CC BY
14
УДК 514.18: 37.02
ПРИНЦИП ВАРИАТИВНОСТИ ПРИ ОБУЧЕНИИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В Г. Середа, А Ю. Бут
THE PRINCIPLE OF VARIABILITY IN TEACHING DESCRIPTIVE GEOMETRY
V.G. Sereda, A.Yu. But
Аннотация. Работа посвящена вариативному подходу к решению задач начертательной геометрии. Рассматривается использование принципа вариативности на примере решения задачи по построению проекций отрезка прямой общего положения, заданной точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Рассматриваются два принципиально разные варианта решения. В основе первого лежит представление искомой прямой как составляющей объёмных геометрических тел - конуса и сферы. Определённое их взаимное и пространственное расположение обеспечивают необходимое позиционирование указанной прямой линии. Второй вариант предполагает использование классического правила прямоугольного треугольника, в частности, взаимозависимостей соотношений его элементов с параметрами описанной окружности. Приводятся 3Б-модели, как способ визуализации решения задачи, созданные средствами компьютерной графики. Отмечается важность визуализации и сопоставления различных вариантов решения задач для развития профессиональных навыков обучающихся.
Ключевые слова: начертательная геометрия; проекция; чертеж; модель; вариативность, визуализация.
Abstract: The work is devoted to a variative approach to solving descriptive geometry problems. The use of the principle of variability is considered on the example of solving the problem of constructing projections of a segment of a straight line in general position given by a point and angles of inclination to the projection planes. Two fundamentally different solutions are being considered. The first is based on the representation of the desired straight line as a component of volumetric geometric bodies - a cone and a sphere. Their defined mutual and spatial arrangement provide the necessary positioning of the specified straight line. The second option involves the use of the classical rule of a right-angled triangle, in particular, the interdependence of the ratios of its elements with the parameters of the circumscribed circle. 3D models are given as a way to visualize the solution of a problem created by computer graphics. The importance of visualization and comparison of various options for solving problems for the development of professional skills of students is noted.
Key words: descriptive geometry; projection; drawing; model; variability, visualization.
«Всякая хорошо решенная математическая задача доставляет умственное наслаждение...».
Г. Гессе
Важным признаком творческого мышления является вариативность. Современные образовательные стандарты нацелены на вариативность обучения. В начертательной геометрии изучаются различные способы решения геометрических задач на чертеже [1-3]. Почти все задачи из курса начертательной геометрии могут быть решены несколькими способами, то есть имеют вариативность решения. Многообразие способов решения порождает большое количество операций, как в пространстве, так и на чертеже, с помощью которых строятся алгоритмы решения [4, 5]. Принцип вариативности предполагает развитие
http://vestnik
;-nauki.ru
ISSN 2413-9858
у обучающихся понимания возможности применения различных подходов и способов решения задачи для выбора оптимального варианта.
Однако в практике учебного процесса уже десятилетиями устоялись базовые рабочие программы с перечнем необходимого минимума рассматриваемых тем и классов задач для их освоения, которые незначительно варьируются в разных учебных заведениях. В результате студентов обучают только типовым и, зачастую, наиболее простым вариантам решения задач каждого класса. Такая практика, фактически, подталкивает обучающихся к «механическому» заучиванию материала, выполнению типовых действий по образцам -примерам, не побуждая к рассуждениям и поиску собственных оригинальных решений каждой задачи. При этом образовательные и развивающие возможности дисциплины «Начертательная геометрия» в значительной мере сужаются.
Данная проблема является особенно актуальной в условиях повсеместного сокращения количества часов на изучение этой дисциплины [6].
В работах [1-3] и других, вариативность решения задач подразумевается, поскольку является неотъемлемой частью научного подхода к изучению начертательной геометрии, но не акцентируется. При этом встречается ограниченное количество источников, в которых вариативность рассматривается с методической точки зрения, выделяются аспекты и особенности такого подхода, приводятся примеры. Так, изучению вариативности посвящена работа [7]. В ней рассматриваются различные способы решения позиционных задач с использованием параллельного или центрального проецирования. Также вариативность упоминается в работе [8], как часть методологии общей теории решения задач применительно к начертательной геометрии. Однако никаких пояснений не приводится. В работе [9] автором рассматривается вариативность мышления в теории и практике психологии: подчеркивается важность этого принципа в процессе творчества, приводятся ключевые особенности вариативного подхода, индикаторы вариативности мышления, озвучиваются проблемы выявления особенностей развития и формирования вариативности мышления и отсутствия исследований развития вариативности в процессе обучения в высшей школе.
Таким образом, тема вариативности решения задач в курсе начертательной геометрии является малоизученной в контексте методики преподавания данной дисциплины и, следовательно, требует дополнительного освещения.
Цель работы - акцентировать внимание будущих инженеров на вариативном подходе к решению задач, как факторе формирования конкурентно-способного специалиста.
В качестве примера рассмотрим известную задачу. Построить на комплексном чертеже проекции отрезка прямой линии, проходящей через заданную точку А и составляющей с горизонтальной плоскостью проекций угол а, а с фронтальной плоскостью проекций угол р.
Рассмотрим некоторые варианты решения этой задачи. Для краткости изложения алгоритма решения задачи будем формулировать его в свернутом виде на языке геометрической модели, как некоторой последовательности геометрических операций выполняемых в пространстве, приводящих к искомому решению.
Вариант 1 (рис. 1). Известно, что все прямые, проходящие через заданную точку под некоторым углом к плоскости проекций образуют конус. Следовательно, из общей вершины (заданной точки А) можно построить два вспомогательных конуса, образующие которых составят заданные углы а и в с соответствующими плоскостями проекций (горизонтальной и фронтальной). По свойству прямой общего положения сумма углов а+в должна быть меньше 90 градусов. При этом два конуса с общей вершиной и взаимно перпендикулярными осями пересекаются по двум образующим, которые и определяют положения искомого отрезка, наклоненного к плоскостям проекций с заданными углами. Точки пересечения окружностей оснований конусов (при равной длине образующих двух конусов) лежат на поверхности шара, центр которого находится в точке А, а радиус равен величине отрезка АВ. Кроме
построенных двух отрезков можно построить еще два аналогичных отрезка для углов, накрест лежащих с углами а и р. При решении этой задачи использован способ вращения вокруг проецирующей прямой.
Рисунок 1 - Первый вариант решения задачи: а) чертёж; б) модель
По сути, решение задачи свелось к построению четырех положений прямой, как результат пересечения двух конусов со сферой. Если а+Р=90°, то два конуса касаются друг друга по одной общей образующей. В этом случае искомый отрезок будет представлять собой отрезок профильной прямой. Если а+Р>90°, требуемый отрезок построить нельзя, так как в этом случае вспомогательные конусы, кроме вершины не имеют общих точек.
Для определения положения искомого отрезка, наклоненного к плоскостям проекций с заданными углами, достаточно построить две проекции четверти одного конуса и одну проекцию четверти второго конуса, при этом можно совместить обе проекции точки А, что упростит построение равных образующих.
Вариант 2 (рис. 2). При решении данной задачи воспользуемся правилом прямоугольного треугольника. Зная размеры отрезка АВ и углы а и Р можно построить в окружности два прямоугольных треугольника ABC и ABD с общей гипотенузой АВ (равной заданной длине отрезка). Тогда АС равно горизонтальной проекции А1В1 отрезка АВ, а AD равно фронтальной проекции А^2 этого отрезка. Другие два катета этих треугольников равны разности расстояний проекций концов отрезка до оси Х, а именно BD равно разности расстояния концов горизонтальной проекции до оси Х, а ВС - разности расстояний концов фронтальной проекции отрезка. Дальнейшие построения ясны из рис. 2. При этом отметим, что через точку А можно провести две восходящие и две нисходящие прямые, образующие с плоскостями проекций заданные углы.
Полученные решения на чертеже позволяют перейти к аналитическому решению задачи [10]. При этом формулы и уравнения можно получить на основании чертежа. Сочетание наглядного графического и точного аналитического решения задачи позволяет осуществить взаимный контроль полученных результатов, а также показать междисциплинарную связь начертательной и аналитической геометрии.
Вариативность проявляется не только в многообразиях решения задач, но и при отборе задач для дифференциации обучения. В нашем случае рассмотренная задача лежит в основе решения, например таких задач:
- построить проекции плоскости, проходящей через точку А и составляющей с плоскостями проекций углы а и Р;
- построить проекции поверхности с осью, наклоненной к плоскостям проекций под углами а и Р;
http://vestnik
;-nauki.ru
ISSN 2413-9858
- построить проекции прямой линии, наклоненной к плоскостям проекций под углами а и в на расстоянии Я.! от точки А и на расстоянии Я2 от точки В.
Для реализации технической идеи инженер должен не только знать теоретические основы построения изображений, но и уметь визуализировать их. На рис. 1 и 2 помимо графического представления вариантов решения задачи приведены ЭБ-модели, построенные в системе автоматизированного проектирования «T-FLEX CAD». Практика преподавания авторами дисциплин «Начертательная геометрия», «Геометрическое проектирование и моделирование в инженерии» в Севастопольском государственном университете (г. Севастополь) показывает, что использование подобных моделей, благодаря наглядности, возможности создания и редактирования в реальном времени, облегчает понимание задачи, помогает поиску вариантов решения и в целом активизирует процесс обучения.
Заключение
Итак, в процессе обучения начертательной геометрии целесообразно:
- рассматривать различные варианты решения задач;
- понимать логику решения задачи разными способами;
- использовать визуализацию;
- сопоставлять разные решения и выявлять оптимальное.
Сопоставление различных вариантов решения задач, в том числе с использованием визуализации, создаёт предпосылки к формированию креативного мышления, комбинаторных способностей и мотивации студентов к обучению.
1. Гордон В.О., Иванов Ю.Б., Солнцева Т.А. Сборник задач по начертательной геометрии. Москва: «Наука», 1969. 352 с.
2. Зеленин Е.В. Курс начертательной геометрии с задачами и упражнениями. Москва: ГИФМЛ, 1959. 386 с.
3. Локтев О.В., Числов П. А. Задачник по начертательной геометрии; учебное пособие для втузов. Москва: Высшая школа, 1977. 103 с.
4. Классификация задач начертательной геометрии и примеры их решения: Методические указания / Разраб. В.Г. Середа. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2002. 28 с.
а)
б)
Рисунок 2 - Второй вариант решения задачи: а) чертёж; б) модель
ЛИТЕРАТУРА
5. Середа В.Г., Медведь А.Ф. Начертательная геометрия. Практикум для студентов: учебное пособие. Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2007. 121 с.
6. Полубинская Л.Г., Хуснетдинов Т.Р., Федоренков А.П. Начертательная геометрия как средство коммуникации // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. Материалы VIII Международной научно-практической интернет-конференции. Вып. 5. (Пермь, февраль-март 2019). С. 270 - 287.
7. Глазунов К.О., Лызлов А.Н. Вариативность решения задач начертательной геометрии // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. - Материалы IV Международной научно-практической интернет-конференции. Вып. 3. (Пермь, февраль-март 2016). С. 200 - 209.
8. Власов В.В. Хрящев В.Г., Горячкина А.Ю Общая теория решения задач применительно к начертательной геометрии // Педагогика. Вопросы теории и практики, 2018. № 2. C. 9-16.
9. Кудусова Э.Н. Вариативность в структуре творческого мышления // Проблеми сучасно'1 педагопчно!' осв^и. Педагопка i психология. 2013. Вип. 38(2). С. 43 - 50. [Электронный ресурс]. URL: http://nbuv.gov.ua/UJRN/pspo 2013 38(2) 8.
10 Пошехонов Б.Л. Графо-аналитическая геометрия в применении к оптическим задачам. Ленинград: «Машиностроение», 1967. 158 с.
REFERENCES
1. Gordon V.O., Ivanov Yu.B., Solnceva T.A. Sbornik zadach po nachertatel'noj geometrii [Collection of problems in descriptive geometry]. Moscow: Nauka, 1969. 352 p.
2. Zelenin E.V. Kurs nachertatel'noj geometrii s zadachami i uprazhneniyami [Descriptive geometry course with tasks and exercises]. Moscow: GIFML, 1959. 386 p.
3. Loktev O.V., Chislov P.A. Zadachnikpo nachertatel'noj geometrii. Ucheb. posobie dlya vtuzov [Descriptive geometry problem book. Textbook allowance for technical colleges]. Moscow: Vysshaya shkola, 1977. 103 p.
4. Klassifikaciya zadach nachertatel'noj geometrii i primery ih resheniya [Classification of descriptive geometry problems and examples of their solution]: Metod. ukazaniya / V.G. Sereda. -Sevastopol': Izd.-vo SevNTU, 2002. 28 p.
5. Sereda V.G., Medved' A.F. Nachertatel'naya geometriya. Praktikum dlya studentov: Ucheb. posobie [Descriptive geometry. Workshop for students]. Sevastopol': SevNTU, 2007. 121 p.
6. Polubinskaya L.G., Husnetdinov T.R., Fedorenkov A.P. Nachertatel'naya geometriya kak sredstvo kommunikacii [Descriptive geometry as a means of communication]. Problemy kachestva graficheskoj podgotovki studentov v tekhnicheskom vuze: tradicii i innovacii. Materialy VIII Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj internet-konferencii. V 5. (Perm', fevral'-mart 2019), pp. 270 - 287.
7. Glazunov K.O., Lyzlov A.N. Variativnost' resheniya zadach nachertatel'noj geometrii [Variability of solving descriptive geometry problems]. Problemy kachestva graficheskoj podgotovki studentov v tekhnicheskom vuze: tradicii i innovacii. Mater ialy IV Mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj internet-konferencii. V. 3. (Perm', fevral'-mart 2016), pp. 200-209.
8. Vlasov V.V., Hryashchev V.G., Goryachkina A.Yu. Obshchaya teoriya resheniya zadach primenitel'no k nachertatel'noj geometrii [General theory of problem solving as applied to descriptive geometry]. Pedagogika. Voprosy teorii ipraktiki. 2018. No 2, pp. 9-16.
9. Kudusova E.N. Variativnost' v strukture tvorcheskogo myshleniya [Variability in the structure of creative thinking] Problemi suchasnoipedagogichnoi osviti. Pedagogika i psihologiya. 2013. Issue 38(2), pp. 43 - 50. Available at: http://nbuv.gov.ua/UJRN/pspo_2013_38(2)__8.
10. Poshekhonov B.L. Grafo-analiticheskaya geometriya v primenenii k opticheskim zadacham [Graph-analytic geometry as applied to optical problems]. Leningrad: Mashinostroenie, 1967. 158 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Середа Владимир Григорьевич Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия, Кандидат технических наук, доцент, старший научный сотрудник, E-mail: aderes57v@mail.ru
Sereda Vladimir Grigorievich Sevastopol State University, Sevastopol, Russia, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Senior Researcher,
E-mail: aderes57v@mail.ru
Бут Александр Юрьевич Севастопольский государственный университет, Севастополь, Россия, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика,
E-mail: butalexandr@rambler.ru
But Alexander Yuryevich Sevastopol State University, Sevastopol, Russia, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department Descriptive Geometry, Engineering and Computer Graphics, E-mail: butalexandr@rambler.ru
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 299015, Севастополь, ул. Курчатова, 7, СевГУ, каб. 423 Бут А.Ю.
+7(978)0806346
