Принцип инвариантности для неавтономных дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911.5

ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© И.А. Финогенко

Ключевые слова: предельное дифференциальное включение; неавтономная система; по-луивариантное множество; функция Ляпунова; принцип инвариантности.

Для неавтономных дифференциальных включений вводится понятие предельных дифференциальных включений, изучаются их свойства, исследуются свойства типа инвариантности ш -предельных множеств решений и устанавливается аналог принципа инвариантности Ла-Салля с использованием функций Ляпунова со знакопостоянной производной. Метод исследований в равной степени может применяться для дифференциальных уравнений и при соответствующих предположениях приводит к известным результатам.

Выводы, которые можно сделать при исследовании систем дифференциальных уравнений х = /(х) с использованием функций Ляпунова V(х) со знакопостоянными производными, содержатся в теореме Ла-Салля (см. [1, стр. 190]), известной как принцип инвариантности: для автономного дифференциального уравнения ш -предельное множество решения принадлежит объединению всех непродолжимых орбит, каждая из которых представляет подмножество множества Е(V = 0) = {х : V(х) = 0} нулей производной функции Ляпунова V(х). Доказательство этой теоремы существенным образом опирается на свойство полуин-вариантности ш -предельных множеств автономных систем. Для неавтономных уравнений на этом пути возникают трудности, связанные с тем, что ш -предельные множества не обладают какими-либо свойствами инвариантности относительно исходных уравнений. Кроме этого, возникает вопрос о том, что понимать под множеством Е(V = 0), т. к. производная V зависит не только от переменной х, но от Ь.

Попытки преодолеть эти трудности и перенести принцип инвариантности на неавтономные уравнения

привели к понятиям предельных уравнений, порождаемых сдвигами /т(Ь,х) = /(Ь + т,х)

ния х(Ь) уравнения (1) и х(Ьк) ^у0 € Л+(х) при Ьк ^ +гс>. Тогда функции ук(Ь) = х(Ь + Ьк), Ь ^ 0, являются решениями уравнений ук(Ь) = /(Ь + Ьк,Ук(Ь)) и возникает вопрос об уравнении, которому удовлетворяет предельная функция у(Ь) при Ьк ^ +гс>. Очевидно, что у(Ь) € Л(х) и поэтому ответ на этот вопрос дает некоторое свойство типа инвариантности множества Л+ (х). При условии равномерной непрерывности и ограниченности функции /(Ь, х) на каждом множестве вида [а, +гс>) х К, где К С Яп — компактное множество, существует подпоследовательность {Ьк1}, такая, что /*к (Ь,х) /'(Ь,х). Предельное урав-

нение определяется в виде: х = /'(Ь, х) и функция у(Ь) является его решением. Теперь, если V(Ь,х) — функция Ляпунова, удовлетворяющая неравенству У(Ь,х) ^ ,ш(Ь,х) ^ 0 в силу уравнения (1), то некоторый аналог принципа инвариантности для неавтономного уравнения (1) может быть установлен в терминах т. н. предельной пары (/' ,'ш').

Еще один путь исследований состоит в том, что предельная функция /'(Ь,х) определяется из условия

(1)

функции / : Я1 х Кп Кп. Пусть Л+(х) - ш -предельное множество ограниченного реше-

(2)

2725

для любого фиксированного t>a0. Здесь функция f (t,x) удовлетворяет условиям Ка-ратеодори. В этом случае предельные уравнения могут записыватся в операторном виде (Artstein Z. J. Differ. Equations, 1977-1978)

В данной работе предельные отображения построены на формуле (Davy J.L. Bull. Austral. Math. Soc. 1972):

y(t) £ Hn>icoUk>nУк(t) (3)

для п. в. t £ I, справедливой для предела y(t) последовательности абсолютно непрерывных функций ук : I Rn. (Здесь со — символ выпуклой замкнутой оболочки множества.)

Для многозначного отображения F : R1 х Rn Rn с выпуклыми компактными значениями с помощью многозначного оператора сдвига F(t + т,х) мы вводим два типа многозначных отображений, структура которых определяется в соответствии с формулой (3), а именно:

F1 (t, х) = nn^ioOUk^nF(t + tk, х), F*(t, x) = nb>ocOUT>bF(t + tk, x). (4)

Мы устанавливаем, что при некоторых условиях предел y(t) последовательность функций Ук(t) = x(t + tk), где x(t) — решение включения

X £ F(t, x), (5)

является решением дифференциальных включений

x £ F'(t,x), x £ F*(t,x). (6)

Многозначные отображения F'(t,x) и F*(t,x) называются предельными для многозначного отображения F(t,x), а включения (6) — предельными дифференциальными включениями. При этом оказывается, что отображение F(t,x) не зависит от переменной t и таким образом второе включение (6) автономно.

Отметим, что если F(t, x) = f (t, x) — однозначное отображение, то отображения F'(t, x) и F* (t,x) в общем случае многозначны. Но при этом:

1. Если последовательность ftk (t,x) сходится поточечно, то предельное отображение совпадает с F'(t,x), а если существует предел limt^+TO f (t,x), то он совпадает с F*(x).

2. Если последовательность сдвигов ftk(•,x) ограничена в пространстве Li(I,Rn) при каждом фиксированном x, то для предельной функции f (t, x), определенной равенством (2), выполняется f'(t,x) £ F'(t,x) для п. в. t £ [0, +гс>) при любом фиксированном x.

Таким образом, предлагаемый подход обобщает упомянутые выше методы исследования неавтономных дифференциальных уравнений (1).

В данной работе мы исследуем свойства предельных отображений (4), в терминах дифференциальных включений (6) устанавливаем свойства типа инвариантности для ш -предельных множеств включения (5) и с использованием функций Ляпунова со знакопостоянной производной доказываем для него аналог принципа инвариантности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Руш Н., Абетс М., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований № 17 Президиума РАН, СО РАН (междисциплинарный проект № 80) и ФЦП Министерства образования и науки РФ (прект № 2012-1.2.1-12-000-1001-011).

Finogenko I.A. PRINCIPLE OF INVARIANCY FOR NONAUTONOMOUS DIFFERENTIAL INCLUSIONS

2726

For nonautonomous differential inclusions the concept of limiting differential inclusions is entered, their properties are studied, properties such as invariancy w -limiting sets of solutions are investigated and the analogue of the principle of invariancy LaSalle by use of Lyapunov’s functions with constant signs a derivative is established. The method of researches equally can be applied to the differential equations and under corresponding assumptions leads to known results.

Key words: limiting differential inclusion; nonautonomous system; semiinvariant set; Lyapunov’s function; a principle of invariancy.

УДК 517.977.5

О ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ НА БЕСКОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ С

МОНОТОННОЙ ДИНАМИКОЙ

© Д.В. Хлопин

Ключевые слова: задача управления; задача на бесконечном промежутке; необходимые условия оптимальности; краевое условие на бесконечности; принцип максимума Понт-рягина; монотонность.

В задачах управления на бесконечном промежутке для оптимального управления не существует удобного краевого условия на бесконечности, необходимого для его оптимальности. Задачи с монотонными по x правой частью и целевой функцией обычно более просты для исследования; работы последних лет показали, например, что удовлетворяющая соотношениям принципа максимума сопряженная переменная в таких задачах сохраняет знак. Для существенного класса таких задач удается предъявить для такой сопряженной переменной как краевое условие, так и конкретную формулу. В докладе предполагается обсудить возможность переноса этого условия на произвольные задачи с монотонной правой частью.

В задачах управления на бесконечном промежутке времени

л Гт

x = f (t,x,u), x(G) = G, u Є U(t), J[x,u](t)= g(t,x,u)dt max

0

принцип максимума Понтрягина (ПМП) является необходимым условием оптимальности, однако сам он не содержит (см. [1, § б]) удобного условия на выбор сопряженной переменной.

Для оптимального процесса (u0,x0) рассмотрим набор краевых задач

дН ■ дН

xn = -7ГТ, xn(G) = Zn, Фп =-----, Фп^n) = G, An > G, An + ||^n(G)|| = 1,

дф ox

где H = yf(t,x,u0(t)) + Ag(t,x,u°(t)). Дополнительным необходимым условием оптимальности является существование для некоторых Zn ^ G,^ ж у решений этих задач преде-

ла (x0, A0, ф0), удовлетворяющего условию максимума. Назовем эти пределы исчезающими решениями ПМП. Такое необходимое условие оптимальности впервые было выделено в [2, Theorem 9.1]; общий случай в [3, Theorem 2]. Его использование значительно упрощается, если найдется исчезающее решение со свойством xn = x0, назовем его строгим [4].

2727