CC BY
72
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
УДК 62-83:45.41.00 Гусев Николай Владимирович,
к. т. н., доцент кафедры электропривода и электрооборудования Энергетического института, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, e-mail: [email protected]
Кауцман Василий Валерьевич, аспирант кафедры электропривода и электрооборудования Энергетического института Национальный исследовательский Томский политехнический университет, e-mail: [email protected]
ПРИМЕНЕНИЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ САУ ЭЛЕКТРОПРИВОДА
N. V. Gusev, V. V. Kautsman
Z-TRANSFORMATION APPLICATION FOR ELECTRIC DRIVE DESIGN AND RESEARCH
Аннотация. Рассмотрен переход из области непрерывных сигналов в z-область. Построена дискретная по времени система управления электродвигателем. С использованием приложения MATLAB исследовано поведение дискретной модели. Проведено сравнение моделей в s-области и z-области. Показана целесообразность применения z-преобразования при проектировании дискретных систем управлении.
Ключевые слова: преобразование Лорана, z-область, система автоматического управления, сервопривод, контур положения, частота дискретизации.
Abstract. The transition from the area of continuous signals to Z-domain is demonstrated. The time-discrete electrical motor control system was designed. Using MatLab software the research of the model was made. Comparison of models in Z-domain and S-domain was made. It was demonstrated that Z-transformation is more correct for discrete control system design.
Keywords: Loran transformation, Z-domain, automatic control system, servo drive, position control system, sampling.
Введение
Наиболее часто при проектировании и исследовании систем автоматического управления сервоприводов используется преобразование Лапласа. Очевидными достоинствами данного преобразования являются достаточной простой
переход из временной области в s-область, простота настройки и исследования систем управления. Однако данное преобразование применимо только к непрерывным системам. Разрабатываемые системы электроприводов и сервоприводов являются цифровыми, что накладывает ограничение на применение преобразования Лапласа.
Аналогом преобразования Лапласа для дискретных систем является преобразование Лорана, иначе называемое ^-преобразованием. Z-преоб-разование используется наряду с преобразованием Лапласа в тех случаях когда вместо функции времени f(t) задается последовательность f(n), где (n = 0, 1, 2...), значения которой измерены в моменты времени (t = 0, 1,.) [1]. Таким образом, применение данного преобразования к дискретной части модели позволяет учесть дискретизацию по времени контуров регулирования САУ.
В работе [3] нами был рассмотрен электропривод дублирующего рулевого управления летательного аппарата. Для данного электропривода были определены структура САУ электропривода, настройки регуляторов и оптимальные частоты квантования контуров регулирования. Используя имеющиеся данные, произведём z-преобразование модели.
Контур тока
Структурная схема контура тока по осям d и q приведена на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема контура тока
В структурной схеме приняты следующие обозначения:
& - коэффициент передачи пропорциональной части регулятора тока; кинв - коэффициент усиления преобразователя частоты; кдт - коэффициент передачи датчика тока; Трт - постоянная времени регулятора тока; Гшим - постоянная времени широтно-импульсного модулятора преобразователя частоты; Тэ - электромагнитная постоянная времени цепи обмотки статора.
Как видно из представленного рисунка, контур можно разделить на дискретную и непрерывную части. Это связанно с тем, что двигатель, ста-торная цепь которого входит в состав контура тока, является непрерывным звеном. Прочие составляющие контура реализованы программно, поэтому их расчёт происходит на частоте /шим = 10 кГц .
Произведём ^-преобразование дискретных звеньев контура тока (рис. 2).
Передаточная функция инвертора в у/ \ к
области в(у) =-—-. Согласно таблице
Тинв • 8 + 1
^-преобразований [1, 4], передаточной функции инвертора в у-области соответствует следующая передаточная функция в ^-области
к„
( ( 1 -ехр
Жинв (* )=-
тл
\\
Т
• г
инв у у
(
г - ехр
.Т
Т
\
где Та = Гинв = 10 с - период квантования контура тока.
Для оценки адекватности преобразования сравним переходные процессы, полученные при отработке ступенчатого воздействия блоком в у-области и г-области в среде МЛТЬЛБ БШиПпк. Полученные графики переходного процесса показаны на рис. 3.
0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 Рис. 3. Переходные процессы при отработке ступенчатого воздействия блоком инвертора: 1 - в «-области; 2 - в ¿-области
Результаты моделирования на рис. 3 демонстрируют следующее:
• установившиеся значения в обоих случаях идентичны;
• значения графиков переходных процессов в дискретные моменты времени квантования контура тока равны;
• темп нарастания сигнала в дискретной системе больше ввиду примененного метода расчета модели, основанного на опережающей интерполяции.
Преобразование передаточной функции регулятора тока.
Передаточной функции регулятора тока
V л
в у-области Ж (у) = кр
1 + •
1
Трт • у у
соответству-
ет передаточная функция в г-области:
Жрт (г ) = к р
1 + -
Г Г
- • г
рт
г-1
V у
Проведём исследование процессов, протекающих в контуре тока при отработке ступенчатого воздействия моделей в у-области и г-области. Имитационная модель приведена на рис. 4. По-
Рис. 2. Имитационная модель инвертора в ¿-области
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
Proportional term 6
Рис. 4. Схема набора имитационной модели контура тока в «-области и z-области
скольку модели контуров тока для осей q и d идентичны, то рассмотрим только контур тока оси q. Для расчёта процессов, протекающих в непрерывной части системы, используется шаг счёта 10-6 с.
Пунктиром на рис. 4 обозначена схема набора имитационной модели подсистемы Current Loop controller (контроллер контура тока). Подсистемы SDPM (синхронный двигатель с постоянными магнитами) и Current controller (контроллер тока) были рассмотрены в [3]. Графики переходных процессов в контуре тока приведены на рис. 5.
Анализ показателей качества дискретного и аналогового контуров тока показывает следующее:
• установившееся значение регулируемой величины соответствует заданному значению в сравниваемых моделях;
• перерегулирование в дискретной системе оказалось значительно меньше, чем в непрерыв-
ной, и составило 0,155 %, тогда как перерегулирование в непрерывной системе оказалось равным 4,39 %, что объясняется дискретностью квантования контура тока по времени;
• наличие незначительных пульсаций тока частотой 10 кГц в дискретной системе определяется дискретизацией контура по времени.
..............;..................
TL...................................
\Г%.L..........1.................
1.......|..................................
(7 \
О 0,0004 0,0008 0,0012 0,0016
Рис. 5. Переходные процессы в контуре тока при отработке ступенчатого задания 1 А: 1 - в «-области; 2 - в ¿-области
Контур скорости
Структурная схема контура скорости приведена на рис. 6.
В структурной схеме приняты следующие обозначения:
крс - коэффициент передачи пропорциональной части регулятора скорости; ^^ - пото-косцепление, создаваемое постоянными магнитами двигателя; - число пар полюсов двигателя; соответствует передаточная функция в г-области J - момент инерции электропривода; Г - по-
z - exp
Передаточной функции фильтра регулятора
1
контура скорости в 5-области W^2 (5) =
Тф2 • 5 + 1
- ко-
стоянная времени регулятора скорости; /ред2
эффициент передачи редуктора в цепи обратной связи; к - коэффициент передачи датчика скорости; к - коэффициент усиления сигнала обратной связи; Гф1 - постоянная времени входного фильтра; Гф2 - постоянная времени фильтра регулятора скорости.
Действуя аналогично случаю контура тока, определяем г-преобразования дискретных частей системы. Для контура скорости принят период
дискретизации, равный Гдкс = 5 • 10-4 с.
Передаточной функции регулятора скорости
Г 1 Л
в 5-области W (s) = крс •
1 + •■
1
Трс ^Sу
соответ-
ствует передаточная функция в z-области
(
W (z ) = к
рс V / рс
Т„
\
1 + ■
рс
z-1
контура скорости в 5-области Wф1(s) =
Т ф1 •5 +1
соответствует передаточная функция в z-области
W 2 ( z ) =
1 - exp
z - exp
< 6..^
aen
v Oil!
i 6...У
aen
6.7 v 0 2 у
Так как в системе отсутствует датчик скорости, система для формирования обратной связи использует датчик положения, дифференцируя его сигнал.
Запишем выражение для дифференциала положения в разностной форме
ю(пТ)= Аф(пТ) = ф(пТ)-ф((п - \)Т) .
Применяя к данному разностному уравнению г-преобразование, получим передаточную функцию дифференцирующего устройства
(z Ьт^ • — ^(z) •
QlZ
z
V у
Передаточной функции входного фильтра
1
Проведём исследование процессов протекающих в контуре скорости при отработке ступенчатого воздействия моделей в 5-области и z-области. Имитационная модель представлена на рис. 7. Пунктирной линей на рис. 7 выделена схема набора имитационной модели подсистемы PI-5peed controller (ПИ-регулятор скорости). Графики переходных процессов в контуре скорости моделей в 5-области и z-области приведены на рис. 8.
z
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
ш
Рис. 7. Имитационные модели контура скорости в «-области и z-области
О 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 Рис. 8. Графики переходных процессов скорости: 1 - в «-области; 2 - в z-области
Анализ показателей качества дискретного и аналогового контуров скорости показывает:
• установившееся значение регулируемой величины соответствует заданному значению в сравниваемых моделях;
• перерегулирование в дискретной системе оказалось выше, чем в непрерывной системе, и составило 10,6 %, тогда как перерегулирование в непрерывной системе оказалось равным 8,3%, что объясняется дискретностью квантования контура скорости по времени;
• время регулирования в дискретной системе составило 0,01 с, тогда как в непрерывной системе составило 0,0115 с, что объясняется использованием метода расчета с опережающей интерполяцией.
Контур положения
Структурная схема контура положения приведена на рис. 9._
Рис. 9. Структурная схема контура положения
В структурной схеме приняты следующие обозначения: £рп - коэффициент усиления регулятора положения; £ - коэффициент передачи датчика положения; £оп - коэффициент усиления сигнала обратной связи по положению.
Так как контур положения включает в себя только безынерционные элементы, производить z-преобразование не требуется.
Проведём исследование процессов протекающих в контуре скорости при отработке ступенчатого воздействия моделей в s-области и z-области. Схема набора имитационной модели контура положения представлена на рис. 10. Пунктирной линей на рис. 10 выделена схема набора имитационной модели подсистемы PI-position controller (ПИ-регулятор положения).
Графики переходных процессов в контурах скорости приведены на рис. 11.
Анализ показателей качества дискретного и аналогового контуров тока показывает:
• установившееся значение регулируемой величины соответствует заданному значению в сравниваемых моделях;
• перерегулирование в дискретной системе составило 0,913 %, тогда как в непрерывной системе перерегулирование составило 5,93 %, что объясняется соотношением частот квантования контуров скорости и положения модели в z-области;
• время регулирования в дискретной системе составило 0,0136 с, тогда как в непрерывной системе оно оказалось равным 0,0204 с.
Рис. 10. Схема набора имитационной модели контура положения в «-области и ¿-области
Информатика, вычислительная техника и управление. Моделирование. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
m
1Ф, рад
: у*"^
и
2 "ft
и
И
11 •
1/
"s
t, С —р-
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Рис. 11. Графики переходных процессов угла поворота: 1 - в «-области; 2 - в z-области
Сравнительная оценка синтезированной линейной модели следящего электропривода и его контуров в s-области и z-области показала адекватность выполненных преобразований.
При синтезе модели в z-области были приняты следующие допущения:
• выходной сигнал регулятора не ограничен;
• не учитывается насыщение интегральной составляющей регулятора;
• максимальный ток и напряжение преобразователя не имеют ограничений;
• не учтена дискретность работы координатных преобразователей;
• не учтена широтно-импульсная модуляция выходного напряжения преобразователя.
Выводы
Полученные результаты моделирования на имитационной модели в среде MATLAB Simulink позволяют заключить следующее: алгоритм работы синтезированной модели аналогичен алгоритму
работы реального программного обеспечения электропривода; полученная модель позволяет наиболее полно оценить влияние частоты квантования контуров на динамические характеристики системы. Используя модель системы в z-области, можно рассчитать динамические корректирующие устройства и командные блоки, значительно улучшающие динамику системы.
Работа выполнена в рамках Госзаказа «Наука» № 7.2826.2011.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М. : Наука, 1971. 288 с.
2. Фираго Б. И., Павлячик Л. Б. Теория электропривода : учеб. пособие. Минск : Технопер-спектива, 2004. 527 с.
3. Гусев Н. В., Кауцман В. В., Каракулов А. С., Амр Рефки Разработка и исследование синхронного сервопривода рулевого механизма летательного аппарата // Электричество. №6. 2012.С 57-60.
4. Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления / Пер. с англ. О. Д. Богомолова, И. Ю.Бородина. М. : Машиностроение, 1964. 704 с.
5. Иванов В. А., Ющенко А. С. Теория дискретных систем автоматического управления. М. : Наука, ГРФМЛ, 1983. 336 с.
6. Ротач В. Я. Теория автоматического управления : учеб. для вузов. М. : Изд-во МЭИ, 2005. 400 с.
