Принципы моделирования гидромеханических устройств автоматики Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 681.5

п. В. петров

принципы моделирования гидромеханических устройств автоматики

Показана необходимость описания гидромеханических систем методами алгоритмического моделирования. На простом примере продемонстрирована процедура численного исследования систем по нелинейным моделям, с учётом существенных нелинейностей и перестроения структуры. Гидромеханические системы, устройства автоматики, нелинейность, алгоритмическое моделирование

ВВЕДЕНИЕ

Исследование нелинейных гидромеханических систем связанно с усложнением математического аппарата, так как анализ и расчет таких систем приходится вести по нелинейным дифференциальным уравнениям. При этом не может быть применен принцип суперпозиции и, следовательно, отклик системы на произвольное входное воздействие нельзя определить в виде суммы откликов на последовательность скачков или импульсов. Форма переходного процесса, вызванного в нелинейной системе ступенчатым воздействием, зависит от значения воздействия. Вследствие отмеченных особенностей процессов в нелинейных системах, для описания таких систем не могут быть использованы независимые от входного воздействия передаточные функции, которые эффективны при исследовании линейных систем. Стоит отметить, что методы интегрирования в конечном виде нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в случаях, когда это возможно, в настоящее время все еще слабо развиты. Именно поэтому зачастую сложные гидромеханические системы ГТД пытаются описывать как обычные аналоговые системы при помощи линейных или кусочно-линейных методов, которые базируются на описании физических процессов, протекающих вблизи положения равновесия. Для таких методов построения модели необходимо как детальное представление физической картины изучаемого процесса, так и возможности упрощения его математического описания. По большей части такие методы расписаны в литературе, посвященной проблеме разработки моделей сложных гидромеханических объектов.

Однако реальные системы, вследствие сложности протекающих в них физических про-

Контактная информация: 8 (347) 273-09-44

цессов, а также конструктивных особенностей элементов обычно получаются нелинейными. Многие физические явления, и это особенно заметно на стадии проектирования, при малейшей попытке их линеаризации исчезают [1]. Также при линейном описаии системы невозможно математически расписать изменение структуры объекта, т.е. изменение его состояния. Линейные аналитические методы здесь не приемлемы и потому для того, чтобы описать такого рода ограничения, необходимо вводить логические условия, а это уже является прямым шагом к отказу от аналитического решения и переходу к алгоритмическому моделированию. Это позволит нам получить более полное математическое описание моделей объекта [2].

1. Принципы алгоритмического моделирования

В частности, переходу к алгоритмическому моделированию способствует развитие сложных мощных вычислительных комплексов и аппаратных средств ЭВМ в сфере моделирования и исследования систем. Новые компьютерные технологии позволяют автоматизировать процесс численного исследования модели, и появляется возможность реализации более сложных и громоздких систем в компьютерном исполнении [3]. Это приводит к постепенному отказу от традиционных приближённых аналитических и графоаналитических методов исследования и к повышению значимости алгоритмического моделирования и численного исследования.

Алгоритмическое моделирование несколько условное понятие. Его обычно противопоставляют (по методу реализации) аналитическим методам, имея в виду, что алгоритмические модели не могут быть решены в символьном виде, а чаще всего решаются численно. Однако и в алгоритмических моделях могут иметь место

аналитические выражения, дополненные условными переходами и изменяемой структурой. Это и сближает друг с другом аналитические и алгоритмические методы исследования.

выбором, if else end - структура с двойным выбором и switch - структура с множественным выбором.

Структура выбора if end, при описании алгоритма задачи, используется в тех случаях, когда должно выполняться действие или последовательность действий в зависимости от некоторых условий. Структура выбора if end имеет следующую форму:

if логическое_выражение

инструкция_1

инструкция_2

Рис. 1. Пример использования блок-схемы

инструкция_п

end

Если условие выполняется, то выполняются инструкции, расположенные в теле структуры. В противном случае программа переходит на следующую инструкцию, расположенную после ключевого слова end.

На рис.1 представлена, в качестве примера демонстрации работы алгоритмических условий, блок-схема. Кроме этого, в моделях могут использоваться множество других структур выбора таких как:

Суть методики алгоритмического моделирования в следующем: записывается математическая модель реального объекта в линейном виде. Далее выписываются все присущие нелинейности для этого объекта и вставляются в математическую модель в виде алгоритмических условий. Таким образом, мы как бы дополняем модель, например, ограничиваем перемещение рабочих органов, описываем изменяемую структуру модели, которая может меняться по времени, описываем нечувствительность системы, насыщение и т.д.

Модель в таком представлении, как показали численные эксперименты, получается наиболее адекватной и максимально приближенной по описанию к реальному объекту.

Алгоритмическое моделирование по своей сути является структурным программированием. Программа для реализации алгоритмической модели может быть написана с использованием трех управляющих структур: следования, выбора и повторения. При описании алгоритмических условий, которые учитываются в математических моделях, применяются три структуры выбора: if end - структура с единственным

if elseif else end - (если иначе если);

switch - (структура множественного выбора);

for end - (структура повторения);

и многие другие, полно описывающие алгоритмические условия.

Во время разработки программ, описания алгоритмов, следует применять правила структурного стиля программирования:

• разработка начинается с простейшей блок-схемы;

• каждый прямоугольник (действие) может быть заменен двумя последовательными прямоугольниками (более детальными действиями);

• каждый прямоугольник (действие) может быть заменен любой структурой управления.

2. Моделирование систем автоматики

В качестве объекта, на котором применяется методика алгоритмического моделирования, была взята довольно сложная гидравлическая система с перестраиваемой структурой - гидропривод с объемным регулированием и дистанционным управлением, принципиальная схема

которого изображена на рис. 2. В качестве дистанционного управления принят электрогидрав-лический следящий привод.

Гидропривод с объемным регулированием и дистанционным управлением имеет силовую часть, состоящую из регулируемого объемного насоса, гидродвигателя, вспомогательных устройств, и управляющую часть, которой служит электрогидравлический привод с дроссельным регулированием. Такие приводы различаются по принципиальной схеме, по конструкции гидромашин силовой части, по виду элементов управляющей части, по типу корректирующих устройств и другим признакам.

В работе представлены алгоритмические модели привода, каскады в котором согласованы только статически, динамически они не согласованы, так как постоянная времени заслонки на порядок меньше, чем у золотника, поршня или вала гидродвигателя. При подаче максимального сигнала управления заслонка становится

на упор, в то время как золотник продолжает движение, не ограничиваясь конечным положением, поэтому в дифференциальное уравнение следует вводить ограничения. Но такого рода ограничения не описывались в моделях ранее, и поэтому в алгоритм следует ввести логические условия, которые численно на графиках будут ограничивать перемещение.

Стоит отметить, что мы рассматриваем реальные объекты, а значит, геометрические параметры для ЭМП и других элементов берутся из паспортных данных. Значение перемещения заслонки при максимальном токе не будет превышать максимального значения М , а значит, ограничивать его нет необходимости, стоит лишь в модели довольствоваться ограничением на ток, т.е. ток не может быть больше максимального. Совершенно другая картина в случае перемещений золотника, поршня и вала гидромотора.

Далее для выбранной схемы назначаются основные исходные параметры реального объекта, необходимые для расчета.

Рис. 2. Принципиальная гидравлическая схема гидропривода с объемным регулированием

Следующим этапом исследования данной модели является получение статической модели и построение статических характеристик, здесь нет ничего нового, поэтому этот пункт пропускается, и переходим сразу к динамике системы [4].

Каскады в исследуемой системы динамически не согласованы, так как постоянная времени подвижной части ЭМП на порядок меньше, чем у золотника, поршня или вала гидромотора. Уже при сравнительно небольших сигналах управления заслонка может становиться на упор; при больших сигналах золотник также может совершить полный ход.

Математически перемещение ничем не ограничено и в случае максимального значения входного сигнала перемещение золотника будет бесконечно большим, что не допустимо. Таким образом, вводится ограничение, но не на перемещение золотника, а на конечное значение величины щелей по обеим сторонам заслонки, тем самым ограничивая перемещение. Такие условия будут иметь следующий вид:

Учет геометрии размера щелей в сопло - заслонке, золотнике.

Функция, описывающая ограничение зазора между заслонкой и соплом (слева):

If h < 0 then Xshi (h) = h0,

Else if h > 0 and h < h0

then Xshi(h) = (ho -h), (!)

Else Xsh\ (h) = 0,

End.

Функция, описывающая ограничение зазора между заслонкой и соплом (справа):

If h < 0 then Xsh\ (h) = ho,

Else if h > 0 and h < ho then X shi (h) = (ho + h),

Else X shi (h) = 2 • ho,

End.

Другими словами, это звучит так - если выполняется условие у < ho , то зазор между заслонкой и соплом с одной стороны, будет равен (h - y), а если это условие не выполняется, то зазор равен нулю. Условие, ограничивающее размер щели с другой стороны, звучит так - если выполняется условие у < h то зазор между заслонкой и соплом с одной стороны будет равен (h + y), а если это условие не выполняется, то зазор равен 2ho.

Условие ограничение размера щели в золотнике

1) If Xsh * °; then 0;

(2)

2) If XSh > X ; (3)

' J Sh max’ v '

then X ;

max

else X .

max

Условие ограничения размера щели в цилин-

дре

i) If Ysh *0;

then 0; else Y,

Sh'

(4)

else X

Sh

2) If Yh > Y ;

Sh max

then Y ;

max

else Y .

max

В пакете MATCAD программный код представляется в виде функций пользователя:

h(y) = if ^ К У, ho) и x(y) = if (y, У, ХтсЛ

которые останавливает заслонку и золотник на

упорах.

Ограничение перемещения (упор). Ограничение перемещения заслонки:

а) If h * 0 then H(h) = 0,

Else if h o andh < h0

then H(h) = h, (5)

Else H(h) = ho,

End.

Ограничение перемещения золотника:

б) If x * 0 then X(x) = 0,

Else if x > o and x < x

max

then X(x) = x, (6)

Else X(x) = x ,

max

End.

Ограничение перемещения поршня:

в) If y * 0 then Y(y) = 0,

Else if y > o and y < y

max

then Y(y) = y, (7)

Else Y(y) = y ,

max

End.

Нелинейное изменение входного сигнала. Функция изменения сигнала управления:

If t < 0 then Tok(t) = 0,

Else if t > o

then TJt) = I • io10 • t2, (8)

Else TJt) = I,

End.

Функция, ограничивающая величину сигнала управления:

If I < I then T (t) = T (t),

J max okmx ' okx

Else T, (t) = I , (9)

okm max

End.

Ограничение величины давления (насыщение по давлению):

e) If p{ * Pi then р(р) = psl.

Else if p. > p andy < Pk

then P(p) = p (10)

Else P(p) = Pk,

End.

Изменение модуля объемной упругости (газо-содержание) по эмпирической формуле [5]: Процесс - адиабатный (n1 = 1.4 )

E (Pi) _-

104

(12)

1 +-1

V,

а _

go

Vco

(11)

-+1

105

E„

1 -

а

- +1

105

где Vgo - объем воздуха, Vco - объем полости;

‘‘т- _ 1 (kFI dt m e

Tok(t) -

koc Y(y)

R

Принимая ряд некоторых допущений, математическая модель с учетом нелинейностей, введенных виде алгоритмических условий, примет следующий вид:

dh

- cъ.H(h) - k3Mn.— -Coc - (X(x) -H(h)) -Fce);

dPl _ E(Pї )

dt Vo + Яз- X(x)

dP2 _ E(P2)

V dr• fdr • J~(Pn - P(Pї )) . sign (Pn - P(Pї ))-

J- dx

- (P(Pt ) - Pen). siSn (P(Pt ) - Рсл )- h .‘‘x

dt Vo - Яз- X(x)

Vdr . fdr . J~(Pn - P(P2 )) . sign(Pn - P(P2 ))-

dvx _ J_ dt mз

dvy _ 1

dt m p

J- —

-(P(P2) - Рсл) .sign (P(P2) - Рсл)+ h .—

dx

Яз. (PP ) - P(P2 )) -Coc . (X(x) + ЩЩ)-ктз . — -Ft

dt

fP (P(P3 ) - P(P4)) - kvp—y - Fa

—Рз _ E(P4)

dt V + fp Y(y)

dP4 _ E(P4 )

dt V - fp Y(y)

\l-b. X sh4 (x) . у - . (Pn - P(P3 )). sign (Pn - P(P3 ))- fp-—f

dy , , . (2

dt

fp ■ -Т-Р-b- Xsh4(x)\\~. (P(P4) - pM ). sign (P(P4) - pra )

dVm _

dt J

Vm (P(P5) - P(P6A - k .‘X-м -м -AM

m dt c p

‘p5 _ E(P5)

dt V2

Фб _ E(P6)

dt V

2-71 T11

Qmax-(zo + Y(y)) - rxoh(y)

zmax 2- Я \ dt

jV^-.—Ї - Q^izo + Y(y))-roh(y)

2 . 7t . T|q —t zmax

где те — масса подвижных частей ЭМП; т3 — масса золотника; к0, к — начальное и текущее значения положения заслонки; кп — коэффициент усиления ЭМП; I — ток управления; Яь — сопротивление катушки; кЭМП , k 3 — соответственно коэффициенты вязкого трения ЭМП и золотника; сЭМП — жесткость ЭМП; кос — коэффициент обратной связи; Е , Е — соответственно силы сухо’ СЄ ’ 02 *

го трения в ЭМП и золотнике; V V V — соответственно суммарные объемы гидравлических

плеч; Ьс — ширина сопла; рк , рсл — соответственно давление питания первого каскада усилителя и давление слива; fdr — площадь нерегулируемого дросселя; хщ1 , хщ2 — размер щелей в золотнике; J — момент инерции на валу гидромотора; к — коэффициент вязкого трения гидромотора; М , М , АМ — соответственно силы трения гидромотора, рабочий момент гидромотора и изменение момента гидромотора; еъ , Сос — соответственно суммарная жесткость ЭМП и обратной связи.

В расчетах приняты следующие исходные данные:

для гидропривода с объемным регулированием и дистанционным управлением:

• общие параметры гидравлической системы:

Е = 2 • 108 Па; т = 0,65;

I = 0,035 А;

тах ’

кос = 625;

р = 785 кг/м3;

Рп = 20 • 106 Па; (14)

Яъ = 300 Ом; р = 0 Па;

сл

• параметры каскада сопло-заслонка: т. = 6,8 • 10-4 кг; сЭМП = 1,7 • 104 Н/м;

с^ = 2,5 • 104 Н/м;

кЭМП = 2 Н • с/м;

ъ = 1 • 103 м;

Сос = 4,6 • 103 Н/м; (15) h0 = 4 • 10-5 м; к т = 40 Н/м;

Е!

• параметры гидроусилителя (золотник-гидроцилиндр):

т3 = 0,02 кг;

2 = 0,014 м;

тах

т = 0,5 кг; р ’

= 0,002 м;

^ = 20 • 10-6 м2;

Гйг = 1,84 • 10-8 м2;

^г = 0,71;

Р0 = 1,75 • 105 Па; У0 = 2 • 10-6 м3;

V = 1 • 103 м3;

/Р = 2,8

Ъ = 3 • 10 3 м;

10-3 м2;

• 10-3 м Е = Е = Е = 0;

се сх С2

ку3 = 5 Н • с/м; V\ = 2 • 10-3 м3; к =1 100 Н • с/м;

ур

(16)

(17)

Параметры гидромотора:

Рс1т = 6-1°5Па;

Мс = 0;

бтах = 002 м3/с;

Мтах = 2290Н-М;

кут = 10 Н-с/м;

00 = 2.86 - 10-^м3/с; J = 0.1 Н-м;

Цд = 085; л мм =09;

Vm = 100-10-4м3

Данные условия является более чем существенным и его в первую очередь следует включать в описание математической модели. В линейном приближении это ограничение учтено быть не может.

Интегрирование этой нелинейной системы может быть выполнено только численными методами. На рис. 3 показаны типовые переходные процессы, полученные методом Рунге-Кутта с числом шагов не менее 10000-50000, с исходными данными описанными выше. Здесь видно. как система, с учетом внесенных ограничений, при максимальном задающем сигнале работает

А,м

■V, ы

у,м

Рис. 3. Переходные процессы системы

.

по упорам. В работу вступают функции пользователя описанные выше.

Таким образом, на примере типового гидропривода показано как, вводя в математическую модель какую либо нелинейность в виде функций пользователя, можно делать эту модель более адекватной по отношению к реальному объекту.

ВЫВОДЫ

Переходу к методу машинной имитации в значительной степени способствует совершенствование аппаратных средств и математического обеспечения, которое приведет к существенному прогрессу в части решений дифференциальных уравнений; тогда даже не очень опытный пользователь с использованием пакетов прикладных программ может решать задачи, которые ранее были доступны лишь опытным программистам.

Модели, рассчитанные методом машиной имитации, должны удовлетворять ряду требований, в частности, не занимать много времени на программирование. Запись имитационных моделей в оперативной форме делает их весьма удобными для программирования на ЭВМ и, кроме того, облегчает разработку специальных языков для реализации этих моделей на ЭВМ [6].

Наряду с достоинствами предлагаемой методики реализации моделей существует ряд трудностей. При решении получаются ряды данных, где нет выражения взаимосвязей свойств и параметров объекта в аналитической замкнутой форме. При их использовании объекты, характеризуемые непрерывными моделями необходимо представить в виде дискретного вычислительного процесса, что обуславливает появление дополнительных погрешностей и информационных шумов самой вычислительной среды. Все это приводит к практической невозможности обобщения численных расчетов и опасности получения трудно интерпретируемых решений.

Но, несмотря на такие существенные недостатки, можно утверждать, что метод машинной имитации на данный момент является наиболее перспективным в плане исследования и конструирования гидромеханических систем. К тому же существует ряд предложений по снижению количества таких недостатков в алгоритмических

моделях реализованных методом машинной имитации. Одним из таких предложений является применение перехода от первоначальных переменных к обобщенным переменным.

Применяя методику алгоритмического моделирования, можно получить результаты ни чем не уступающие линейным методам. Кроме того, благодаря этому методу появляется возможность решения более сложных задач. Полученные результаты в обобщенном виде позволяют исследовать внутреннею структуру исследуемого объекта, чего не делалось ранее [1]. Данный подход можно применить к моделированию систем любой сложности. Появляется возможность решения существенно-нелинейных задач с построением большого числа характеристик, определяющих структуру объекта. Это позволит получить громадное количество информации об исследуемом объекте.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cунарчин Р. А. Выбор параметров гидромеханических регуляторов авиационных двигателей. Анализ и синтез гидромеханических регуляторов. Учебное пособие / Уфа: УГАТУ 2005.87 с.

2. Петров П. В, Коева А. А., Целищев В. А., Су-нарчин Р. А. Влияние нерастворенного воздуха на рабочие характеристики гидромеханического привода ЛА / Вестник УГАТУ Уфа. Т. 14, № 1 (36), 2010.

3. Алексанкин Я. Я., Бржозовский А. Э., жданов В. А. и др. Автоматизированное проектирование систем автоматического управления / под ред. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1990. 332 с.

5. Цуханова Е. А. Динамический синтез дроссельных управляющих устройств гидроприводов. М.: Наука, 1978.

4. Петров П. В, Целищев В. А., Сунарчин Р. А.

Технология проведения вычислительного эксперимента применительно к гидромеханическому следящему приводу // Вестник УГАТУ Т. 10, №1 (26), 2008.

6. Петров П. В, Коева А. А., Целищев В. А. Автоматизация численного моделирования гидромеханических регуляторов двигателей летательных аппаратов // Вестник УГАТУ Уфа. Т. 15, № 4 (44), 2011.

ОБ АВТОРЕ

Петров Павел Валерьевич, доцент каф. приклад. гидро. мех. Дипл. магистра (УГАТУ, 2006). Канд. техн. наук по гидравл. маш. и гидропневмо агрегаты (УГАТУ, 2009). Иссл. в обл. систем автоматики летательных аппаратов.