможно, отражает сильную гибридизацию а и п состояний в сферическом кластере малого радиуса.

На рис. 3 приведена корреляционная диаграмма, связывающая уровни пустого слоя с уровнями икосаэдрического кластера C 60, эти результаты неплохо согласуются с МО фуллерена C 60, рассчитанными, например, методом линеаризованных маффин-тин орбиталей14 и ЛКАО11 с параметризацией по электронной структуре графита. Наиболее существенные черты электронного строения C 60 хорошо воспроизводятся нашим методом. В согласии не только с расчетами, но и с

экспериментом, верхняя заполненная орбиталь hu пятикратно вырождена, а нижняя свободная

орбиталь t1u трехкратно вырождена15. Расчетная щель между этими состояниями неплохо

согласуется с оптическими измерениями: по разным экспериментальным данным она составляет от 1,6 до 1,9 эВ 16-18

На рис. 4 представлены результаты расчетов кластера Si 20. По данным метода ЛПСВ электронная структура Si20 качественно отличается от структуры С 20 тем, что в кремниевом кластере верхний уровень трехкратно вырожден и заполнен шестью электронами, а в углеродном кластере С 20 на верхнем также трехкратно вырожденном уровне расположено два электрона. Заполненная конфигурация Si 20 возможно согласуется с присутствием таких кластеров в

клатратах. Впрочем, по данным расчетов методом псевдопотенциала19 эта система ян-теллеровская, с частично заполненным трехкратно вырожденным уровнем. Расчеты молекулярной динамикой в минимальном sp3-гибридном базисе20 указывают на идеальную икосаэдрическую геометрию Si20 как на метастабильною с оптической щелью более 1.1 эВ. По нашим данным эта

щель равна 1.5 эВ, а искажение идеальной геометрии при переходе к более стабильной деформированной можно объяснить псевдоэффектом Яна-Теллера, при котором деформация смешивает граничные МО 3t1u и 3hg.

Наконец, на рис. 5 приведена схема МО кластера P 20. По нашим данным фосфорный кластер

P 20 является ян-теллеровской системой с двумя электронами на пятикратно вырожденном уровне. Эти результаты носят предсказательный характер. Не смотря на то, что в последние годы были проведены квантово-химические расчеты фосфорных кластеров, включая систему P20 Ih21-25, ни в

одной из этих работ не приведена схема электронных уровней этого кластера. Основное внимание в этих расчетах уделялось выяснению возможной стабильности фосфорных кластеров и по этим данным кластеру P 20 Ih отвечает локальный минимум, но система термодинамически не

устойчива, по отношению к распаду на пять кластеров P4. Можно надеяться, что приведенная на рис. 5 схема может быть полезна для спектрального обнаружения метастабильного кластера P20. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-03-32251).

Список литературы.

1. J. C. Slater, Phys. Rev., 1937, 51, 846.

2. В. В. Немошкаленко и В. Н. Антонова, Методы вычислительной физики в теории твердого тела. Зонная теория металлов, Киев, Наук. думка, 1985, 407 С.

3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика, Москва, Наука, 1974, 85 с.

4. Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, Москва, Иностр. лит., 1949. 798 с.

5. E. Кондон, Г. Шортли, Теория атомных спектров, Москва, Иностр. лит.,1949.

6. М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям, Москва, Наука, 1979.

7. K.H. Johnson, Adv. Quantum Chem. 1973. 7. P. 143.

8. P.N. D'yachkov, H. Hermann, and D. V. Kirin, Appl. Phys. Lett., 2002, 81, 5228.

9. P.N. D'yachkov, H. Hermann, J. Appl. Phys. 2004 95, N. 1, 399.

10. П.Н.Дьячков, Д. В.Кирин, , 1999, 369, 639.

11. П. Н. Дьячков, И. Д. Бобенко, Н. В. Харчевникова, Докл. АН., 1993, 328, 477.

12. S.Saito, A.Oshiyama Phys. Rev. B, 1991, 44, 115.

13. H. W. Kroto, A. W. Allaf, S. P. Balm, Chem. Rev., 1991, 91, 1213

14. S. Satpathy, Chem. Phys. Lett., 1986, 130, 545.

15. H. W.Kroto, Rev. Mod. Phys., 1997, 69, 703.

16. O. Janzen, and W. Moench, J. Phys. Condens. Matter, 1999, 11, 111.

17. S. Saito, and A. Oshiyama, Phys. Rev. Lett., 1991, 66, 2637.

18. J. Guo, D.E. Ellis and D.J. Lam, Chem. Phys. Lett., 1991, 176, 203.

19. T. Nagano, K. Tsumuraya, H. Eguchi, and D. J. Singh, Phys. Rev. B, 2001, 64, 155403.

20. C. Noguez, J. Song, S. E. Ulloa, D. A. Drabold, Superlattices and Microstructures, 1996, 20, 405.

21. M. Haser, U. Schneider, and R. Ahlrichs, J. Am. Chem. Soc., 1992, 114, 9551.

22. J.-G. Han, J. A. Morales, Chem. Phys. Lett., 2004, 396, 27.

23. C H. Hu, M.Z. Shen, H.F. Schaefer III, Theor. Chim. Acta, 1994, 88, 29.

24. B. Song, P L. Cao, Phys. Lett. A, 2001, 291, 343.

25. G. Seifert, T. Heine, P.W. Fowler, Eur. Phys. J. D, 2001, 16, 341.

40

35

30

со 25 о

§• 20

х

О

15

10

N=2^=3 N-1 6

N=2,!.=2 М=1Х=5

N=2,1=1

N=2^=0 N=1,1=4

N-1^=3

N=1^=2

N-1,1_=1 N=1,1^=0

31 ^т

Ш

—* *я№

-44-21 г|1п)

Пустой СЛОЙ

30

25

20

СО

ГГ)

о;

0-15

Ф X

(Г)

10

N=2,1=2 N=1,1=6

N = 2,1=1 N=2,1=0

N = 1,1=5

N = 1,1=4

N = 1^=3

N=1,1=2

- N=1,1=1 N=1,1=0

Пустой

СЛОЙ

- 3^2(1)

ЩЩ

21 :(2р)

19м(10

■ 1М1р) щи)

-20

Б!

ей т

40

35

30

25

о. ш х т

20

15

10

1\1 = 1,1.= 10-

N=2,1=5-

а,1_=9-

2,1-=3-1,1.=8-

5t

;1д

N=2^=2-

2,1=1-2,1_=0-

N = 1^=7"

_7Иа

ЕТ1

39э \

=4 1 ь 2и

Ч 5 Ьд1 ^

-41ч 2д.

N = 1,1=6-

—___

lt

19

N=1,1.=5"

N = 1,1=4-

- М = 1Л=3-

N = 1,1=2-

1Л=1-1,1=0-

ъ

2ад 4 1Ии

1д 11?

Пустой слой

ш

т

о?

о.

о

X

т

35

30-

25-

20-

15

10-

N=2,1=3

N=2,1=2

N=1,1=6 N=2,1=1 N=2,1=0

N=1^=5

N=1,1=4

N=1,1=3

N=1^=2

N=1^=1

N-1,^0

20

Пустой слой