CC BY
0
2024
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 89
Научная статья
УДК 531.38, 531.13
doi: 10.17223/19988621/89/8
Принципы реализации сервосвязей в неголономных механических системах
Евгения Арифжановна Микишанина
Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова, Чебоксары, Россия, [email protected]
Аннотация. Рассматривается проблема реализации сервосвязей в неголономных механических системах. Отмечаются особенности введения управляющих сил, реализующих заданную сервосвязями программу движения. Построен математический алгоритм управления посредством сервосвязей механической системой, состоящей из колесной платформы (робота) с дифференциальным приводом ведущих колес и прицепа. На колеса системы дополнительно наложены неголономные ограничения. Результаты проиллюстрированы графически.
Ключевые слова: управление, неголономная связь, сервосвязь, уравнения движения, программа движения, колесный робот
Благодарности: Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-21-10019) и Чувашской Республики, https://rscf.ru/project/23-21-10019/
Для цитирования: Микишанина Е.А. Принципы реализации сервосвязей в неголономных механических системах // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 89. С. 103-118. doi: 10.17223/19988621/89/8
Original article
Principles for implementing servo-constraints in nonholonomic mechanical systems
Evgeniya A. Mikishanina
I.N. Ulianov Chuvash State University, Cheboksary, Russian Federation, [email protected]
Abstract. The problem of implementing servo-constraints in nonholonomic mechanical systems is considered. An attempt is made to outline the theoretical principles for composing equations of motion of nonholonomic mechanical systems with servo-constraints, to set the conditions for implementing servo-constraints, and to indicate the features of the introduction of control forces implementing the motion program from the point of view of their practical realization. In contrast to nonholonomic constraints, the method of implementation is important for servo-constraints. To illustrate the principles outlined in this study, a mathematical algorithm for controlling a wheeled two-link robot (driving trolley and trailer) with a differential drive is constructed using servo-constraints. Nonho-
© Е.А. Микишанина, 2024
lonomic constraints are also imposed on the wheels of the system. On the basis of the joint solution of the equations of motion in quasi-velocities and time derivatives of non-holonomic and servo-constraints, the equations of motion of the wheeled robot are obtained. The dynamics of the wheeled robot is studied when a motion program is set that allows pursuing a target. The dynamics of the wheeled robot is studied when a motion program is set that controls the angle of deviation of the trailer from the driving trolley axis. The results are illustrated graphically.
Keywords: control, nonholonomic constraint, servo-constraint, equations of motion, motion program, wheeled robot
Acknowledgments: This study was supported by the Russian Science Foundation (project No. 23-21-10019) and Chuvash Republic, https://rscf.ru/en/project/23-21-10019/
For citation: Mikishanina, E.A. (2024) Principles for implementing servo-constraints in nonholonomic mechanical systems. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 89. pp. 103-118. doi: 10.17223/19988621/89/8
Введение
К настоящему времени широко исследована динамика разнообразных неголо-номных систем. Это и модели шара Чаплыгина [1, 2], волчка Чаплыгина [3], саней Чаплыгина [4, 5], и модель Суслова [6] и др. Также в современной научной литературе имеется достаточное количество работ в области управления неголо-номными системами, в том числе при помощи роторов, гиростатов, за счет смещения центра масс. Укажем лишь некоторые публикации, освещающие данную проблематику: [7-10]. Однако существуют и другие способы управления механическими системами, например с помощью сервосвязей.
Впервые это понятие было введено А. Бегеном в его диссертации [11]. Позже П. Аппель сделал попытку систематизировать некоторые принципы динамики систем с сервосвязями в [12]. Согласно [12], существует категория механизмов, осуществляющих связи другим, отличным от неголономных связей, образом. Неголо-номные связи реализуются пассивно, вследствие контакта поверхностей, например отсутствие проскальзывания в точке контакта в модели качения твердого тела [2, 13] или отсутствие проскальзывания и верчения в модели резинового качения [13]. Сервосвязи же реализуются активно, за счет использования различного рода управляющих сил или управления инерционными свойствами системы [14, 15].
В современной науке теория механических систем с сервосвязями получила развитие в трудах А.Г. Азизова [16], В.И. Киргетова [17], В.В. Козлова [14, 15, 18], Я.В. Татаринова [19] и зарубежных авторов [20, 21]. В работах В.В. Козлова излагаются некоторые принципы динамики систем с сервосвязями на примере систем с одной сервосвязью в смысле Бегена-Аппеля. В работе Я.В. Татаринова предлагается альтернативный подход, основанный на неклассическом принуждении. В.И. Киргетов предлагает применять аппарат неголономной механики к задачам с сервосвязями на примере метода прямого наведения (погони) в динамике полетов. Однако, на наш взгляд, поскольку природа сервосвязей отличается от природы неголономных связей, осуществляться как неголономные связи они не могут. В данной работе рассмотрим наиболее классический вариант - реализацию серво-связей посредством управляющих сил.
Некоторые исследования в этой области опубликованы нами [22, 23] и носят прикладной характер. В работе [22] анализируется движение сферического робота, стесненное сервосвязью Билимовича. В [23] рассмотрено движение сфероро-бота с маятниковым приводом за целью методом погони. В отличие от работы В.И. Киргетова, где сервосвязь метода погони реализуется как неголономная, в нашей работе она реализуется за счет введения управляющего крутящего момента, который генерирует маятниковый привод.
Описанные в современной научной литературе принципы работы с механическими системами, стесненными сервосвязями, кажутся не всегда понятными с точки зрения их практического применения. Поэтому в данной работе изложены теоретические аспекты составления уравнений движения неголономных механических систем с сервосвязями в контексте их физической реализации и указаны условия реализуемости сервосвязей.
На примере колесного робота с прицепом показана реализация программы движения, заданной конечными и дифференциальными сервосвязями. В основе математической модели колесного робота с прицепом лежит модель роллер-рейсера - системы, являющейся связкой двух колесных платформ [24]. На ведущих колесах робота установлены электродвигатели с дифференциальным приводом. Для реализации сервосвязей привод генерирует управляющие крутящие моменты на колесах. В работе построены уравнения движения, найдены управления, реализующие программу движения, для иллюстрации полученных результатов построены графики искомых механических параметров и траектории движения.
1. Уравнения движения неголономных систем с сервосвязями
Рассмотрим некоторую механическую систему. Пусть на систему наложены неголономные ограничения (связи), линейные по скоростям:
п
г(1)
1=1
где д = (д1,..., ) - обобщенные координаты на конфигурационном пространстве размерности п.
Общая форма уравнений движения, как известно, представлена системой дифференциальных уравнений с неопределенными множителями
дТ
где Т - кинетическая энергия, Р - обобщенные силы, — =
дц
(дТ дТ^
Т
дт
дд
(дТ дТЛ
дЧх' ' дЧп
т
\ - неопределенные множители, характеризующие силы
реакции связей, которые единственным образом восстанавливаются из совместного решения уравнений движения и производных по времени от уравнений (1).
Пусть помимо неголономных связей (1) движение системы управляемо серво-связями, и пусть они также линейны по скоростям:
фГ = Ё (4= 0?, + (Ч. 0 = 0.
1=1
Запишем в матричном виде систему неголономных связей и систему сервосвязей
(2) (3)
f = Bq + B0 =0, Ф = £q + £0 = 0 .
где В =
dqx
дГ_
dqx
дЧп дГ
дЧп
1 л
Б„
b (q, t)
£ =
5Ф
3q
dqx
дФг dqx
5Ф
дФг дЧп
,1 Л
£о =
чсто(Ч' О у
Считаем, что уравнения (2), (3) независимы. Тогда, по всей видимости, существует вектор управлений (моментов) О = такой, что по крайней мере p из компонент ^, 1 < р < п, не равны тождественно нулю, и с их учетом уравнения движения примут вид:
dtydq) Sq
(4)
где X = ,...,- вектор неопределенных множителей. Неравные тождественно нулю управляющие силы будем называть активными и обозначим их (¿^. Продифференцируем систему неголономных связей и сервосвязей по времени:
Bq + Bq + B0 =0, Eq + Eq + E0 = О,
(5)
(6)
где
В
X
дЧ
q,+-
дЧ
t dqdq. dqdt
В„
X
db\{q,i). dbl(q,t)
i 9qi
dt
fdbs0(q,t) . | dbs0 (q,t) L я„ 1j +
£ =
" Гф . ГФ
>-q, +-
dqdq dqdt
S0 =
j=i %
dt
2-i я„ QJ
j=i
dqt
dt
есть матрицы, состоящие из полных по времени производных элементов матриц В, Е, В0, Е0 соответственно.
Предложение 1. Динамика механической системы с наложенными на нее него-лономными ограничениями (2), управляемой сервосвязями (3), задается системой п + s + г дифференциальных уравнений (4)-(6). Уравнения (3) задают программу движения механической системы.
Сначала имеет смысл совместно решить уравнения движения (4) с производными по времени от неголономных ограничений (5). Для этого распишем систему (4) более подробно:
» ,-'/• .. ^ Г Т . г т гт ,. гг „ . ,
А-Ч, + А-Ч, +---= Р, + УХ —+ 6,-, г =1 ,п. (7)
м дд,дд^ м дд,дд^ ддф ддк=1 дд
Введем обозначения: А =
д2Т
- положительно определенная матрица ко-
дд1дд]
эффициентов, задающая евклидову метрику на пространстве ускорений Ас[);
Т =
» _ ,-'/' ГТ
>-д< +---
/=1 8д,дд, ддф дд
- вектор-столбец такой, что для уравнений Ла-
гранжа вектор с}/=А '(Р—Т') задает освобожденное от всех связей движение,
т.е. движение только под действием приложенных сил. Из системы уравнений (7) выразим вектор ускорений
4 = А^Р-Т' + В^ + д). (8)
Подставляя его в (5), получим
I = -С Б (Р - Т') - С БО - С - С В0, (9)
где С = ВА-1ВТ, D = ВА-1.
Подставляя выражения (8) с учетом (9) в (6), получим линейную относительно управляющих сил систему
ЕА-1 (Е - ВТ С-1 Б) Q =
(10)
+ - ЕА~' (Е - ВГС Б) (Р - Г) + ЕА^'В^СГ1 (в<1 + В0) - Е<1 - Е0,
где Е - единичная матрица п-го порядка.
Система (10) в общем случае является системой г уравнений, линейных относительно Qi, среди которых p не равны тождественно нулю.
Необходимое условие реализуемости сервосвязей (3). Если сервосвязи (3) реализуемы, то
ЕА-1 (Е - ВТ С-1 Б) Q ф О .
Возможны следующие случаи:
1) если p = г, то система (10) определена, тогда компоненты векторов к и Q восстанавливаются однозначно из уравнений (9), (10);
2) если р > г, то система (10) не определена и свободные переменные необходимо выбирать из числа (_),. Тогда 5 функций /./.■ и г функций С>} будут выражаться через оставшиеся (р - г) функций . Другими словами, программа движения
механической системы не определена. Поэтому для ее доопределения необходимо задать свободные Ц, исходя из возможности их физической реализации.
3) если p < г, то управление задано с избытком. Вообще говоря, решение задачи будет невозможно.
В случае механической системы только с одной сервосвязью
ф(«ъч,0 = о (11)
система (10) будет состоять из одного уравнения
ЕА-1д = -ЕА-1(Е-Т')-2:4-2:0. (12)
Необходимое условие реализуемости сервосвязи (11). Если сервосвязь (11) реализуема, то выполняется условие
причем если вектор Q содержит одну активную компоненту, то она восстанавливается однозначно из (12), иначе программа движения не задана.
Замечание 1. Была рассмотрена неголономная система с кинематическими (дифференциальными) сервосвязями (3). Хотя по аналогии с голономными и неголономными связями сервосвязи могут быть заданы не только в кинематическом, но и в геометрическом (конечном по Аппелю) виде:
У (<&,..., дп, ^ = 0, (13)
и любую геометрическую связь можно представить в дифференциальной форме, взяв полную производную по времени от уравнения (13). Согласно теории Бегена-Аппеля, независимо от типа сервосвязей механизм определения управляющих сил остается одинаковым, причем сами сервосвязи принимаются во внимание
дТ дТ ,.
лишь после того, как вычислены выражения —, —, К .
оц ос|
Рассмотрим далее динамику механической системы, стесненной сервосвязя-ми, на примере движения двухзвенного колесного робота с дифференциальным приводом.
2. Уравнения движения двухзвенного колесного робота
Механическая система состоит из двух колесных платформ (робота и прицепа), движущихся по плоскости. Запишем допущения, касающиеся конструкционных особенностей (рис. 1):
1. На роботе жестко закреплены два активных колеса с независимыми двигателями и рояльное колесо, которое крутится во все стороны и не влияет на динамику системы. Оси вращения активных колес совпадают. Обозначим точкой O1 центр оси, соединяющей колеса. Центр масс робота C может быть смещен вдоль его главной оси, перпендикулярной оси колес, от точки Ol на расстояние d\.
2. На прицепе жестко закреплена одна отбалансированная колесная пара с пассивными колесами так, что центр масс прицепа совпадает с геометрическим центром O2 колесной пары.
3. Прицеп жестко сцеплен с жесткой рамой, которая, в свою очередь, крепится шарниром в точке O1 к роботу. Рама может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку O1.
Рис. 1. Схематический дизайн колесного робота Fig. 1. Schematic diagram of a wheeled robot
Введем две системы координат в пространстве: неподвижную OXYZ и подвижную O1X1Y1Z1, связанную с геометрическим центром оси, соединяющей активные колеса, и осями O1X1, совпадающей с главной осью платформы, и O1Y1, проходящей через центры активных колес. Считаем, что dj > 0 .
Введем обозначения в подвижной системе координат: r - радиус колеса робота, b - длина жесткой рамы, соединяющей прицеп с роботом; 2l - расстояние между геометрическими центрами колес робота; C(d1, 0) - координаты центра масс робота; mi - масса платформы робота; mk - масса активного колеса; m2 -общая масса прицепа с колесной парой; Ii - момент инерции горизонтальной платформы (без колес) робота относительно вертикальной оси O1Z1; Ikz - момент инерции ведущих колес относительно вертикальной оси O1Z1; Iky - «приведенный» момент инерции колеса с учетом момента инерции ротора электродвигателя относительно оси O1Y1; I2 - центральный тензор инерции прицепа относительно вертикальной оси, проходящей через геометрический центр второй колесной пары O2; V = (V, V2, 0) - вектор скорости центра O1 колесной оси робота; V, V -
векторы скоростей геометрических центров колес; Q = (0,0, Q) - вектор угловой скорости робота; w¡ = (0, ^, Q), ю2 = (0, ю2, Q) - векторы угловых скоростей активных колес; (ф, ф2 - углы поворота колес относительно горизонтальной оси Oí Yi; i|/ - угол поворота подвижной системы координат относительно неподвижной, vj/ = Q ; ф - угол поворота оси прицепа относительно оси робота, причем при повороте оси прицепа против часовой стрелки угол принимает положительные значения, иначе - отрицательные.
Рассматриваемая система является неголономной: на колеса каждого из звеньев накладываются неголономные ограничения, которые делают невозможным любое движение данного тела в направлении, перпендикулярном его главной оси:
fx = I - =0, /2 = Г; sin ф -1 '2 cos ф + Ь (Q + ф) = 0 (14)
а также условия отсутствия проскальзывания в точках контакта с плоскостью качения активных колес
/ = V -ra\-lQ = 0, / = V -rro2+ lQ = 0. (15)
Также для выполнения некоторой заданной программы движения электродвигатели на колесах будут генерировать управляющие крутящие моменты U1, U2.
Кинетическая энергия механической системы имеет вид:
Т = \щ2 + (П+ф)2 + \ьу К + со22)+\м [у2 + у2)+
+ й?1/я1У2Г2 + /я2й(Г2 + ф)((/1 втф -У2 совф),
где /[ =/[ + 2тк12 +21Ь,12 =12 +т2Ь2,М =щ+т2 +2тк.
Записывая уравнения движения в квазискоростях с неопределенными множителями, получим
d_ dt
dt
( дТл
кдУ
дТ
д/1 , л df2 д/, ^ д/4
— О- — Xj--+ Х2--+ ^--+ Х4-
дУ
дУ
дУ,
дУ
дУ,
дТ
V дУ2 J
+х2/+х/+х/ дУ дУ дУ дУ 4 дУ,
дТ
d ( дТ Л дТ
— I — 1 + У- и2 — — х;—
dt УдО.) дУ д^ дО
/ ,, д/2
—v, дТ — х д/L +х1/ +х,/ +х ^
дО
д/з
дО
(16)
дО
d
dt
дТ
Уд<1 J
— — х Д. + Х2^ + Х3^ + Х4^ + tf., г — 1,2.
л i 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4^ -1
дф,. дю, дю,. дю,. да,
Решая систему (16) совместно с производными по времени от связей (14), (15), получим уравнения движения
-32 вшфсовффу + dlmlb2íl2 + — (111 +иЛ
r
Q = —
J sin2 ф+M0b2 d1m1V1Cl + -(U1 -U2)
J
vj/ = Q,
(17)
Ф =
У sincp
b
— О, ю, —
У — 1О
У + 1О
где Jx =IX +-
2 l2Iu
2I,
2 , M0=M + -
r r
J2 = I2 — 2m2b .
Для определения местоположения колесного экипажа в неподвижной системе координат необходимо к системе (17) добавить уравнения, определяющие координаты (X, Y) точки 0\:
X = у eos у, Y = у sin v, (18)
Таким образом, уравнения (17), (18) составляют полную систему уравнений движения.
d
3. Программа преследования подвижного объекта
Зададим программу движения, позволяющую роботу преследовать некоторый подвижный объект Р. с заданной на плоскости ОХУ траекторией Р(х, у) или заданным вектором скорости (х, у) по методу прямой погони. В частном случае эта задача сводится к задаче движения по заданной траектории [23].
Замечание 2. Метод прямой погони относится к методам наведения и применяется, как правило, в баллистике [25], однако он применим, как показано в этой работе, и для управления наземными системами.
Согласно этому методу, вектор скорости (X, У) точки ()\ должен быть всегда направлен на цель:
X У
x - X у - Y
откуда следует
\y = ATAN2(Y,x) = ATAN2(y-Y,x-X), (19)
V = f (t) • Р, р = 7 (X - X )2 + (у - Y)2, (20)
где управляющая функция f (t) является коэффициентом «расстояние-скорость»,
вид которого зависит от особенностей моделируемого сценария. Траектория точки Oí будет находиться из уравнений
X = X-р cos у, Y = у-р sin у. Из условия (19) получим первую сервосвязь
Q=ycosv|/-isinv|/ (21)
р
Для доопределения второй сервосвязи (20) необходимо задать управляющую функцию f (t) так, чтобы движение отвечало следующим условиям: робот находится от подвижного объекта на некотором расстоянии; при достижении критического расстояния р0 изменяет направление скорости на противоположное во избежание столкновения; выходит на сервосвязь из состояния покоя. Этим условиям удовлетворяет
f (t) = а ^ 1 - р0 j, а = const > 0, р0 = р(0). (22)
В [23] было найдено условие для коэффициента а в управляющей функции (22) при качении сферического робота с маятниковым приводом, при котором робот никогда не столкнется с преследуемым объектом. Аналогичное условие для колесной платформы примет вид:
а> Vmax (р0 - hГ\
где vmax - максимальная величина абсолютного значения скорости преследуемого объекта, h - расстояние от геометрического центра оси активных колес до переднего края робота. Тогда р > h Vt е [0, .
Таким образом, имеем две сервосвязи и два управляющих крутящих момента Uí, U2. Управление задано однозначно. Подставим уравнения (17) в производные по времени от (20), (21) и получим выражения для управляющих крутящих моментов
Ц,2 = '
alAp±2Jlb Q.,. . . s. Jx .. .
--(xcosy + .ysiny-K¡ j + —-(j'cosy-xsiny-K1i2J +
2lb p 2/p
где А = У2 sin2 ф + M0b2. Имеем своего рода систему с обратной связью. Тогда динамика системы будет описываться уравнениями движения
Vx =a(icos\|/ + j'sin\|/-Fl), a(j'cos\|/-isin\|/)
¥ =
ф = -
V\ + аРо К^тф a(j'cos\|/-isin\|/)
(23)
b Vx+ ар0
с начальными условиями V (0) = 0, у(0) = ATAN2(y(0) - Г(0), х(0) -Х(0)), ф(0) = 0. Численный эксперимент. Преследуемый объект движется по закону
х = 6 sin0.05t - sin0.31 + 2, y = 5 + cos 0.31 - 6 cos 0.05t. Параметры математической модели представлены в таблице.
Параметры математической модели
Ii, кг-м2 0.7 mi кг 4 b, м 1
h, кг-м2 0.3 m2 кг 2 d1, м 0.3
Iky, кг-м2 0.00028 mk кг 1 l, м 0.2
Ikz, кг-м2 0.00014 а, с-1 1 r, м 0.075
На рис. 2 представлены траектории преследуемого объекта (точечная) и робота (сплошная), на рис. 3 показаны изменения скорости V (0 , угла ф(£) и угловых скоростей колес ^ (£) (точечная), ю2 (¿) (сплошная).
Рис. 2. Траектория движения робота (сплошная линия) за преследуемым объектом (точечная линия) Fig. 2. Trajectory of the robot (solid line) pursuing a moving object (dotted line)
Если x, v являются /-периодическими функциями времени, то динамика системы приобретает периодический характер, что легко подтверждается построением фазовых портретов и отображений за период.
Интересно влияние на систему параметра а, который отвечает за динамичность: чем выше его значение, тем быстрее система реагирует на изменение расстояния до преследуемого объекта. В [23] было показано, что функция расстояния при управлении (22) является ограниченной, если скорость преследуемого объект ограничена, причем при а ^ да расстояние р ^ р0.
Рис. 3. Графики скорости Vi(t), угла q>(t) и угловых скоростей колес roi(t) (точечная линия), i»2(t) (сплошная линия) Fig. 3. Time dependences of the velocity Vi(t), angle q>(t), and angular velocities roi(t) (dotted line), i»2(t) (solid line)
Следовательно, из системы (23) очевидно, что скорости Vl(t), Ю1(0, Ю2(0 будут ограничены. При возрастании параметра а амплитуда периодических колебаний функций Vl(t), ^(0, Ю1(0, Ю2(0 возрастает до некоторого предельного значения.
4. Движение, управляемое конечной сервосвязью ф = g(t)
В предыдущем пункте сервосвязи, задающие программу движения, имели дифференциальный вид. В качестве примера рассмотрим алгоритм задания программы движения для механической системы, стесненной конечной (геометрической) сервосвязью
Ф = g(t). (24)
Иными словами, требуется так реализовать движение системы с помощью задания управления на колеса, чтобы выполнялось условие (24).
Используя уравнения движения (17), необходимо получить соотношения для управляющих крутящих моментов на активных колесах. Так как одной связи (24) недостаточно, чтобы однозначно задать Ui, U2, то доопределим их, исходя из возможности физической реализации. Например, такую связь можно осуществить, если IJ\ = -IJ2. Тогда управляющие моменты находятся однозначно:
г (Jtg - djnJ'p) J/b [d^Dr sing +M0Vlg cosg)
U =-U 2 =-
2l 2l Д
где Д = J2 sin2 g +MJr. Í1 = - ^' Sm" -g. Система (17) приобретает вид:
b
% = -J2Svi sing cosg +^>7, (r; sing +bgf 1 ~ Д "
К sing . К - Ю K+IQ.
vj/= —---g, ff)¡ = —-, CD, = —-.
(25)
Исследуем динамику системы (25). Сделав замену 2 = У1у[К , преобразуем первое уравнение системы к виду:
<1лп\ (бвт^+й^Тд)
Q = -
д4д
Функция Q является постоянной в следующих случаях:
- dx = 0 ;
- ф = пк\ к е z;
- Q(0) = 0, ф = const.
В остальных случаях она монотонно возрастает, так как d > 0. Скорость Vi(t) также будет неограниченно возрастать, и движение на сервосвязи начиная с некоторого момента времени станет невозможным.
При d = 0 скорости находятся следующим образом:
V(t) = Vl(0\
J sin2 ф0 + M0b2 I J2 sin2 g + M0b2
Q(í) = -
V (0)sing J sin2 ф + M0b2
b
J sin2 g + M 0 b2
Численные эксперименты Параметры модели заданы в таблице, за исключением местоположения центра масс первого звена. Примем d = 0 . 1. Случай постоянного местоположения прицепа относительно робота
g (t) = go = const.
Очевидно, что движение будет происходить равномерно по окружности с линейной и угловой скоростями
Vx (0) sin g0
V:(í) = V1(0) и Q(t) = —
b
(g0 Ф лк, к e Z, ¥¡(0) Ф 0)
или по прямой с линейной скоростью
Г 1(0 = 11(0) (Е0 = Кк, к е Ж, КД0) ф 0). 2. Случай равномерного вращения прицепа вокруг точки крепления к роботу
ё (() = 0.1-t. (26) На рис. 4 представлены траектория движения робота (точки О1) и графики угловых скоростей колес при начальном условии К1(0) = 0.4 м/с.
Рис. 4. Траектория движения и графики угловых скоростей колес при управлении сервосвязью (26) Fig. 4. The trajectory of motion and graphs of angular velocities of the wheels under servo-constraint (26)
3. Случай периодически меняющегося угла
л
g 0) = — 8т0.ш. (27)
На рис. 5 представлены траектория движения робота (точки OI) и графики угловых скоростей колес при начальном условии ^(0) = 0.4 м/с.
О 50 100 150 200
Рис. 5. Траектория движения и графики угловых скоростей колес при управлении сервосвязью (27) Fig. 5. The trajectory of motion and graphs of angular velocities of the wheels under servo-constraint (27)
Заключение
Актуальность подобного рода исследований продиктована развитием мобильной робототехники, электроники, теории управления. Сервосвязи рассматриваются как способ управления механическими системами. Класс задач динамики механических систем с сервосвязями гораздо шире класса неголономных задач. Возможность выбора управляющих сил позволяет получить системы с разнообразной динамикой. В работе был построен алгоритм реализации сервосвязей на примере неголономной системы с качением. Методы реализации сервосвязей существенным образом отличаются от методов реализации голономных и него-лономных связей. В случае с сервосвязями необходимо учитывать способ их осуществления, в то время как голономные и неголономные связи осуществляются вследствие простого контакта.
Список источников
1. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Математический сбор-
ник. 1903. Т. 24. C. 139-168. (Chaplygin S.A. On a Ball's Rolling on a Horizontal Plane // Regular and Chaotic Dynamics. 2002. V. 7 (2). P. 131-148. doi: 10.1070/RD2002v007n 02ABEH000200).
2. Kilin A.A. The dynamics of Chaplygin ball: the qualitative and computer analysis // Regular and
Chaotic Dynamics. 2001. V. 6 (3). P. 291-306. doi: 10.1070/RD2001v006n03ABEH000178
3. Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. The reversal and chaotic attractor in the nonho-
lonomic model of Chaplygin top // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. V. 19 (6). P. 718733. doi: 10.1134/S1560354714060094
4. Борисов А.В., Мамаев И.С. Неоднородные сани Чаплыгина // Нелинейная динамика.
2017. Т. 13, № 4. С. 625-639. doi: 10.20537/nd1704014
5. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика саней Чаплыгина // Прикладная математика и
механика. 2009. Т. 73, вып. 2. С. 219-225.
6. Микишанина Е.А. Исследование влияния случайных возмущений на динамику системы
в задаче Суслова // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 3. С. 17-29. doi: 10.17223/19988621/73/2
7. Borisov A.V., Mikishanina E.A. Dynamics of the Chaplygin Ball with Variable Parameters //
Rus. J. Nonlin. Dyn. 2020. V. 16 (3). P. 453-462. doi: 10.20537/nd200304
8. Marigo A., Bicchi A. Rolling bodies with regular surface: Controllability theory and applica-
tions // IEEE Trans. On Automatic Control. 2000. V. 45 (9). P. 1586-1599. doi: 10.1109/9.880610
9. Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I.S. How to control Chaplygin's sphere using rotors // Regular and Chaotic Dynamics. 2012. V. 17 (3-4). P. 258-272. doi: 10.1134/S1560354712030045
10. Болотин С.В. Задача оптимального управления качением шара с роторами // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 4. С. 837-852.
11. Беген А. Теория гироскопических компасов Аншютца и Сперри и общая теория систем с сервосвязями / пер. с фр. Я.Н. Ройтенберга. М. : Наука, 1967. 171 с.
12. Аппель П. Теоретическая механика. М. : Физматлит, 1960. Т. 2: Динамика системы. Аналитическая механика. 487 с.
13. Борисов А.В., Мамаев И.С., Килин А.А., Бизяев И.А. Избранные задачи неголономной механики. М.-Ижевск : Ин-т компьютерных исслед., 2016. 883 c.
14. Kozlov V.V. The Dynamics of systems with servoconstraints. I // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. V. 20 (3). P. 205-224. doi: 10.1134/S1560354715030016
15. Kozlov V.V. The Dynamics of systems with servoconstraints. II // Regular and Chaotic Dynamics. 2015. V. 20 (4). P. 401-427. doi: 10.1134/S1560354715040012
16. Азизов А.Г. К динамике систем, стесненных сервосвязями // Научные труды Ташкентского государственного университета им. В.И. Ленина. 1971. № 397. C. 3-9.
17. Киргетов В.И. О движении управляемых механических систем с условными связями (сервосвязями) // Прикладная математика и механика. 1967. Т. 31 (3). С. 433-446.
18. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 1989. № 5. С. 59-66.
19. Татаринов Я.В. Уравнения классической механики в лаконичных формах. M. : Изд-во Центра прикладных исслед. при мех.-мат. фак-те МГУ, 2005. 86 с.
20. Chen Y.H. Mechanical systems under servo-constraints: the Lagrange's approach // Mecha-tronics. 2005. V. 15 (3). P. 317-337.
21. Yang Y., Betsch P., Altmann R. A numerical method for the servo constraint problem of under-actuated mechanical systems // Pamm. 2015. V. 15 (1). P. 79-80. doi: 10.1002/pamm.201510030
22. Микишанина Е.А. Динамика качения сферического робота с маятниковым приводом, управляемого сервосвязью Билимовича // Теоретическая и математическая физика. 2022. Т. 211 (2). P. 281-294. doi: 10.4213/tmf10227
23. Mikishanina E.A. Motion Control of a spherical robot with a pendulum actuator for pursuing a target // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2022. V. 18 (5). P. 899-913. doi: 10.20537/nd221223
24. Bizyaev I.A. The Inertial motion of a Roller Racer // Regular and Chaotic Dynamics. 2017. V. 22 (3). P. 239-247. doi: 10.1134/S1560354717030042
25. Королев С.А., Липанов А.М., Русяк И.Г., Тененев В.А. Разработка подходов к решению обратной задачи внешней баллистики в различных условиях применения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 57. С. 7683. doi: 10.17223/19988621/57/6
References
1. Chaplygin S.A. (2002) On a Ball's Rolling on a Horizontal Plane. Regular and Chaotic Dynamics. 7(2). pp. 131-148. doi: 10.1070/RD2002v007n02ABEH000200
2. Kilin A.A. (2001) The dynamics of Chaplygin ball: the qualitative and computer analysis.
Regular and Chaotic Dynamics. 6(3). pp. 291-306. doi: 10.1070/RD2001v006n03ABEH 000178
3. Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. (2014) The reversal and chaotic attractor in the non-
holonomic model of Chaplygin top. Regular and Chaotic Dynamics. 19(6). pp. 718-733. doi: 10.1134/S1560354714060094
4. Borisov A.V., Mamaev I.S. (2017) An inhomogeneous Chaplygin sleigh. Russian Journal of
Nonlinear Dynamics. 13(4). pp. 625-639. doi: 10.20537/nd1704014
5. Borisov A.V., Mamaev I.S. (2009) The dynamics of a Chaplygin sleigh. Journal of Applied
Mathematics and Mechanics. 73(2). pp. 156-161.
6. Mikishanina E.A. (2021) Issledovanie vliyaniya sluchaynykh vozmushcheniy na dinamiku
sistemy v zadache Suslova [Investigation of the influence of random perturbations on the dynamics of the system in the Suslov problem]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo univer-siteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 73. pp. 17-29. doi: 10.17223/19988621/73/2
7. Borisov A.V., Mikishanina E.A. (2020) Dynamics of the Chaplygin ball with variable parame-
ters. Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 16(3). pp. 453-462. doi: 10.20537/nd200304
8. Marigo A., Bicchi A. (2000) Rolling bodies with regular surface: Controllability theory
and applications. IEEE Transactions on Automatic Control. 45(9). pp. 1586-1599. doi: 10.1109/9.880610
9. Borisov A.V., Kilin A.A., Mamaev I.S. (2012) How to control Chaplygin's sphere using rotors.
Regular and Chaotic Dynamics. 17(3-4). pp. 258-272. doi: 10.1134/S1560354712030045
10. Bolotin S.V. (2012) Zadacha optimal'nogo upravleniya kacheniem shara s rotorami [The problem of optimal control of the rolling ball with rotors]. Nelineynaya Dinamika -Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 8(4). pp. 837-852.
11. Beghin M.H. (1931) Ètude théorique des compas gyrostatiques Anschutz et Sperry. Paris: Impr. Nationale.
12. Appel P. (1953) Traité de Mécanique rationnelle: V.2. Dynamique des systèmes. Mécanique analytique. Paris: Gauthier-Villars.
13. Borisov A.V., Mamaev I.S., Kilin A.A., Bizyaev I.A. (2016) Izbrannye zadachi negolonomnoy mekhaniki [Selected problems of nonholonomic mechanics]. Moscow-Izhevsk.
14. Kozlov V.V. (2015) The dynamics of systems with servoconstraints. I. Regular and Chaotic Dynamics. 20(3). pp. 205-224. doi: 10.1134/S1560354715030016
15. Kozlov V.V. (2015) The dynamics of systems with servoconstraints. II. Regular and Chaotic Dynamics. 20(4). pp. 401-427. doi: 10.1134/S1560354715040012
16. Azizov A.G. (1971) K dinamike sistem, stesnyonnykh servosvyazyami [To the dynamics of systems constrained by servo-constarints]. Nauchnye trudy TashGU. 397. pp. 3-9.
17. Kirgetov V.I. (1967) O dvizhenii upravlyaemykh mekhanicheskikh sistem s uslovnymi svyazyami (servosvyazyami) [On the motion of controlled mechanical systems with conditional constraints (servo-constraints)]. Prikladnaya matematika i mekhanika - Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 31(3). pp. 433-446.
18. Kozlov V.V. (1989) Printsipy dinamiki i servosvyazi [Principles of dynamics and servo-constraints]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika - Moscow University Mathematics Bulletin, Moscow University Mechanics Bulletin. 5. pp. 59-66.
19. Tatarinov Ya.V. (2005) Uravneniya klassicheskoy mekhaniki v lakonichnykh formakh [Equations of classical mechanics in concise forms]. Moscow: Izdatel'stvo tsentra prikladnykh issledovaniy pri mekhaniko-matematicheskom fakul'tete MGU.
20. Chen Y.H. (2005) Mechanical systems under servo constraints: the Lagrange's approach. Mechatronics. 15(3). pp. 317-337.
21. Yang Y., Betsch P., Altmann R. (2015) A numerical method for the servo constraint problem of underactuated mechanical systems. Pamm. 15(1). pp. 79-80. doi: 10.1002/pamm.201510030
22. Mikishanina E.A. (2022) Rolling motion dynamics of a spherical robot with a pendulum actuator controlled by the Bilimovich servo-constraint. Theoretical and Mathematical Physics. 211(2). pp. 679-691. doi: 10.1134/S0040577922050087
23. Mikishanina E.A. (2022) Motion control of a spherical robot with a pendulum actuator for pursuing a target. Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 18(5). pp. 899-913. doi: 10.20537/nd221223
24. Bizyaev I.A. (2017) The inertial motion of a roller racer. Regular and Chaotic Dynamics. 22(3). pp. 239-247. doi: 10.1134/S1560354717030042
25. Korolev S.A., Lipanov A.M., Rusyak I.G., Tenenev V.A. (2019) Razrabotka podkhodov k resheniyu obratnoy zadachi vneshney ballistiki v razlichnykh usloviyakh primeneniya [Development of the approaches for solving an inverse problem of external ballistics in various application conditions]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 57. pp. 77-84. doi: 10.17223/19988621/57/6
Сведения об авторе:
Микишанина Евгения Арифжановна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры актуарной и финансовой математики, научный сотрудник университетско-академи-ческой лаборатории «Искусственный интеллект и робототехника» Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова (Чебоксары, Россия). E-mail: [email protected]
Information about the author:
Mikishanina Evgeniya A. (Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor, I.N. Ulia-nov Chuvash State University, Cheboksary, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 25.04.2023; принята к публикации 03.06.2024 The article was submitted 25.04.2023; accepted for publication 03.06.2024
