CC BY
5
Информатика, вычислительная техника и управление
DOI 10.36622/^Ти.2022.18.1.001 УДК 62-50
ПРИНЦИП РАЗДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С.Л. Подвальный, В.И. Захватов, Е.М. Васильев Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: выявлены методологические причины трудностей, возникающих при синтезе сложных систем автоматического регулирования. Обоснована необходимость построения таких систем на основе эволюционных принципов многоальтернативности, отражающих механизмы функционирования биологических сообществ. Определена конкретная цель исследования: разработка практических способов и приёмов реализации многоальтернативного принципа разделения функций в системах робастного регулирования. На примере задачи синтеза модального управления нестационарным колебательным объектом показано, что решение этой задачи возможно только в результате разделения собственных чисел характеристической матрицы системы на части, одна их которых определяет характер переходного процесса в системе, а другая - обеспечивает робастные свойства модального регулятора. Сформулированы рекомендации по выбору значений указанных собственных чисел и представлен способ расчёта робастного модального регулятора на основе решения экстремальной задачи математического программирования. Затронуты вопросы плохой обусловленности желаемых характеристических полиномов, выбираемых при синтезе модального регулятора. Приведены аналитические основания раздельного синтеза модального регулятора и наблюдателя координат состояния объекта. Дано доказательство сокращения нулей и полюсов наблюдателя в случае, если параметры наблюдателя точно совпадают с соответствующими параметрами объекта. Проведён анализ чувствительности нулей и полюсов системы к параметрической нестационарности объекта. Продемонстрирована возможность и целесообразность обеспечения робастности системы и показателей её точности и быстродействия раздельными регуляторами, синтез которых вследствие этого разделения значительно упрощается. Представлен числовой пример практического синтеза робастной системы модального управления, результаты которого подтверждают эффективность применения принципа разделения функций при проектировании систем регулирования
Ключевые слова: автоматическое управление, принципы многоальтернативности, модальные регуляторы, наблюдатели координат состояния
Введение
При проектировании современных систем автоматического регулирования достаточно часто возникают ситуации, в которых теоретическая эффективность разрабатываемых алгоритмов управления вступает в противоречие с возможностью их практического выполнения [1]. В частности, наиболее характерна такая ситуация для задач синтеза адаптивных и ро-бастных систем управления нестационарными объектами [2-5].
Основной причиной этого противоречия является стремление разработчиков к созданию универсальных алгоритмов управления, формирующих законы регулирования в результате решения единой многокритериальной задачи, обеспечивающей синтез системы одновременно по многим показателям её качества: точности, быстродействию, параметрической робастно-сти, инвариантности к возмущениям [6]
При этом игнорируется фундаментальная концепция функционирования сложных систем
© Подвальный С.Л., Захватов В.И., Васильев Е.М., 2022
- концепция "неусложняемой простоты": увеличение сложности объекта управления не должно сопровождаться ростом сложности алгоритмов для его управления [7]. Каноническим примером этой концепции может служить любая биологическая система, обеспечивающая своё существование и развитие в существенно нестационарных условиях внешней среды. Причём, чем сложнее и разнообразнее состав этой системы, тем эффективнее она противостоит изменениям этих условий, не испытывая ограничений, связанных с "проклятием" размерности [8].
Анализ процессов функционирования живых систем показывает, что механизмы реализации указанной концепции основаны на ряде общих принципов: принципе многоуровневости управления, специализации и разделения функций, принципе модульности структуры, которые можно объединить общим названием -"принципы многоальтернативности" [9-11].
В искусственных системах идея использования альтернативного управления путём изменения знака обратной связи в системе в зависи-
мости от её текущего состояния была высказана ещё в работе А.М. Лётова [12, 13]. В дальнейшем развитие этой идеи привело к появлению самостоятельного научного направления -теории систем с переменной структурой [14,
15].
В качестве примера управления на основе модульности структуры можно привести высоконадёжную систему регулирования солнечными батареями космической станции, в которой при любом значении тока нагрузки происходит регулирование не всей мощности работающих батарей, а только той её части, которая приходится на одну батарею, т.е. один модуль системы управления [16].
Примером многоуровневости регулирования может служить система управления теп-ловлажностной обработки бетона, в которой используются три канала подачи пара: нерегулируемый канал, регулируемый канал большой тепловой мощности и регулируемый канал малой мощности [17]. Передача управления между этими каналами осуществляется автоматически в зависимости от значения температуры в паровой камере. В результате этого достигается высокая точность регулирования при минимальном расходе тепловой энергии.
В предлагаемой работе будут рассмотрены приёмы реализации одного из принципов мно-гоальтернативности - принципа разделения и специализации функций, существо которого вытекает из его названия: обеспечение отдельных показателей качества системы управления объектом целесообразно осуществлять независимыми средствами и алгоритмами, синтез которых вследствие такого разделения будет существенно упрощаться.
В качестве примера в работе используется задача модального управления нестационарным колебательным объектом, в которой требуется обеспечить подавление колебаний во всём диапазоне параметрической нестационарности объекта (т.е. робастность управления), а также заданную точность и быстродействие системы.
Постановка задачи
Рассмотрим управляемый и наблюдаемый объект:
х ^) = Кх(г) + ); у(() = Ах^),
(1)
где х(0=[х(01...х(0„]т - «-мерный вектор состояния объекта; и(0, у(0 - управляющее воздей-
ствие и выходная координата; N - матрицы управления размером [пх1]; А - матрица выхода, [1хп]; К - характеристическая матрица, [пхп].
Передаточная функция Ж(я) такого объекта имеет вид:
Ж(5) = — = А(5 Е- К)—1 N ,
и( 5)
(2)
Е=diag(1.1), или
Ж (я) =
ад
С ( 5)
Ьт5т + Ьт-15т-1 + ... + Ь15 + Ь
(3)
+ С
я—1
п—1
+ ... + С, 5 + С0
где В(5) - гурвицев полином, т < п.
Формируя управление в виде и(*) = g) — Ях^), где g(t) - задающее воздействие на систему, а Я - модальный регулятор Я = [гь..гп], получим характеристический полином замкнутой системы D(5) =| 5Е — К + NЯ |, корни которого А,ьА,2, .. .Дп можно расположить желаемым образом путём выбора соответствующей матрицы Я регулятора.
Для демонстрации робастных свойств полученного управления матрицу К удобно представить в форме Фробениуса:
К =
0 Е
п—1
—с
(4)
с = [с0...сп—1]. При этом матрицы N и А упрощаются: N = [0...0 1]т; А = [Ь0...Ьт 0], и желаемый характеристический полином D( 5) = 5п + dп—1sп~1 +... + d1s + d0 системы примет вид:
D( 5) = 5п + (Сп—1 + Гп )5п—1 + ... + (С1 + Г2)5 + С0 + Г1,
(5)
из которого следует, что выбрав значения коэффициентов регулятора Я таким образом, чтобы выполнялось соотношение
Ч+1
>> С
i = 0, п — 1,
(6)
можно обеспечить практическую нечувствительность корней А,1,А,2,...,А,п желаемого полинома (5) к нестационарности параметров объекта, входящих в коэффициенты с = [с0...сп—1].
Разделение функций при синтезе модального регулятора
Способ синтеза робастного модального регулятора непосредственно вытекает из условий
(5) и (6):
\sE-K + NR\ = D( s);
Г+1 > hr • с,, ! = 0, п -1,
(7)
где hr - заранее выбранное число, характеризующее требуемую степень доминирования коэффициентов г+1 регулятора над коэффициентами с, исходного объекта, например, Ь >> 1.
Задача (7) имеет единственное решение, определяемое только уравнением (5), и это решение в общем случае не удовлетворяет условию (6), т.е. система (7) несовместна.
Воспользуемся принципом разделения функций и выделим из желаемых полюсов АьА2,...,Ап некоторую часть k < п доминирующих корней А*,А,2,...,А*,, определяющих динамические свойства объекта. Тогда оставшиеся п - k полюсов останутся свободными, и их выбор будет определяться требованиями (6) к ро-бастности модального регулятора. В результате система (7) станет совместной, и будет обеспечена неединственность решения уравнения (5).
Для исключения влияния свободных полюсов на качество системы последние должны быть в Ьк >> 1 раз меньше доминирующих корней:
Re(А у) < Их- min[Re( А,)];
1 = 1, к; у = к +1, п.
(8)
Представим теперь коэффициенты характеристического полинома (5) в виде функций Фа(К) коэффициентов модального регулятора:
D(s,R) = sn + фn-l(R)sn-1 +...+фда + фo(R), (9)
и выразим фq(R) через полюсы системы А,:
Фq (R) = dq (Аь А 2,..., А п ); а = 0, п -1. (10)
В результате задачу синтеза грубого модального регулятора можно сформулировать в следующем виде:
А,. = А,; 1 = 1, к;
Фа (К) = dq А 2,..., А п ); а =0, п -1;
(11)
г£+1 > \ • с£; £ = 0, п -1;
Яе( А.) < \ • шт[Яе( А,)]; у = к +1, п .
Задача (11) содержит 2п - к неизвестных, 2п - к неравенств и п уравнений, т.е. имеет множество решений, количество которых определяется числом п - к свободных переменных. Это обстоятельство позволяет при выборе одного решения для (11) воспользоваться дополнительными соображениями. Например, ввести в (11) некоторый критерий J качества регулятора R и сформулировать задачу поиска экстремума этого критерия, т.е. поставить задачу математического программирования.
Практически полезным вариантом такого критерия может служить критерий компактности значений коэффициентов г, регулятора: минимум среднеквадратическое отклонение г, от их среднегеометрического значения
О г = п I Г1 • Г2 •... • Гп | :
J = X(Г - Ог )2 ^ шт .
1=1
(12)
Таким образом, задача синтеза робастного модального регулятора сводится к задаче математического программирования, содержащей функцию цели (12) и ограничения (11).
Из (11) следует, что для практического решения поставленной задачи необходимо задаться желаемым расположением доминирую-
X* Л * Л * 11
1, А 2,..., А к системы и коэффициентами hr и обеспечивающими необходимую степень параметрической робастности системы.
Выбор желаемых полюсов определяется целью построения регулятора, и без конкретизации этой цели невозможен. В рамках рассматриваемой работы целью синтеза регулятора является демпфирование нестационарных колебаний объекта с сохранением частот сопряжения участков его частотной характеристики (сохранение собственных постоянных времени объекта). Условие сохранения частот сопряжения вытекает из синергетического подхода к управлению объектом [18]: сохранению тех его свойств, которые не препятствуют достижению цели управления. В соответствии с
этим подходом в исходной совокупности полюсов АЬА2,.. .,Ап объекта следует:
сохранить все вещественные корни;
включить дополнительные вещественные корни, равные мнимым частям k комплексных полюсов;
оставшиеся п — k корней оставить свободными (числовой пример представлен ниже).
Выбор коэффициентов Ь >> 1 и ^ >> 1, обеспечивающих необходимую степень параметрической робастности системы, также определяется конкретными условиями задачи. Известный диапазон изменения параметров объекта позволяет вычислить соответствующий диапазон изменения коэффициентов характеристического полинома системы и далее построить корневые годографы, т.е. найти области локализации его корней на комплексной плоскости - области Гершгорина [19, 20].
Для демпфирования колебательных свойств объекта, например до уровня 5-процентного перерегулирования, достаточно, чтобы мнимая часть любого корня в области Гершгорина не превышала его вещественную часть. Если указанное условие не обеспечивается, то следует увеличить hГ и и повторить синтез регулятора, т.е. процесс выбора значений hГ и является итерационным.
Отметим, что на практике в некоторых случаях при выборе значений hГ и может обнаружиться проблема плохой обусловленности характеристического полинома, и возникнет дополнительная задача его регуляризации.
С задачей регуляризации полиномов можно познакомиться в работах [21, 22]. В частности в [21] указывается, что частой причиной плохой обусловленности полиномов является наличие у них кратных корней. Применительно к синтезу модального регулятора это означает, что при выборе системы доминирующих кор-
Л* /—
ней А,1,А2,...,Аk следует избегать их совпадения или близкого расположения на комплексной плоскости.
Разделение функций при синтезе наблюдателя
Выше было показано, что при синтезе ро-бастного модального регулятора целесообразно воспользоваться описанием объекта в координатах пространства состояний, образующих характеристическую матрицу Фробениуса (4).
Однако такая система координат х = [х1...хп]т в общем случае не имеет физиче-
ского содержания и возникает дополнительная задача получения вектора х координат состояния на основе только двух доступных физическому измерению величин и(0 и у(^. Эта задача является задачей построения наблюдателя координат х
Из вида матрицы А следует, что величина у(0 не совпадает ни с одной координатой состояния, и необходимо построить наблюдатель полного порядка [23].
X ^) = К0ь х^) + N0bu(t) + Q( у^) — у^));
у^) = Аоь х^),
в котором х^) и у^) наблюдаемые величины; Q - матрица ошибок размером [пх1], подлежащая определению; КоЬ, АоЬ - матрицы, элементы которых равны элементам соответствующих матриц К, N А нестационарного объекта (1) при некотором принятом номинальном значении его параметров.
Переходя к изображениям по Лапласу из (13) получим уравнение движения наблюдателя:
х( 5) = (5 Е— КоЬ + <2АоЬ )—1 NobU( 5) + + (5 Е— К 0Ь + бАоь)—1бу( 5), с характеристическим полиномом
|ЕКоь + <Аоь1 = V (5). (15)
Полином V(s) содержит элементы q0,ql,...,qп матрицы Это обстоятельство позволяет найти q0,q1,. путём почленного приравнивания V(s) к типовому, например, биномиальному полиному п-го порядка V(s) = (5-ОоЬ)п, в котором полюсы ОоЬ наблюдателя выбираются из соотношения:
ОоЬ >> пI А1 -А2 •...-Ап | . (16)
Неравенство (16) обеспечивает малую ошибку наблюдения истинных координат х в условиях нестационарности параметров объекта, т.е. в условиях вариаций элементов матриц К, N и А, в отличие от неизменяемых матриц КоЬ, АоЬ, входящих в уравнение движения наблюдателя. Как будет показано в числовом примере, значение ОоЬ приходится выбирать значительно больше среднегеометрического корня объекта, т.е. строить наблюдатель с высоким быстродействием.
При цифровой реализации таких наблюдателей на контроллерах могут возникнуть аппа-
ратные ограничения [24] и от грубых наблюдателей с условием (16) следует переходить к более гибким - адаптивным наблюдателям. Задача построения адаптивных структур наблюдения по сложности своей практической реализации сопоставима с трудностями синтеза грубых наблюдателей.
Остановимся теперь на том обстоятельстве, что введение наблюдателя в структуру системы управления вносит в неё дополнительные нули и полюсы.
Действительно, переписав уравнения (1) и (13) движения объекта и наблюдателя в виде единой системы, на вход которой поступает управляющее воздействие и(^:
х ^) = Кх(г) + );
у ^) = Ах^),
х ^) = Коь х^) + NobU(t) + <( у^) — у^)); уЦ) = Аоь хЦ),
(17)
или
" х (0"
_ х^)_
_К_!____0____
<Г\К оь" —<А~оь
х(0
хЬ)
+
+
N
N>7
(18)
получим характеристический полином системы в виде:
хх( 5) = (5 Е— Коь + <Аоь) 1 NobU(s) +
+ (5 Е— К оь + <Аоь)—1<А( 5Е — К)—1 Ш( 5)
—1
или
х( 5) = (5 Е— К оь + <АоЬ)—1 х NоЬ + <А(5Е — К)—1N и(5).
(20)
(21)
Первоначально примем, что матрицы наблюдателя равны соответствующим матрицам объекта, т.е. КоЬ = К, Nob = N, АоЬ = А. Тогда:
х( 5) = (5 Е— К + <А)—1 х
N + <А(5Е — К)—1N и(5),
(22)
и общая передаточная матрица ЖоЬ),оЬ (5) объекта с наблюдателем, связывающая управляющее воздействие и(5) с вектором х( 5) наблюдаемых координат получит вид:
Ж
оЧ,оь( 5) = (5 Е— К + 6А)-1 х
Е + <А( 5Е — К)
—1
N.
(23)
Для дальнейшего преобразования выражения (23) введём обозначения 5Е — К = С, <А = В.
Перепишем (23) с учётом обозначений:
Ж
оЬ)
],оЬ (5) = [(С + В)—1 + (С + В)—1 ВС—1 ]• N, (24)
5Е — К ! 0
"— КоЬ"+" ¿А"Ь
= |*Е — К| • \*Е — К оЬ + бАоь|
и для слагаемого (С + В) 1 применим тожде-(19) ство Вудбери [28]:
(С + В)—1 = С— — (С + В)—1ВС (25)
указывающем на то, что в системе множество полюсов объекта объединяется с множеством полюсов наблюдателя. При этом характеристические полиномы объекта и наблюдателя не содержат общих элементов, т.е. выполняется теорема о разделении собственных значений характеристических матриц объекта и наблюдателя, и размещение полюсов наблюдателя при его синтезе не влияет на значения полюсов объекта [25, 26]. Из этого вытекает, что синтез модального регулятора может осуществляться по условию (7) независимо от наблюдателя [27].
Для определения нулей системы (18) перейдём к изображениям по Лапласу вектора координат х^), воспользовавшись для этого уравнением (14) и очевидным равенством у( 5) = А( 5Е — К)—1 Ш( 5):
После подстановки (25) в (24) имеем:
Ж
оЬ),оЬ
= [(С+В)
—1 + (С + В)—1ВС _1
N =
= [С_1 — (С + В)—1 ВС_1
+
+ (С + В)—1 ВС_1] • N = С .
В результате получаем:
Ж
(5) = (5 Е— К)—1 N
оЬ),оЬ
(26)
(27)
т.е. при КоЬ = К, NoЬ = N, АоЬ = А передаточная матрица ЖоЬ),оЬ (5) объекта с наблюдателем совпадает с соответствующей передаточной матрицей собственно объекта
ЖоЬ)(5) = (5 Е— К)—1 N .
X
X
Отсюда следует, что в идеальном случае, при равенстве матриц КоЬ = К, ЫоЬ = Ы, АоЬ = А наблюдателя и объекта, нули наблюдателя совпадают с его полюсами и сокращаются [29].
В реальности, в первую очередь из-за нестационарности объекта, указанные матрицы не равны, и нули, вносимые в систему наблюдателем, отличаются от его полюсов, но могут оставаться близкими к ним.
При выборе полюсов наблюдателя по условию (16) заметного влияния нулей наблюдателя на поведение системы, как правило, не возникает, однако при синтезе необходима проверка этого влияния во всём диапазоне нестационарности параметров объекта.
Разделение функций между регуляторами
Описанный выше модальный регулятор исключает возникновение колебаний в системе в заданном диапазоне параметрической нестационарности объекта, т.е. выполняет функцию его робастного демпфирования.
Решение другой задачи синтеза - обеспечение точности системы и её быстродействия -возможно (и целесообразно с точки зрения простоты реализации) возложить на другой регулятор.
В качестве такого регулятора может быть использовано, например, пропорционально-интегрирующее звено, включение которого в прямой канал системы обеспечит ей свойство астатизма.
Если частоту сопряжения такого регулятора выбрать равной нижней частоте сопряжения частной характеристик объекта, то у амплитудной частотной характеристики разомкнутой системы сформируется низкочастотный участок с наклоном (— 20) дБ/дек протяжённостью до второй частоты сопряжения.
Это обстоятельство позволяет обеспечить требуемое время регулирования системы введением в её прямой канал обычного безынерционного звена, коэффициент передачи которого не влияет на выбранные параметры астатического регулятора.
Пример синтеза системы с модальным управлением
Пусть объект описывается передаточной функцией Ж0ц (5) с нестационарной частотой р
резонансных колебаний:
^„С?) =
0.2(5 + 0.2 + 400])(5 + 0.2 — 400]) + 0.5 + р])(5 + 0.5 — р])(? +100)
(28)
Объект содержит комплексные нули ?1,2 = —0.2 ± 400], занимающие доминирующее положение на комплексной плоскости 5. Значение среднегеометрического корня объекта: = 34,2 с1.
Колебательные свойства объекта для диапазона р = [6...20...60] с-1 демонстрируются его амплитудными L(ю) и фазовыми ф(ю) частотными характеристиками на рис. 1.
50
Цю),
дБ 0
ф(ю) град
-50 -100
150 -90 180 ■270
р = 60 с"'
1
610 20 60
1 000 10 000
ю, с
Рис. 1. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики объекта
Синтез модального регулятора в постановке (11) проводился со значениями: А,1 = — 20 с-1, А,2 = — 100 с-1, hr = 5, Ьк = 5, где А,1 и А,2 выбраны по частотам сопряжения объекта (28) для р = 20 с-1, см. рис. 1. Полученные коэффициенты модального регулятора: R =[1133975 71939,75 606] обеспечили для этого значения р систему полюсов: А,1 = — 20 с- , А,2 = — 100 с-1, А,3 = — 587 с-1. Грубость системы полюсов при изменении р в диапазоне р = [6.60] с-1 подтверждается табл. 1.
Таблица 1
Анализ чувствительности полюсов объекта с модальным регулятором при изменении
р, с-1 А.1, с-1 ^2, с-1 ч с-1
6 — 19,4 — 100 — 587,6
20 — 20 — 100 — 587
60 — 25,7 — 100 — 581,3
Из табл. 1 следует, что во всём диапазоне изменения частоты р резонанса полюсы системы с модальным регулятором остаются веще-
ственными, т.е. колебательные составляющие в собственном движения объекта отсутствуют (область Гершгорина в данном случае представляет собою отрезок вещественной оси комплексной плоскости корней).
Синтез наблюдателя (13) проводился с выбранными значениями полюсов ОоЬ1 = ^оЬ2 = ОоЬ3 = 10О0ь = — 342 с-1. Получены значения матрицы ошибок: Q = [0,026 8,32 398,4]. Значения нулей и полюсов, вносимых наблюдателем в систему в диапазоне р = [6... 60] с-1 даны в табл. 2.
Таблица 2
Анализ чувствительности нулей и полюсов, вносимых в систему наблюдателем при изменении частоты р резонанса
p, с-1 Нули, с-1 Полюсы, с-1
6 — 318+36/ — 318—36/ — 389 — 342, — 342, — 342
20 — 342 — 342 — 342
60 — 382+90/ — 382—90/ — 262
Табл. 2 показывает, что нули, вносимые в систему наблюдателем во всём диапазоне р = [6.60] с-1, располагаются достаточно далеко от доминирующего полюса системы А,1 = — 20 с-1 и близки к собственным полюсам наблюдателя ОоЬ1,2,3 = — 342 с-1.
Частотные характеристики объекта с наблюдателем и модальным регулятором показаны на рис. 2 и подтверждают отсутствие у него резонансных свойств в рассматриваемом диапазоне нестационарности р.
0
Цю),
дБ
-50
-100
ф(ю),150 град -45 -90 -135 -180 -225
—
р = 60 с-1
р = 6 с"'
р = 6 с
= 60 с
1
10 20 60
1 000
10 000
ю, с
Рис. 2. Частные характеристики объекта с наблюдателем
и модальным регулятором для диапазона изменений
р = [6.60] с-1
Анализ полученных частотных характеристик объекта (см. рис. 2) позволяет сообщить
системе свойство астатизма ведением простого пропорционально-интегрирующего звена Ж^), настроенного на среднюю частоту р = 20 с-1 и содержащего дополнительный коэффициент передачи, соответствующий подъёму амплитудной характеристики примерно на 20...25 дБ:
Жк( 5) = |1 + 1-10.
(29)
Переходные процессы в системе с наблюдателем, модальным регулятором и пропорционально-интегрирующим звеном показаны на рис. 3.
у«)
1,6 1,4 1,2
1
0,8 0,6 0,4 0,2
р; = 20 с-1 (объект)
р = 6 с-1 (система)
0
| \ р = 60 с-1 (система)
0
2
К с
Рис. 3. Переходные процессы на выходе объекта (при р = 20 с-1) и на выходе системы регулирования (при р = 6 с-1 и р = 60 с-1)
Таким образом, результаты численного моделирования подтверждают работоспособность изложенных выше приёмов модального синтеза на основе принципа разделения функций.
Заключение
На примере синтеза робастной системы модального управления нестационарным колебательным объектом продемонстрированы приёмы применения многоальтернативного принципа разделения функций при решении следующих задач:
разделение собственных чисел характеристической матрицы системы на части, одна из которых формирует требуемый монотонный характер переходного процесса в системе, а другая обеспечивает свойство грубости модальному регулятору;
1
3
4
разделение процедур синтеза наблюдателя координат и модального регулятора таким образом, что регулятор и наблюдатель проектируются независимо друг от друга;
разделение задачи обеспечения грубости управления, решаемой модальным регулятором, и задачи обеспечения точности и быстродействия системы, решаемой простейшим пропорционально-интегральным регулятором.
Результаты работы подтверждают методологически ожидаемую эффективность принципа разделения функций, использование которого позволяет существенно упростить многокритериальный синтез систем управления сложными объектами.
Литература
1. Филимонов Н.Б. Методологический кризис "всепобеждающей математизации" современной теории управления // Мехатроника, автоматизация, управление.
2016. Т. 17. № 5. С. 291-301.
2. Бобцов А.А., Холунин С.А. Развитие методов ро-бастного управления в задачах адаптации // Научно-технический вестник СПб ГИТМО. Вып. 6. Информационные, вычислительные и управляющие системы. СПб.: ГИТМО, 2002. С. 223-228.
3. Дружинина М.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Методы адаптивного управления нелинейными объектами по выходу // Автоматика и телемеханика. 1996. № 2. С. 3-33.
4. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Концепция мно-гоальтернативности в синергетической теории управления // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. междунар. науч. конф. СПб.: Изд-во Политехи. ун-та,
2017. Т. 7. С. 13-16.
5. Колесников А.А. Синергетическая теория управления: концепция, методы, тенденции развития // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2001. Т. 23. № 5. С. 7-27.
6. Васильев Е.М., Сердечная Е.А., Таволжанский А.В. Синтез высокоточных систем модального управления // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2020. Т. 16. № 5. С. 56-63.
7. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Концепция многоальтернативного управления открытыми системами: истоки, состояние и перспективы // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. № 2. С. 4-20.
8. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Многоальтерна-тивность: эволюционная стратегия биологических систем // Управление большими системами. 2019. Вып. 77. С. 125-170.
9. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Эволюционные принципы построения интеллектуальных систем многоальтернативного управления // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 57. № 3. С. 4-8.
10. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Модели многоальтернативного управления и принятия решений в сложных системах // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 56. № 2.1. С. 169-173.
11. Подвальный С.Л., Васильев Е.М. Интеллектуальные системы многоальтернативного управления:
принципы построения и пути реализации // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014: труды. М.: ИПУ РАН, 2014. С. 996-1007.
12. Лётов А.М. Условно устойчивые регулируемые системы (об одном классе оптимальных регулируемых систем) // Автоматика и телемеханика. 1957. № 7. С. 601604.
13. Уткин В.И. Условно устойчивая система с переменной структурой в работе А.М. Лётова // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 140-142.
14. Емельянов С.В. Системы автоматического регулирования с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 336 с.
15. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974. 272 с.
16. Тищенко А.К., Васильев Е.М., Тищенко А.О. Многоальтернативное управление критическими режимами системы электроснабжения космической станции // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2015. Т. 11. № 2. С. 101-106.
17. Васильев Е.М., Таратынов О.Ю. Алгоритмы управления тепловлажностной обработкой бетонных изделий // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 2. С. 13-16.
18. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: теория системного синтеза. М.: КомКнига, 2006. 240 с.
19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1968.
576 с.
20. Соловьев В.Н. Обобщение теоремы Гершгорина // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47. № 6. С. 12851302.
21. Петров Ю.П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 192 с.
22. Васильев Е.М. Синтез модальных регуляторов методом доминирующих корней // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 1. С. 46-48.
23. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: Физматлит, 2007. 224 с.
24. Анисимов А.А., Тарарыкин С.В. Особенности синтеза параметрически грубых систем модального управления с наблюдателями состояния // Известия РАН. Теория и системы управления. 2012. № 5. С. 3-14.
25. Äström K.J., Murray R.M. Feedback systems: an introduction for scientists and engineers. New Jersey: Princeton University Press, 2021. 528 p.
26. Акимов Л.В., Коцегуб П.Х., Толочко О.И. Особенности синтеза наблюдателей состояния, воздействующих на идентифицируемую часть объекта регулирования // Вюник Схдаоукрашського нацюнального ушверситету iменi Володимира Даля. Луганськ. 2002. № 1(47). С. 158163.
27. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение, 1976. 184 с.
28. Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations. Baltimore: The Johns Hopkins University Press, 2013. 780 p.
29. Толочко О.И., Коцегуб П.Х., Федоряк Р.В. Анализ линейных систем с наблюдателями состояния // Вестник Харьковского государственного политехнического университета: сб. науч. тр. Тематический выпуск "Проблемы автоматизированного электропривода. Теория и практика". Харьков: ХГПУ, 2000. Вып. 113. С. 78-82.
Поступила 28.12.2021; принята 18.02.2022
Информация об авторах
Подвальный Семён Леонидович - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: spodvalny@yandex.ru, тел. (473) 243-77-18 Захватов Владимир Иванович - инженер, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: v.zakhvatov@bk.ru, тел. (473) 243-77-18
Васильев Евгений Михайлович - канд. техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, тел. (473) 243-77-20
THE PRINCIPLE OF SEPARATION OF FUNCTIONS IN MODAL CONTROL PROBLEMS
S.L. Podvalny, V.I. Zakhvatov, E.M. Vasil'ev Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Abstract: we identified the methodological reasons for the difficulties arising in the synthesis of complex automatic control systems and substantiated the necessity of building such systems on the basis of the evolutionary principles of multialternative reflecting the mechanisms of functioning of biological communities. We determined the specific goal of the research: the development of practical methods and techniques for the implementation of the multialternative principle of separation of functions in robust control systems. Using the example of the synthesis problem for modal control of a non-stationary oscillatory plant, we showed that the solution of this problem is possible only as a result of dividing the eigenvalues of the characteristic matrix of the system into parts, one of which determines the nature of the transition process in the system, and the other provides robust properties of the modal controller. We formulated recommendations for the choice of the values of the indicated eigenvalues and presented a method for calculating a robust modal controller based on solving an extremal problem of mathematical programming. We discussed the questions of ill-conditioning of the desired characteristic polynomials chosen in the synthesis of a modal controller. We give the analytical foundations of the separate synthesis of the modal controller and the observer of the object state coordinates and a proof of cancellation of the zeros and poles of the observer if the parameters of the observer exactly coincide with the corresponding parameters of the object. We carried out the analysis of the sensitivity of the zeros and poles of the system to the parametric nonstationarity of the object. We demonstrated the possibility and expediency of ensuring the robustness of the system and indicators of its accuracy and performance by separate controllers, the synthesis of which, due to this separation, is significantly simplified. We presented a numerical example of practical synthesis of a robust modal control system, the results of which confirm the effectiveness of the application of the principle of separation of functions in the design of control systems
Key words: automatic control, multialternative principles, modal controllers, state coordinate observers
References
1. Filimonov N.B. "Methodological crisis of "all-conquering mathematization" of modern control theory", Mechatronics, Automation, Control (Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie), 2016, vol. 17, no. 5, pp. 291-301.
2. Bobtsov A.A., Kholunin S.A. "Development of robust control methods in adaptation problems", Scientific and Technical Bulletin of St. Petersburg GITMO. Information, Computing and Control Systems (Nauchno-tekhnicheskiy vestnik SPb GITMO. In-formatsionnye, vychislitel'nyye i upravlyayushchie sistemy), St. Petersburg, Publishing house of GITMO, 2002, issue 6, pp. 223-228.
3. Druzhinina M.V., Nikiforov V.O., Fradkov A.L. "Methods for adaptive output control of nonlinear objects", Automation and Telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 1996, no. 2, pp. 3-33.
4. Podvalny S.L., Vasil'ev E.M. "The concept of multi-alternativeness in synergetic control theory", Mathematical Methods in Engineering and Technology: proc. of the Int. Sci. Conf. nMMTT-30n (Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh: sbornik trudov mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii "MMTT-30"), St. Petersburg, Publishing house of the Polytechnic University, 2017, vol. 7, pp. 13-16.
5. Kolesnikov A.A. "Synergetic theory of management: concept, methods, development trends", News of Southern Federal University. Technical Science (Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. Tekhnicheskie nauki), 2001, vol. 23, no. 5, pp. 7-27.
6. Vasil'ev E.M., Serdechnaya E.A., Tavolzhansky A.V. "Synthesis of high-precision modal control systems", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2020, vol. 16, no. 5, pp. 56-63.
7. Podvalny S.L., Vasil'ev E.M. "The concept of multi-alternative management of open systems: origins, state and prospects", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2013, vol. 9, no.2, pp.4-20.
8. Podvalny S.L., Vasil'ev E.M. "Multiple alternatives: evolutionary strategy of biological systems", Large-Scale Systems Control (Upravlenie bol'shimi sistemami), 2019, issue 77, pp. 125-170.
9. Podvalny S.L., Vasil'ev E.M. "Evolutionary principles of building intelligent systems of multi-alternative control", Control Systems and Information Technology (Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii), 2014, vol. 57, no. 3, pp. 4-8.
10. Podvalny S.L., Vasil'ev E.M. "Models of multi-alternative control and decision-making in complex systems", Control Systems and Information Technology (Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii), 2014, vol. 56, no. 2.1, pp. 169-173.
11. Podvalny S.L., Vasil'ev E.M. "Intelligent systems of multi-alternative control: principles of construction and ways of implementation", XII All-Russian Meeting on Control Problems of VSPU-2014. Institute of Control Problems. V.A. Trapeznikova RAS: works (XII Vserossiyskoe soveshchaniye po problemam upravleniya VSPU-2014. Institut problem upravleniya im. V.A. Trapeznikova RAN: trudy), Moscow, Publishing house of the ICP RAS, 2014, pp. 996-1007.
12. Letov A.M. "Conditionally stable controlled systems (about one class of optimal controlled systems", Automation and Telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 1957, no. 7, pp. 601-604.
13. Utkin V.I. "A conditionally stable system with a variable structure in the work of A.M. Letova", Automation and Telemechanics (Avtomatika i telemekhanika), 2011, no. 11, pp. 140-142.
14. Emel'yanov S.V. "Automatic control systems with variable structure" ("Sistemy avtomaticheskogo regulirovaniya s peremennoy strukturoy"), Moscow, Nauka, 1967, 336 p.
15. Utkin V.I. "Sliding modes and their application in systems with variable structure" ("Skol'zyashchie rezhimy i ikh prime-neniye v sistemakh s peremennoy strukturoy"), Moscow, Nauka, 1974, 272 p.
16. Tishchenko A.K., Vasil'ev E.M., Tishchenko A.O. "Multi-alternative control of critical modes of the power supply system of the space station", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2015, vol. 11, no.2, pp. 101-106.
17. Vasil'ev E.M., Taratynov O.Yu. "Control algorithms for heat and moisture treatment of concrete products", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2012, vol. 8, no.2, pp. 13-16.
18. Kolesnikov A.A. "Synergetic methods for managing complex systems: the theory of system synthesis" ("Sinergeticheskie metody upravleniya slozhnymi sistemami: teoriya sistemnogo sinteza"), Moscow, KomKniga, 2006, 240 p.
19. Gantmakher F.R. "Matrix theory" ("Teoriya matrits"), Moscow, Nauka, 1968, 576 p.
20. Solov'ev V.N. "Generalization of Gershgorin's theorem", News of AS USSR. Mathematical Series (Izvestiya AN SSSR. Seri-ya matematicheskaya), 1983, vol. 7, no. 6, pp. 1285-1302.
21. Petrov Yu.P. "New chapters of control theory and computer calculations" ("Novye glavy teorii upravleniya i komp'yuternykh vychisleniy"), St. Petersburg, BHV-Petersburg, 2004, 192 p.
22. Vasil'ev E.M. "Synthesis of modal controllers by the method of dominant roots", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2012, vol. 8, no. 1, pp. 46-48.
23. Korovin S.K., Fomichev V.V. "State observers for linear systems with uncertainty" ("Nablyudateli sostoyaniya dlya lineynykh sistem s neopredelennost'yu"), Moscow, Fizmatlit, 2007, 224 p.
24. Anisimov A.A., Tararykin S.V. "Features of the synthesis of parametrically rough modal control systems with state observers", Bulletin of RAS. Theory and Control Systems (Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya), 2012, no. 5, pp. 3-14.
25. Astrom K.J., Murray R.M. "Feedback systems: an introduction for scientists and engineers", New Jersey, Princeton University Press, 2021, 528 p.
26. Akimov L.V., Kotsegub P.Kh., Tolochko O.I. "Features of the synthesis of state observers acting on the identifiable part of the object of regulation", Bulletin of Skhidnoukrainsky National University named after Volodymir Dal (VisnikSkhidnoukrains'kogo natsional'nogo universitetu imeni Volodimira Dalya), Lugansk, 2002, no. 1(47), pp. 158-163.
27. Kuzovkov N.T. "Modal control and observing devices" ("Modal'noe upravlenie i nablyudayushchie ustroystva"), Moscow, Mashinostroenie, 1976, 184 p.
28. Golub G.H., Van Loan C.F. "Matrix computations", Baltimore, The Johns Hopkins University Press, 2013, 780 p.
29. Tolochko O.I., Kotsegub P.Kh., Fedoryak R.V. "Analysis of linear systems with state observers", Bulletin of Kharkov State Polytechnic University: collection of scientific papers. Thematic issue "Problems of an Automated Electric Drive. Theory and Practice (Vestnik Khar'kovskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta: sbornik nauchnykh trudov. Tematicheskiy vypusk "Problemy avtomatizirovannogo elektroprivoda. Teoriya i praktika), Kharkov, Publishing house of the KhSPU, 2000, issue 113, pp. 78-82.
Submitted 28.12.2021; revised 18.02.2022 Information about the authors
Semyen L. Podvalny, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya, Voronezh 394006, Russia), e-mail: spodvalny@yandex.ru, tel.: +7(473) 243-77-20
Vladimir I. Zakhvatov, engineer, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya, Voronezh 394006, Russia), e-mail: v.zakhvatov@bk.ru, tel.: +7(473) 243-77-18
Evgeniy M. Vasil'ev, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya, Voronezh 394006, Russia), e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, tel.: +7(473) 243-77-20
