Применение усредненных проекционных моделей для идентификации параметров стохастических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.24+519.248

A.M. Макаренков, канд. техн. наук, доц., (4842) 54-78-36, [email protected] (Россия, Калуга, КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

ПРИМЕНЕНИЕ УСРЕДНЕННЫХ ПРОЕКЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Описан алгоритм идентификации статистических характеристик случайных параметров стохастических систем, основанный на использовании усредненных проекционных моделей и методов математического программирования.

Ключевые слова: стохастическая система, случайные параметры, идентификация, проекционная модель.

При разработке современных систем управления, в том числе меха-тронных систем, предъявляются высокие требования к их точности и надежности, требующие дополнительного учета ряда факторов случайного характера, действующих в реальных условиях эксплуатации. Влияние таких факторов может быть учтено введением случайных параметров в математическую модель системы, используемую на этапе разработки в качестве основы многих расчетных процедур. Таким образом, система рассматривается как стохастическая, что ведет к усложнению ее модели и требует новых методов решения традиционных задач с применением средств вычислительной техники.

Для класса линейных стохастических систем существуют эффективные методы компьютерного моделирования, основанные на процедуре аналитического усреднения стохастического оператора системы [1, 2]. Эти методы используют проекционную аппроксимацию исходной математической модели и могут быть отнесены к группе приближенно-аналитических.

Данная работа посвящена вопросу применения усредненных проекционных моделей при решении задачи идентификации статистических характеристик коэффициентов дифференциальных уравнений математических моделей стохастических систем при условии, что закон распределения плотности вероятности случайных значений этих коэффициентов неизвестен.

Общей формой математической модели рассматриваемых систем является уравнение вида

где определению подлежат статистические характеристики случайных коэффициентов а^, ! = 0, п -1 и Ьу, у = 0, к -1. В качестве таких характери-

(1)

стик используются кумулянты, значимость которых, в отличие от стохастических моментов, уменьшается с ростом порядка, что позволяет ограничиться конечным числом ненулевых кумулянтов для достижения приемлемой точности решения задачи идентификации. Заметим, что не принимается никаких гипотез относительно закона распределения случайных коэффициентов модели (1), например, не делается предположения о его нормальности. С практической точки зрения это позволяет, в частности, судить по результатам идентификации о степени отклонения данного закона от нормального, что, в свою очередь, может быть полезным при выборе метода решения конкретной инженерной задачи с учетом упрощающего допущения о нормальности.

Предлагается алгоритм решения задачи идентификации в указанной постановке, который основан на проекционной аппроксимации исходной модели (1) и использовании оптимизационной процедуры для поиска минимума функционала

вычисляемого методом усреднения проекционных моделей. Данный метод позволяет найти матрицу спектральной характеристики второго начального момента выходного сигнала идентифицируемой модели С^р , элементы р которой используются для вычисления функционала (2). При этом

и

матрица спектральной характеристики второго начального момента измеренного выходного сигнала реальной системы С®и считается известной. Элементами вектора оптимизируемых параметров К являются кумулянты случайных коэффициентов уравнения модели (1).

Метод усреднения проекционных моделей, кратко описанный ниже,

Л

дает возможность записать выражение для вычисления матрицы С р через заданные значения кумулянтов коэффициентов исходной модели, составляющих вектор К, который определяется в результате минимизации функционала (2).

Проекционная модель, соответствующая исходной модели (1), имеет форму матрично-операторного уравнения вида

которое связывает спектральные характеристики входного Су и выходного Сх сигналов через спектральную характеристику системы А. Спектральные характеристики указанных сигналов (функций времени) представляют собой вектор-столбцы коэффициентов их разложения по некото-

2 У/2

(2)

Сх = АСу + С0,

(3)

Г ПТ

рому ортогональному базису Ф(ґ)= фі(ґ),..., (ґ) . Вектор Со учиты-

вает начальное состояние системы.

Представление случайных коэффициентов в виде

щ = щ + Ащ, і = 0, п -1, Ьу = bj + Abj, у = 0, к -1,

где щ и Ьу - средние значения (математические ожидания); Ащ и АЬу -

случайные отклонения (центрированные случайные составляющие), позволяет записать выражение для спектральной характеристики А (матричного оператора) в проекционной модели (3) следующим образом [2]:

А = А + дА, (4)

где А - детерминированная матрица, определяемая через математические ожидания случайных коэффициентов исходной модели; дА - случайная матрица, определяемая через их центрированные случайные составляющие. Выражения для данных матриц приведены ниже:

дА = А

х0

А -(I + А х ) А у,

Е (-1)1 А^Ахо)" Ау + £ (-1)1А^Ахо)" А^

^=1 V ' У=0 V ’ )

(5)

где

п—1/ ,\Т к-1

Ах = ї щ(Рп-') ; Ау = £ Ьу(Рп-у) ; Ах0 =(I + Ах)_1;

* п-1 / ЛТ л к-1 / ЛТ

а £ =!Ащ. (р”^) ; А у =^АЬу (Р п~)) .

і=0 У ' у=0 у '

Т

В вышеприведенных выражениях Р - матричный оператор интегрирования, I - единичная матрица. Данные выражения получены с использованием приема разложения случайной обратной матрицы в ряд, который описан в [2].

Усреднение проекционной модели (3) со стохастическим матричным оператором А, представленным в виде (4), сводится к определению стохастических моментов случайных величин Ащ и АЬу, входящих в выражения для Ах и А^ в (5), с помощью следующего соотношения, которое является тождеством по X и устанавливает связь между начальными

моментами аг икумулянтами %г скалярной случайнойвеличины [1]:

п1 Xг п2 п1 У Xг к 1

I «г^=П Х(^)к-1 , (6)

г=0 г! г=1к=0 г! к!

где « - порядок момента, выражаемого через кумулянты порядка до «2 включительно.

Сравнивая члены при одинаковых степенях X в левой и правой частях (6), получаем формулы, связывающие начальные моменты и кумулянты.

В результате раскрытия стохастических моментов в (5) с использованием соотношения (6) получается усредненная проекционная модель, которая в явной операторной форме связывает спектральную характеристику второго начального момента входного сигнала системы (матрица

С^y), статистические характеристики ее случайных параметров (вектор K) и спектральную характеристику второго начального момента выходного сигнала (матрица С^р). Полученная таким образом усредненная проекционная модель системы (1) является приближенной. Точность этого приближения определяется числом удерживаемых членов ряда (5). Вопрос сходимости данного ряда рассмотрен в [1].

Ввиду громоздкости формулы, описывающей усредненную проекционную модель в полном виде с учетом разложения стохастического оператора в ряд, она здесь не приводится, но ее пример можно найти в [1]. На практике нет необходимости в ручном выводе подобных формул, поскольку существуют широкодоступные средства автоматизации аналитических преобразований, например, пакет Symbolic Mathematics Toolbox в составе системы MATLAB. В общем виде усредненная проекционная модель описывается следующим выражением:

,0г

С'*? (К) = М А (К) С0у АТ (К)

Алгоритм идентификации содержит внешний цикл, в котором выполняется поиск значений кумулянтов, составляющих вектор К, для каждого из случайных коэффициентов модели (1). При этом на первой итерации путем минимизации функционала (2) с применением прямого метода поиска экстремума ищутся кумулянты первого порядка Хъ которые соответствуют математическому ожиданию коэффициентов щ, bj. На второй

итерации к искомым добавляются кумулянты второго порядка, соответствующие дисперсиям коэффициентов щ, bj, то есть аналогичным образом

ищутся кумулянты Х1, Х2. На третьей итерации к искомым добавляется третий кумулянт, ненулевое значение которого говорит об отклонении закона распределения случайных коэффициентов от нормального. Далее итерационный процесс повторяется с добавлением на очередной итерации кумулянта со следующим номером. Итерационный процесс заканчивается,

когда увеличение количества учитываемых кумулянтов («2 в (6)) не приводит к заметному изменению значений кумулянтов, найденных на предыдущей итерации, что является признаком достижения заданной точности идентификации.

Заметим, что использование описанной выше процедуры аналитического усреднения стохастического матричного оператора проекционной модели позволяет отказаться от медленного и ресурсоемкого метода статистических испытаний при вычислении элементов cifр матрицы С^р в (2).

и

Также можно сократить время расчетов благодаря возможности независимого параллельного вычисления членов ряда (5).

Экспериментальная реализация описанного алгоритма идентификации параметров стохастических систем была выполнена в среде системы MATLAB R2007b (MathWorks, Inc.) с использованием пакетов Distributed Computing Toolbox и Distributed Computing Engine, которые позволяют организовать параллельные вычисления по технологии Grid на базе локальной сети персональных компьютеров. В данном случае на отдельных компьютерах сети параллельно вычислялись группы членов усредненных рядов (5), за счет чего было достигнуто сокращение времени вычислений в 3,2 раза при использовании 4 компьютеров.

В качестве примера была решена задача идентификации статистических характеристик коэффициента вязкого трения на золотниковом распределителе электрогидравлического следящего привода по данным, полученным в ходе вычислительного эксперимента на имитационной модели. Погрешность идентификации при использовании линейной модели (1) восьмого порядка не превысила 5 %.

Таким образом, в работе предложен алгоритм идентификации параметров линейных стохастических систем, основанный на использовании усредненной проекционной модели и оптимизационной процедуры. Исследования проведены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-08-00872).

Список литературы

1. Теория и компьютерные методы исследования стохастических систем / К.А. Пупков [и др.]. М.: Физматлит, 2003. 400 с.

2. Макаренков А.М. Учет влияния случайных параметров в проекционных моделях систем автоматического управления // Известия ТулГУ. Сер. Вычислительная техника, информационные технологии, системы управления. Вып. 3. Системы управления. Т. 2. 2006. С. 30-38.