Идентификация числовых характеристик случайных параметров систем управления с применением проекционного метода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.015

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОЕКЦИОННОГО МЕТОДА

Аунг Чжо Со, А.М. Макаренков, Е.В. Серегина

Рассматривается алгоритм идентификации числовых характеристик случайных параметров математических моделей систем автоматического управления методом настраиваемой модели путем минимизации функционала, зависящего от характеристик случайных параметров этой модели. Проекционная аппроксимация исходной непрерывной модели с применением техники матричных операторов позволяет построить эффективный алгоритм вычисления данного функционала. Приводятся примеры идентификации дисперсии и автокорреляционной функции некоторых случайных параметров математической модели электрогидравлического следящего привода.

Ключевые слова: случайные параметры, числовые характеристики, идентификация, стохастическая система, проекционная аппроксимация.

Одним из резервов повышения точности систем автоматического управления является учет влияния различных случайных факторов, что требует построения более адекватных математических моделей, учитывающих возможную случайность параметров системы. Идентификация числовых характеристик случайных коэффициентов дифференциальных уравнений исходной математической модели, построенных на основе физических законов, определяющих функционирование технической системы, дает возможность разработчику действовать целенаправленно при выборе конструктивных решений, направленных на устранение нежелательного влияния случайных факторов конкретной физической природы. При этом указанные случайные коэффициенты можно рассматривать как случайные физические параметры системы управления. В настоящей статье предлагается эффективный вычислительный алгоритм идентификации числовых характеристик данных параметров, основанный на использовании усредненной проекционной модели стохастической системы [1].

Задача идентификации характеристик случайных параметров. Общей формой математической модели рассматриваемого класса стохастических систем является дифференциальное уравнение вида

Для систем управления с постоянными случайными физическими параметрами все или некоторые коэффициенты щ, bj в уравнении (1) являются случайными величинами, определяемыми как

193

(1)

а = т + ~{уъУ2,...,Уы), I = 0, п -1,

' ~ _ (2)

Ъ] = тъ. + Ъ] (УЪУ2,...,УК), 7 = 0, т,

где та,, тъ. - математические ожидания случайных коэффициентов а,

Ъ7; ~(У1,У2,...,У^), Ъ7(Уl,У2,...,УN) - центрированные случайные величины, линейно зависящие от случайных величин У[,У2,К .

Предполагается, что случайные величины У1,У2,К, У^ статистически независимы, имеют нормальный закон распределения плотности вероятности с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Статистическая независимость указанных случайных величин соответствует независимости постоянных случайных физических параметров системы управления.

Исходная математическая модель системы автоматического управления представляет собой систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение ее элементов на основе физических законов. Поскольку в основе рассматриваемого алгоритма идентификации лежит аппарат проекционных аппроксимаций, наилучшим образом подходящий для линейных моделей, мы будем предполагать исходную модель линейной (линеаризованной). Это позволяет воспользоваться представлением модели в виде структурной схемы, где случайные физические параметры системы управления представлены как случайные коэффициенты полиномов числителя и знаменателя передаточных функций отдельных динамических звеньев. Эти коэффициенты имеют определенный физический смысл, соответствующую размерность и представляются в виде

К* = тКд + Уд^, * = ^, (3)

где тк и Вк - математическое ожидание и дисперсия * -го случайного

параметра. В свою очередь, случайные коэффициенты а^ и Ъ7 модели (1)

выражаются через случайные параметры К*, то есть представляются как

а1 (К1,К2,К ,KN), Ъ7 (К1,К2,К ,КN) что, с учетом (3), соответствует их

представлению в виде (2). Предполагается статистическая независимость случайных параметров К* от входного сигнала системы управления.

Задача идентификации числовых характеристик постоянных случайных параметров систем управления формулируется как задача идентификации дисперсий данных параметров. То есть для системы управления с N случайными физическими параметрами К*, математическая модель которой описывается дифференциальным уравнением (1), требуется найти

дисперсии Вк . Предполагается, что данные параметры имеют нормаль*

ныи закон распределения и их математические ожидания тк являются

известными. Также предполагается выполнение условия физической реализуемости системы управления, формулируемого как п>т в (1).

Для систем управления с переменными случайными физическими параметрами также используется модель (1), где все или некоторые коэффициенты аI и bj являются случайными процессами, определяемыми как

(\ ( и к и к ^

тк1 (г),к,тКм (г)) + % I Пэ(г),к, I У№^ (г)

V 5=1 5=1 У

{" 1! 11 \ К т, 1 гг К

(4)

^ (г) = ть] (тк1 (г),к,ткн (г)) + % I ^(г),к, IУ№^ (г)

V5=1 5=1

где независимые случайные величины Уд1,К ,Уди с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией являются коэффициентами канонических разложений переменных случайных физических параметров системы управления по системам неслучайных координатных функций

¥К (г), что соответствует представлению этих параметров в виде

кд (г) = тг (г)+ I УЧ5¥^ (г), д = 1, N, (5)

4 5=1

где координатные функции ^^ (г) определяются через соответствующие автокорреляционные функции случайных физических параметров системы

управления Якдкд (гЬг2). д д

Аналогично модели систем с постоянными случайными параметрами, случайные величины У[5 ,К , У^ в модели систем с переменными случайными параметрами предполагаются статистически независимыми, что соответствует независимости случайных физических параметров. Также предполагается статистическая независимость переменных случайных параметров кд (г) от входного сигнала системы управления.

Задача идентификации числовых характеристик переменных случайных параметров систем управления формулируется как задача идентификации параметров их автокорреляционных функций Як к (*ъ г2). При

д д

такой постановке математическое ожидание тк (г) и вид автокорреляци-

д

онных функций Як к (*ь г2) переменных случайных физических пара-

дд

метров системы управления предполагаются известными, а идентификации подлежат только параметры этих автокорреляционных функций, т.е.

195

элементы вектора Я * = ( *, * ,К ) в представлении ЯКдКд t2, Я *), где *, г* ,К - параметры автокорреляционной функции * -го переменного

случайного параметра системы управления.

Для решения задачи идентификации необходимо иметь информацию о входном и выходном сигнале системы, которую можно получить измерением этих сигналов в процессе лабораторных или практических исследований системы при подаче на ее вход некоторых известных воздействий. Исходными данными для решения задачи идентификации в вышеуказанной постановке являются математическое ожидание тх (t) и автокорреляционная функция Яхх (t2) выходного сигнала системы, которые определяются в результате усреднения ее выходного сигнала х (t) по множеству реализаций. Те же статистические характеристики ту (t) и Яуу (¿1,t2) входного сигнала считаются известными. В общем случае входной и выходной сигналы полагаются нестационарными случайными процессами. Если входной сигнал является детерминированным, выходной сигнал все равно будет случайным вследствие случайности параметров системы. Этот факт позволяет использовать в качестве тестового входного сигнала стандартные воздействия, например, ступенчатый сигнал.

Алгоритм идентификации. В основе алгоритма лежит идея метода настраиваемой модели. Настройка модели осуществляется таким образом, чтобы статистические характеристики ее выходного сигнала на интервале исследования [ 0,Т ] в некотором смысле приближались к тем же статистическим характеристикам выходного сигнала х (t) идентифицируемого объекта (системы управления, рассматриваемой как система со случайными параметрами). В качестве таких характеристик выберем автокорреляционную функцию Яхх t2) и математическое ожидание тх (t). Тогда, вводя индексы "о "(объект) и "м"(модель), ошибки можно определить как

еЯ ( ^ Ч )= Яхх ( ^ Н )- Яхх ( ^ Н ) ;

ет (1 ^) = т°х (Ц)т°х (t2)-т^(^)т^(^), а критерий ошибок - как минимизацию функционала от этих ошибок, построенного, например, на основе метрики пространства I2 ([0,Т ]х[0,Т ])

^ Т Т ^

р

1/

Л е2 (1 ) dtldt2 V 00 )

где е (гь г2 ) = /о (г1, г2)-/м (г1, г2), /о (г1, г2) и /м (г1, г2) - некоторые статистические характеристики выходного сигнала объекта и модели - соответственно. Данный функционал имеет вид

J =

/- N У /- N 1

'ТТ х у2 (ТТ Л

И 4 Г1,г2,»к,»к)+ Н е2т (гьг2,Б°к,Бк) ^

ч00 у V 00

2

(6)

где »к =(^ D0K2,K, ) и Бк =(^ ,К , ^ ) - вектор дисперсий случайных параметров объекта и модели соответственно.

Идентификации подлежат элементы вектора »к, в то время как

элементы вектора »к являются параметрами настраиваемой модели. Ошибки в (6) определятся как

ея (гь г2, бк , бк ) = Я°хх (г1, г2, »к)- ЯХХ (г1, г2, »к);

ет (г1, г2, бк , бк ) = тХ (гь Б%) т°х (г2, бк )- т (г1, бк ) т (г2, »к).

Согласно постановке задачи, информацией для идентификации являются автокорреляционная функция и математическое ожидание выходного сигнала объекта, точнее, их оценки, вычисленные путем усреднения множества реализаций измеренного выходного сигнала объекта. Поэтому

можно считать, что яох (г1, г2, »к) это, фактически, измеренная автокорреляционная функция выходного сигнала объекта, которую в дальнейшем будем обозначать как ЯХХ (г1, г2) с индексом "и". Аналогично, измеренное

математическое ожидание выходного сигнала объекта т^о (г1,»к) в дальнейшем будем обозначать просто как т^ (г). Статистические характеристики выходного сигнала настраиваемой модели, зависящие от параметров

»к, получаются расчетным путем как результат решения задачи статистического анализа для данной модели, поэтому вместо обозначений

ЯХмХ (гь г2, »к ) и тХм (г, »к ) в дальнейшем будем использовать, соответ-

ственно, тХр (г,Бк) и ЯХХ (гьг2,Бк) с индексом "р" - расчетные. С учетом введенных обозначений выражения для ошибок будут выглядеть как

еЯ (г1, гЪ Бк )= Яж (1 г2)-Ярх (г1, ^ Б к), ет (г1,г2,Бк)= (г1)т?(г2)-тр (г1,Бк)тр(г2,Бк),

а функционал от этих ошибок как

J ( Dk )

/ N У /

TT i/2 (TT

j j em

(tbi2,Dk )dhdt2 I +1 j j eR (ti,t2,Dk )dhdt2

\ 00 J

2

\ 0 0

2

(7)

где Dk =(Dk1, Dk2,K,Dkn ) - вектор дисперсий случайных параметров

настраиваемой модели.

Для систем управления с переменными случайными параметрами вектор Dk в (7) заменяется на клеточный вектор Rк =(Ri,R2,K ,Rn), элементами которого являются ранее упомянутые векторы параметров корреляционных функций Rq = ( q, Tq2 ,K ) переменных случайных параметров.

*

Результатом идентификации является вектор Dk , доставляющий минимум функционалу (7), то есть

dK = arg min J ( Dk ) Dk ^R

или, если рассматривается система с переменными случайными парамет-

*

рами - вектор R к, определяемый аналогичным образом.

Усредненная проекционная модель стохастической системы.

Минимизация функционала (7) может осуществляться методом прямого поиска, например, методом Нелдера-Мида, что требует повторного вычисления функций тр (t,Dk ) и RX.x (ti,¿2,Dk ) на каждом шаге, то есть многократного решения задачи статистического анализа модели (1). Поэтому важно выбрать быстрый и точный метод вычисления этих характеристик выходного сигнала настраиваемой модели. При этом далеко не все известные методы анализа стохастических систем применимы в данном случае, поскольку многие из них предполагают принятие некоторых упрощающих допущений, снижающих степень адекватности настраиваемой модели. С другой стороны, применение метода статистических испытаний, в наибольшей степени учитывающего особенности поведения систем со случайными параметрами, требует большого объема вычислений для получения достаточно точных оценок указанных статистических характеристик. Кроме того, применение этого метода приводит к тому, что значение функционала (7) на каждом шаге поиска его минимума будет являться случайной величиной, что неблагоприятно сказывается на работе алгоритмов прямого поиска.

Заметим, что метод статистических испытаний в любом случае используется при вычислении оценок R^x(¿i,¿2) и m^(t), также необходимых для вычисления функционала (7), но это однократное использование, в то время как вычисление тр (t, Dk ) и RXx (ti, t2, Dk ) выполняется многократно в процессе поиска минимума данного функционала.

198

Особенностью предлагаемого подхода является проекционная аппроксимация исходной модели (1), что позволяет предложить другую форму функционала (7) и полностью детерминированный алгоритм его вычисления, основанный на использовании усредненной проекционной модели стохастической системы.

Под проекционной аппроксимацией понимается конечномерная аппроксимация исходной непрерывной модели, выполняемая с использованием ортогональных разложений временных характеристик сигналов и сиГ 1Т

стем по некоторому ортогональному базису Ф(г) = ф1 (г),К , фр (г) , где

ф| (г), I = 1, р - элементы системы ортонормированных функций, в качестве которой в данной работе используется система функций Уолша. Соответственно методы, основанные на данном подходе, называют проекционными или спектральными. Их приложения к задачам исследования стохастических систем описаны в монографии [1], где, в частности, рассматриваются эффективные методы и алгоритмы компьютерного моделирования, основанные на приеме аналитического усреднения стохастического матричного оператора системы [1, с. 98-170, с. 215-254], а также в ряде статьей, например, в [2].

Таким образом, вместо функционала (7) предлагается использовать следующий проекционный аналог:

J * (»к ) =

Р Р

II

I=1 ]=1

с

9 (Бк)

2

12

+

Р Р

II

I=1 ]=1

9 (»к)

2

12

(8)

где сч (Бк) и сЧ (Бк) - элементы квадратных матриц проекционных

характеристик Сет (Бк) и СеЯ (Б к), вычисляемых как

^т „ / р Лт

Сет

( Б к )<

:Сти

Сти

- СтХ (Бк) (СтХ (Бк)

СеЯ (Бк ) = СЯи

СЯХх (Бк) р

через проекционные характеристики Ст , Стх (Бк), СЯхх , СЯхх (Бк)

функций (г), тр (г, Бк), Яхх (гьг2), Яр (г1,г2,Бк) соответственно; т -знак транспонирования.

Далее рассмотрим, как получается усредненная проекционная модель стохастической системы и как она используется для вычисления проекционных характеристик статистических мер выходного сигнала настраиваемой модели Ст (Бк), СЯхх (Бк), заменяющих тр (г,Бк),

Яр ( *ъ г 2, Б к) и необходимых для вычисления (8).

199

,Яр

Один из подходов к исследованию стохастических систем, не использующий проекционные методы, но конструктивный в плане потенциальной возможности их использования, изложен в монографии [3]. Там, в частности, показано, что для стохастического дифференциального уравнения 1хх = у, в предположении, что линейный стохастический дифференциальный оператор 1х можно представить как 1х = 1х + 1х, где 1х - обратимый детерминированный оператор, 1х - случайная составляющая оператора 1х с нулевым средним (такое представление оператора 1х соответствует представлению коэффициентов а^ в (1) в виде (2)), при определенных условиях возможно следующее представление решения:

х = (н + Н )у, (9)

где Н = Iх - детерминированный оператор; Н = £ (- 1)п(1х 1х) I-1 -

у=1

стохастический оператор. Интегральные операторы Н и Н определяются через функцию Грина. В [3] дано строгое математическое обоснование справедливости представления (9).

Усреднение выражения (9) позволяет найти статистические меры решения вышеупомянутого стохастического дифференциального уравнения, однако способ их нахождения, предлагаемый в [3], не позволяет реализовать эффективный вычислительный алгоритм, опираясь только на результаты данной работы. С другой стороны, основываясь на результатах монографии [1], где рассматривается приложение проекционных методов к задачам исследования стохастических систем, можно записать следующую, внешне аналогичную, операторную форму математической модели стохастической системы, которая, отличаясь другим математическим аппаратом, является, как будет показано далее, более выгодной для решения поставленных задач идентификации:

С х = (а + А )су, (10)

где А - детерминированный матричный оператор, А - стохастический матричный оператор. Определение этих операторов дается ниже.

Матрично-операторная форма (10) получается в результате проекционной аппроксимации исходной непрерывной модели, описываемой линейным дифференциальным уравнением п -го порядка. Например, если предположить, что все коэффициенты аг- и bj в модели (1) являются неслучайными величинами, то есть рассматривается некоторая детерминированная система, результат проекционной аппроксимации данной модели при нулевых начальных условиях выглядит как [1]

(I + Ах) Сх = АуСу, (11)

где Ах и А у - проекционные характеристики инерционной и форсирующей части системы в виде квадратных матриц; I - единичная матрица; Сх

и Су - проекционные характеристики выходного и входного сигналов соответственно, представляющие собой вектор-столбцы коэффициентов разложения данных сигналов по ортогональному базису Ф (t).

Матрицы Ах и Ау определяются следующим образом:

п-1 / Лт т , лт

А х = Еа (р); А у = Е ь} (Г-'),

7=0 '=0

где р - транспонированная матрица оператора интегрирования в базисе Ф (/).

Учитывая обратимость матрицы (I + А х) при достаточно большом р, что следует из теорем о единственности решения уравнения (11) и условиях сходимости и вычислительной устойчивости проекционных аппроксимаций моделей, описываемых линейными операторными уравнениями 2-го рода, можно записать следующее выражение, определяющее зависимость между проекционными характеристиками входа и выхода системы:

С х = АСу, (12)

где А - матричный оператор системы, определяемый как

А = ( I + А х )-1 А у.

Таким образом, выражение (12), которое в дальнейшем будем называть проекционной моделью, представляет собой решение системы из р

линейных алгебраических уравнений (11). Выходной сигнал х (t) как решение исходного дифференциального уравнения п -го порядка, можно приближенно восстановить по проекционной характеристике Сх в виде р

дискретных значений следующим образом: хр (t) » Фт (t) Сх .

Для стохастических систем уравнение (11) можно записать в виде

(I + Ах + Ах) С х = ( А у + Ау) Су (13)

_ п-1 , Лт ~ п-1 I ,\т _ т , лт где А х = Е та1 (Рп-') ; А х = Е щ (р п-') ; А у = Е ть} (Рп-') ; '=0 '=0 '=0

~ т ~ / • \т

А у = Е Ь' (Рп-') ; Р - матричный оператор интегрирования в базисе '=0

функций Уолша [4].

Предполагая обратимость матрицы I + Ах, и вводя обозначение А хо = (I + А х) 1, решение уравнения (13) можно записать в виде

С х = А хо (I + А х А х о )-1 (А у + А у )с

У

(14)

что дает возможность приближенного представления обратной матрицы

(I + А х А хо) 1 в виде ряда Неймана с последующим преобразованием (14) к виду (10), где детерминированный матричный оператор определяется как

А = ( I + А х )-1 А у,

у

(15)

а стохастический матричный оператор - как

А » А хо [ £ (- 1)п (А х А хо )П А у + £ (- 1)п (А х А хо )П А и=1 п=о

Если коэффициенты уравнения (1) зависят от времени, то есть, представлены в виде (4), операторы, входящие в (13), вычисляются с использованием следующих выражений:

Ах = (р" )Т £ С°> (Р- )Т;

/ \Т"-1 и / ,\Т

А х = (р ") £ £ ^ А ш (р-) ;

А

I=о

, Т т

у

(р")' £ т (р-)

Т

]=о

'у

I \Т т и ш

(р ") £ £ А ш ^ (р

]=о 5=1

5 (р - ' )Т,

где

и

ш а ~

£ А т = а\

5=1

и шК1 и ш КЫ

£УЪА> ,..., £УША.^ V 5=1 5=1

т

и шь ~ £ А т5 = Ь] 5=1

и ш К1 и %

£У15Ат1 ,K, £УшАт

/

№

V 5=1

5=1

Ат - матричный оператор умножения на функцию времени, указанную

верхним индексом, построенный, как и оператор интегрирования р , для базиса Ф (?).

Проекционная модель детерминированной системы (12) позволяет решить задачу статистического анализа с использованием следующих соотношений, определяющих, соответственно, проекционные характеристики математического ожидания и корреляционной функции ее выходного сигнала:

С

т^

т

АСту,

Скхх = АС^уу АТ

(16)

где проекционные характеристики математического ожидания ту (?) и корреляционной функции Яуу (112) входного сигнала определяются, соответственно, как

Т

ТТ

Сту = | шу (т)ф(т ; СКуу = ]] Яуу (ть т2 )ф(т1 )ФТ (т 2 )^т 2.

0 00 Соотношения (16) получаются как результат усреднения выражения (12) при условии, что матричный оператор системы А детерминированный. Для стохастических систем, проекционная модель которых определяется соотношением (10), включающем стохастический матричный оператор А, подобные выражения приобретают следующий вид:

С

т.

(А+А )]сту

С ^XX

м

(а + а) скуу + сту(сту

(А+А )Т

Стх (Стх )Т,

(17)

(18)

где М[] - оператор математического ожидания, применяемый с учетом предположения о статистической независимости сигнала у и случайных коэффициентов а^, bj в (1).

Выражения (17) и (18) являются формальным представлением усредненной проекционной модели системы (1). Чтобы воспользоваться этими соотношениями для решения задачи статистического анализа стохастической

системы, то есть для вычисления Стх (Б к) и СЯхх (Б к), необходимо выполнить операцию усреднения М[ ]. Именно поэтому модель (10), в которой стохастический матричный оператор А аппроксимирован рядом Неймана, где явно выделены случайные коэффициенты аа^, bj, представленные в виде (2) или (4), удобна для усреднения. Такое усреднение может быть выполнено аналитически с использованием следующего правила раскрытия смешанных центральных моментов для четного числа центрированных случайных величин аа^ = о а V:

м

п%

5=1

V Т-Г

цг П о%,

5=1

(19)

V

где цг - центральный момент г -го порядка случайной величины V. Для

нечетного г смешанный центральный момент (19) равен нулю ввиду ра-

V тт V

венства нулю цг . При этом центральный момент цг выражается через

дисперсию случайной величины V с помощью следующего соотношения, которое является тождеством по X и устанавливает связь между начальными моментами аг и кумулянтами хг скалярной случайной величины:

х аг—

г=0 г!

П2 п

п х

г=1к=0

/ \к (ХгХгЛ

г!

1

к!

где "1 - порядок момента, выражаемого через кумулянты порядка до "2

включительно. При этом цу = аг ввиду центрированности У.

Сравнение членов при одинаковых степенях X в левой и правой части (2о) позволяет получить формулы, связывающие начальные моменты и кумулянты. Для нормально распределенных случайных величин ("2 = 2 в (2о)) первый кумулянт в точности соответствует математическому ожиданию, второй - дисперсии, и стохастический момент любого порядка "1 определяется через эти числовые характеристики.

Следует отметить, что соотношения (17) и (18), в которых матричный оператор стохастической системы представлен как А + А, справедливы при условии, что матричный ряд Неймана, аппроксимирующий стохастический оператор А, после своего почленного усреднения сходится для выбранного числа удерживаемых членов к. Возможность почленного усреднения данного ряда для соотношения (17) обоснована тем, что вследствие абсолютной сходимости ряда Неймана можно поменять местами операторы суммирования и математического ожидания. Аналогичные рассуждения можно привести и для соотношения (18). Заметим, что при нормальном законе распределения случайных коэффициентов уравнения (1) вышеупомянутые ряды в общем случае не сходятся. Однако при практических расчетах данные ряды могут аппроксимировать усредненные стохастические операторы м(а + А) в (17) и М (а + А)(-)(а + А)Т в (18) с достаточной точностью, так как условие сходимости этих рядов [1] выполняется для некоторого конечного числа членов к. В целом вопросы сходимости и точности проекционных аппроксимаций с применением техники матричных операторов подробно рассмотрены в монографии [4].

Примеры идентификации. Рассмотрим задачу идентификации числовых характеристик некоторых случайных физических параметров электрогидравлического следящего привода (ЭГСП), который можно описать моделью (1), где " = 8 и т = о. К такому виду приводится линеаризованная математическая модель ЭГСП [5], заданная в виде системы дифференциальных уравнений, случайные коэффициенты которых соответствуют случайным физическим параметрам ЭГСП. Задача идентификации решалась в рамках вычислительного эксперимента, в котором характеристики указанных случайных параметров считались известными, выступая в качестве эталонных значений, позволяющих оценить точность идентификации.

На первом этапе вычислительного эксперимента методом статистических испытаний, с использованием вместо реального ЭГСП модели (1), находились математическое ожидание и автокорреляционная функция выходного сигнала ЭГСП, по которым вычислялись проекционные характе-

2о4

ти пи

ристики С х и С хх , необходимые для вычисления функционала (8). При этом случайные коэффициенты щ, bj уравнения (1) выражались через

случайные физические параметры модели ЭГСП, представленные в виде (3) или (5), а реализации процесса х (7) вычислялись с использованием

проекционной модели (12).

На втором этапе вычислительного эксперимента решалась задача идентификации путем минимизации функционала (8) методом Нелдера-Мида. В результате определялись искомые числовые характеристики случайных параметров модели ЭГСП, которые затем сравнивались с теми же характеристиками, заданными на первом этапе вычислительного эксперимента, где данная модель заменяла реальной ЭГСП.

В качестве постоянного случайного параметра модели ЭГСП рассматривается коэффициент вязкого трения на золотнике электрогидравлического усилителя, обозначаемый далее как Нз и имеющий размерность

. В качестве переменного - коэффициент электрической обратной

м ]

связи, обозначаемой далее как кос (7).

На первом этапе эксперимента по идентификации характеристик постоянного случайного параметра Нз данный параметр полагается гауссовой случайной величиной с математическим ожиданием т^ = 0,25 и

дисперсией = 0,0011. При этом в уравнении (1) случайными будут зависящие от него коэффициенты а1 ,К , а7 математические ожидания и дисперсии которых определяются через т^з и . Таким образом, на втором

этапе указанного эксперимента вектор Бк в (8) состоит из одного элемента ЭКХ = ЭИз.

На первом этапе эксперимента по идентификации параметров автокорреляционной функции переменного случайного параметра кос (7) он полагается гауссовым случайным процессом с постоянным математиче-

В

ским ожиданием тк = 0.1— и автокорреляционной функцией вида

ос м

Пкоскос (^1, ^2 ) = Эе . В ранее введенных обозначениях это

ПкдКд (^1,^2,^д), где Яд =(Э, Ь), д = 1. От данного параметра зависит

коэффициент ^0 в (1), который также будет случайным процессом а0 (7). Таким образом, на втором этапе ищутся значения Э и Ь.

В качестве ортогонального базиса Ф (7) используется базис функций Уолша с р = 64. В матричных рядах, аппроксимирующих стохастиче-

ский оператор А, удерживаются первые два члена (к = 2 в (15)). В представлении (5) переменного случайного параметра кос (?) число членов канонического разложения и = 16.

Результаты идентификации дисперсии постоянного случайного параметра Нз, представленные в табл. 1 (верхняя половина клеток), демонстрируют зависимость относительной ошибки идентификации (нижняя половина клеток) от числа реализаций Ыр выходного сигнала х^), вычисленных на первом этапе эксперимента, и интервала времени [0,Т ], на котором выполнялось моделирование.

Таблица 1

Результаты идентификации дисперсии параметра Нз

Т, С Идентифицированное значение

Ыр = 4000 Ыр = 2000 Ыр =1000 Ыр = 500 Ыр = 250 Ыр = 100

0.20 0.001125 0.001062 0.001062 0.001187 0.001187 0.000937

2.3% 3.4% 3.4% 7.9% 7.9% 14.8%

0.15 0.001062 0.001062 0.001062 0.001062 0.000937 0.000937

3.4% 3.4% 3.4% 3.4% 14.8% 14.8%

0.10 0.001062 0.001062 0.001062 0.001000 0.000937 0.001437

3.4% 3.4% 3.4% 9.1% 14.8% 30.7%

0.05 0.001062 0.001062 0.001000 0.001000 0.001000 0.00137

3.4% 3.4% 9.1% 9.1% 9.1% 25%

На рисунке представлен график, показывающий зависимость значения функционала (8) от значения .

Вид функционала

206

Результаты идентификации параметров Б и Ь автокорреляционной функции В~кжкос () = Бе переменного случайного коэффициен-

та обратной связи кос (?) при числе реализаций выходного сигнала ^р = 2000 представлены в табл. 2, где также показано влияние погрешности измерения выходного сигнала х^) на точность идентификации. Эта погрешность представлялась в виде аддитивного белого шума, имеющего нормальный закон распределения и нулевое математическое ожидание. При вычислении реализаций сигнала х(^) методом статистических испытаний задавались следующие значения параметров автокорреляционной функции случайного коэффициента кос (?): Б = 0,0005, Ь = 1.

Таблица 2

Результаты идентификации параметров автокорреляционной функции случайного коэффициента кос (I)

Т, С ('ь ^ к * ) = ^

шум измерений 10% шум измерений 5% шум измерений 1 %

Б Ь Б Ь Б Ь

0.7 0.00047 1.1294 0.00056 1.0082 0.00055 0.9937

6% 13% 12% 1% 10% 0,6%

0.3 0.00051 1.160 0.00049 0. 9761 0.00050 0.9512

2% 15% 2% 2% 0,03% 5%

Представленные результаты демонстрируют относительную устойчивость алгоритма идентификации к ошибкам измерения выходного сигнала, которые могут иметь место в эксперименте с реальным ЭГСП.

Заключение. В статье представлен алгоритм идентификации числовых характеристик случайных физических параметров систем автоматического управления методом настраиваемой модели, основанный на проекционной аппроксимации исходной непрерывной модели системы. Эффективность данного алгоритма обусловлена использованием в качестве настраиваемой модели усредненной проекционной модели стохастической системы, что позволяет построить полностью детерминированный алгоритм вычисления функционала, выражающего меру отличия статистических характеристик выходного сигнала объекта и настраиваемой модели.

Список литературы

1. Теория и компьютерные методы исследования стохастических систем. К.А. Пупков, [и др.] М.: Физматлит, 2003. 400 с.

207

2. Макаренков А.М. Применение усредненных проекционных моделей для идентификации параметров стохастических систем // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2011. Вып. 5. Ч.1. С. 143 - 147.

3. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.: Мир, 1987. 376 с.

4. Лапин С.В., Егупов Н.Д. Теория матричных операторов и ее приложение к задачам автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 496 с.

5. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем. М.: Машиностроение, 1977. 424 с.

Аунг Чжо Со, аспирант, aungkvawsoe48@,gmail. com, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,

Макаренков Александр Михайлович, канд. техн. наук, доцент, amm2005a rambler. ru, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана,

Серегина Елена Владимировна, канд. физ.-мат. наук, доцент, evfs@yandex. ru, Россия, Калуга, Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана

IDENTIFICATION OF NUMERICAL CHARACTERISTICS OF RANDOM PARAMETERS OF CONTROL SYSTEMS WITH THE USE OF PROJECTION METHOD

Aung Kyaw Soe, A.M. Makarenkov, E. V. Seregina

The algorithm of identification of numerical characteristics of random parameters of mathematical models of automatic control systems by method of the adjusted model by minimization of the functional that depends on characteristics of random parameters of this model is considered. Orthogonal projection approximation of the initial continuous model using operational matrices technique allows constructing an effective algorithm for calculating this functional. Examples of identification of variance and a correlation function of some random parameters of the mathematical model of electro-hydraulic servo actuator are given.

Key words: random parameters, numerical characteristics, identification, stochastic system, orthogonal projection approximation.

Aung Kyaw Soe, postgraduate, aungkyawsoe48@gmail. com, Russia, Kaluga, Bau-man Moscow State Technical University, Kaluga Branch,

Makarenkov Alexander Mikhailovich, candidate of technical sciences, docent, amm2005a rambler. ru, Russia, Kaluga, Bauman Moscow State Technical University, Kaluga Branch,

Seregina Elena Vladimirovna, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, evfsayandex.ru, Russia, Kaluga, Bauman Moscow State Technical University, Kaluga Branch