Применение уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5.01

Применение уравнения бюргерса в качестве модельного уравнения

динамики вязкой среды в канале

Канд. техн. наук Зайцев А.В. zai_@inbox.ru, канд. физ.-мат. наук Кудашов В.Н. kdslv@mail.ru Университет ИТМО Институт холода и биотехнологий 921002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9

Расчет нестационарного течения вязкой жидкости в канале представляет собой сложную математическую задачу и производится обычно численными методами с применением вычислительной техники. Для исследования устойчивости и сходимости вычислительных алгоритмов предлагается использовать точные аналитические решения уравнения Бюргерса в качестве модельного уравнения динамики вязкой среды в канале.

Ключевые слова: динамика вязкой жидкости, уравнение Бюргерса, модельное уравнение, точное решение.

The use of burgers' equation as a model equation for the dynamics of viscous

medium in a channel

Ph.D. A.V. Zaitsev zai_@inbox.ru, Ph.D. V.N. Kudashov kdslv@mail.ru, University ITMO Institute of Refrigeration and Biotechnologies 191002, Russia, St. Petersburg, Lomonosov str., 9

Calculating the transient flow of viscous fluids in a pipe is a complex mathematical problem usually solved by computer-aided numerical techniques. Burgers' equation is offered as a tool for modelling the dynamics of viscous medium in a channel while studying convergence and stability of computing algorithms. Keywords: dynamics of viscous fluids, Burgers' equation, model equation, exact solution.

Решение сложной задачи нестационарного течения вязкой жидкости в канале с учетом реальных физических условий, таких, как зависимость теплофизических свойств от температуры, различные гидродинамические режимы течения, наличие объёмных сил и др. сводится к решению системы дифференциальных уравнений, в том числе уравнения Навье-Стокса с известными проблемами существования и гладкости решений. Основным встречающемся в литературных источниках методом решения различных

задач при применении уравнений Навье-Стокса является конечно-разностная аппроксимация, например [1]. При этом главной проблемой является достижение устойчивости и сходимости. Известны условия сходимости, полученные для относительно простых задач. Однако при приближении постановки задачи к реальным условиям обеспечить сходимость возможно только в результате численного эксперимента на конкретной модели.

С этой целью предлагается применить методику численного исследования параметров сходимости и устойчивости выбираемых разностных схем. Для разработки такой методики следует иметь некое модельное уравнение и иметь его точное решение. Далее в качестве такого уравнения предлагается использовать уравнение Бюргерса, близкое по своему виду к стандартным уравнениям газовой динамики.

Запишем уравнение Бюргерса

ди ди д2и

— + и— = И—т- V1)

с1 дх ах

Здесь аналогами физических величин и функций процесса динамики вязких сред являются: и - скорость потока; / - время; л* - координата вдоль потока; ц- вязкость.

Мы хотим построить решения уравнения Бюргерса при хе[0,£], ?е[0,оо), с граничными условиями

м(0,0 = иСМ)=0,7е[0,оо). (2)

Для построения таких решений воспользуемся преобразованием Коула-Хопфа [2], сводящее нелинейное уравнение (1) к уравнению теплопроводности, являющемся линейным.

Пусть функция у( х, ^) является решением уравнения

ду д\

— = ц—Т. (3)

Ы дх1

Тогда функция

^ 1 öv

и = -2ц-— (4)

v дх

удовлетворяет уравнению Бюргерса. Преобразование (4) называется преобразованием Коула-Хопфа.

Чтобы найти решения уравнения (1) с граничными условиями (2), как видно из (4), достаточно найти функцию при хе[0,£], ?е[0,оо), удовлетворяющую

уравнению (3) и граничным условиям

^(0,0 = ^(АО = 0,*е[0,оо). (5)

ох ох

При этом необходимо, чтобы выполнялось неравенство

*е[0,Ц, Ге[0,оо). (6)

Используя метод Фурье (см. [3]) можно убедиться, что существует счётное множество функций, удовлетворяющих уравнению (3) и граничным условиям (5):

= К = ™> п=\,2... (7)

Так как | |< 1 при г1 > 0, то функции

уи(*,0 = Уи(*,0 + С (8)

являются решениями уравнения (3) с граничными условиями (5). Неравенство (6), очевидно, выполнено, если константа С > 1.

Так как дгп / дх = -кп е^'^т^л-), то из (4) получаем требуемые функции

е'^сов (Хпх) + С

Перепишем их в виде

и„(*,0 = " " К=-Г> я = 1,2... (9)

Заметим, что п-ая функция ип(х,^) имеет ровно п-1 корней внутри интервала (0,

На рис. 1, 2 приведены графики первых двух функций распределения величин щ и и2 вдоль координаты л* в различные моменты времени при ц = 0,1, С = 1,5.

Таким образом, в дальнейшем развитие методики численного исследования сходимости и устойчивости может быть основано на использовании для построения разностной модели исходного уравнения (1) с граничными условиями (2), а получаемое сеточное решение может оцениваться в сравнении с точным решением (9).

1 - t = 0,3; 2 - t = 0,5; 3 - t = 0,7

Рис. 2. Распределение u2 вдоль х: 1 - t = 0,3; 2 - t = 0,5; 3 - t = 0,7

Список литературы

1. Зайцев А.В., Пеленко Ф.В. Моделирование течения вязкой жидкости в трубе // Процессы и аппараты пищевых производств. 2012. № 1.

2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ. / Под. ред А.Б. Шабата. - М.: Мир, 1977. - 622 с.

3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1988. -

512 с.