Применение вейвлет-преобразований для анализа дихотомического сигнала Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.6

А.А. Захаров, Е.Р. Кожанова ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ДИХОТОМИЧЕСКОГО СИГНАЛА

Рассматривается непрерывное вейвлет-преобразование дихотомического сигнала пяти вейвлетами (вейвлет Хаара, Wave-вейвлет, MHAT-вейвлет, вейвлет Морлет и вейвлет Добеши 4). Рассмотрены возможности случайного появления нулей и единиц в сигнале.

Диагностика, кодирование, дихотомический сигнал, вейвлет, вейвлет-преобразование, вейвлет-спектрограмма.

A.A. Zakharov, E.R. Kozhanova WAVELET-TRANSFORMATIONS APPLICATION FOR DICHOTOMIC SIGNAL ANALYSIS

The article considers continuous wavelet-transformation of the dichotomic signal five wavelets (wavelet Haar, Wave-wavelet, MHAT-wavelet, wavelet Mor-let and wavelet Dobeshi 4). Events of the casual appearance of the zeroes and units in signal are studied here as well.

Diagnostics, coding, dichotomic signal, wavelet, wavelet-transformation, wavelet-spectrogram.

Термин «диагностика» происходит от греческого слова «диагнозис», что означает распознавание, определение [1]. В процессе диагностики устанавливается диагноз, то есть определяется состояние больного (медицинская диагностика), состояние технической системы (техническая диагностика) или состояние уровня знаний испытуемого (педагогическая диагностика). Благодаря диагностике можно обнаружить дефекты и неисправности, устранение которых позволит повысить надежность и эффективность эксплуатации систем и объектов.

Диагностика характеризуется двумя взаимопроникающими и взаимосвязанными направлениями: теорией распознавания и теорией контролеспособности. Для теории контроле-способности важными задачами являются разработка алгоритмов поиска неисправностей, разработка диагностических тестов, минимизация процесса установления диагноза [1].

Рассмотрим педагогическое диагностирование, которое представляет собой тестирование испытуемых по определенному объему материала, который они должны освоить. Так

1

как любая система диагностирования, в том числе и система тестирования студентов, является системой распознавания и управления, то ее можно представить в виде модели (рис. 1).

і Возмущения г

Тест ^ Испытуемый (уровень подготовки 9,) 1 1 0 1 1.... 1 0 0

►

Рис. 1. Модель диагностирования

Испытуемый, обладая определенным уровнем подготовки 9г-, реагирует на последовательность тестовых заданий данного диагностического теста (входное воздействие) в виде последовательности ответов на каждое тестовое задание. Данную последовательность ответов можно представить как дихотомический сигнал, который дает информацию о знаниях испытуемого по данному объему материала. Предположим, что при диагностировании испытуемый отвечает на каждое тестовое задание правильно (единица) или неправильно (ноль), следовательно, варианты ответов можно дихотомически закодировать. В результате такого кодирования получается сигнал, представляющий собой набор нулей и единиц.

В статье [2] был рассмотрен дихотомический сигнал ограниченного порядка (10 символов). Рассмотрим дихотомический сигнал, состоящий из 50 символов, с различным процентным содержанием единиц в данном сигнале:

1-й сигнал - 5 единиц (10%)

[1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] (1)

2-й сигнал - 25 единиц (50%)

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] (2)

3-й сигнал - 45 единиц (90%)

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0] (3)

Разложим сигналы (1-3) с помощью непрерывного вейвлет-преобразования (НВП) в среде МЛТЬЛВ (команда cwt) с помощью пяти вейвлетов (Хаара (Нааг), Wave-вейвлета (Оаш1), МНЛТ-вейвлета (Оаш2), Морлета (Мог1) и Добеши 4 (БЬ4)) [3, 4], результаты данного разложения приведены в таблице, где горизонтальная ось - ось сдвига Ь, вертикальная ось - ось масштаба а.

Как видно из полученных вейвлет-спектрограмм, все рассмотренные вейвлеты хорошо фиксируют локализацию единиц в рассматриваемом сигнале. При непрерывном вейвлет-преобразовании использовались следующие параметры: максимальное значение масштаба равно 16, а шаг 4, поэтому при разложении с помощью Нааг-вейвлета приходится делать дополнительное построение для определения местоположения последней единицы в совокупности единиц в сигнале. Данную проблему решают путем уменьшения шага до 1, тогда будет четкая фиксация местоположения последней единицы в совокупности единиц в данном сигнале. Результат данного изменения масштаба приведен на рис. 2 для сигнала (2).

Следовательно, для анализа дихотомических сигналов лучше использовать вейвлет Хаара с шагом масштаба при вейвлет-преобразовании, равным единице, так как такой выбор вейвлета объясняется максимальной «схожестью» вейвлета и сигнала, а выбор шага (равный единице) - четкой фиксацией крайних единиц в последовательности единиц сигнала, которые графически могут быть изображены как импульс.

Вейвлет-преобразование сигнала из 50 единиц с различным содержанием единиц (1-3)

га

I

1_

S

0

01

Haar

Gausl

Gaus2

Morl

Db4

1

(1)

-функция

phi -функция

1

2

3

4

5

6

13

i;

13

5 10 15 20 25 30 35 40 45 51

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 51

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 51

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 5C

time (or space) t

5 10 15 20 25 30 35 40 45 5C

time (or space) b

13

13

2

5 10 15 20 25 30 35 40 45 5C

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 51

time (or space) t

5 10 15 20 25 30 35 40 45 5C

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 5C

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 51

time (or space) b

13

13

13

15 20 25 30 35 41

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 51-

time (or space) b

15 20 25 30 35 41

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 5C

time (or space) b

5 10 15 20 25 30 35 40 45 5C

time (or space) b

Abs. and by scale Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 .

16

15

14

13

12

11

10

a

(Л 9 el

S 8

s

7

6

5

4

3

2

1

T

20 25 30

time (or space) b

Рис. 2. Вейвлет-спектрограмма сигнала (2):

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] при разложении с помощью Нааг-вейвлета (шаг =1)

Правильность выбора типа вейвлета и шага для анализа дихотомического сигнала подтверждается рассмотрением еще двух вариантов сигнала, которые также содержат 25 единиц, то есть 50 % единиц в сигнале:

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (4)

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] (5)

Сигнал (4) в отличие от сигнала (2) имеет локализацию единиц с 25-го по 50-й символ

(рис. 3 а), а сигнал (5) - локализацию единиц с 13-го по 37-й символ (рис. 3 б).

Abs. and by scale Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 .

Abs. and by scale Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 .

20 25 30

time (or space) b

20 25 30

time (or space) b

б

Рис. 3. Вейвлет-спектрограмма сигналов (4-5) при разложении с помощью Нааг-вейвлета (шаг =1): а - сигнал (4); б - сигнал (5)

5

10

15

35

40

45

50

5

10

15

35

40

45

50

5

10

15

35

40

45

50

а

При анализе вейвлет-спектрограммы, изображенной на рис. 3 б, может возникнуть вопрос о точном местоположении единиц в сигнале, поэтому авторами статьи предложено совместно с полученной вейвлет-спектрограммой рассматривать график сечения вейвлет-спектрограммы при масштабе а = 1 (рис. 4). Из полученного графика (рис. 4, по горизонтальной оси - ось сдвига Ь, по вертикальной - значения вейвлет-коэффициентов) видно, что

4

«минимум» после области нулевого значения фиксирует местоположение последнего нуля перед локализацией единиц, а «максимум» после области нулевого значения - местоположение последней единицы перед локализацией нулей в сигнале.

В реальности дихотомический сигнал состоит из единиц и нулей, которые могут находиться в любой последовательности. Рассмотренные сигналы (1-5) представляют лишь частный случай местоположения единиц и нулей в дихотомическом сигнале.

Для дальнейшего исследования за эталонный сигнал примем сигнал (2), в котором первые 25 символов - единицы, а остальные - нули:

Рис. 4. График сечения вейвлет-спектрограммы сигнала (5) при масштабе а = 1

[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Abs. and by scale Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ..

Abs. and by scale Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ..

15 20 25 30 35

time (or space) b

40 45 50

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

time (or space) b

а б

Рис. 5. Непрерывное вейвлет - преобразование сигналов при разложении с помощью Нааг-вейвлета (шаг = 1) и график сечения спектрограммы при масштабе а = 1: а - местоположение нуля - позиция 11 [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

б - местоположение нуля - позиция 11, 15 [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

16

14

10

5 10

Рассмотрим первый случай - появление нулей в локализации единиц, для этого в сигнале (2) произвольным способом расставим нули:

- первый вариант - появление нуля в 11-й позиции сигнала (рис. 5 а);

- второй вариант - появление нулей в 11-й и 15-й позициях сигнала (рис. 5 б).

Abs. and by scale Values of Ca,b Coefficients for a = 1 5 9 13 17 ...

61 57 53 49 45 41 37 esa 33

S 29

25 21 17 13 9 5 1

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

time (or space) b

а

Abs. and by scale Values of Ca,b Coefficients for a = 1 5 9 13 17 ..

5 10 15

20 25 30

time (or space) b

35 40 45 50

б

Рис. 6. Непрерывное вейвлет-преобразование сигналов при разложении

с помощью Нааг-вейвлета (шаг =1) и график сечения спектрограммы при масштабе а=1: а - местоположение единицы - позиция 35 [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

б - местоположение единицы - позиция 34, 36 [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Второй случай - это появление единиц в локализации нулей, по аналогии с предыдущим случаем, рассмотрим варианты - появление одной единицы - в позиции 35 (рис. 6 а) и появление двух единиц - в позициях 34 и 36 (рис. 6 б).

В результате анализа дихотомического сигнала была выявлена закономерность, которая позволяет определить местонахождение случайных единичных нулей и единиц, а также определить локализацию нулей и единиц в сигнале. Это позволяет восстановить дихотомический сигнал по вейвлет-спектрограмме и графику сечения данной спектрограммы при масштабе а = 1. Авторами предложена методика восстановления дихотомического сигнала, в которой необходимо совместно рассматривать полученную вейвлет-спектрограмму (Нааг) с графиком сечения данной вейвлет-спектрограммы при масштабе а = 1:

1) Определить на вейвлет-спектрограмме локализацию единиц в сигнале (это расстояние между самыми светлыми «треугольниками», вершины которых направлены вниз).

2) На графике сечения данной вейвлет-спектрограммы при масштабе а = 1 определить положение нулей и единиц по следующим закономерностям:

^ Если сигнал начинается с положительного «всплеска» с переходом на отрицательный «всплеск», то сигнал начинается с единицы, второй символ - ноль, а «минимум всплеска» фиксирует местоположение последующего нуля.

^ Если сигнал начинается с нуля и затем появляется отрицательный «всплеск», то сигнал начинается с последовательности нулей, а «минимум всплеска» показывает местоположение последнего нуля в этой последовательности.

S Если сигнал начинается с нуля и затем появляется положительный «всплеск», то сигнал начинается с единицы, а «максимум всплеска» определяет местоположение последней единицы в последовательности единиц.

S Появление нулей в локализации единиц фиксируется переходом с положительного «всплеска» на отрицательный, где максимум положительного всплеска определяет местоположения единицы перед нулем, а минимум отрицательного всплеска - местоположение нуля.

S Появление единиц в локализации нулей на вейвлет-спектрограмме выглядит как «прореживающий ряд», а на графике сечения как переход с отрицательного «всплеска» на положительный, где минимум отрицательного всплеска определяет местоположение единицы, а максимум положительного всплеска - местоположение следующего нуля.

По результатам данного анализа восстанавливаем вид дихотомического сигнала.

ЛИТЕРАТУРА

1. Биргер И.А. Техническая диагностика / И.А. Биргер. М.: Машиностроение, 1978. 260 с.

2. Кожанова Е.Р. Дихотомическое кодирование ограниченного порядка в вейвлет-преобразованиях / Е.Р. Кожанова, А. А. Захаров // Радиотехника и связь: сб. науч. трудов. Саратов: СГТУ, 2008. С. 38-43.

3. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования: учеб. пособие / А.Н. Яковлев. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 104 с.

4. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н.К. Смоленцев. М.: ДМК Пресс, 2008. 448 с.

Захаров Александр Александрович - Zakharov Alexander Alexandrovich -

доктор технических наук, профессор, Doctor of Technical Sciences, Professor,

заведующий кафедрой «Электронные приборы Head of the Department и устройства» Саратовского государственного of «Electronic Instruments and Devices» технического университета of Saratov State Technical University

Кожанова Евгения Романовна - ^ • т»

Kozhanova Evgeniya Romanovna -

аятадонт кафедры ^ Graduate Student of the Department

«Электронные приборы и устройства»

_ v v v J ^ of «Electronic Instruments and Devices»

Саратовского государственного

^ J ^ of Saratov State Technical University

технического университета

Статья поступила в редакцию 30.05.09, принята к опубликованию 17.07.09