Применение вариационного принципа Гамильтона для построения математических моделей микродатчиков Текст научной статьи по специальности «Физика»

МИКРОЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

УДК 531.768.082.14

В.Д. Вавилов

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МИКРОДАТЧИКОВ

Арзамасский политехнический институт (филиал) НГТУ им. Р.Е. Алексеева

Вариационный принцип Гамильтона основан на законе сохранения энергии и применяется для установления уравнений движения различных механических систем. Он также полностью применим для микросистем, с помощью которых в настоящее время конструируются измерительно-информационные и управляющие устройства.

Удобный метод теоретических исследований имеет вариационный принцип Гамильтона в форме записи Лагранжа (лагранжиана). В свою очередь лагранжиан представляет собой запись полной энергии в виде суммы из трех составляющих: кинетической энергии, потенциальной и диссипативной (или энергии потерь). Каждая из составляющих энергии зависит от числа степеней свободы подвижных микромеханических узлов. В конечном итоге, форма записи Лагранжа позволяет представлять математические модели микродатчиков в виде передаточных функций широко используемых в приборостроении.

Ключевые слова: вариационный принцип Гамильтона, микродатчик, степени свободы, лагранжиан, обобщенные координаты и силы, передаточные функции.

При установлении уравнения вариационного принципа Гамильтона и его применении пользуются понятием обобщенных координат и сил. Записываются обобщенные координаты в следующем виде:

Чг = 4i (t* x2' Xf-X)' i = 1,2,3...n, (1)

где q - обобщенные координаты, представляющие собой траекторию движения i-й точки системы; xi - декартовы координаты.

Справедлива также и обратная формулировка записи (1). Между дифференциалом и вариацией обобщенных координат существует свойство, выражающее независимость этих операций: _

5(dq) = d(5q). (2)

Рассмотрим возможные начальные условия для вариаций обобщенных координат. Пусть какая либо система переместилась из точки А в точу В (рис. 1). Сплошной линией показано прямолинейное движение из начальной точки q{t^) в конечную точку q(l2) за время t2 —tl. Система альтернативно может перемещаться из той же начальной точки в ту же конечную точку за то же время окольными путями. На ри- А сунке показано пунктирной линией. Здесь совершенно очевидно, что вариации траекторий в начальной и . ^

Рис. 1. Движение системы

конечной точках равны нулю:

© Вавилов В.Д., 2014.

= = 0. (3)

В Гамильтоновой механике введено понятие - действие, математически оно записывается в следующем виде:

h

S = J Ldt,

(4)

ti

где Ь - энергия системы, она имеет размерность (Нмс). Учитывая для консервативной системы закон сохранения энергии, имеем Ь = сonst. Следовательно, как бы не менялось численно в зависимости от времени действие системы, его вариация первого порядка всегда равна нулю:

= 0. (5)

В общем виде первую вариацию действия системы через обобщенные координаты можно записать в следующем виде:

(

dS

dS

\

dqt dqt

(6)

i V Ii

- производная по времени от обобщенной координаты.

Подставим действие (4) в уравнение вариации (6), получим

5S = ^

12/

[I bqi bqi

J 1 dqi dqi

dL

dt

(7)

(8)

Преобразуем интеграл от второго слагаемого в (7), решив его по частям:

% дЬ ~ . ь '} Л дЬ „ ,

ущ; ъ=2 "¡1 л ^ *** ■

В соответствии с начальными условиями (3) первое слагаемое в правой части уравнения (8) равно нулю. Объединяя формулы (7) и (8), получим

5S = ^

d_ dL_

dt dq1

8qidt

i у

(9)

С учетом свойства (5) для вариации действия механической системы можно утверждать, что оно выполнится только в одном случае, когда подынтегральное выражение в (9) равно нулю. Окончательно запишем:

d dL dL

dt dqi dqt

= 0.

(10)

Формула (10) и есть знаменитое уравнение вариационного принципа Гамильтона. Принцип проверен практикой и временем, он используется в различных отраслях науки и техники. Аналогичное по структуре уравнение было разработано Леонардом Эйлером для нахождения вариационных функционалов в задачах оптимизации.

Энергия Ь механической системы может быть представлена в виде лагранжиана. Лагранжиан назван по фамилии французского ученого Лагранжа и представляет собой запись полной энергии в виде суммы из трех составляющих: кинетической энергии, потенциальной и диссипативной (или энергии потерь):

Ь(д, д) = Т(д, д) + Ц(д)+Б(д\ (11)

где Т(д, д) - кинетическая энергия системы, которая является функцией локальных координат и скоростей, представляющих первые производные от координат по времени; и(д) - потенциальная энергия, представляющая собой функцию от координат и не зависящую от скоростей системы, например, энергия сил упругости; В(д) - диссипативная энергия. Чаще все-

n

го из диссипативнои энергии рассматривают только составляющую потерь, например, потери на трение при скоростном демпфировании различных подвижных узлов.

В природе и в практической деятельности человека число степеней свободы механических систем обычно ограничено. Делается это чаще всего искусственно в соответствии со здравым смыслом, например, с целью удовлетворения технологическим возможностям или умышленному исключению ненужных в задаче движений. Кинетическая энергия в декартовой системе координат для объектов с шестью степенями свободы: три линейных и три угловых а, Р, у, записывается в следующем виде:

Т(х,у,г , а, р, у) =

•2

_ -2 -2 т

тх ту шг Л

2

х х

2

2

2

2

22

, У^У , Шт

Л ш

2

2

(12)

где т - масса объекта; х, у, 2 - линейные скорости объекта; Лх, Лу, Л2 - моменты инерции системы относительно осей шх, ш , - угловые скорости объекта. Число компонент в

уравнении (12) зависит от числа степеней свободы исследуемого объекта, поэтому в каждом конкретном случае в первую очередь необходимо установить число степеней с учетом заданной погрешности от влияния отбрасываемых координат. Уравнение (12) для кинетической энергии связывает функционально между собой линейные и угловые скорости, а также массу и моменты инерции объектов, поэтому оно одновременно является одним из основных уравнений связи.

Производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам названы обобщенными силами. Это могут быть силы упругости, массовые силы при действии ускорений, силы Кориолиса, электрические и магнитные силы, вызывающие действия и другие:

= _ди{х1у,г) =_ди{х1у1т) = _ди(х1у1г)

дх ду дг

(13)

где Qx, Qy, Qz - обобщенные силы.

Конкретизируем запись обобщенных сил упругости и сил демпфирования в декартовой системе координат:

Рх = Ру = GyУ, Рт = Gтт,'

Ра = ^а^ Рр = ^рв Ру = ^ |

(14)

(15)

где Ох, Оу, 02 - жесткости линейных сил упругости; Gа, Gр, Gу - жесткости угловых сил упругости;

Бх = Кхх, Бу = Куу, = Кут,\ Ба= Каа, Бр= КрР, Бу= Куу,|

где Кх, Ку, К2 - абсолютные коэффициенты линейных сил демпфирования; Ка, Кр, Ку - абсолютные коэффициенты

угловых сил демпфирования.

Рассмотрим пример построения математической модели чувствительного элемента микроакселерометра осево-

Рис. 2. Осевой чувствительный элемент микроакселерометра:

1 - неподвижная корпусная пластина, 2 - упругий подвес, 3 - подвижный узел, 4 - дефекты подвеса

го типа. Под влиянием действующих сил, приложенных к центру симметрии, жесткий центр имеет три взаимовлияющих движения, т.е. имеет три степени свободы: линейное перемещение вдоль оси у и угловые перемещения относительно осей х и г. Причем угловые перемещения относительно осей х и г обусловливаются технологическим разбросом параметров упругих перемычек или смещением центра масс относительно оси симметрии.

Точка А на рис. 2 представляет собой условную точку, при переносе в которую силы инерции ¥] из действительного центра тяжести 0 подвижная часть чувствительной массы имеет только одну поступательную степень свободы - вдоль оси у. Координаты 1х и 1г зависят от неидентичности жесткостей тонких подвесов с разных сторон чувствительной массы. Для идеального подвеса 1х = 1г = 0.

Запишем для несовершенной конструкции чувствительной массы уравнения Лагран-жа второго рода в следующем виде:

йг

(дТ\

су

дТ

й (дТЛ дТ

ду Оу' йг[да,] да О*' йг

й

дТ

др

-дТ — О др~ Ор'

(16)

где Т — туЦ2 + &2х/2 + ю^/2 - кинетическая энергия жесткого центра чувствительной массы; т - масса жесткого центра чувствительной массы; ус — у + ^>2х1х +<$212 - линейная скорость центра масс; &х—а, юг — р - угловые скорости жесткого центра относительно осей х и г; — т {>1 + с\ ^12 — т2 + сХ)/12, - моменты инерции относительно осей, проходящих через центр масс и параллельных соответственно осям х и г; ам, Ьм, см - линейные размеры чувствительной массы; а, Р - углы поворотов чувствительной массы относительно осей г и х соответственно. Преобразуем моменты инерции чувствительной массы относи-

тельно осей г' и х':

] — ] + т12 ] — ] + т12

и ах и сх ~ т1х ' ° аг и сг ~ т1г •

В развернутом виде формула для кинетической энергии жесткого центра представляется в виде

Т — Iту 2 + тур12 + туа1х + тар1х12 + 1 Зсх*2 + 1 ¿агр2.

(17)

Дифференцируя выражение (17), получим

й (дТЛ

— — — ту + та1х + т$1г,

йг ^дУ ]

й [ж] — ту1х + Зсха + тр1х1г'

й ( дТ Л

Л "Нй — ту1г + та1х1г + 3сеР

йг ^др )

(18)

Силы упругости определяются в зависимости от соотношений жесткостей упругих подвесов, а силы демпфирования пропорциональны первой степени скорости соответствующего перемещения. Коэффициентами пропорциональности являются абсолютные коэффициенты демпфирования. Обеспечение демпфирования возможно несколькими способами: газодинамическим, гистерезисным или при помощи корректирующих устройств, включаемых в электрический контур обратной связи.

С учетом сил демпфирования линейных и угловых движений жесткого центра, а также линейных и угловых жесткостей сил упругих подвесов обобщенные силы можно выразить следующим образом:

^ = Р - Кду "

Qа = Р/х - Кдаа - Оаа,

Qр = РЪ - КдРр - орр,

(19)

где Кд, Кда, Кдр - линейный и угловые абсолютные коэффициенты демпфирования; Со - линейная жесткость упругих подвесов; Са, Ср - угловые жесткости упругих перемычек относительно осей г и х, соединяющие жесткий центр с корпусной пластиной.

Подставив (18) и (19) в исходные уравнения Лагранжа (16), получим систему дифференциальных уравнений, описывающих движение интегральной чувствительной массы:

ш/2Р + ш1Д + ту + Кд у + О0у = , ш1х у + ш/х/р + ^а + Кда(х + Оаа = , | (20)

ш/г у + ш/х/2(Х+Латр + Кдрр + Орр = Р/..

Перейдем от дифференциальных уравнений (20) к операторной форме записи, а также добавим к ним зависимость полного перемещения ус центра масс от вращательных компонент:

тз + Кдз + о0

О0 )у + т/хз2а + т/2з2р = Р ,

т/хз^у + (О2 + КДа5 + Оа )а + т/х/т32Р = Р/х,

т/25 2у + т/х/25 2а + (о 2 + Кдр5 + Ор)3 = ,

(21)

'р> !

ус = у + а/х +р/т,

где ^ = ШЛ - оператор Лапласа.

Передаточную функцию жесткого центра при реальных интегральных подвесах можно записать как отношение преобразования Лапласа для полного перемещения ус центра масс к преобразованию Лапласа для входного воздействия Г}:

(з) = уЖ) = у(У)+а(5/ +р(5)/т. (22)

у Р (з) Р (з) ( )

Определим преобразования Лапласа для линейных и угловых перемещений из системы операторных уравнений (21):

где

у(з) = Ду/Д, р(з) = Др/Д, а(з) = Да/Д,

Д =

тз + Кд з + О0

т/ 5 2 ткз 2

тЬз

Лох5 + Кда 5 + Оа

тЦл

Д у =

т/з

т/252

тУтз 2 2 + Кдрз + Ор

т/2 з2

% 2 + Кда з + Оа

РА

ти„з2

иа.^ 2 + К др з + Ор

(23)

Да =

тз + Кдз + О0 Рд

т1з

т/.з

Щх

т/т з2 т/ / з2

РК + Кдрз + Ор

Ар —

ms + Кд я + G0 т1хя 2 т1„я 2

3хя + Кда я +

тЫл

Выражение (22) для передаточной функции жесткого центра с учетом (23) можно записать в виде

, ч А у + Аа1х + Ар1. (я ) — -1-—-^

(24)

Подставим значения определителей А, Ау, Аа и Ар в формулу (24) и после преобразований получим передаточную функцию для интегральной чувствительной массы:

Ж (я) — К

Ъ4я4 + Ь3э3 + Ъ2я2 + Ья +1 а6я6 + а5я5 + а4я4 + а3я3 + а2я2 + а1я +1

(25)

где

/2

ОдОр + ОдОо^ + ОрОо12

а.

о

°0°а°р

Ь0 — ОаОр + °*°011 + °рОо11;

Ь1 — \°*(кд1г + Кдр)+ °р(кд1х + Кда)+ О0(Кда£ + Кдр1х

ъ2 — [КдаКф+КдКдр.2+Кд Кд*12+^(о*+О£)++О^ ^

Ъ3 — [3сх (Кд^ + Кдр)+ 3сг (Кд12 + Кда)^Ъ0; Ъ4 — 3 сх3 сг IЪ0; а0 — °0°а°р;

а1 — (Кд°а°р + Кда°р<О0 + Кдр°а°0 V а0;

а2 — (тО*Ор + 3а2°*°0 + 3ахОрО0 + Кд КдаОр + Кд КдрОа + Кда КдрО0 V а0;

а3 —

[т(Кд*Ор+ КдрО*)+ 3<в (КдО*+ Кд*О0)+ {КдОр>+ ^ )+ + Кд Кда Кдр ]/ а0;

а4 — |

[т]С2О* + т]СхОр + О0 3 г - т^ )+ тКдаКдр + 3а2КдКда +

+ 3ахКдКдр а0;

а5 — \п]сгКд* + тсхКдр + Кд ( ах3 аг - )\/а0 ;

аб — т3сх3сг/а0.

В практических конструкциях интегральных датчиков ускорений исходные пластины кремния для травления ЧЭ подвергают тщательному контролю по равномерности распределения примесей и дислокаций. Контролю подвергаются также фотошаблоны и весь процесс анизотропного травления. Поэтому получаемые упругие подвесы по своим параметрам близки к идеальным. В рассматриваемом случае подвижный узел чувствительной массы имеет только одну линейную степень свободы - вдоль оси у. Передаточная функция такой чувствительной массы из уравнений (22) при Qа = Qр = 0 может быть получена в следующем виде:

ЖТ(я)— 2 1 ,, • (26)

тя + К Л я + О0

Очевидно, что при соблюдении требований ко всем технологическим процессам изготовления интегральных мембран их передаточная функция будет близка к виду (26). Ошибку крутизны статической характеристики мембраны можно рассчитать как отношение разности между крутизной характеристики несовершенного и идеального чувствительных элементов к крутизне идеального чувствительного элемента, т.е.

5к = ^ + (27)

Ц Цх

Найдем соотношения между угловыми и линейными жесткостями из рассмотрения перемещений чувствительной массы с несовершенными упругими подвесами от действия сил упругости и сил инерции. Допуская перемещения и углы поворотов чувствительной массы относительно исходного положения малыми, уравнения моментов сил для плоскостей ху и уг в соответствии со схемой рис. 2 можно записать так:

Оаа = Д (ам - 1Х )+Д (ам + 1Х ),

ЦрР = Д (Ьм-I; )+ Р4(ЬМ + 4 ), ( )

т"1 Ц0 т"1 Ц0 т"1 Ц0 т"1 Ц0

где Д у1, г2 у2, гъ = у3, гА = у4 - силы упругости, приведенные к внешним

сторонам чувствительной массы, вызванные суммарной силой:

(а, , ^ (а, , ^ (К. , \ (К

У1 =

м 2

2

- 1Х 1а, у2 = + 1Х 1а, у3 = — - /; Р, у4 = — + /; Р - перемещения внешних

2

2

сторон чувствительной массы; а и Р - соответственно углы наклонов плоскости жесткого центра относительно исходного положения. Выполнив преобразования в (28), получим

(2 Л

Ца = Ц0

а

+ /

V 4 у

2

ЦР = Ц0

ьм+/2

V 4 ; у

(29)

Решая совместно уравнения (29) и (27), запишем ошибку крутизны статической характеристики интегральной чувствительной массы в виде

/2 /2

5 к = 2 ,Х 2 + 2/г 2. (30)

к а2м 4 + /2 ¿2/4 + /2

м / Х м / ;

Величины 1х и 4 имеют случайный характер и зависят от распределения дефектов в материале упругих подвесов. Для идеальных упругих подвесов 1х = 4 = 0, следовательно, ошибка крутизны характеристики равна нулю. В критическом случае, например, при разрушении каких-либо двух смежных упругих перемычек условная точка А перемещается на противоположный с ними угол чувствительной массы, а ошибка крутизны достигает 100 %. Результирующая формула (30) полезна для нахождения допустимой области смещения чувствительной массы, представляющей собой площадь 1х 4, определяемую по заданной ошибке крутизны статической характеристики.

Выводы

1. Разработан обобщенный метод построения математических моделей микродатчиков;

2. Рассмотрен практический пример теоретического описания чувствительного элемента микроакселерометра осевого типа.

3. Показано возникновение возможных погрешностей характеристик микродатчиков, обусловливаемых неоднородность конструкционного материала.

Библиографический список

1. Хаар, Д. Основы гамильтоновой механики / Д. Хаар. - М.: Наука, 1974. - 224 с.

2. Вавилов, В.Д. Интегральные датчики: учеб. пособие / В.Д. Вавилов; НГТУ. - Н. Новгород, 2003. - 503 с.

Дата поступления в редакцию 06.02.2012

V.D. Vavilov

APPLICATION OF THE VARIATIONAL PRINCIPLE OF HAMILTON TO BUILD MATHEMATICAL MODELS OF MICROSENSORS

Arzamas polytechnic institute (branch) Nizhny Novgorod state technical university

n.a. R.E. Alexeev

Purpose: The Variational principle Hamilton is founded on law of the conservation to energy and is used for determination of the equations of the moving the different mechanical systems.

Findings: He also shall completely use for micro systems by means of which at present create measuring-information and controlling device. The Suitable method of the basic researches has a variational principle Hamilton in the form record Lagranzha (lagranzhians).

Research /limitations /implications: In turn lagranzhians) presents itself writing the full energy in the manner of amounts from three forming: kinetic energy, potential and loss to energy (or energy of the losses. Each of forming energy depends on numbers of the degrees of the liberty rolling MEMS nodes.

Originality /value: Finally, the form record Lagranzha allows to present the mathematical models an microsens in the manner of transmission function broadly used in instrument construction.

Key words: variational principle Hamilton, microsensor, degree of the liberty, Lagranzhian, generalised coordinates and power, transmission functions.