Количественный анализ уровней риска на основе универсальной бинарной модели предпочтения лицом, принимающим решение (ЛПР) Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 ЭКОНОМИКА Вып. 2(2)

УДК 330.131.7:519.8

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ УРОВНЕЙ РИСКА НА ОСНОВЕ УНИВЕРСАЛЬНОЙ БИНАРНОЙ МОДЕЛИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ ЛИЦОМ, ПРИНИМАЮЩИМ РЕШЕНИЕ (ЛПР)

В.А. Харитонов, д. тех. наук, проф., зав. кафедрой экспертизы недвижимости А.О. Алексеев, аспирант кафедры экспертизы недвижимости

ГОУВПО «Пермский государственный технический университет», 614900, Россия, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29а.

Электронный адрес: nedstf@pstu.ru

Исследуются возможности количественного анализа уровня рисков на основе универсальной шкалы комплексного оценивания, вследствие чего выдвигается конструктивный подход к построению иерархических моделей многофакторных рисков с целью расширения функциональных возможностей.

Ключевые слова: количественный анализ; многофакторные риски; комплексное

оценивание; стандартная шкала; индексы ранжирования; иерархические модели.

На этапе количественного анализа рисков, предшествующем разработке и принятию антирисковых решений, возникают трудности, связанные с отсутствием универсальных моделей, способных оценить эффективность выбираемых методов управления. Чаще всего данная ситуация проявляется в задачах, опирающихся на экспертные, а не вероятностные оценки ввиду отсутствия статистических данных.

Положительный опыт использования в моделях определения уровня риска бинарных сверток, отражающих двойственность риска для отдельного фактора, связан с применением известного в теории активных систем механизма комплексного оценивания (МКО) и обнаруживает существование проблемы в одновременном количественном анализе группы факторов риска.

В данной статье рассматривается возможность количественного анализа рисков с использованием универсальной бинарной свертки, охватывающей области определения всех существенных факторов риска, что может быть использовано при решении многофакторных задач оценки и управления рисками.

Построение модели оценки риска проводится в предположении о «равном» отношении менеджера к происхождению рисковых событий и сосредоточении внимания на возможностях их возникновения и размерах ущерба. Данная гипотеза позволяет учесть многофакторность задачи управления рисками

на этапе интерпретации стандартной шкалы МКО, что позволит проводить количественный анализ нескольких факторов одновременно.

На этапе построения стандартной

шкалы МКО предлагается ограничиться четырьмя дискретными значениями [3]. Выбор такой шкалы обусловлен традиционной «школьной» системой оценок:

неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо и отлично, с которой удобнее работать лицу, принимающему решение. Кроме того, четырехзначная шкала образует три часто используемых в менеджменте интервала

области определения переменных,

интерпретируемых как зоны малых, средних и больших значений.

Покажем, что такой выбор шкалы делает возможным содержательное

конструирование бинарных матриц свертки отдельных частных критериев: Р - вероятность возникновения рискового события и С - размер потерь в случае наступления этого события. Результат свертки будем называть уровнем риска, обозначать символом Я и приписывать ему только качественную интерпретацию в соответствии с выбранной выше шкалой МКО.

В работах, посвященных изучению риска, встречается классификация риска по степени влияния на последствия реализации проекта: приемлемый уровень риска -

последствия никаким образом не отражаются на перспективе реализации проекта; критический уровень риска - ставит под вопрос реализацию проекта; и катастрофический уровень, когда при

© Харитонов В.А., Алексеев А.О., 2009

13

неблагоприятном исходе последствия приводят к отказу от продолжения реализации проекта в целом [2].

В соответствии с приведенной классификацией можно дать интерпретацию крайним значениям шкалы. Если риск практически отсутствует, то такому уровню соответствует значение единицы (1) шкалы МКО. В случае когда под угрозу ставится реализация всего проекта в целом, можно считать уровень риска недопустимым, или катастрофическим - ему будет соответствовать четверка (4). Остальные значения шкалы предлагается распределить следующим образом: 2 - уровень риска приемлем, но превышение этого уровня требует принятия мер по снижению риска; 3 - начиная с этого уровня, рисковое событие может привести к провалу проекта, поэтому становится необходимым принимать существенные антирисковые мероприятия или совсем отказываться от проекта.

Традиционно на этапе количественного анализа строится так называемая матрица риска, область определения которой образуется декартовым произведением обеих переменных, служащих для описания каждого аспекта риска. Элементами матрицы является результат произведения параметра, описывающего возможность наступления негативных последствий, часто называемого субъективной вероятностью, и параметра, описывающего размер денежных потерь. Результат такого произведения еще называют ожидаемой денежной потерей, или ожидаемым значением потери (ОЗП). Это понятие иллюстрируется примером, где рискообразующие параметры представлены в физической шкале (рис.1).

варьирования в диапазоне планируемой прибыли (рис.2).

0-100%

от

Рис.1. Графическое представление ожидаемых значений потерь (ОЗП) на основе двойственности понятия риска

Для переменной С, меняющейся в широких пределах в различных задачах, предлагается нормализация области

Рис.2. Матрица риска в относительных значениях рискообразующих частных критериев

На прямой, описываемой уравнением Р=С (рис.2), можно заметить, что при постоянном шаге дискретности ОЗП наблюдается сгущение линий в направлении области больших значений параметров и разряжение в обратном направлении.

В соответствии с тем, что в области VII наблюдается сгущение ОЗП, можно говорить о более интенсивном росте уровня риска именно в этой области. Аналогичным образом на рис. 2 выделяется характерная область I - область малых значений ОЗП и поэтому интерпретируемая как область малых уровней риска. В ней изменения любого из параметров не приводит к существенному изменению динамики ОЗП, а значит и уровня риска.

Таким образом, при конструировании матрицы свертки параметров Х(Р) и Х(С) мы можем обосновать тип кусочно-линейной аппроксимации главной диагонали свертки по варианту а), как показано на рис. 3: отсутствие роста уровня риска при развитии частных критериев в области их малых значений, умеренный рост в области средних и интенсивный в области больших значений.

В связи с тем что некоторые эксперты придерживаются версии, предусматривающей интенсивный рост уровня риска различных проектов в средней области III, объясняя это тем, что при значении вероятности Р=0,5 появляются сомнения в реализуемости проекта, главная диагональ матрицы свертки уже в средней области значений параметров может иметь иной тип кусочно-линейной аппроксимации - б) (рис. 3), связанный с синергетическим эффектом, усиливающим степень риска при критических значениях обоих рискообразующих параметров.

Рис.3. Кусочно-линейная аппроксимация главной диагонали матрицы свертки: а) ЛПР, склонное к риску; б) ЛПР, не склонное к риску

В силу принятых ограничений на наполнение канонических [3] матриц свертки (матрица не может быть убывающей при росте значений частных критериев; при развитии

одного параметра на единицу свертка может увеличиваться не более чем на единицу, обоих -не более чем на две единицы) матрицы свертки примут следующий вид (рис.4).

Я Х(Р) Я

4 3 4 4 3

3 2 2 3 3 3 2

2 1 1 1 2 2 1 1

1 1 1 1 1 1

Х(С) 4 3 2 1 Х(С) 4 3 2 1

Х(Р)

4

3

2

1

а)

б)

Рис. 4. Варианты наполнения матриц свертки в моделях предпочтений:

а) ЛПР, склонного к риску; б) ЛПР, не склонного к риску

Значения свертки в окрестностях главной диагонали определены в соответствии с

интерпретацией стандартных функций свертки (рис.5).

¡¡§

та Л

Хх"

а)

1 4

Л»

щ

б)

Рис.5. Топологическая интерпретация главной диагонали матриц свертки моделей предпочтений: а) ЛПР, склонного к риску; б) ЛПР, не склонного к риску

Следует отметить, что для случая а) эксперту остается заполнить всего четыре элемента матрицы (рис. 4): в нижней левой части матрицы - два варианта заполнения, в верхней правой - шесть. Таким образом, по правилу произведения комбинаторики существует всего 12 в известной степени «авантюрных» матриц риска.

В случае б) (рис. 4) нижняя левая и верхняя правая части матрицы могут быть заполнены шестью способами каждая, что устанавливает существование ровно 36 «осторожных» матриц риска.

Таким образом, для моделирования риска выбор матрицы свертки значительно сокращается в связи с уменьшением количества подходящих матриц с 1236 (мощность полного множества канонических матриц свертки) до 48.

Более точное решение задачи выбора матрицы свертки может быть получено с использованием системы классификации матриц по параметрам несимметричности [3] матрицы N и неравномерности М, описываемым следующим образом:

1 ^шах ^шах

м = 2 К - тл) - Е К - тл)); (1)

І=1

І=1

і > У

4 5-1

м=ЕЕ т - 20 • (2)

i = 1 ] = 1

Необходимо обратить внимание на тот факт, что чем ниже значение параметра неравномерности, тем более склонным к риску является ЛПР, аналогично тому, как было показано на рис. 3 с главной диагональю. Однако формула (2) определяется как сумма элементов нижнего правого треугольника матрицы свертки, из которой вычитается 20 с целью представления области значений параметра М в качестве интервала [—10,10], что

не полностью отражает представление эксперта о риске.

В связи с этим предлагается суммировать все элементы матрицы для определения параметра на всей области определения рискообразующих параметров. Данный параметр может служить для интерпретации пессимистичности/оптимистичности ЛПР:

О

т.

(3)

І,}=1

Следует отметить, что при равных значениях М существует не более четырех матриц, которые отличаются параметром несимметричности N. Это говорит о достаточности используемых параметров для полного описания всех матриц риска.

На основе вышеизложенного может быть предложен альтернативный

универсальному методу конструирования матриц подход к решению задачи выбора матриц риска:

- на первом шаге выбора определяется тип ЛПР по склонности к риску, на основе этого заполняется главная диагональ матрицы свертки;

- на втором шаге достигается

однозначный выбор матрицы свертки -установлением параметров и применением их для снижения неопределенности в следующей последовательности: неравномерности М

(оптимистичности О) и несимметричности N.

Такой подход может быть реализован в виде программы, осуществляющей диалог с ЛПР.

В качестве примера универсальной бинарной модели предпочтения ЛПР, рассмотрим матрицу, удовлетворяющую вышеуказанным требованиям (рис .6).

Рис. 6. Универсальная модель предпочтения ЛПР: а) матрица свертки; б) топологическое представление

матрицы свертки

Имея топологическую интерпретацию матриц свертки (субъективное представление ЛПР), устанавливающую возможную динамику развития уровня риска Я при изменении рискообразующих параметров Х(Р) и Х(С)

относительно их контекстных исходных значений, целесообразно сопоставить ее с результатами количественного анализа риска на основе использования ОЗП (без проявления человеческого фактора) (рис.7).

Линии «изопрайс» на основе ОЗП

-----Линии «изопрайс» модели предпочтений ЛПР

Рис. 7. Сопоставление результатов количественного анализа, полученных методами топологической интерпретации матриц сверток и ОЗП

Рассмотрим пример рискового события

- риск увеличения переменных издержек предприятия, связанный с истощением сырьевой базы. Предположим, что такое событие может произойти с вероятностью 20%, при этом ожидается, что в случае его наступления прибыль предприятия будет равна нулю, т. е. размер потерь рискового события составит 100%. В этом случае ожидаемое значение потери равно 20%, что соответствует

0,2 в относительных переменных, описывающих уровень риска. В примере модели предпочтения ЛПР (рис.7) такой рабочей точке будет соответствовать уровень риска Я = 3, значение которого принадлежит стандартной шкале МКО. Если это значение перевести в относительную шкалу, что будет согласовываться с множеством значений ОЗП, то оно будет приблизительно равно 67%, что существенно превышает результат

произведения вероятности на размер потери.

Следует отметить, что уменьшение любого параметра в два раза приведет к снижению ОЗП до 0,1. А согласно модели предпочтений ЛПР в данной области уменьшение размера потерь приведет к

снижению уровня риска до значения 1,6 в шкале МКО или до 0,2 в относительных переменных, что соответствует уменьшению риска почти в 3 раза. В то же время уменьшение вероятности возникновения рискового события не приведет к уменьшению риска по модели предпочтений ЛПР.

Данный пример иллюстрирует принципиальное отличие результатов, полученных с помощью математического ожидания, от мнений, высказанных экспертом в его системе ценности, называемой предпочтением.

Построенная модель рисков, отличающаяся универсальностью стандартной шкалы МКО, имеет основание считаться универсальной моделью риска относительно множества возможных факторов. На основе такой модели предпочтений ЛПР можно решать задачи количественного анализа

многофакторного риска.

Определив уровни риска нескольких факторов (рис.8), можно поставить задачу определения интегрального или комплексного уровня риска.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 СЛ о

а)

б)

Рис. 8. Оценка уровней риска нескольких факторов: а) фактора № 1; б) фактора № 2; в) фактора № 3

Действительно, уровни риска определяются в стандартной шкале МКО и поэтому их значения могут быть представлены как множеством действительных значений в интервале [1,4], так и множеством нечетких значений, если использовать функцию фазификации, например, по методу «центра тяжести» [3]:

2 X -п

Хс =

При

(4)

ограничении

выражение (4) упрощается: Хс =2X, п,,

(5)

что обеспечивает взаимооднозначность обеих форм представления уровней риска.

Если для любого значения Хс в шкале МКО может быть построено нечеткое множество, то можно утверждать, что значение функции принадлежности в точке Хс должно принимать максимальное значение (мХс=1), не противореча формальной логике и, как показано ниже не нарушая процедуру вычисления центра тяжести.

2 X, -п + Хс

Хс =

2-X,

= X.

(6)

1 +1 2

Таким образом, нечеткое число может быть представлено не двумя парами значений, а тремя - АхС={Х/^і, Хі+1 /р.і+і, Хс/1}. Этим трем значениям графически соответствует нечеткое множество в виде треугольника (рис. 9).

Рис. 9. Представление действительного значения Хс в виде нечеткого множества АхС

Зная значения риска для отдельных факторов и имея их графическую интерпретацию, для получения интегрального

уровня риска следует использовать теоретикомножественную операцию пересечения.

Рис. 10. Процедура вычисления интегрального уровня риска для трех факторов

В результате пересечения нескольких нечетких множеств получается субнормальное нечеткое множество, при работе с которыми возникает проблема их ранжирования (сравнения)(рис. 10).

Для решения этой задачи используются четкие функции от нечетких аргументов, называемые индексами ранжирования [1]. К недостаткам детерминированных индексов ранжирования относят их неспособность учитывать характер изменения функций принадлежности нечетких множеств, в связи с чем становится нецелесообразным применение «центра тяжести» для решения задачи сравнения субнормальных нечетких множеств и

рекомендуется использование интегральных индексов ранжирования.

Однако, как показал вычислительный эксперимент, при ранжировании

субнормальных нечетких множеств наиболее распространенные индексы ранжирования дают одинаковые результаты для множеств с разными функциями принадлежности, что противоречит определению равенства нечетких множеств. Для решения данной проблемы был разработан следующий алгоритм вычисления четкого представителя нечеткого множества, по которому предлагается проводить сравнение нечетких множеств (рис. 11).

1 <

X: Х+0.5

і Г

^ Конец ^

1 г

X’: 8ир цх (А) хє5„

1 г

X’: тіп(х), х є

Ї

Х : тіп ^п(А) (1 - тах(п (А)))]

г

X: Х’+Х’+Х’”

г

Конец

Рис. 11. Алгоритм дефазификации нечеткого множества

Формализовав данный алгоритм, можно говорить о четкой функции от нечеткого

аргумента, т. е. индексе ранжирования нечетких множеств А, который имеет следующий вид:

ігА =

х; х : вир(п А) = 1, х < 0,5;

хє^а

х + 0,5; х : вир(пх А) = 1, х > 0,5;

хе5.

(7)

х = х + х2 + х3; х : §ир(п А), х2 : тіп (х), х3 = тіп вир(пх А),1 - вир(пх А) I.

хе5.

хє5.

V хєЛА

<

А

А

Используя предлагаемый индекс ігА, можно определить интегральный уровень риска для нескольких факторов.

На основе модели предпочтения возможно осуществить обоснование

мероприятий по снижению и управлению риском проекта в целом, а также решить другие задачи, связанные с риском: оценку

многофакторного риска и ранжирования уровня риска по факторам, задачу комплексного оценивания риска, а также задачи ранжирования объектов и состояний по уровню риска.

Универсальная бинарная модель предпочтений ЛПР в качестве инструмента количественного анализа многофакторных рисков все же уступает иерархической, многовходовой модели в разнообразии предоставляемых возможностей обоснования управленческих решений. Поэтому построение второго класса моделей остается актуальным,

несмотря на очевидные сложности, связанные с проблемой свертки уровней риска различных факторов. Приобретенный опыт работы с универсальными бинарными свертками подсказывает возможный путь преодоления данного препятствия на основе дополнительной информации о транзитивных связях искомых матриц свертки.

Постановка задачи синтеза многофакторной модели риска Дано:

а) факторы риска (ХрьХсі) - Фь (Хр2,Хс2) - Ф2, ... , (Хрк,Хск) - Фк, ...

б) тип ЛПР Я=Ы(Хр,Хс) - матрица, описывающая уровень риска по каждому фактору для любой пары рискообразующих параметров.

Построим комплексную модель риска (рис. 12):

Рис. 12. Искомая комплексная модель риска

Основная сложность состоит в непростой интерпретируемости свертки уровней двух и более факторов на основе обычной (не универсальной) бинарной свертки, поскольку в этом случае одинаковые уровни различных факторов идентичны.

План решения

Построение искомой модели опирается на итерационную процедуру расширения: от однофакторной модели к двухфакторной, от двухфакторной к трехфакторной и т.д.

Пусть для факторов Ф1 и Ф2 построены модели оценивания, подлежащие

агрегированию (свертке) (рис.13):

Х12 | М12

Хр1 Хс1 Хр2 Хс2 Рис. 13. Модель № 1 двухфакторного риска

Для определения свертки М12(Х1,Х2), являющейся решением поставленной задачи синтеза иерархической модели двухфакторного риска, нужна дополнительная информация (наблюдения):

Х12(Х1*, М(Хр2,Хс2)), Х1* Є 1,4 Х12(М(Хр1,Хс1), Х2*,), Х2* Є 1,4.

(8)

(9)

Эти матрицы транзитивного замыкания несут в себе информацию о свертке М12 обоих факторов (рис.14).

Рис. 14. Структура транзитивного замыкания модели № 1

Механизм транзитивного замыкания этого типа иллюстрируется на рис. 15:

Рис .15. Механизм транзитивного замыкания модели № 1 Из модели №1 можно получить новую модель № 2 двухфакторного риска (рис.16):

Х12 | М12

Хр1 Хр2 Хс1 Хс2

Рис. 16. Модель № 2 двухфакторного риска

В данной модели появляются новые свертки Хр и Хс, понятные ЛПР и подлежащие интерпретации.

В новой модели, полностью определенной, можно выделить транзитивные замыкания нового типа (рис.17,18) при тех же исходных данных, что и в предыдущей модели:

Х12(Мр(Хр1*,Хр2), Мс(Хс1*,Хс2)), ХсД

Хр1* е 1,4

_Х1

Хр2* е 1,4.

Х12(Мр(Хр1,Хр2*), Мс(Хс1,Хс2*)), Хс2*,

(10)

Хс2*

(11)

Х12 | М12

Х12 | М12

Хр Мр Хс Мс

* * Хр1 Хр2 Хс1 Хс2

Хр Мр Хс Мс

**

Хр1* Хр2 Хс1* Хс2

Рис. 17. Структуры транзитивного замыкания модели № 2

Хр2 X

рР

4

3 2

2 А 1 1

Х12

Хс

Хс1*

4 3 3 2

3 2 2 2

3 2 2 1

2 2 1 1

4 3 2 1

2 1 1 1

Хр

4

3

2

1

Х12

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

Хс2 4 3

Рис. 18. Механизм транзитивного замыкания модели № 2

Хр2

4

3

2

1

Идентификация свертки М^ в модели № 1 завершает построение искомой итерационной процедуры (рис. 19) упрощением

предшествующей модели (модели № 2) до однофакторной формы и последующей сверткой с новым фактором (Ф3).

Х1-3

Новые шкалы

Рис. 19. Итерационная процедура расширения множества учитываемых в модели риска факторов

Иерархическая модель

многофакторного риска, несмотря на значительную трудоемкость ее построения, дает более широкие возможности обоснования при выборе антирисковых управленческих решений.

Библиографический список

1. Борисов А.Н., Алексеев А.В.,

Меркурьев Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.

2. Фатхутдинов Р.А.

Инновационный менеджмент: учеб. для вузов СПб., 2002. 400 с.

3. Харитонов В.А., Белых А.А.

Технологии современного менеджмента / под науч. ред. В.А. Харитонова. Пермь: Изд-во Перм. гос. тех. ун-та, 2007. 190 с.