Принцип максимума понтрягина в теории оптимального управления технологическими режимами силового привода городского электрического транспорта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ РЕЖИМАМИ СИЛОВОГО ПРИВОДА ГОРОДСКОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТРАНСПОРТА

Р.Г. ИДИЯТУЛЛИН, А. Р. БАКИРОВ

Казанский государственный энергетический университет

В статье рассмотрены методы оптимального управления технологическими режимами силового привода подвижного состава городского электрического транспорта, в частности принцип максимума академика Л. С. Понтрягина.

Электрический транспорт является одним из основных потребителей электроэнергии, которая большей частью расходуется силовым приводом (СП) подвижного состава (ПС). Поэтому снижение удельного расхода электроэнергии (УРЭ) тяговыми электродвигателями (ТЭД), а также других транспортных издержек при выполнении назначенного объема перевозок является наиболее важной экономической задачей транспортной отрасли в рамках реализации Федеральной целевой программы «Энергосбережение России».

Одним из основных технологических направлений снижения удельного расхода электрической энергии СП подвижного состава городского электрического транспорта (ГЭТ) является разработка и внедрение оптимальных режимов силового привода по критерию минимального расхода электроэнергии [1-2].

Теоретические исследования в области оптимизации управления транспортными средствами получили широкое развитие и практическое применение после появления фундаментальных трудов Л.С. Понтрягина и его учеников, разработавших новый метод решения вариационных задач, - принцип максимума.

Рассмотрим задачу поворота вала ТЭД постоянного тока независимого возбуждения с управлением по току возбуждения (рис. 1) [3].

Рис. 1. Упрощенная схема ТЭД независимого возбуждения

Управляющее напряжение и(V) прикладывается к обмотке возбуждения. Изменение тока в обмотке '¡О и магнитного потока Ф(* ) описывается уравнениями:

© Р.Г. Идиятуллин, А.Р. Бакиров Проблемы энергетики, 2006, № 1-2

йі ,

Ь--------+ Яі = и (ґ),

йґ

і (0)= i0, (1)

ф(ґ ) = к1і (^

где Ь - индуктивность обмотки возбуждения; Я - сопротивление обмотки возбуждения; 1 - момент инерции вращающихся элементов ротора и нагрузки.

Вращающий момент М() якоря, через который протекает постоянный ток, определяется следующим выражением:

М() = к2ф() = к1к2І () ,

где к1,к2 > 0 - некоторые коэффициенты пропорциональности.

Пусть трение пренебрежимо мало, тогда выходное угловое смещение х(ґ) вала ТЭД удовлетворяет уравнению

1 ■Х (ґ) = М (ґ) = кі (ґ), к > 0. (2)

После несложных преобразований получаем

Ь1 ■ х (ґ) + Я1 • X (ґ) = ки () (3)

В качестве функционала, описывающего качество управления и(), принимаем расход электроэнергии Евх, подводимой на ТЭД за время управления от ґ = 0 до ґ = Т :

^ + і2()йґ + ь[і(ґ)—йі = °ТЛ/

Евх = ЕЯ + ЕЬ = і2 (ґ )йґ + Ь| і (ґ)—Ж = Я| і2 (ґ )йґ + Ь [і2 (Т)- і2 (0)], (4)

0 0 йґ 0

і () = і(0)в~і + Jexp (— ЯЬ_1 (ґ — я))• и(х)йх = g(и). (5)

0

Здесь g (и ( + 0)), где -1 < 0 < 0 - функционал вида (5), зависящий от значений управления и(ж) при 0 < ж < V . С учетом (5) получаем окончательный вид целевого функционала

J0 (и)= g2 (и ( + 0)) + Ь [g2 (и (Г + 0))- г2 ()] т/. (6)

0

Задача формирования функционала качества управления при оптимизации технологических режимов силового привода ПС достаточно многогранна, что и определяет сложность выбора критерия оптимизации. Например, в случае, если время движения по перегону не определено, при оптимизации по критерию минимума расхода энергоресурсов неизбежно увеличивается время движения ПС по данному перегону в сравнении с вариантом технологического режима, который получаем для задачи на быстродействие. Увеличение времени движения тяговой единицы снижает показатель оборачиваемости ПС, а следовательно, экономичность транспортной работы. Ситуация, когда решение обращает в

и

максимум один какой-то показатель и не обращает ни в максимум, ни в минимум другие, является типичной для многокритериальной задачи.

На эксплуатационные режимы ПС накладываются следующие ограничения:

1) температуры перегрева ТЭД, которая не должна превышать максимальной величины;

2) величин, характеризующих устойчивость ПС в рельсовой колее;

3) ограничения по сцеплению, связанные с риском возникновения разносного боксования;

4) ограничения максимальных продольных усилий.

Для рассматриваемого примера задача учета ограничений значительно упрощается:

0 < и(і )< итях,

< Ь йі Ьй§(и + (і + 0)) < иПр. (7)

йі йі

Первое неравенство ограничивает входное напряжение ТЭД. При резких изменениях входного напряжения и(^) возможны большие скачки напряжения на индуктивности, которые могут привести к пробою обмотки возбуждения. Данное обстоятельство учитывается вторым ограничением, где ?7пр - напряжение пробоя

обмотки возбуждения.

Таким образом, задача оптимального управления поворотом вала ТЭД формулируется следующим образом: перевести вал двигателя из начального положения х(о) = \о в конечное положение х(Т) = ^1 так, чтобы функционал (6) имел наименьшее значение и в процессе вращения постоянно выполнялись ограничения (7).

Поставленная задача является достаточно сложной и трудной для разрешения. Поэтому несколько упростим исходную математическую модель. Пусть индуктивность возбуждения пренебрежимо мала: Ь = 0, тогда понижается порядок уравнения (3), пропадает второе слагаемое функционала (6), в первом -вместо г ( ) = г ( и О + 0)) запишем и(}), поскольку Ш (1 ) = и (), и становится лишним второе ограничение (7). Упрощенная задача имеет вид

х(і) = к3и (і), к3 = кГ1 Я_1,

х (0) = | о, х (т )= ^

т

І1 (и) = ^ и2 (і)йі ^ іп/, 0 < и(і)< ип

(8)

Разрешение задач (3), (6), (7) и (8) осложняется тем, что малый параметр Ь служит множителем при старшей производной и задача является сингулярно возмущенной. Запишем упрощенную задачу (8) в виде

х1(і )= х2 (і X х1 (0) = ^ х2 (і )= и(і X х2 (0)= 12.

и

Пусть величина и(і) не ограничена. Найдем такое управление и(і), которое переводит начальное состояние (^1,42) в (0,0) за время Т/ и минимизирует функционал:

1 Т/

І1 (и) = — Г и2 (і)йі. (10)

2

2 0

Решим поставленную задачу (9), (10), основываясь на методологии теории оптимального управления Л.С. Понтрягина. Поиск оптимального управления начнем с отыскания экстремального управления. Гамильтониан для системы (9), (10) имеет вид

Н =—u2 (t)+ Х2 (t )у і (t)+ u (t )у 2 (t)

2

(11)

Экстремальное управление должно минимизировать гамильтониан, поэтому дН

du(t)

= u(t)+ у 2 (t )= 0

(12)

д 2 Н

и

du2 (t)

= 1, тогда экстремальное управление

Уі (t) и у2 (t)

u(t) = -у 2 (t), t е[о, Tf ].

Сопряженные переменные дифференциальным уравнениям:

дН

Vi(t ) =---— = 0,

дх, (t)

V 2 (t ) = —d"7T = -Vi(t). дх2 (t)

Пусть начальные значения сопряженных переменных

Vi (0)= П1, V 2 (0)= п 2,

(t ) = п, = const, тогда 1

LV2(t)= п2 - nit.

Экстремальным будет управление вида u(t) = -п2 + n,t, t e[0,Tf ].

(13)

должны удовлетворять

(14)

(15)

(16)

(17)

Таким образом, оптимальное управление, если оно существует, должно быть линейной функцией с начальным значением и(0) = —п2 и наклоном П1.

Следующий шаг состоит, очевидно, в определении п1 и п2 через ^1,42 и Ту .

Проинтегрируем уравнения системы (9) для управления (17):

1 2 1 3 *1 (і) = 41 + І2*--П2і + -П^ ,

6

*2(і)= 42 - П2і + -П1і2.

2

С учетом *1 (Т/ )= *2 (Т/ )= 0

П1 =~г ( +42Т/),

Т/

П 2 =^ (341 + 242Т/ ).

Т/

Экстремальное управление выражается формулой и(і)=-2(341 + 242Т/Г(241 + 42Т/)> і .

(19)

(20)

/

/

Управление (20) удовлетворяет необходимым условиям и, следовательно, является единственной функцией от 41,42, Ту и Ь, кроме того, как показано

выше, для данной задачи оптимальное управление существует. Таким образом, можно заключить, что оптимальное управление единственно и выражается соотношением вида (20).

Минимальная энергия, затрачиваемая на оптимальное управление,

е* = е* (41,4 2,Т/ )=4- (342 + 34142Т/ + 4 2Т2).

(21)

/

Рассмотрим задачу со сложным критерием: необходимо найти управление, переводящее систему (9) из начального состояния (41,4 2) в (0,0) и минимизирующее функционал (22):

1 Т Т 11 (и) = кТ + — Г и2 (і)йі =Г

2 0 0

к +—и2 (і) 2

йі,

(22)

где Т не задано, к > 0 .

Здесь поставлена задача с закрепленным правым концом и незаданным временем перехода. Функционал (22) представляет собой линейную комбинацию эквивалентного времени и потребляемой энергии, т.е. необходимо найти такое управление, которое повернет вал ТЭД на заданный угол в кратчайшее время и потратит при этом наименьшее количество электроэнергии.

Гамильтониан для системы (9) и функционала (22) равен

И =4 + - и2 (і)+ *2 (і )^1 (і)+ и (і )¥ 2 (і) , в2 2

2

(23)

где к = —. Управление, минимизирующее гамильтониан: и(Ь ) = —у 2 (Ь).

в 2

Необходимое условие:

2 1

— + - и2 (і) + Х2 (і )^1 (і) + и (і )у 2 () = 0 , в2 2

2

(24)

(25)

(26)

и('>=± ?

Из (25), (19), (20) находим

Т = 2 ( ві2 + а/^¡Г+щїТ);

Т2 = 1 ( ві2 -V в 2і2 + 12РІ1);

Тз = 1 (- ві 2 ^ л/р^Ії^ї^ріТ);

Т4 = 2 (- ві 2 -а/ в 2і 2 - 12вІ1 ).

Необходимое условие дает конечные времена, экстремизирующие функционал. Далее следует определить, какие из четырех положительных времен (26) действительны, положительны и соответствуют локальному минимуму Л(і1,І2,Т) (см. таблицу).

Таблица

Вариант Условия Локальный минимум Примечание

1 і 2 > 0 и І1 > 0 ві 2 или і 2 < 0 и ^1 > 12 Т1 Оптимальное управление единственно и конечное время равно 71

2 і 2 < 0 и І1 < 0 ві 2 или і 2 > 0 и ^1 > 12 Тз Оптимальное управление единственно и конечное время равно 73

3 ві 2 і 2 > 0 и 2 < і1 < 0 12 Т и Тз ( Т2 локальный максимум) Два экстремальных управления

4 ві 2 і2 < 0 и 0 < і1 < — 12 Т1 и Тз ( Т4 локальный максимум) Два экстремальных управления

В вариантах 3 и 4 имеются два различных оптимальных управления. Одно из этих управлений требует малого времени перехода и большой затраты электроэнергии, а другое - большого времени перехода и малых затрат электроэнергии.

В результате проведенных исследований и оптимизации технологических режимов силового привода подвижного состава ГЭТ получены следующие основные результаты:

1. Разработана методика оптимизации технологических режимов СП подвижного состава трамваев по критерию минимального расхода электроэнергии с учетом ограничений безопасности движения на элементах продольного профиля пути. Алгоритм и машинная программа дают возможность построить тренажеры для водителей, работающие в режиме реального времени.

2. Предложен алгоритм и внедрена на транспортных предприятиях ряда городов методика расчета режимных карт (РК) с учетом полученных зависимостей для оценки параметров оптимальных технологических режимов СП трамваев. Методика расчета РК реализована на ЭВМ.

3. Внедрение режимных карт, рассчитанных по предложенной методике, позволило получить до 3% экономии электрической энергии, расходуемой на тягу трамваев.

Summary

The article is devoted to the technological regimes optimal controlling methods of the city electric transport rolling stock actuator, such as to the maximum principle of academic Pontryagin L.S.

Литература

1. Бакиров А.Р. Снижение электропотребления силового привода электрического транспорта: Научное издание. - Казань: КГЭУ, 2005. - 256 с.

2. Бакиров А.Р. Разработка методики расчета рациональных эксплуатационных режимов тяговых электродвигателей трамваев. Дисс. канд. техн. наук: 05.09.03 - Казань: КГЭУ, 2003. - 161 с.

3. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение, 1968. - 764 с.

Поступила 14.02.2005