CC BY
24
Эргашев Б. старший препопаватель Дадамирзаев М. старший препопаватель Наманганский инженерно - педагогический институт
НамИПИ Узбекистан
ПРИМЕНЕНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ
И РЕШЕНИЕ ИХ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ MATHCAD
Аннотация: В современном мире невозможно представить развитие сферы производства без информационных технологий и современных программных обеспечений. В этой статье решены общие вопросы к выяснению как применение транспортных задач в электроэнергетике и решение их с помощью программы MathCAD.
Ключевые слова: метод транспортных задач, математическая модель, алгоритм, оптимизация, целевая функция, электрическая сеть, транспортная матрица.
В последние время появились многие пакетные программы, с помощью появились возможность решения математических задач ( в том числе и других задач науки, описывающее такими же математическими моделями) без составления компьютерных программ. В учебном процесс ( иногда и в научных учреждениях) с помощью использованием таких систем как
MathCAD, Maple, Mat lab, Mathematic и.т.д. занятия становятся интереснее, осмысление содержания занятия более быстрое и глубокое а также на укрепление излагаемых пониятий и на решение задач остётся достаточно много времени. Из выше указанных систем, MathCAD-более проще чем остальные и она предназначено для технических вузов, а остальные, можно сказать, для профессиональных математиков. Именно в MathCAD задача формулируется в наиболее естественного математического виде, а в других математических системах шаги алгоритма решения задачи с помощью команд системы.
Как известно в MathCAD задачи решаются следующими способами
[2]:
- с помощью внутренних функций MathCAD;
- с помощью математического алгоритма решения задача;
- с помощью алгоритма решения задачи, реализованного, во внутренним языке MathCAD.
Передем теперь общих вопросов к выяснению как применение транспортных задач в электро-энергетике и решение их с помощью программы MathCAD.
Транспортная задача - это задача отыскания таких путей перевозки
продукта от пунктов производства к пунктам потребления, при которых общая стоимость перевозок оказывается минимальной.
Математический аппарат транспортной задачи применим и к задачам электроэнергетики. Здесь под продуктом подразумевается электрическая мощность, передаваемая от источников питания к потребителям по линиям электропередачи. Источниками питания являются электрические станции или подстанции, потребителями - промышленные, городские, сельскохозяйственные потребители электроэнергии. Оптимизации подлежат затраты на схему электрической сети, состоящей из линий электропередачи, связывающих узлы источников питания с узлами потребителей.
Пусть в проектируемой системе электроснабжения имеется i = 1, 2, ... n узлов источников питания и j = 1, 2, ... m узлов потребителей. Мощность каждого из источников составляет Ai, а мощность каждого из потребителей - Bj единиц мощности (е. м.). Известно взаимное расположение узлов источников и потребителей. Стоимость передачи единицы мощности от источника i к потребителю j (удельная стоимость) составляет zij у. е. /е. м.
Общее количество возможных к строительству линий электропередачи, связывающих источники с потребителями, составляет nm. Мощности, передаваемые по этим линиям, являются искомыми переменными xij, следовательно, количество искомых переменных составляет nm.
Затраты на электрическую сеть равны сумме произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от источников i к потребителям j. Поэтому подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид:
n
Z = V z. * x, ^ min
Lu v v
i== (!)
С позиций теоретической электротехники электрическая сеть является электрической цепью и для этой сети применимы все законы, известные из курса электротехники, в частности 1-й закон Кирхгофа. Для каждого i-го источника питания сумма мощностей, оттекающих по линиям ко всем j = 1, 2, ... m узлам потребителей, равна мощности Ai этого источника:
V x ^ Ai
i=i (2)
Для каждого j -го потребителя сумма мощностей, притекающих по линиям от всех i =1, 2, ... n источников, равна мощности Bj этого
потребителя
V X ^ В
i=i (3)
Соотношения (2) и (3), представляющие собой балансы мощности в каждом из узлов, являются ограничениями при решении транспортной задачи. Общее количество ограничений равно количеству узлов источников
и потребителей n + m. В рассматриваемой постановке транспортной задачи все искомые мощности xij, передаваемые от источников к потребителям, являются неотрицательными. Следовательно, граничные условия имеют вид:
xij > 0, I = 1, 2 , ... n; j = l, 2, ... m. (4)
Выражения (1), (2), (3) и (4) представляют собой математическую модель транспортной задачи. Видно, что выражения целевой функции (1) и ограничений (2) и (3) являются линейными.
Особенности транспортной задачи следующие:
1) все ограничения имеют форму равенств;
2) все коэффициенты при переменных в системе ограничений равны плюс единице;
3) каждая переменная дважды входит в систему ограничений: один раз в балансы узлов источников (2), второй раз в балансы узлов потребителей
(3).
С учетом этих особенностей для решения транспортных задач разработаны специальные методы решения, более простые, чем другие методы решения оптимизационных задач.
Рассмотрим решение транспортной задачи методом потенциалов на конкретном примере.
Пример 1. В проектируемой системе электроснабжения имеется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Мощности источников составляют А1 и А2, а мощности потребителей - В1, В2 и В3, е. м. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети показаны на рис. 1. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей составляют z11, z12, z13, z21, z22, z23 у. е. /е. м.
Составить математическую модель для решения транспортной задачи.
Решение. Целевая функция, представляющая собой суммарные денежные затраты на электрическую сеть, в соответствии выражением (1) будет иметь вид:
Z = z11x11 + z12x12 + z13x13 + z21x21 + z22 x22 + z23 x23 ^ min.
Рис. 1. Взаимное расположение источников питания и потребителей
Ограничения, представляющие собой балансы мощности в узлах электрической сети, в соответствии с выражениями (2) и (3) будут иметь следующий вид:
х11 + х12 + х13 = А1, х21 + х22 + х23 = А2, х11 + х21 = В1, х12 + х22 = В2, х13 + х23 = В3.
Граничные условия в соответствии с соотношением (4) запишутся как х11 > 0, х12 > 0, х13 > 0, х21 > 0, х22 > 0, х23 > 0. Полученные выражения представляют собой математическую модель транспортной задачи для схемы, приведенной на рис. 1.
При решении транспортных задач удобно пользоваться табличной формой записи. В этом случае ограничения (2) и (3) записывают в виде транспортной матрицы размерностью пт. Для рассмотренного выше примера 1. транспортная матрица представлена в виде табл. 1.
Таблица 1.
Исходное решение
Х|| *о А»
«II 'о 1и
\в га X!» А*
В, в. В) г
Справа указаны заданные мощности источников А1 и А2, снизу -заданные мощности потребителей В1, В2 и Вз, справа внизу - значение целевой функции 7. Непосредственно в клетках транспортной матрицы записаны подлежащие определению искомые переменные ху и заданные значения удельных стоимостей передачи мощности zij.
Каждая ья строка матрицы соответствует уравнению баланса мощности ьго источника питания, каждый j-й столбец - уравнению баланса мощности j-го потребителя.
Исходное допустимое решение может быть получено по алгоритму минимальной удельной стоимости:
1. В транспортной матрице выбирается клетка с минимальным значением zij. Если имеется несколько таких клеток, то выбирается любая из них.
2. В выбранную клетку в качестве базисной переменной заносится наименьшая из двух величин Аi или Б], т. е. ху = тт(А^ Bj). При этом выполняется баланс мощности по строке 1 или столбцу ] в которые входит переменная х].
3. В остальные клетки строки 1 или столбца ] для которых выполнен
баланс мощности, заносятся нули, соответствующие свободным переменным. Большая из двух величин Аi и Б] условно заменяется разностью этих двух величин.
4. Из оставшихся незаполненных клеток транспортной матрицы вновь выбирается клетка с минимальным значением гц. Далее пункты 2 и 3 повторяются до полного заполнения всех клеток транспортной матрицы.
Следует напомнить, что общее количество переменных составляет пш. Количество отличных от нуля базисных переменных составляет (п + т - 1). Количество равных нулю свободных переменных составляет (пт - (п + т-1)).
Теперь найдем оптимальное решение для задачи примеры при следующих исходных данных:
А1 = 50, А2 = 30, В1 = 20, В2 = 25, В: = 35 е. м.
711 = 1,2; 712 = 1,8; 713 = 1,5;
721 = 1,6; 722 = 2,3; 723 = 1,9.
По выше показанным исходным данным математическая модель выражается следующим образом.
Целевая функция:
7= 1,2x11+ 1,8x12 +1,5x13+1,6x21+2,3x22+1,9x23 ^тт
Ограничения:
(—2 2 ^^ — 2 ^^ —13 — 50
—21 ^ • 22 ^ •13 — 30
—2 2 ^^ —21 — 20
< —12 + •22 — 25
—2 з ^^ —23 — 35
Граничный условия:
x11>0, x12>0, x13>0, x21>0, x12>0, x22>0, x23>0
Приведённая транспортная задача математической модели решим с помощью МаШСаё.
Использованные источники:
1. Костин. В.Н Оптимизационный задачи электроэнергетики/ В.Н.Костин. -СПб., 2003.- 120 с.
2. Ракитин, В.И. Руководство по ВМ и приложения MathCad. М.:ФМ, 2005.264 с.
3. А.И.Имамов, Б.С.Эргашев. Реализация схемы Кранка- Николсона для линейного параболического дифференциального уравнения в MathCad. Молодой учёный №14 (73), Сентябрь, 2014 г.-с 1-5.
Якунин С.А. студент 4 курса факультет «Экономический» ФГБОУВОРГАУ-МСХА им К.А. Тимирязева
Россия, г. Москва АНАЛИЗ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ ОАО «МЕГАФОН» Аннотация: в данной статье представлена краткая характеристика предприятия ООО «Мегафон», непосредственно произведен анализ эффективности производственной деятельности предприятия, представлена структура товарной продукции в фактических ценах, а также представлена структура реализованной продукции, произведен анализ производства продукции на конкретном предприятии и сделаны соответствующие выводы, а также рассчитан срок окупаемости проекта, при годовом объеме чистой прибыли.
Ключевые слова: анализ, производственная деятельность, производство продукции, эффективность, валовая прибыль, выручка, рентабельность, предприятие, затраты, основные средства, реализация
