CC BY
14
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4(15). C. 12-16. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-12-16
УДК 517.95
ПРИНЦИП ЭКСТРЕМУМА И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ С ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА
З. В. Кудаева
Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 а E-mail: Kudaeva_zalina@mail.ru
В работе доказан принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, содержащей две параллельные линии изменения типа.
Ключевые слова: принцип экстремума, задача Дирихле, уравнение Лаврентьева-Бицадзе.
© Кудаева З.В., 2016
MSC 65N80
EXTREMUM PRINCIPLE AND SOLUTION UNIQUENESS OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR THE LAVRENT'EV-BITSADZE EQUATION WITH TWO PARALLEL LINES OF DEGENERACY
Z.V. Kudaeva
Institute of Applied Mathematics and Automation 360000, Kabaerdino-Balkariya, Nalchik, Shortanova st., 89 a, Russia E-mail: Kudaeva_zalina@mail.ru
In this paper, we proved extremum principle and the solution uniqueness of the Dirichlet problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation of the second order in the domain comprising two parallel lines of degeneracy.
Key words: extremum principle, Dirichlet problem, the Lavrent'ev-Bitsadze equation.
© Kudaeva Z.V., 2016
Введение
В работе исследуется единственность решения краевой задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, содержащей две параллельные линии изменения типа.
Среди работ, посвященных краевым задачам для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения, отметим работы [1]-[4].
Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными х, у:
, 2 ч д2и д2и
sign (у - ym) • д-2 + ду2 = 0
(1)
где m-натуральное нечетное число.
Уравнение (1) является уравнением гиперболического типа в полосе 0 < у < т, эллиптического типа вне этой полосы и параболически вырождается на параллельных линиях у = 0, у = т, где коэффициент к (у) = sign(y2 — ут) при старших производных претерпевает разрыв первого рода.
Пусть О - смешанная область (см. рис. при т = 3), гиперболическая часть которой совпадает с прямоугольной областью О- = {(х, у) :0 < х < 1, 0 < у < т}, а эллиптическая представляет
собой объединение двух односвязных областей О+ и О+, расположенных в полуплоскости у < 0 и у > т соответственно: О+ ограничена кривой 00 с концами в точках А0 = (0,0), В0 = (1,0) и отрезком А0В0 прямой у = 0; О+ ограничена кривой 01 с концами в точках Ат = (0, т), Вт = (1, т) и отрезком АтВт прямой у = т.
Цель данной работы состоит в исследовании единственности решения следующей задачи.
Задача Э. Найти непрерывную в замкнутой области О функцию и = и(х,у), обладающую следующими свойствами:
всюду за исключением,
1) и(х, у)-регулярное в областях По
+ П+ и в области П
быть может, характеристик : у — х = i, B/Aj+i : у + х = i + 1, где i = 0, m — 1.
решение уравнения (1);
2) и(х, у) удовлетворяет условиям сопряжения
lim иу(х,у) = lim иу(х,у), 0 < х < 1,
у—+0 у—^—0
lim иу (х, у) = lim иу (х, у), 0 < х < 1,
у—m+0 у—m—0
и краевым условиям
и|о0 = Ф0 (х, у),
(2)
ISSN 2079-6641
Кудаева З. В.
и|СТ1 = y),
"UoAm = ^o(y), о < y < m,
(3)
(4)
и|во5ш = 11 (у), 0 < у < т, (5)
где фо(х,у), <р1(х,у), 10 (х), ^(х) - заданные достаточно гладкие функции.
Задача Дирихле, рассматриваемая в работе для уравнения (1), представляет интерес в связи с тем, что является, по-видимому, наиболее общей для уравнения типа Лаврентьева-Бицадзе с двумя параллельными линиями изменения типа, в которой возможно прямое использование фундаментальных свойств эллиптических и гиперболических функций (принцип А.В. Бицадзе [5], принцип Зарембы для гармонических функций [6], теорема о среднем значении для одномерного волнового уравнения [7]) которое приводит к доказательству единственности решения задачи.
Для уравнения (1) в области О справедлив принцип экстремума, который сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть и(х,у)-решение задачи В при 10 (у) = 1^1 (у) = 0 для всех у е [0, т]. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и(х, у) на компакте О+ = О+ и О+ достигается на о0 и а1.
Доказательство теоремы проведем при дополнительном предположении, что функция иу(х,у) является непрерывной в замкнутой области О всюду, за исключением, быть может, точек А0,В0,А1,В1,...,Ат,Вт, где она может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка.
Поскольку 10(у) и 11 (у) равны нулю на сегменте [0^], то из (4) и (5) имеем:
и(0,у)= 0, и(1,у) = 0, 0 < у < т. (6)
В области О- функция и(х,у) является решением волнового уравнения
Их - Иуу = 0. (7)
Воспользуемся теоремой о среднем значении для уравнения (7), которая формулируется следующим образом. Пусть г1 = (х1,у1),г3 = (х3,уз) и г2 = (х2,у2),г4 = (х4,у4)-противоположные вершины произвольным образом фиксированного характеристического четырехугольника г1г2г3г4 принадлежащего замкнутой области О-. Тогда ([7, с.165]) для любого решения и (г) = и(х, у) уравнения (7) справедливо равенство
и(г1) + и(гз) = и(г2) + и(г4).
Условие (6) и теорема о среднем значении для уравнения (7) позволяют записать (см. характеристические четырехугольники на рис.):
и(х, 0) + и(1 - х, 1) = 0, и(1 - х, 1) + и(х, 2) = 0, < и(х, 2) + и(1 - х, з) = 0, (8)
w(x, m — 1) + м(1 — x, m) = 0. 14
Из системы (8) следует
To(x) + Ti(1 -x) = 0, 0 < x < 1, (9)
где T0(x) = u(x, 0), T1(x) = u(x, m).
Поскольку u(x,у)-решение волнового уравнения (7), то u(x,y) = f (x — y) + g(x+y). Отсюда следует, что uy(x,y) = — f'(x — y) + g'(x + y) является решением уравнения (7) и для uy(x,y) применима теорема о среднем. Выписав систему аналогичную системе (8), получим из нее
uy(x, 0) + uy(1 — x, m) = 0,
т.е.
V0(x) + V1(1 — x) = 0, 0 < x < 1, (10)
где V0(x) = uy(x, 0), V1 (x) = uy(x, m).
Допустим, что положительный максимум функции u(x,y) на компакте О+ достигается в точке Z = (^,П). Функция u(x,y) в областях О+ и О+ удовлетворяет уравнению Лапласса
Ux + Uyy = 0. (11)
Поэтому в силу принципа экстремума для гармонических функций точка Z не принадлежит О+ и О+. Допустим, что Z = Z0 = (£, 0),0 < x < 1. Тогда согласно принципу Зарембы [6] для уравнения (11) в точке положительного максимума
V0(<§) > 0. (12)
В силу (9) и (10) точка (^1,m), где = 1 — ^, представляет собой точку отрицательного минимума функции u(x,y) на компакте О1+, и в этой точке тЦ^) = — Т0(^) < 0. Согласно принципу Зарембы
V1(É) = — V0(<§) > 0. (13)
Неравенство (13) противоречит неравенству (12). Это противоречие результат неверного предположения. Следовательно, Z = (£,0). Очевидно, что Z = (£, 1). Аналогично решается вопрос и в случае отрицательного минимума. Таким образом, доказано, что экстремум, достигаемый по теореме Вейерштрасса функцией u(x,y) на компакте О+, реализуется в точках, лежащих на ö0U 01.
Из теоремы (принципа экстремума) для однородной краевой задачи следует тривиальность решения, т.е. единственность решения задачи Дирихле (2)-(5) для уравнения (1) в области О.
Существование решения задачи доказывается методом редукции к сингулярному интегральному уравнению [5].
Случай когда область представляет собой квадрат = {(x,y) :0<x< 1,0 < y < 1} был рассмотрен в работе [8].
Список литературы
[1] Нахушев А.М., "Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения", ДАН СССР, 170:1 (1966), 38-40, [Nakhushev A.M. Kraevaya zadacha dlya uravneniya smeshannogo tipa s dvumya liniyami vyrozhdeniya. DAN SSSR. 1966. 170:1. 38-40 (in Russian)].
ISSN 2079-6641
Кудаева З. В.
[2] Базарбеков А. Б., "Об одной задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения", Дифференциальные уравнения, X:1 (1974), 1823, [Bazarbekov A. B. Ob odnoy zadache dlya uravneniya smeshannogo tipa s dvumya parallel'nymi liniyami vyrozhdeniya. Differentsial'nye uravneniya. 1974. X:1. 18-23 (in Russian)].
[3] Sibner L. M., "A boundary problem for an equation of mixed type having two transistions", J. differenial Equation, 4 (1968), 634-645.
[4] Rassias J. M., "Extended Bitsadze-Lavrent'ev problem with elliptic arcs in euclidean plane", Comptes rendys de I'Academie Bulgare des Sci, 38:1 (1985), 31-34.
[5] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, АН СССР, М., 1959, 164 с., [Bitsadze A. V. Uravneniya smeshannogo tipa Moskva. AN SSSR. 1959. 164 (in Russian)].
[6] Заремба С., "Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа", Усп. ма-тем. наук, 1946, №I, 3-4, [Zaremba S. Ob odnoy smeshannoy zadache, otnosyashcheysya k uravneniyu Laplasa. Usp. matem. nauk. 1946. I. 3-4 (in Russian)].
[7] Нахушев А.М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995, 301 с., [Nakhushev A.M. Uravneniya matematicheskoy biologii. Moskva. Vyssh. shk. 1995. 301 (in Russian)].
[8] Кудаева З.В., "Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями параболического вырождения", Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 9:2 (2007), 39-43, [Kudaeva Z.V. Zadacha Dirikhle dlya uravneniya smeshannogo tipa s dvumya parallel'nymi liniyami parabolicheskogo vyrozhdeniya. Doklady Adygskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk. 2007. 9:2. 39-43 (in Russian)].
Для цитирования: Кудаева З. В. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с двумя параллельными линиями изменения типа // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4(15). C. 12-16. DOI: 10.18454/20796641-2016-15-4-12-16
For citation: Kudaeva Z. V. Extremum principle and solution uniqueness of the Dirichlet problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation with two parallel lines of degeneracy, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 15: 4, 12-16. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-12-16
Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.10.2016
