CC BY
54
УДК 519.816 ББК 65в631.0
ПРИНЦИП МНОГОМОДЕЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
1 2 Белых А. А. , Шайдулин Р. Ф.
(Пермская государственная сельскохозяйственная
академия им. Д. Н. Прянишникова, Пермь)
Гуреев К. А.3, Харитонов В. А.4, Алексеев А. О.5
(Пермский государственный технический университет,
Пермь)
Обосновываются новые возможности исследования моделей предпочтений на основе сочетания линейных и нелинейных (матричных) методов комплексного оценивания: уменьшение размерности задач принятия решений и анализ динамики качественных изменений свертки.
Ключевые слова: принцип многомодельности, моделирование предпочтений, линейные и нелинейные (матричные) свертки.
1. Введение
Актуальность проблемы поддержки принятия решений с учетом человеческого фактора на основе моделирования пред-
1 Андрей Алексеевич Белых, кандидат технических наук, доцент ([email protected]).
2 Роман Фаритович Шайдулин, ассистент ([email protected]).
3 Кирилл Александрович Гуреев, аспирант ([email protected]).
4 Валерий Алексеевич Харитонов, доктор технических наук, профессор ([email protected]).
5 Александр Олегович Алексеев, заведующий лабораторией
почтений лиц, играющих в этих процедурах ключевые роли, вызвало интерес к механизмам комплексного оценивания объектов с гетерогенными характеристиками, выступающих в качестве предметов выбора - вариантов решения. Задачи моделирования предпочтений на этапе перехода от high-tech технологий к high-hume технологиям (социогуманитарным технологиям) [2] возникают во многих областях исследования организационных, экономических, образовательных и других систем.
Среди известных линейных и нелинейных [1, 3] механизмов комплексного оценивания расширенными функциональными возможностями выделяются модели предпочтений на основе деревьев критериев и матриц свертки с топологической интерпретацией [5, б]. Однако они характеризуется и значительной структурной сложностью, что затрудняет их практическое использование. Исследование сложных систем принято проводить на основе принципа многомодельности, утверждающего целесообразность использования нескольких типов моделей с целью использования преимуществ каждой из них.
В статье обосновываются новые возможности исследования моделей предпочтений на основе сочетания линейных и нелинейных (матричных) методов комплексного оценивания, а именно: уменьшение размерности задач принятия решений и анализ динамики качественных изменений свертки.
2. Исследование свойств элементарных линейных сверток
Методически можно считать оправданным начать с анализа метода взвешенных коэффициентов в его простейшей форме.
Элементарная линейная свертка по методу взвешенных коэффициентов имеет вид функции двух переменных:
(1) X = fL (Xi, X2) = kiXi + k2X2,
где X1, X2 - частные критерии, сворачиваемые в комплексную оценку X; k1, k2 - весовые коэффициенты, устанавливающие
долевое участие каждого из критериев в формировании свертки Я
На весовые коэффициенты накладываются ограничения, обеспечивающие одинаковую шкалу, например, [1, 4] для всех переменных:
Уравнение (1) геометрически интерпретируется как плоскость в трехмерном пространстве (X, Х1, Х2), ограниченная поверхностью куба ЛБСОЛ1Б1С1Б1 с ребрами, длина которых совпадает с интервалом принятой шкалы, и содержащая в себе пару противоположных вершин (Л, С1) и диагональ ЛС1, их соединяющую (рис. 1).
Каждая реализация модели описывает свертку с фиксированными весовыми коэффициентами, имеющими смысл частных производных, постоянных в каждой точке области определения
(2) к1 + к2 = 1, к1, к2 є [0, і]
а
Рис. 1. Геометрическая интерпретация механизмов элементарной линейной свертки: а) к1 Ф 0, к2 Ф 0; б) к = 1, к2 = 0; в) к = 0, к2 = 1
ЛБСБ:
Множество моделей элементарной линейной свертки соответствует множеству допустимых пар (к1, к2) весовых коэффициентов и перечисляется поворотом плоскости ЛБС101 из положения (рис. 1б) в положение (рис. 1в) вокруг диагонали ЛС1 на 90° по направлению часовой стрелки либо в обратном направлении через промежуточное - рис. 1а.
Поворот на больший угол приводит к нарушению ограничения (2) и уменьшению области определения.
Интерпретация различных вариантов линейной свертки обеспечивается введением «института» изопрайс (линий одинаковой цены), описываемых линейными уравнениями вида
(4) Хс = кX, + к2*X2, Хс £ [Х„„, X_ ],
где X,; - количественная характеристика изопрайсы, к 1, к 2 - фиксированные значения весовых коэффициентов, X], X2 - соответственно, функция или аргумент.
Введение интервала дискретности ЛУ устанавливает мощность семейства изопрайс, которое предоставляет более наглядную топологическую интерпретацию инструментов свертки. В результате этого геометрическая интерпретация элементарной линейной свертки (рис. 1а-1в) может быть дополнена топологической интерпретацией, представленной на рис. 2а-2в.
При всей простоте и наглядности линейной свертки она способна моделировать лишь достаточно тривиальные предпочтения, сохраняющие свойства во всей области определения. Этот недостаток объясняется ограничениями (2) накладываемыми на уравнение (1) с целью обеспечения универсальности шкалы для всех участвующих в свертке переменных.
Сложные предпочтения характеризуются богатой динамикой комплексирования частных критериев в формируемой ими области определения. Такому классу предпочтений в большей степени соответствуют модели комплексного оценивания, построенные на основе деревьев критериев и матрицах свертки [5].
С Б с Б с Б
а 6 е
Рис 2. Топологическая интерпретация вариантов линейной свертки, приведенных на рис. 1
3. Исследование элементарных матричных сверток с топологической интерпретацией
Топологическая интерпретация матриц свертки строится авторами на следующих положениях.
Шкала переменных в механизмах комплексного оценивания укладывается в общепринятом интервале [1, 4].
Процедура нечеткой свертки / строится в соответствии с принципом обобщения по схеме, предложенной Д.А. Новиковым
[4]:
(x) = sup minjm-i Xi), x2)|
{( x1. x2)|f(x1. x2) = x! где m(x) - функция принадлежности.
Дефаззификация (построение четких аналогов нечетких чисел) переменных осуществляется по наиболее распространенному методу центра тяжести:
X = ЦТ(X) =2 *,ml D «,
т >0 / m>0
Согласно принятой модели нечеткого числа X как двухэлементного нечеткого множества
X = 1/т(1) + 2/m(2), m(i) + m(2) = 1,
аргументы процедуры нечетной свертки в базовой подобласти [1,
2] х [1, 2] определения записываются в виде выражений
132
X! = 1/(1 - т) + 2/т, х2 = 1/(1 - Иг) + 2/^2-
Значения параметров т, № определяются из отношений Х1 = 1 + т, X2 = 1 + т2, что обеспечивает взаимную однозначность процедур: X « X , а также простоту формы представления экспертной информации об исходных данных X1, X2, например,
X = 1,73, т = 0,73, X = 1/0,27 + 2/0,73 .
Множество матриц свертки, рекомендованных к использованию, сокращается до канонического, когда приращение значений свертки на каждом дискретном шаге изменения аргументов не превышает по горизонтали (вертикали) и по диагонали 1 и 2 соответственно. Для канонических матриц обнаруживается ровно шесть типов / = 0, 5 стандартных функций свертки, отличающихся в области определения нечеткой свертки [1, 4] смещением С е {0, 1, 2} х {0, 1, 2}.
Процедура нечеткой свертки в базовой подобласти определения для наиболее востребованной на практике максиминной стратегии описывается отношением:
X = /(X, X) = /(1,1)/тт((1 - т),(1 - т2))+
+1 (1,2)/ т1п((1 - т1), т)+1 (2,1)/ тт(м,(1 - т2))+ +/(2,2)/т1п(т:, т2)-
Значения функций нечеткой свертки вычисляются согласно пункту 3, а описываются уравнениями кусочно-гладких (в силу нелинейности выражения, см. пункт 6) проекций изопрайс -линий одинаковой цены XC на базовую подобласть:
-Х = ^(м,№2) = (Х, X } 1 = °^.
Сопряжение входа X^ последующей матрицы свертки с предыдущим X1 достигается соглашением:
X ( пункт 3) ® X ( пункт 4) ® X X = X
Л 11 Л ’ ]2
Поддерживаемая программно (рис. 3) топологизация матриц свертки существенно расширяет возможности конструирования и использования механизмов комплексного оценивания. Следует заметить, что обнаруживаемая в ходе вычислительного эксперимента локальная немонотонность проекций изопрайс имеет антропогенное происхождение и связана с выбранным типом стратегии.
Для наполнения матриц свертки размерности 4x4 (черные цифры на белом фоне) достаточно построить матрицу размерности 3x3 с топологической интерпретацией стандартных функций свертки (белые цифры на черном фоне). Их взаимная однозначность очевидна.
Рис. 3. Графическое представление матрицы свертки
С этой целью представление экспертов о характере рассматриваемой свертки на топологическом поле 3x3 отображается тремя линиями изопрайс - по одной из трех «пучков», характеризуемых малым [1, 2], средним [2, 3] и большим [3, 4] уровнями значений свертки (рис. 4). Полученный результат программным сервисом легко переводится в искомую форму представления матрицы свертки (рис. 3). Существенную поддержку в вопросах конструирования матриц свертки может оказать убедительная
интерпретация стандартных функций свертки: /0 - игнорирование развития; /1 - поощрение равномерного развития обоих критериев; /2 - поощрение развития критерия х1; /3 - поощрение развития критерия х2; /4 - поощрение равномерного развития, либо одного любого критерия в случае «прорыва» в этом направлении; /5 - предпочтение ускоренному равномерному развитию обоих критериев (допускается развитие одного критерия, но с меньшим конечным результатом).
Рис. 4. Представление эксперта о характере конструируемой матрицы свертки, изображенной на рис. 3
Элементарная матрица свертки (рис. 3) имеет более сложную топологию, чем линейная свертка, благодаря нелинейности составляющих её изопрайс. Это означает, что каждая отдельно взятая изопрайса сможет быть приближенно представлена в кусочно-линейной форме как композиция линейных изопрайс. Таким образом, произвольная локальная область матричной свертки может иметь приближенное линейное описание согласно выражению
X = /м(Х„X2) » ВД*,X*)Х1 + к2(Х*,X*)X2, XI,X2 е 0(X*,X2*),
где fM(X1, Х2) - матричная функция свертки, весовые коэффициенты имеют смысл частных производных в некоторой точке (Х-„ X* 2), принадлежащей локальной области 0:
к1 =
(6)
8/м (Х1, X 2X1 = X,, X 2 = X 2) дХ1 '
8/м (Х1, X 2X1 = Х1, X 2 = X 2) /Со - .
2 8X2
Альтернативное описание матричной свертки с помощью семейства линейных сверток, отличающихся значениями весовых коэффициентов в каждой локальной области, дает новый инструмент исследования моделей предпочтений в вопросах адекватности и динамических свойств.
4. Анализ линейных и матричных сверток с позиции принципа многомодельности
Для функций свертки большей размерности линейный подход начинает испытывать серьезные трудности в отношении обоснования весовых коэффициентов, а матричный - в обосновании структуры дерева критериев и наполнения матриц свертки.
Отличительной чертой сложившейся ситуации является простота построения необходимого семейства линейных сверток в любой непрерывной подобласти исследуемой матричной свертки, не имеющей разрывов.
Действительно, гиперплоскость, касательная к гиперповерхности функции компле"ксного оценивания в заданной значениями компонент вектора X* = (X*,...,X*). точке в ее непрерывной подобласти, и окрестность вокруг этой точки близки:
(7) X = /ь(XI,...,Xn) *±k)Xj,
1=1
где "
.=fM(Xз-:.XnLІX*)
1 X '
По сравнению с многомерной линейной сверткой, являющейся расширением выражения (1), ввиду локальной области определения функции (7) появляется возможность снятия ограничений вида (2), что в полной мере удовлетворяет динамическим свойствам модели предпочтений.
Следует отметить, что выражения (7) и (8) являются задаваемой деревом критериев композицией выражений (5) и (6). В связи с этим частная производная (8) многомерной функции свертки (7) равна произведению частных производных (6) всех бинарных сверток (5), лежащих на пути графа от вершины X1 к корню дерева X.
Дополнительные возможности в исследовании модели предпочтений, появляющиеся в случае использования рассмотренных походов, заключаются в следующем:
• локальное уменьшение размерности задач принятия решений;
• анализ динамики качественных изменений в процедуре свертки при переходе из одной локальной области в другую на основе сопоставления приоритетов частных критериев;
• декомпозиция общей проблемы адекватности модели на множество задач локальной адекватности меньшей размерности.
Проиллюстрируем перечисленные возможности вычислительным экспериментом.
Пусть задан механизм комплексного оценивания (рис 5), выполняющий нелинейную свертку критериев X1 - X-!. Выберем произвольные точки VI - У5 в построенной модели по данным таблицы 1.
1 & 2 & 3 & 4 & Є & 7
Х1 Х2 ХЗ Х4 Х5 Х6 Х7
1 1,5 1,1 1,2 1,4 1,3 1,2
Рис. 5. Дерево комплексного оценивания
Таблица 1. Исходные данные вычислительного эксперимента
VI V2 V3 V4 V5
XI 1 1,5 2 2,5 3
Х2 1,5 2 2,5 3 3,9
Х3 1,1 1,7 2,1 2,6 3,1
Х4 1,2 1,8 2,4 2,7 3,5
Х5 1,4 1,6 2,1 2,9 3,8
Х6 1,3 1,9 2,2 3 3,1
Х7 1,2 1,7 2,3 2,8 3,3
X 1,33 1,67 2,3 3 3,78
Построение линейных моделей для вариантов, предусмотренных таблицей 1, производится методом последовательных поочередных приращений в соответствии с процедурой, оформленной для варианта VI в виде таблицы 2.
В соответствии с данными таблицы 1 вычислены весовые коэффициенты всех уравнений для выделенных точек локальных областей (таблица 3), и на их основе построено семейство линейных моделей:
VI; X = + 0,7X5; V4; X = 1,6X6
(9) V2; X = О^ + 0,7X7■; V5; X = -0,2*, +0,8X5 - 0^7;
V3; X = 0,Щ + X7.
Таблица 2. Вычисление весовых коэффициентов линейной модели для варианта VI____________________________
VI К1 К2 К3 К4 К5 К6 К7
XI 1 1,1 1 1 1 1 1 1
X2 1,5 1,5 1,6 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5
X3 1,1 1,1 1,1 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1
X4 1,2 1,2 1,2 1,2 1,3 1,2 1,2 1,2
X5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,5 1,4 1,4
X6 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,4 1,3
X7 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,3
X 1,33 1,33 1,33 1,33 1,33 1,38 1,4 1,33
0 0 0 0 0,05 0,07 0
Таблица 3. Сводные данные по линеаризации матричной модели
№ К1 К2 К3 К4 К5 К6 К7 N
1 0 0 0 0 0,5 0,7 0 3
2 0 0 0 0 0,3 0 0,7 3
3 0 0 0,1 0 0 0 1 3
4 0 0 0 0 0 1,6 0 2
5 0 0 -0,2 0 0,8 0 -0,3 4
Полученная система линейных уравнений свидетельствует о локальном уменьшении размерности нелинейной модели (см. мерность пространства - N в таблице 3), о существенной динамике качественных изменений в процедуре свертки при переходе из одной локальной области в другую (чередуются переменные с наибольшим весовым коэффициентом, что соответствует изменению приоритетов частных критериев, их числа и состава). Достаточно наглядно описанную динамику иллюстрирует рис. 6.
Несовпадение результатов вычислений комплексной оценки с данными наблюдений, принадлежащими определенной локальной области, как факт неадекватности модели, можно подвергнуть узконаправленному анализу благодаря наличию линейной модели меньшей размерности. Так, для варианта V3 факт неадек-
ватности означает необходимость уточнения степени долевого участия только частных критериев Х3, Х7 и возможность использования для этого транзитивных одномерных (рис. 7) и двумерной (рис. 8) функции чувствительности.
1,8 п § 1,6 -£ 1,4 - и 1,2 -3 1 - 8 0,8 -Й 0,6 -а о,4 -* 0,2 - ♦ Вариант1
И Вариант2 А ВариантЗ X Вариант4 Ж Вариант5
. А
Рис. 6. Динамика качественных изменений в процедуре свертки по результатам локальной линеаризации исходной модели
Рис. 7. Функции чувствительности а) по критерию Х3; б) по критерию Х7
Рис. 8. Функция чувствительности по критериям X3, X7.
5. Заключение
С помощью функций чувствительности для конкретной локальной области можно устранить или уменьшить неадекватность модели данным наблюдений, корректируя параметры матриц свертки, касающихся существенных переменных, либо функции приведения этих переменных к стандартной шкале.
Таким образом, использование принципа многомодельности расширяет возможности исследования матричных моделей предпочтений сложной структуры и, тем самым, существенно повышает эффективность поддержки принятия решений в high-hume технологиях.
Литература
1. ВАРЖАПЕТЯН А.Г. Квалиметрия: учебное пособие. - СПб.: СПбГУ АП., 2005. - 176 с.
2. ЖУКОВА Е.А. Трансформация системы «наука» в мире high-tech // Вестник Томского государственного педагогического университета. Серия: Гуманитарные науки (философия и культурология). - 2006. - Вып. 7(58). - С. 53-57.
3. МАЗУР И.И., ШАПИРО В Д., ОЛЬДЕРОГГЕ Н.Г. Управление проектами: учебное пособие. - М.: Омега-Л, 2004. -664 с.
4. НОВИКОВ Д. А. Теория управления организационными системами. 2-е издание. - М.: Физматлит, 2007 - 584 с.
5. ХАРИТОНОВ В.А., БЕЛЫХ А.А. Технологии современного менеджмента. Инновационно-образовательный проект -Пермь: ПГТУ, 2007. - 187 с.
6. ХАРИТОНОВ В.А., БЕЛЫХ А.А., ВИНОКУР И.Р. Функциональные возможности механизмов комплексного оценивания с топологической интерпретацией матриц свертки // Управление большими системами. - 2007. - №18. -С. 129-140.
PRINCIPLE OF MULTI-MODELING IN MODELS OF INDIVIDUAL PREFERENCES
Andrey Belykh, Pryanishnikov Perm state agricultural academy, Cand. of Sci. in Technology, assistant of professor ([email protected]).
Roman Shaydulin Pryanishnikov Perm state agricultural academy, assistant ([email protected])
Kirill Gureev, Perm state technical university, postgraduate student ([email protected])
Valeriy Kharitonov, Perm state technical university, Doctor of Science in Technology, professor ([email protected])
Alexander Alekseev, Perm state technical university, the head of laboratory ([email protected])
Abstract: New capabilities of individual preferences studies are substantiated. Linear and non-linear (matrix) methods of complex evaluation allow decreasing dimensionality of the decision-making problem, and analyzing dynamics of qualitative changes in convolution.
Keywords: principle of multi-modeling, preferences modeling, linear and non-linear (matrix) convolutions.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии О. П. Кузнецовым
