CC BY
33
126
• • • Известия ДГПУ, №4, 2010
Каждая из указанных моделей требует от преподавателя и руководства структурного подразделения вуза основательной проработки, соответствующего наполнения и грамотного подхода к ее реализации. При этом грамотная организация учебно-позна-вательного процесса (понимаемая нами как отлаженная отработка обучающе-
диагностирующих / мониторинговых
Примечания
процедур), предполагающая проектирование педагогической задачи и реализацию соответствующей технологии обучения математическому анализу, отразится на качестве профессиональной математической и общепрофессиональной подготовки студентов инженерно-технических специальностей в системе высшего профессионального образования.
1. Борытко Н. М. Педагогика: учебник для студентов пед. спец, вузов. Ч. 2. Волгоград : ТЦ «Оптим», 2007. С. 216. 2. Монахов В. М. Введение в теорию педагогических технологий: монография. Волгоград : Перемена, 2006. С. 319. 3. Смыковская T. К. Технология проектирования методической системы учителя математики и информатики: монография. Волгоград : Перемена, 2000. С. 196. 4. ТабишевТ. А. Методическая система мониторинга математической подготовки студентов вуза: Автореф. дисс. ... канд. пед. наук. Астрахань, 2010. С. 24.
Статья поступила в редакцию 11.12.2010 г.
УДК 51(07)
ПРИНЦИПЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В КОНТЕКСТЕ КАТЕГОРИАЛЬНОГО ОБОБЩЕНИЯ
© гою ярахмедов Г.А.
Дагестанский государственный педагогический университет
Происходящие в настоящее время глобальные изменения в сфере познавательных технологий требуют определения в дидактике математики новых методических объектов, соответствующих приоритетам постнеклассического типа рациональности. Выделению некоторых основных принципов обучения математике в педагогическом вузе, способствующих построению так называемых комплексов, введенных автором, и посвящена настоящая статья.
The global changes occurring now in sphere of the informative technologies demand the identifying the new methodical objects in didactics of Mathematics, corresponding to the priorities of the post-nonclassical rationality type. The given article is devoted to the revealing of the some main principles of teaching the Mathematics at the pedagogical high school, promoting the building of the so-called complexes, introduced by the author.
Ключевые слова: комптентностно ориентированная дидактика, ключевые компетентности, двойственность, симметричность, детерминированность, комплекс, комплексификация.
Психолого-педагогические науки
• • •
127
Keywords: competentness- focused didactics, key competences, duality, symmetry, determinacy, complex, compiexification.
Специфика развития информационного общества такова, что в нем быстро изменяются средства научного познания, происходит постоянное взаимопроникновение методов отдельных наук так, что дифференциация и интеграция научного знания являются важнейшими закономерностями развития науки. Вследствие этого возрастает потребность радикальных перемен в подготовке высокопрофессиональных специалистов с учетом изменений и процессов, происходящих в последнее время. Новая образовательная парадигма требует разработки компетентностно ориентированной дидактики и стандартов образования. На современном этапе общества в области образования ставятся новые важные задачи и выделяются основные методы и подходы их эффективного решения. Как указано в Государственном образовательном стандарте, «активизация деятельностного подхода при разработке концепции стандарта общего образования второго поколения обусловлена тем, что его последовательная реализация повышает эффективность образования по следующим показателям:
- придание результатам образования социально и личностно значимого характера;
- более гибкое и прочное усвоение знаний учащимися, возможность их самостоятельного движения в изучаемой области;
- возможность дифференцированного обучения с сохранением единой структуры теоретических знаний;
- существенное повышение мотивации и интереса к изучению у обучаемых;
- обеспечение условий для общекультурного и личностного развития на основе формирования универсальных учебных действий, обеспечивающих не только успешное ус-
воение знаний, умений и навыков, но и формирование картины мира и компетентностей в любой предметной области познания» [1]. Компетентность, наряду с профессионализмом, является важной категорией образованного человека, и она подразумевает, помимо технологической и технократической подготовки, целый ряд других компонентов, имеющих в основном внепрофессиональный или надпрофессиональный характер. Такой подход предполагает обучение студентов умению выделить общие закономерности, характерные процессам и явлениям как внутри одного предмета, так и в междисциплинарном контексте.
В качестве самых важных ключевых компетентностей в [7] выделяются: владение устной и письменной речью на родном языке, знание иностранных языков и знание математики и информатики. (Еще в «Принципах философии» Р.Декарт прямо называет математику сущностью всех наук). Как известно, математика - это «язык природы», а в когнитивной психологии установлена связь между структурами языков и структурами мышления, а структуры мышления, в свою очередь, связаны с математическими структурами (Ж. Пиаже), которые делятся на два типа когнитивных структур (В.А.Тестов, М. А. Холодная): 1) горизонтальный (алгебраические, топологические и порядковые структуры); 2) вертикальный (логические, алгоритмические, образно-геометрические структуры и когнитивные схемы). Таким образом, в новой образовательной парадигме существенную роль играет понимание содержания и значения взаимопроникновения различных языков. Появляющиеся в последнее время на стыке разных наук новые научные дисциплины и являются результатом анализа и синтеза на основе синер-
128
Известия ДГПУ, №4, 2010
гетических и логических принципов, а также семиотических обобщений конструкций объектов разных дисциплин.
Очевидно, обучение математике и информатике в настоящий период становится приоритетным во всем образовательном пространстве, особенно в педагогическом вузе, где в основном готовят будущих учителей школ и воспитателей дошкольных учреждений. Компетентностный подход требует умение выделить с помощью некоторых принципов данной теории существенных признаков структуры и на этой основе создать в теории обучения математике методические объекты, позволяющие более эффективно исследовать всевозможные структуры как некоторые комплексы.
Для решения этой проблемы мы выделяем основные принципы обучения математике, обладающие свойствами взаимодополняемости, целостности и детерминированности. В качестве таких принципов, на наш взгляд, выступают: 1) противоположности и их единство; 2) двойственность отношений (операций) структуры; 3) симметричность объектов и структур; 4) детерминированность структуры; 5) аналогий действий.
В том или ином виде эти принципы являются основными и в более общих теориях. Так, например, в контексте обобщенной системной концепции изоморфизма законов в разных областях знания, создания единого математического аппарата для описания разных типов систем, а также для разработки методологии целостного универсального междис-циплинарно-систем-ного образования на основе сложившихся представлений в сферах гуманитарных и естественнонаучных дисциплин, сформулированы 16 универсальных законов - правил (принципов) культурного моделирования [3]. Это принципы: амбивалентности, дополнительности - синтез двух противоречивых свойств, запрета, неадди-
• • •
тивности, неопределенности, неполноты, определенности, относительности, подобия, постоянства, равновесия, разнообразия, расщепления, сохранения, устойчивой динамики, четверичности.
Следует заметить, что различным комбинациям вышеприведенных основных принципов обучения математике в контексте междисциплинарного образования соответствуют общепринятые принципы психического развития системы: принцип устойчивого динамического неравновесия -как источник развития системы; принцип взаимодействия тенденций к сохранению и изменению - как условие развития системы; принцип дифференциации и интеграции - как критерий развития системы; принцип цельности - как критерий развития функций (Е. Н. Князева, С. П. Курдю-мов, Д. Н. Узнадзе, Б. Г.Ананьев, Н. И. Чуприкова и др.).
В психологии разновидности мышления обычно выделяются парами противоположностей, обеспечивающих единство процесса мышления (формальное - содержательное, ассоциативное - структурное, рассудочное - разумное, эмпирическое - теоретическое, рациональное
- иррациональное, рассуждающее -интуитивное и т.д.); в естественных науках целостность структуры обеспечивается присутствием одновременно положительно и отрицательно заряженных частиц; в философии ядром диалектики является закон единства и борьбы противоположностей, а также его категориальные обобщения (анализ - синтез, количество - качество, индукция - дедукция, непрерывность - дискретность, причина - следствие, пространство -время и т.д.); в математических структурах, как правило, определяются две противоположные операции (сложение - вычитание, умножение -деление, дифференцирование - интегрирование, логарифмирование -потенцирование и т.д.); в социологии
- индивидуальное и коллективное; в
Психолого-педагогические науки • • •
экономике - частная и государственная собственности.
Сравнение общих признаков в различных структурообразующих системах способствует формированию диалектического мышления у студентов. Так происходит знакомство студентов на доступном для них уровне со смыслом некоторых категорий и законов диалектики, действующих и проявляющихся в процессе математического познания, обнаруживается необходимость применения диалектико-математических методов познания окружающей действительности, что приводит к стихийному накоплению у студентов односторонних представлений и определенностей.
В обучении математике мы выделяем следующие противоположности: логическое - эмпирическое, непрерывное - дискретное, анализ -синтез, симметрия - асимметрия. Именно гармоническое сочетание их составляющих обеспечивает целостность восприятия математических объектов и выделение в математической модели существенных признаков структуры внутренних и внешних взаимосвязей объекта, при этом обнаруживается взаимодополняемость признаков двойственных отношений. Нарушение этой гармонии при обучении математике (на любом уровне) и приводит к нежелательным последствиям. Так, например, в школьных учебниках по математике, особенно по геометрии, (да и в вузовских учебниках тоже), как и раньше, доминирует либо аксиоматический (логический) метод, либо наглядно-эмпири-ческий, совершенно забывается при этом об их гармоническом соответствии. Только синтез классических методов непрерывной математики с методами дискретной математики, для которой характерно описание многих явлений информационного периода, дает целостную картину реального мира. Но в современных школьных учебниках по математике, к сожалению, мало уде-
129
ляется внимание возможному применению методов дискретной математики для решения задач в различных областях знаний.
Наконец, симметрия структуры и двойственность отношений между ее элементами играют определяющую роль не только в процессе научного познания, но также и в процессе его чувственного, эмоционального восприятия в фундаментальной триаде «природа - наука - искусство», при этом очень важно, что один из основных методов познания - метод аналогий - основан на принципе симметрии. Кроме того, самое непосредственное отношение к симметрии, в частности, имеет композиция, так как «всякая композиция основана на скрытой симметрии» (И. Гете).
С другой стороны, мы обнаруживаем извечное единоборство симметрии и асимметрии и их диалектическое единство в архитектуре, музыке и поэзии (чередование рифм, ударных слогов и т.д.). Наличие в организмах зеркально-асимметрических молекул и характеризует, как известно, разницу между химией живой и неживой природы. Именно идеи симметрии привели человека к открытию поразительного факта - в природе существуют всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы: тетраэдр, октаэдр (восьмигранник), икосаэдр (двадцатигранник), гексаэдр (шестигранник, куб), додекаэдр (двенадцатигранник).
Оказывается, для каждого из этих многогранников центры описанной, вписанной сфер и сферы, касающейся всех ребер, совпадают, и эта точка называется центром правильного многогранника. Свойства симметрии правильных многогранников играют существенную роль в познании окружающего нас мира во всем его многообразии структур. Если у одного из этих многогранников соединить отрезками прямых центры граней, имеющих общее ребро, то получится другой многогранник. Их называют взаимными. Если же число вершин
130
Известия ДГПУ, №4, 2010
многогранника F равно числу граней многогранника G, число вершин G равно числу граней F и число ребер F равно числу ребер G, то эти многогранники назовем двойственными.
Если многогранники взаимны, то они двойственны и наоборот. Пары правильных многогранников октаэдр, куб и икосаэдр, додекаэдр взаимны и двойственны. Тетраэдр взаимен и двойственен сам себе.
Принцип двойственности часто применяется почти во всех разделах математики и в некоторых случаях используется для исследования категориальных планов в философии.
Существующие в природе четыре типа фундаментальных взаимодействий (сильные, электромагнитные, слабые, гравитационные) связаны с симметрией: чем сильнее взаимодействие, тем симметричнее и оно в большей мере контролируется законами сохранения. Если, скажем, все протоны в атомном ядре заменить нейтронами, а все нейтроны протонами, то получим ядро, называемое зеркальным по отношению к исходному ядру (или двойственным). Оказывается, пары зеркальных ядер имеют практически одинаковую энергию связи нуклонов в ядре, сходное строение уровней энергии, одинаковый спин. Сходство свойств зеркальных ядер отражает определенную симметрию ядерных сил, причем эти силы не зависят от электрического заряда частиц.
Итак, применение основных принципов обучения математике, изложенных выше, позволяет придерживаться определенной схемы исследования математических и иных структур, а именно: в произвольном множестве (над которым определяется структура, модель) выделяем: 1) расположенность, определенность (детерминированность) объектов - наведение порядка в противоположность хаосу; 2) определенность структуры - введение отношений (операций) и представление (конструирование) нового объекта по определен-
ным признакам; 3) исследование объекта по характерному его поведению в пространствах разной размерности с помощью основных инвариантов.
Научение умению выделять основные инварианты при некоторых преобразованиях системы является одной из основных составляющих образовательной модели при различных интеграционных процессах современного информационного общества.
Указанные выше основные принципы обучения математике играют важную роль при построении комплексов [3-6] как методических объектов в методологии дидактики математики в современный постиндустриальный период. Следует отметить, что концептуальной основой комплексификации обучения математике в школе и вузе является, на наш взгляд, общеметодологический принцип, базирующийся на диалектическом единстве и борьбе противоположностей в различных структурах и системах с возможными обобщениями по аналогии свойств и признаков структурообразующих элементов одного компонента (модуля) комплекса на другие компоненты (модули).
Для анализа предлагаемой выше концепции рассмотрим следующий комплекс, имеющий самую большую «размерность» и самый большой «объем информации» (хотя в конкретных случаях исследуются подкомплексы либо внутри одной дисциплины, либо в междисциплинарном контексте): математические науки
(М), естественные науки (Е), гуманитарные науки (Г). Обозначим этот комплекс (М-Е-Г).
Любое явление, любой процесс, любые структуры и системы исследуются в пространстве и во времени, т.е. в пространственно-временном континууме. Если в индустриальную эпоху (XVII - середина XX вв.) исследования моделей структур (систем) проводились преимущественно методами непрерывной математики
Психолого-педагогические науки • • •
(дифференциальное и интегральное исчисление), то в эпоху информационных технологий (с середины XX в.), для которой приоритетом является скорость передачи, обработки и хранения информации, методы дискретной математики (математическая кибернетика, дискретная математика, математическая информатика и т.д.) являются определяющими. Две противоположности - непрерывная и дискретная - обеспечивают целостное восприятие структуры. В естественных науках, например, базисными элементарными частицами являются электроны и протоны - противоположности по знаку, хотя уже на других иерархиях появляются другие противоположности (электрон - позитрон, протон - антипротон, частица - античастица и, в конечном счете, мир - антимир). С другой стороны, все элементарные частицы, ядра, атомы делятся на два «лагеря» с совершенно противоположными характеристиками, сохраняющие целостность всего мироздания: фермионы (характеризуются полуцелым спином: электроны, пептоны, барионы, кварки, протоны и т.д.), бозоны (характеризуются целым спином: фотоны, мезоны, ядра гелия и т.д.). Оказывается, фермионы могут занимать состояния только по одиночке («индивидуалисты») и их поведению характерна дискретность, тогда как бозоны могут заполнять состояния в больших количествах («коллективисты» и их поведению характерна непрерывность.
Далее, на основе этнических признаков выделяются основные типы современных цивилизаций. Например, индуистской цивилизации и, следовательно, буддизму как разновидности древнеиндийской филосо-
Примечания
131
фии, характерно единое мироощущение, устремленность человека к духовно-космическому освобождению от бренных пут земного существования, индивидуальное спасение. Но для китайской цивилизации и, следовательно, конфуцианству, характерно «спасение» общества через идеи гармонии и порядка, т.е. чувство коллективизма, государственности. Для арабо-исламской цивилизации характерен примат общинного.
В экономической сфере два противоположных вида собственности -частная и государственная - определяют развитие государства и мира в целом. В человеческой психике также усматривается единство сложно взаимодействующих между собой противоположностей сознательного и бессознательного. Более того, как заметил еще 3. Фрейд, «индивидуальная психология с самого начала является одновременно и социальной психологией». В биологии справедлив аналогичный закон, названный биогенетическим законом Геккеля: онтогенез (индивидуальное развитие) повторяет филогенез (развитие вида).
Итак, противоположности анализ -синтез, дискретное - непрерывное, количество - качество, причина -следствие, абстрактное - конкретное, конечное - бесконечное, теоретическое - практическое, сознательное - бессознательное и т.д., будучи основными категориями в различных областях знаний, играют важную роль в методологии и методике исследования синтезирующих процессов, раскрывая идеи интегративного образования, целостного процесса общесоциального и профессионального становления личности.
1. О федеральном государственном образовательном стандарте общего образования: доклад Российской академии образования // Педагогика. 2008. № 10. 2. Чучин-Русов А. Е. Междисциплинарно-системное образование и культурное моделирование // Мир образования - образование в мире. 2007. № 1(25). С. 15-24. 3. Ярахмедов Г. А. Комплексификация математического
132
• • •
Известия ДГПУ, №4, 2010
образования в педагогическом вузе в системе новой образовательной парадигмы // Матер. Международной научно-практической конференции. Махачкала, 2009. С. 36-41. 4. Ярахмедов Г. А. О некоторых принципах мировоззренчески направленного обучения школьной математики // Международный межвузовский сборник научных трудов. Ч. II. Карачаевок, 2009. С. 284-290. 5. Ярахмедов Г. А. Об алгебраической интерпретации геометрических понятий // Матер. Международной конференции. Махачкала : ДГТУ, 2010. С. 153-156. 6. Ярахмедов Г. А. Об изоморфных моделях в формировании комплексного мышления при обучении математике в вузе // Матер. Международной научно-практической конференции. Дербент, 2010. С. 413-416. 7. Weinert F.E. Concepts of competence (Cotribution within the OE CD project Definition and selection of competencies: Theoretical and conceptual foundation (De Se Co)) Neuchatel De Se Co. 1999.
Статья поступила в редакцию 25.09.2010 г.
