CC BY
65
Оригинальная статья / Original article УДК 624.04; 539.3
DOI: 10.21285/2227-2917-2016-4-75-83
ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА И СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
© Ю.Б. Гольдштейн
Резюме. Цель. Анализ результатов дискуссии о корректности использования принципа Сен-Венана при расчете тонкостенных стержней по теории В.З. Власова. Результаты и их обсуждение. Обсуждается попавшая во многие известные учебники по сопротивлению материалов негативная точка зрения на использование принципа Сен-Венана при решении задач стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля. Данная точка зрения возникла в середине прошлого века, т.е. тогда, когда теорию В.З. Власова еще предстояло осмыслить. Показывается, что сегодня от этой точки зрения следует отказаться, не забывая в то же время о специфической роли бимомента. Выводы. Подвергать сомнению возможность использования принципа Сен-Венана при обращении к теории В.З. Власова нелогично, так как на этом принципе данная теория и держится. Однако при решении задач стесненного кручения нужно аккуратно ставить граничные условия.
Ключевые слова: стесненное кручение, принцип Сен-Венана, тонкостенный стержень, открытый профиль, бимомент.
Формат цитирования: Гольдштейн Ю.Б. Принцип Сен-Венана и стесненное кручение тонкостенных стержней открытого профиля // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2016. № 4 (19). С. 75-83. DOI: 10.21285/2227-2917-2016-4-75-83
SAINT VENANT PRINCIPLE AND CONSTRAINED TORSION OF THIN-WALL BARS
OF THE OPEN PROFILE
© Yu.B. Goldshtein
Abstract. Purpose. Analysis of the discussion results about the accuracy to use the principle of Saint Venant during the calculation of thin-wall bars according to the theory of B.Z.Vlasov. Results and their discussions. We discuss the negative point of view to use the principle of Saint Venant during the solution of tasks of constrained torsion of the open profile. This point of view is in many famous books about strength of materials and it appeared in the middle of the previous century, that is in the period of time when the theory of Vlasov needed to be thought over. It is shown that it is better to refuse this point of view and at the same time not to forget the role of a bimoment. Conclusions. It is illogical to discredit the possibility to use the principle of Saint Venant when we apply to the theory of Vlasov, because this theory is based particularly on this principle. But during the solution of the tasks of constrained torsion it is necessary to implement boundary conditions.
Keywords: constrained torsion, principle of Saint Venant, thin-wall bar, open profile, bimoment
For citation: Goldshtein Yu.B. Saint Venant principle and constrained torsion of thin-wall bars of the open profile. Izvestiya vuzov. Investitsii. Stroitel'stvo. Nedvizhimost' [Proceedings of Universities. Investments. Construction. Real estate], 2016, no. 4 (19), pp. 75-83. (In Russian) DOI: 10.21285/2227-2917-2016-4-75-83
Введение
В первой половине прошлого века В.З. Власов предложил теорию, позволяющую описать деформацию стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля. В ходе решения задачи интегрируется некоторое дифференциальное уравнение при смягченных краевых условиях. Это можно сделать лишь при обращении к принципу Сен-Венана. Однако сразу же после обнародования теории В.З. Власова в печати стали появляться статьи, в которых возможность использования указанного принципа в задачах стесненного кручения ставилась под сомнение. Такая точка зрения получила поддержку и в весьма авторитетной учебной литературе. О принципе Сен-Венана говорилось как об инструменте, на который при решении задач стесненного кручения вообще нельзя опираться, а если уж прибегать к его помощи, то делать это нужно с большой осторожностью. Налицо противоречие, разобраться с которым и поставил своей целью автор настоящей работы.
Результаты и их обсуждение
В обзорной статье Я.Г. Пановко и Е.А. Бейлина, опубликованной в 1969 году, говорится о том, что «...в связи со становлением теории тонкостенных стержней оживленно обсуждался вопрос о применимости принципа Сен-Венана» [1, с. 78]. Обсуждение действительно было оживленным, а породили его следующие слова В.З. Власова - создателя теории стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля: «...Согласно принципу Сен-Венана напряжения, вызванные уравновешенной (в сечении) внешней нагрузкой, носят местный характер и быстро затухают по мере удаления от места приложения этой нагрузки. Это утверждение несправедливо в отношении тонкостенных стержней... В применении к тонкостенным стержням, имеющим в сечении неизменяемый открытый профиль (и вообще к оболочкам), принцип Сен-Венана практически не соблюдается и имеет ограниченную область применения» [2, с. 78]1.
Ясно, что будь эти тезисы абсолютно неуязвимы, то никакой дискуссии не было бы. Поэтому имеет смысл напомнить более строгую, чем только что процитированная, формулировку обсуждаемого принципа: «Пусть на части поверхности тела, малой по сравнению со всей поверхностью, действует как-то распределенная нагрузка. Пусть на той же самой малой части поверхности действует другое распределение нагрузок, статически эквивалентное первому. Статическая эквивалентность понимается здесь в смысле совпадения главного вектора и главного момента для двух распределений нагрузок. Принцип Сен-Венана гласит, что деформации и напряжения, вызванные этими распределениями нагрузок, мало отличаются в точках, достаточно удаленных от области приложения нагрузок» [3, с. 295].
А вот формулировка А. Лява, известная как суженный принцип Сен-Венана: «Если силы, действующие на малую часть поверхности тела, эквивалентны нулевой силе и нулевому моменту, то напряжения уменьшаются с удалением от места приложения нагрузки и пренебрежимы на расстояниях, значительных по сравнению с линейным размером нагруженной части тела» [3, с. 296].
Разница между формулировками А. Лява и В.З. Власова заключается в том, что А. Ляв говорит о малости загружаемой части поверхности тела, не уточняя, что под этим понимается, а В.З. Власов утверждает, что малой частью таковой является все поперечное сечение. Такое утверждение выглядит сомнительным, на что и указал В.В. Новожилов: «...Этот принцип утверждает, что если некоторая совокупность внешних сил, действующих на малой площадке поверхности тела, будет заменена другой системой внешних сил, статически эквивалентной предыдущей и распределенной на том же элементе поверхности тела, то эффект этих различных нагрузок будет (на достаточном удалении от места приложения сил) одинаковым, т.е. поля напряжений, соответствующие данным двум нагрузкам, будут отличаться друг от друга только в непосредственной близости от района действия сил. При этом под термином "малая площадка" следует понимать площадку пренебрежимо малую по сравнению со всей площадью тела. Кроме того, наибольший ее
линейный размер не должен существенно превосходить наименьшего характерного размера тела: толщины - если речь идет о пластине или оболочке; наименьшего размера профиля - если речь идет о стержне» [4, с. 237]. Позиция В.В. Новожилова представляется более взвешенной, и если ее занять, то следует признать малой частью поверхности тела только такую ее часть, чья площадь имеет порядок ô2. Под ô понимается толщина скорлупы тонкостенного сечения.
Однако авторитет В.З. Власова, автора одной из наиболее конструктивных и изящных теорий 20-го века в области механики твердого деформируемого тела, был настолько велик, что в ходе развязавшейся полемики на его стороне оказалось большинство ее участников. В их число попали и многие авторы известнейших учебников по сопротивлению материалов, издаваемых (и переиздаваемых!) в 40-70 годы прошлого века. Перечислим несколько цитат.
«Для нагрузок, приложенных в концевых сечениях тонкостенных стержней, принцип Сен-Венана, вообще говоря, неприменим» [5, с. 318].
«Для тонкостенных стержней, когда один поперечный размер значительно больше другого, оценки относительных порядков величин нормальных и касательных напряжений перестают быть справедливыми, гипотеза плоских сечений теряет силу и принцип Сен-Венана становится неприменимым» [6, с. 223].
Были и менее радикальные точки зрения, слегка реабилитирующие обсуждаемый принцип.
«В общепринятом понимании принцип Сен-Венана предполагает экспоненциальный характер затухания напряжений, вызванных нагрузками, статически эквивалентными нулю. С этой точки зрения линейный характер убывания напряжений нужно рассматривать как нарушение принципа Сен-Венана» [7, с. 96].
«Этот пример показывает, что применение принципа Сен-Венана к тонкостенным конструкциям требует большой осторожности» [8, с. 258].
«Вместе с тем, несмотря на указанное сходство с брусом, тонкостенный стержень в силу геометрических соотношений обнаруживает свойства, существенно отличающие его от стержней сплошного сечения. Так, в частности, к тонкостенным стержням не всегда применим принцип Сен-Венана» [9, с. 325].
«Отметим, что в задаче расчета тонкостенных стержней возможность применения принципа Сен-Венана требует дополнительного обоснования» [10, с. 13].
Напрямую позиция В.З. Власова не оспаривалась, но любопытно, что далеко не все общепризнанные специалисты в обсуждаемой области высказали свою точку зрения публично. В частности, не сделал этого Д.В. Бычков ни в своем многостраничном опусе, посвященном теоретическим и экспериментальным исследованиям тонкостенных стержней [11], ни в своих других монографиях и статьях. Но именно ему принадлежат слова о том, что в 1953 году «...вышло в свет восьмое издание учебника "Сопротивление материалов" Н.И. Беляева, в котором была напечатана новая глава о расчете тонкостенных стержней, написанная доцентом Я.И. Кипнесом. Этот раздел написан на исключительно высоком педагогическом уровне и достаточно подробно для учебника» [11, с. 8]. А ведь учебник Н.И. Беляева, пожалуй, единственный, в котором о принципе Сен-Венана не сказано ни слова.
Ознакомившийся с обсуждаемым вопросом по названным выше учебникам читатель должен был бы прийти к выводу, что при решении задач стесненного кручения принципом Сен-Венана либо вообще нельзя пользоваться, либо если уж обращаться к нему, то делать это нужно с большой осторожностью. Правда, имелось одно «но»: в цитированной выше литературе вообще не упоминалось о том, зачем при решении задачи о напряженно-деформированном состоянии тонкостенного стержня надо обращаться к принципу Сен-Венана, и не приводились примеры, противопоставляющие осторожный и неосторожный подходы к его использованию.
При рассмотрении деформации стесненного кручения на принцип Сен-Венана приходится опираться в двух случаях: при преобразовании внешних сил и при постановке граничных условий. Так это и делается, но, как правило, по умолчанию. В частности, в ходе доказательства возникновения бимомента при внецентренном сжатии тонкостенного стержня осуществляется параллельный перенос силы и вектора пары сил. Эта операция корректна лишь при условии, что зоны местных напряжений остаются локальными. Кроме того, при решении определяющего дифференциального уравнения стесненного кручения приходится иметь дело с граничными условиями задачи. Они ставятся в смягченной форме, т.е. ограничиваются усилия и перемещения, а не напряжения и деформации. В обоих случаях корректность операций обеспечивается соблюдением принципа Сен-Венана. Этим вышеупомянутое «умолчание» и объясняется: ссылаться на только что «низвергнутый» принцип не так-то просто.
Деформация стесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля совсем не проста, в середине прошлого века ее только начинали осмысливать, и упоминаемая в статье [1] дискуссия во многом такому осмысливанию способствовала. Да и участники дискуссии со временем корректировали свою точку зрения. Выше приводилось высказывание Ю.Н. Работнова из учебника 1962 года [6], нелестное по отношению к принципу Сен-Венана. Через 17 лет он уже не был столь категоричным: «Для тонкостенных стержней оценка области концевого эффекта оказывается иной. Дело в том, что, кроме малого параметра R/b, появляется второй малый параметр 8Ш, и простые соображения размерности оказываются не действительными для того, чтобы выяснить истинное положение дел» [12, с. 327].
О принципе Сен-Венана здесь уже прямого упоминания нет, но знаменательно, что еще в 1962 году Ю.Н. Работнов «истинное положение дел» представлял вполне отчетливо. На с. 223 своего учебника он к мнению В.З. Власова присоединяется, а на с. 237 высказывает мысль, полностью расставляющую в этом вопросе все точки над «Ь>: «Желая рассчитать тонкостенный стержень, нагруженный системой сил на торце, мы должны определить не только главный вектор и главный момент этих сил, но также и бимомент. Эквивалентными по отношению к изгибу будут также системы сил, у которых равны главные векторы, главные моменты и бимоменты» [6, с. 237].
Итак, на первое место выходит бимомент. Его, как и бипару, к малой области поперечного сечения отнести нельзя. Только ко всему сечению. Обнаружилось, что бимомент обладает свойством, которое можно назвать дальнодействием, а именно влияние бипары распространяется вглубь стержня довольно далеко от места своего приложения. Но если это так, то и вопрос о локализации зон местных деформаций надо было ставить, обращаясь непосредственно к принципу Сен-Венана, а не к его смягченной формулировке, предложенной А. Лявом. Другими словами, следовало выяснить, как влияет способ реализации торцевой бипары (бимомента) на напряжения и деформации, действующие на достаточном удалении от загруженного торца. И такой вопрос был поставлен А.В. Александровым (1967) и М.Н. Заксом (1967). По этому поводу в уже упоминавшемся обзоре Я.Г. Пановко и Е.А. Бейлина сказано следующее: «В недавнее время А.В. Александров и М.Н. Закс с помощью уточненных решений установили, что отклонения от закона секториальных площадей носят сугубо местный характер и локализуются вблизи зон с особенностями нагрузки» [1, с. 78]. Этими словами Я.Г. Пановко дал понять, что он изменил свое мнение о нарушении принципа Сен-Венана в той самой задаче, которая им вместе с Г.Ю. Джанелидзе решалась почти 20 лет тому назад [7].
Две возможности корректного преобразования заданной нагрузки, прикладываемой к торцу тонкостенного стержня открытого профиля, демонстрирует рис. 1.
Рис. 1. Приведение торцевой нагрузки к эквивалентной Fig. 1. Reduction of end load to equivalent
Однако осмотрительность при решении задач стесненного кручения лишней не будет. Приводимые ниже примеры это обстоятельство демонстрируют. На рис. 2, а изображена консоль, в середине вылета которой приложен крутящий момент. При расчете этой конструкции может возникнуть соблазн облегчить себе вычисления, поступив так, как и следовало бы поступить, будь стержень не тонкостенным, а массивным.
Рис. 2. К задаче о стесненном кручении консоли сосредоточенным моментом:
а - заданная конструкция, б - результаты некорректного решения, в - результаты
корректного решения Fig. 2. To the target about constrained torsion of a console by a concentrated moment:
а - given construction, б -results oof a wrong solution, в - results to the correct decision
А именно - отбросить правую половинку стержня и после завершения расчета принять все усилия в правой части нулевыми, а углы закручивания ее поперечных сечений одинаковыми, равными углу поворота центрального сечения. На рис. 2, б результаты такого решения представлены. Через Мх, Мщ и Ыкр обозначены момент свободного кручения, изгибно-крутильный момент и полный крутящий момент соответственно. Остальные обозначения традиционные. Конкретные значения параметра а и размера I были взяты для того, чтобы представить эпюры угла поворота 3 и усилий как можно более наглядно.
Рядом, а именно на рис. 2, в, приведены результаты правильного решения задачи. Видно, что перемещения и усилия на левой части консоли несколько изменились, так, би-момент в заделке уменьшился примерно на 10 %, стал поменьше угол закручивания центрального сечения. Обнаруживается, что усилия в правой части конструкции вовсе не нулевые и что не равны нулю касательные напряжения даже и на торце консоли. И в самом деле, хотя моменты Мх и Мщ на свободном торце консоли и уравновешивают друг друга, порождаемые ими касательные напряжения, будучи распределенными в сечении по различным законам, компенсировать друг друга не могут. Но особенно большой получается разница в значениях угла закручивания концевого сечения. Если этому обстоятельству не придавать значения, то можно сказать, что упрощенному решению допустимо придать статус приближенного решения, и отметить, что оно идет в запас прочности.
Второй пример посвящен определению усилий стесненного кручения и угла закручивания 3 незакрепленного тонкостенного стержня открытого профиля, загруженного бипарой на правом конце. На рис. 3, а изображена ось этого бруса и указаны граничные условия, используемые для решения задачи. Результаты приведены на рис. 3, б. И здесь деформациями и напряжениями охвачено все тело бруса, а компенсирующие друг друга усилия Мх и Мщ всюду отличны от нуля. Следовательно, касательные напряжения теоретически отличны от нуля и на свободном торце стержня.
Рис. 3. Усилия в незакрепленном стержне, загруженном бипарой на одном торце:
а - заданная конструкция, б - результаты решения задачи Fig. 3. Efforts in a loose bar, loaded by a bipair at one end: а - given construction, б- results
of the solution of the task
Что в данном случае можно сказать о принципе Сен-Венана, особенно если взглянуть на стержень со стороны свободного торца? Там нет абсолютно никакой нагрузки, а усилия по мере удаления от него только возрастают! Вполне можно прийти к выводу, что принцип Сен-Венана здесь нарушен. Но, с другой стороны, граничные условия задачи ставились в смягченной форме, т.е. в предположении, что принцип Сен-Венана справедлив. Однако ничего парадоксального в этом нет. Со свободного конца смотреть на стержень не стоит, так как там нет нагрузки, а значит, и зоны местных напряжений нет. А на другом торце действует бипара, при оценке влияния которой как раз и нужно пользоваться принципом Сен-Венана, но только в его собственной формулировке, а не в формулировке А. Лява. Можно также обратить внимание на характер дальнодействия бимомента.
Он не такой, как, например, у силы, сжимающей стойку, но очень напоминает характер затухания деформаций и напряжений в полупространстве и в полуплоскости, загруженных на границе сосредоточенной силой.
Итак, вопрос о корректности использования принципа Сен-Венана при решении задач стесненного кручения не сходил со страниц отечественной специальной и учебной литературы в течение многих десятилетий. В приводимом ниже библиографическом списке самым ранним является издание 1948 года, а самым поздним - 1995 года. Параллельно с этим и независимо от этого успешно ставились и решались все новые и новые задачи, так что на «практическую» сторону дела проходящая дискуссия нисколько не влияла. Однако она способствовала более глубокому пониманию изучаемой деформации. И хотя многое стало ясным, одна из важнейших проблем стесненного кручения так и не была решена. В цитированном выше обзоре имеется сноска, эту проблему озвучивающая: «К сожалению, в работах, относящихся к системам из тонкостенных стержней, до сих пор не удалось преодолеть специфическую трудность, состоящую в неопределенности условий сопряжения, относящихся к депланации в узловых сечениях» [1, с. 77]. Эта трудность не преодолена и сегодня. Рассчитать систему из многих тонкостенных элементов, трактуемых как стержни, а не как складчатые оболочки, не удается. Отдельные небольшие и несложные задачи не стоит учитывать, их умел решать еще Д.В. Бычков [11]. Правда, в последнее время стали появляться публикации, в которых говорится о возможности расчетов на основе стержневой модели. Однако в этих публикациях теоретические построения подтверждающими примерами не сопровождаются.
Выводы
Таким образом, подвергать сомнению возможность использования принципа Сен-Венана при обращении к теории В.З. Власова нелогично, так как на этом принципе обсуждаемая теория и держится. Однако при решении задач стесненного кручения нужно аккуратно ставить граничные условия и тщательно анализировать результаты.
Примечания
1Первое издание этой книги вышло в 1940 году.
2Имеется в виду пример из книги В.З. Власова [2], воспроизведенный и в учебнике [8].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пановко Я.Г., Бейлин Е.А. Тонкостенные стержни и системы, составленные из тонкостенных стержней // Строительная механика в СССР, 1917-1967 / под. ред. И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1967. С. 75-98.
2. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Физматгиз, 1959. 576 с.
3. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
4. Новожилов В.В. Теория упругости. М.: Судпромгиз, 1958. 372 с.
5. Гастев В.А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Наука, 1977. 456 с.
6. Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. М.: Физматиздат, 1962. 456 с.
7. Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 208 с.
8. Филоненко-Бородич М.М., Изюмов С.М., Олисов Б.А., Кудрявцев И.Н., Мальги-нов Л.И. Курс сопротивления материалов. Ч. II. М.: Гостехиздат, 1956. 540 с.
9. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1970. 544 с.
10. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Изд-во АСВ, 1995. 572 с.
11. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М.: Госстройиздат, 1962. 476 с.
12. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.
744 с.
REFERENCES
1. Panovko Ya.G., Beilin E.A. Tonkostennye sterzhni i sistemy, sostavlennye iz tonko-stennykh sterzhnei [Thin-wall bars and systems, combined from thin-wall bars]. Stroitel'naya mekhanika v SSSR, 1917-1967 [Construction mechanics in the USSR, 1917-1967]. Moscow, Stroiizdat Publ., 1967. P. 75-98.
2. Vlasov V.Z. Tonkostennye uprugie sterzhni [Hard thin-wall bars]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959. 576 p.
3. Novatskii V. Teoriya uprugosti [Theory of hardness]. Moscow, Mir Publ., 1975. 872 p.
4. Novozhilov V.V. Teoriya uprugosti [Theory of hardness]. Moscow, Sudpromgiz Publ., 1958. 372 p.
5. Gastev V.A. Kratkii kurs soprotivleniya materialov [Short course of the resistance of materials]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 456 p.
6. Rabotnov Yu.N. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow, Fizma-tizdat Publ., 1962. 456 p.
7. Dzhanelidze G.Yu., Panovko Ya.G. Statika uprugikh tonkostennykh sterzhnei [Static of hard thin-wall bars]. Moscow-Leningrad, Gos-tekhizdat Publ., 1948. 208 p.
8. Filonenko-Borodich M.M., Izyumov S.M., Olisov B.A., Kudryavtsev I.N., Mal'ginov L.I. Kurs soprotivleniya materialov [Course of the resistance of materials]. Part II. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1956. 540 p.
9. Feodos'ev V.I. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials]. Moscow, Nauka Publ., 1970. 544 p.
10. Vardanyan G.S., Andreev V.I., Atarov N.M., Gorshkov A.A. Soprotivlenie materialov s osnovami teorii uprugosti i plastichnosti [Resistance of materials with basis of theory of hardness and plasticity]. Moscow, ASV Publ., 1995. 572 p.
11. Bychkov D.V. Stroitel'naya mekhanika sterzhnevykh tonkostennykh konstruktsii [Construction mechanics of thin-wall bars constructions]. Moscow, Gosstroiizdat Publ., 1962. 476 p.
12. Rabotnov Yu.N. Mekhanika deformiruemogo tverdogo tela [Mechanics of deform-able solid body]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 744 p.
Информация об авторе
Гольдштейн Юрий Борисович, кандидат технических наук, профессор кафедры общетехнических дисциплин, е-mail: [email protected]; Петрозаводский государственный университет, 185910, Россия, Карелия, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.
Критерии авторства
Гольдштейн Ю.Б. полностью подготовил статью и несет ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Information about the author
Goldshtein Yu.B., candidate of technical sciences, professor, Department of generaltechnical disciplines, е-mail: [email protected]; Petrozavodsk State University, 33 Lenin Avenue, Karelia, Petrozavodsk, 185910, Russia.
Contribution
Goldshtein Yu.B. is the sole author of the article and responsible for avoiding the plagiarism.
Conflict of interests
The author declares no conflict of interest.
Статья поступила 08.06.2016 г. The article was received 08 June 2016
