Принятие решений о корректировке хода технологического процесса в производстве древесных плит Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИИ О КОРРЕКТИРОВКЕ ХОДА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА В ПРОИЗВОДСТВЕ

ДРЕВЕСНЫХ ПЛИТ

Рябков В.М. (МГУЛ, г. Москва, РФ)

The algorithm of a decision taking about manufacturing method updating is given in present paper. For this purpose the lowest costing criterion for transfer to adjusted wood-based panel manufacture process is used.

Определение параметров нового технологического режима и реализация управляющих воздействий на объекте необходимы при выходе хотя бы одной из компонент вектора выходных переменных процесса (качественных показателей готовой продукции и технико -экономических показателей производства) за пределы заданной области ограничений либо при переходе на выпуск нового вида продукции.

Технологические процессы производства древесных плит характеризуются тем, что основные выходные переменные процесса не измеряются автоматически (по древесностружечным плитам около 55%, по древесноволокнистым - около 62%) [1]. Качество готовой продукции может быть определено по результатам лабораторных анализов, которые поступают периодически через промежуток времени Т. Если в результате лабораторного анализа будет установлено, что выпускается брак или продукция низкого сорта, то необходим переход на новый технологический режим, обеспечивающий выпуск продукции с качественными показателями, соответствующими первому сорту.

Проведение лабораторных анализов связано с некоторыми потерями рабочего времени и определенными затратами. Так, внеочередное определение качественных показателей древесных плит потребует расходов на изготовление и испытания образцов, а также на содержание дополнительных штатов лабораторий.

Суждение о качестве готовой продукции в произвольный момент времени может быть вынесено также по косвенным показателям с использованием приближенной математической модели процесса [2].

В этом случае с некоторой вероятностью

может быть установлено, находится ли вектор выходных переменных процесса в заданной области ограничений или нет.

Необходимо в зависимости от величины вероятности Р принять такое решение о дальнейшем ведении технологического процесса и поведении систем управления в данный момент времени t, которое минимизирует потери системы в стоимостном выражении от неправильно принятого решения.

Представим задачу принятия решения об управлении процессом в произвольный момент времени t в виде статистической игры. В этой игре про-

тивниками являются управляемый технологический процесс (1-ый игрок) и система управления объектом (2-ой игрок). Будем рассматривать матрицу игры 3x3, в которой 1-ый игрок (управляемый технологический процесс) может находиться лишь в трех состояниях:

1. выпуск продукции с качественными показателями, соответст-

вии - /Лу)х, +Я, ^ = и.-^-

вующими высшему сорту: " ->4^1 ) 1/ I 2/'

2. выпуск продукции с качественными показателями, соответствующими низкому сорту:

3. выпуск продукции с качественными показателями, не соответствующими требованиям стандартов.

Система управления в произвольный момент времени I, может принимать только три решения:

1. решение задачи оптимизации, реализация управляющих воздействий и переход на новый технологический режим;

2. проведение внеочередного лабораторного анализа, благодаря которому через некоторый момент времени 0 можно будет более точно установить качество выходного продукта и принять правильное решение;

3. не изменять ранее установленных управляющих воздействий и продолжать работу системы в режиме оперативного контроля до тех пор, пока через момент времени Т не будут получены результаты очередного лабораторного анализа, позволяющего получить достоверную информацию о процессе, которая позволит принять правильное решение об управлении.

Принятие 2-ым игроком ]-го решения в к-ой ситуации связано с некоторыми потерями. Переход на новый технологический режим вызовет переходные процессы в системе, математическое ожидание длительности которых равно г. Так как переходными процессами в системе статическая система оптимизации оптимально управлять не может, то в течение этого времени с

вероятностью Рз может выпускаться продукция, не отвечающая требованиям

стандартов; с вероятностью Р2 - продукция с качественными показателями,

р = 1 — Р — Р

соответствующими низкому сорту, и 1 : ' - отвечающая требованиям первого сорта В результате решения задачи оптимизации будет реализован технологический режим, который через промежуток времени т с вероятностью обеспечит выпуск продукции, соответствующей высшему сорту и Д?, - соответствующей низкому сорту. Допустим, что для каждого значения вектора входных и возмущающих воздействий существует управление, которое обеспечит выпуск продукции высшего сорта с вероятностью не ниже Д, а

Р1+Рз= 1-

Пусть проведение лабораторного анализа связано с затратами, величину которых (в рублях) обозначим Я, время проведения анализа равно 0, вероятность переходов объектов из одного состояния в другое под воздействием вектора входных и возмущающих воздействий и без вмешательства системы

управления пропорциональны наблюдаемому интервалу времени и в единицу времени заданы матрицей Р = |Ркк||, размерность которой 3x3. Учитывая медленный характер изменения вектора входных и возмущающих воздействий, будем считать равными нулю вероятности того, что в течение времени т объект дважды поменял свое состояние.

Обозначим потери, которые несет система в единицу времени при выпуске продукции, не отвечающей требованиям стандартов, по сравнению с выпуском продукции высшего сорта - \ъ низкого сорта - а потери, связанные с выпуском продукции низкого качества вместо высшего -

Потери, связанные с принятием у -го решения в к-ой ситуации, обозначим Жук. Матрица игры будет иметь следующий вид:

Решения, принимаемые системой управления Состояния управляемого объекта

I (высший сорт) II (низкий сорт) III (не соответствует стандартам)

I (дорогостоящее оборудование) Wll '12 '13

II '^21 '22 '23

III Wзl '32 'зз

Вычислим элементы матрицы игры:

Пусть состояние управляемого объекта в момент времени определяется следующим распределением вероятностей: Р1 - вероятность выпуска продукции высшего сорта; Р2 - вероятность выпуска продукции низкого сорта; Р3 -

вероятность выпуска продукции, не отвечающей требованиям стандарта.

ч-П*

<•1

Л«П

>-|

К \ ¿и * ЕЛ О'К +*, * ¿Л+л, * ЕЛ (уК + «1 * ^

Вычисляем потери, связанные с принятием каждого решения Учитывая, что потери системы - величины отрицательные, определим:

(14)

(15)

О, - шах

л

V *

(16)

Система управления выбирает решение, которое соответствует номеру индекса ]ъ на котором достигается максимум выражения (16). Следовательно, система принимает решение 1, если Д?>С>2> 02>03. Учитывая, что Р ¡+Р 2+Р з=1, после некоторых преобразований получим:

р Агг ~ л2з + р Агз .

Ап - А}, + (С„ - С„ > + — (Л,3 - + С„Г)

-^-= ¿,(0+('),

Л 21 ~ ^23 + ^33 + С„/

так как и ~ 4а +Л33 + С33/ < 0.

Решение 2 принимается, если Д> < то есть

(17)

(18)

р ^22 ~ А23 + р Агз

Р2 А и А21 + А2) + С,,/

/* 1

у <<*,(')+—<('), если Л21 - А23 + /1„ + С33/ <0;

2 "2

-7 £ ¿5 (/)+ —¿6 (/), если Л2| - + Л„ + С33/ > 0;

(19)

(20)

где =

Л32 - - А22 +А23 + (С32 - С33 > + — (Ап - А23 + С,,/)

А21 ~ + ^зз + ^зз'

ч

Если расчет выходных переменных процесса по уравнениям математической модели ведется в промежутки времени, кратные Л1 (частота расчета

задана), то величины d1(t)...d6(t) могут быть рассчитаны заранее, и храниться в памяти УВМ. В функции системы принятия решения должны входить лишь расчет вероятностей Pi и Р2, и проверка неравенств (17)-(22).

Пример. Линия производительностью 30 м3/ч вырабатывает плиты древесностружечные, стоимость 1 м первого сорта которого равна 200 руб., а второго сорта - 180 руб. (к\ = 80 руб/ч, Х2 = 600 руб/ч, Х3 = 540 руб/ч).

Данные о результатах лабораторных анализов качества готовой продукции поступают оператору процесса через каждый час. Математическое ожидание стоимости внеочередного анализа равно 40 руб., а продолжительность его 0=4 часа. Для любого значения вектора входных и возмущающих воздействий может быть выбран технологический режим, который с вероятностью Pi > 0,75 обеспечит выпуск продукции высшего сорта и с вероятностью р2>0,25 -выпуск продукции второго сорта (/?3=0). Продолжительность переходных процессов в системе при переходе на новый технологический режим г равна 3 часа. При этом выпуск продукции первого и второго сорта и брака

определяется вероятностями Р^0,3; Р2=0,5; Р3=0,2. Вероятности переходов процесса из одного состояния в другое под действием вектора входных и возмущающих воздействий (без вмешательства системы управления) заданы матрицей Р\

Система управления в промежутки времени, кратные At =0,1, произво-

дит расчет качественных показателей готовой продукции по уравнениям приближенной математической модели и получает вероятности различных состояний процесса. Необходимо принять решение о целесообразности вмешательств в ход технологического процесса в различные промежутки времени, для следующих ситуаций (распределение вероятностей состояний):

1) Р1=0,8; Р2=0,2; Р3=0;

2) Р1=0,6; Р2=0,35; Р3=0,05;

3) Р1=0,4; Р2=0,35; Р3=0,25.

По формулам (1)-(12) рассчитываем значение :

А„= - 87; С„= 42; Д21= - 40;

А22 = -58; А23 = -247; А32 = -150;

С32= 150; А33 =-516; С33 =516.

По формулам (17)-(22) рассчитаем значения d1(t)...dб(t) для различных

моментов времени. Результаты расчета сводим в таблицу 1.

Значения : ! для различных ситуаций и момен-

Р

тов времени сведены в таблицу 2. Отношение — в различных состояниях

Р2

равно 4, 1, 715, 715, 1, 142. Решения, принимаемые системой управления в

каждой ситуации в различные моменты времени, сведены в таблицу 3.

Таблица 1

Значение коэффициентов Момент времени t

t=0,1 t=0,2 t=0,3 t=0,4 t=0,5 t=0,6 t=0,7 t=0,8 t=0,9

di(t) -0,682 -0,693 -0,701 -0,712 -0,722 -0,731 -0,742 -0,764 -0,764

d2(t) 1,013 1,028 1,04 1,055 1,07 1,084 1,084 1,116 1,133

d3(t) -0,598 -0,585 -0,57 -0,554 -0,532 -0,5 -0,456 -0,385 -0,264

d4(t) 0,843 0,825 0,807 0,780 0,75 0,705 0,637 0,543 0,373

d5(t) -0,491 -0,43 -0,316 -0,082 -1,27 -2,43 -1,305 -1,13 -0,97

d6(t) 0,826 0,773 0,685 0,471 -0,668 2,45 1,5 1,37 1,55

Таблица 2

Номер состояния Моменты времени

/=0,1 /=0,2 /=0,3 /=0,4 /=0,5 /=0,6 /=0,7 /=0,8 /=0,9

I P2 = 0,2 ¿A'hjdA') 4,598 4,447 4,499 4,568 4,638 4,689 4,758 4,816 4,906

d}(i)+ydA(l) 3,612 3,545 3,233 3,12 3,0 2,825 2,553 2,167 1.497

dA'bjdÄ') 3,649 3,44 3,114 2,278 -1,07 10,82 6,195 5,72 6,78

U, III P2 =0,35 dt{t)+yd2{l) 2,868 2,907 2,949 2,988 3,023 3,069 3,108 3,156 3,196

dA')+jd<(t) 2,342 2,295 2,231 2,166 2,088 1,96 1,764 1,505 1,036

dM+yd^i) '2 2,399 2,27 2,074 1,558 -1,06 6,17 3,955 3,67 4,46

Таблица 3

Состояние управляемого объекта Моменты времени

t=0,1 t =0,2 t =0,3 t =0,4 t =0,5 t =0,6 t =0,7 t =0,8 t =0,9

I 3 3 3 3 3 3 3 3 3

II 1 1 1 1 1 1 1 3 3

III 1 1 1 1 1 1 1 1 3

Литература:

1. Заверюха С.Г. Приборы контроля и регулирования для предприятий лесного комплекса/ Состояние и перспективы развития производства древесных плит. Тезисы докладов.- Балабаново, 2000. -С. 83-86.

2. Рябков, В.М. Завражнов А.А. Автоматизация проектирования АСУТП древесных плит. Труды Всесоюзного научно-технического совещания «Современные проблемы автоматизации вычислительной техники в целлюлозно-бумажной и деревообрабатывающей промышленности». -Москва, 1990. - С.76-78.

Принятые обозначения

- нижнее значение гго показателя качества продукции;

7 го

а21 - нижнее значение г показателя качества продукции; Му)х1 - функция г выходных переменных у в зависимости от у входного переменного X

- вектор управлений 6' - вектор возмущений

Р- - вероятность выпуска продукции, соответствующей Гу сорту

1го

Л< - потери при выпуске продукции / сорта

- потери, связанные с принятием у решения в к-й ситуации