Применение теории распределений к дифференциально-операторным уравнениям с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

не требующий динамического выделения памяти. Общее время выполнения операций синхронизации сократилось на 20-30%.

2. Предложенный метод может быть полезен в ситуации, где производительность не критична, а на динамическую память имеются существенные ограничения, либо она вообще отсутствует, что делает классический метод неприменимым. Примером являются встраиваемые (embedded) системы.

3. Сохранена защита от некорректного использования.

4. Многопоточные системы в настоящее время широко используются и представленный метод уже имеет применение в сетевой подсистеме коммерческого ПО для распределенной визуализации 3D сцен.

Литература

1. Moore G.E. Cramming more components onto integrated circuits // Electronics. 1965. Т. 38. № 8. C.114-117.

2. Kumar S. Fundamental Limits to Moore's Law // arxiv:1511.059561. 2015. [Электронный ресурс]. URL: https://arxiv.org/pdf/1511.05956.pdf (дата обращения: 14.05.2018).

3. WaldropM.M. The chips are down for Moore's law // Nature. 2016. Т. 530. C. 144-147.

4. Friedman D.P., Wise D.S. The Impact of Applicative Programming on Multiprocessing // IEEE Transactions on Computers, 1978. Т. C. 27. № 4. С. 289-296.

5. Baker H.C., Hewitt C. The Incremental Garbage Collection of Processes // Proceedings of the 1977 symposium on Artificial intelligence and programming languages, 1977. Т. 12. № 8. С. 55-59.

6. Madsen M., Lhotak O., Tip F. A Model for Reasoning About JavaScript Promises // Proceedings of the ACM on Programming Languages, 2017. Т. 1. № 86.

7. Hametner R., Medina Duarte O. Asynchronous Programming with Futures in C on a Safety-Critical Platform in the Railway-Control Domain // IEEE International Conference on Emerging Technologies And Factory Automation, 2017.

Сведения об авторах

Татьяна Ивановна Вишневская

к.ф.-м.н., доцент

МГТУ им. Н.Э. Баумана, факультет Информатика и системы управления Эл.почта: [email protected] Россия, Москва Юрий Игоревич Килочек студент магистратуры

МГТУ им. Н.Э. Баумана, факультет Информатика и системы управления Эл. почта: [email protected] Россия, Москва

Information about authors

Tatyana Ivanovna Vishnevskaya

Ph.D. Physical and mathematical sciences, Associate Professor

Bauman Moscow State Technical University E-mail: [email protected] Russia, Moscow Yuri Igorevich Kilochek

Master's degree student Bauman Moscow State Technical University E-mail: yuri. kilochek@gmail. com Russia, Moscow

УДК 517.929, 517.983.51 В.В. Шеметова

Иркутский государственный университет

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В представляемой работе изучена однозначная разрешимость двух классов начальных задач для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом. Применяются теория обобщенных функций (распределений) Соболева-Шварца со значениями в банаховом пространстве и концепция фундаментального решения.

Ключевые слова: Дифференциально-операторное уравнение, банахово пространство, распределение, фундаментальное решение.

V.V. Shemetova

Irkutsk State University

APPLICATION OF THE THEORY OF DISTRIBUTIONS TO DIFFERENTIAL OPERATOR EQUATIONS WITH FINITE DELAY

The unique solvability of two classes of initial value problems for differential operator equation of the first order with deviating argument has been studied in the present paper. The theory of the Sobolev-Schwartz generalized functions (distributions) with values in Banach spaces and the concept of a fundamental solution of functional differential operator are used.

Keywords: Differential operator equation, Banach space, distribution, fundamental solution.

Тематика уравнений с отклоняющимся аргументом получила достаточно широкое распространение в России и за рубежом. Ей посвящено огромное количество публикаций (см., например, монографию [1] и сопутствующий ей библиографический очерк). Исследования в этом направлении обусловлены, прежде всего, запросами современного естествознания. Функционально-дифференциальные уравнения позволяют описать такие свойства реальных физических процессов как динамическая память, последействие, наследственность, которые естественным образом возникают в связи с тем, что в реальности текущее состояние описываемого объекта определяется не только начальными условиями и текущими возмущениями, но и всей предысторией от старта до момента наблюдения. Функционально-дифференциальные уравнения в абстрактных пространствах как самостоятельные математические объекты и как аппарат исследования эридитарных математических моделей, описываемых уравнениями с частными производными и системами обыкновенных функционально дифференциальных уравнений, рассматривали C. Lizama и F. Poblete [2], A. Ashyralyev, D. Agirseven и B. Ceylan [3], J. I. Vrabie [4], В. Е. Федоров и Е. А. Омельченко [5], M. Lauran [6], В. Ф. Чистяков [7], B. C. Dhage, S. Heikkila [8], В. И. Назаров [9], Р. Г. Алиев [10] и многие другие. Как следует из упомянутых работ, непосредственное построение классического решения начальных задач даже для линейных функционально-дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах является весьма непростой проблемой. В представляемой работе предлагается использовать идеи теории распределений к исследованию начальной задачи с начальной функцией для дифференциального уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом. Этот подход существенно использует конструкцию фундаментального решения дифференциального оператора запаздывающего типа, и оказывается не менее естественным, чем для уравнений, не имеющих возмущения аргумента.

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

'y(t) = aw(t) + by(t -5) + cz(t - 5), • z(t) = kw(t) + my(t - 5) + lz(t - 5), w(t) = y(t) - z(t),

описывается динамика численности претендентов на поступление в аспирантуру (магистратуру) среди студентов, участвующих в учебном процессе от момента поступления до окончания высшего учебного заведения [11]. Здесь w = w(t) - численность претендентов на поступление, y = y(t) - численность потока присоединяющихся к группе на поступление, z = z(t) -численность потока выбывающих из претендентов на поступление, 5 - временной промежуток между сессиями. Первое уравнение данной системы описывает динамику потока присоединяющихся к претендентам на поступление в аспирантуру (магистратуру), второе - изменение потока выбывающих из группы претендентов, третье - связывает прирост и отток численности претендентов с количеством студентов в данной группе. Каждый поток студентов ежегодно находится в похожих условиях, поскольку преподаватели и сложность предметов зачастую не изменяются. Таким образом, все коэффициенты системы дифференциальных уравнений для каждой сессии не зависят от времени.

Подобные задачи могут быть изучены с общих позиций в форме уравнений в абстрактных пространствах. Рассмотрим класс дифференциально-операторных уравнений

u'(t) - Au(t) - Bu(t - h) = f (t) , t > 0 . (1)

Здесь и и I - неизвестная и заданная функции со значениями в банаховом пространстве Е соответственно, к - заданный положительный скаляр, А и В - линейные непрерывные операторы действуют из Е в Е . Для уравнения (1) зададим начальное условие

и (г) = ф(г), - к < г < 0, (2)

где ф(г) е С([0;к];Е) - известная функция. Под классическим решением задачи (1), (2) будем понимать функцию и , сильно непрерывную на луче [-к; + да) и сильно непрерывно дифференцируемую на интервале (0; + да) , которая обращает в тождество уравнение (1) и удовлетворяет начальному условию (2).

Разрешимость начальной задачи (1), (2) изучается методами теории обобщенных функций Соболева-Шварца со значениями в банаховом пространстве, в частности, применяется конструкция фундаментальной оператор-функции. Этот подход, предложенный ранее в [12], показал свою эффективность при исследовании широких классов уравнений в абстрактных пространствах. Он позволяет доказывать существование и единственность решения рассматриваемых задач в классе распределений с ограниченным слева носителем, дает способ построения обобщенных решений, а также позволяет найти условия, при которых обобщенные и классические решения совпадают. В настоящей работе эта методика распространяется на новые классы объектов -дифференциально-операторные уравнений с отклоняющимся аргументом.

В пространстве К + (Е) распределений с ограниченным слева носителем начальная задача (1), (2) принимает вид сверточного уравнения

(15' (г) - А5(г) - В5(г - к)) * ~(г) = ~(г), (3)

с правой частью

~(г) = I (г )0(г) - Аф(г )(е(г + к) - е(г ))+5' (г) * ф(г )(0(г + к) - 9(г ))+ф(0)5(г).

Здесь и далее 0(г) - функция Хэвисайда, 5(г) - функция Дирака, I - тождественный оператор. Единственным решением уравнения (3) (обобщенным решением начальной задачи (1), (2)) является распределение вида

~(г) = е(г) * ~(г), (4)

где обобщенная оператор-функция г(г) такая, что

уу(г) е К + (Е)

(15 '(г) - А5(г) - В5(г - к)) * <г) * v(t) = <г) * (15' (г) - А5(г) - В5(г - к)) * у(г) = v(t),

называется фундаментальным решением функционально-дифференциального оператора 15' (г) - А5(г) - В5(г - к) . Из первого равенства следует, что распределение (4) является решением уравнения (3). Его существование объясняется существованием соответствующей свертки, а единственность доказывается от противного. Пусть уравнение (3) имеет другое решение ~(г) е К + (Е), т. е.

(15' (г) - А5(г) - В5(г - к)) * ~(г) = ~(г),

и V (г) Ф и (г), тогда, в силу второго равенства введенного определения, имеет место ~(г) = г(г) * (15' (г) - А5(г) - В5(г - к)) * ~(г) = г(г) * ~(г) = ~(г),

противоречие, которое доказывает единственность решения (4) сверточного уравнения (3).

Теорема 1. Пусть А , В е Ь(Е), тогда фундаментальное решение дифференциального оператора 15' (г) - А5(г) - В5(г - к) с отклоняющимся аргументом имеет вид

+да

£(г) = еАг 0(г) + X еА(г - щик (г - кИ)0(г - кИ),

к=1

где eAt - операторная экспонента, {Uk_i(t- последовательность оператор-функций, заданная рекуррентно t

Uk(t) = JV(s)Uk_x(s)ds, Uо (t) = I, V(t) = e~AtBeAt. 0

Доказательство состоит в непосредственной проверке определения фундаментального решения функционально-дифференциального оператора I5'(t) - A5(t) - B5(t - h) .

Отметим, что V(0) = B , и справедливо равенство

V '(t) = [V (t), A],

т. е. линейные операторы V(t) и A образуют пару Лакса. Согласно следствию из формулы Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа [13], оператор-функция V (t) представима равномерно сходящимся в топологии L( E) операторно-функциональным рядом

t t2 t3

V (t) = B + [ B, A] 1! + [[B, A], A]— + [[[B, A], A], A] 3 + • • •.

Здесь [B, A] = BA - AB - коммутатор операторов B и A .

Замечание. Если суперпозиция операторов A и B коммутативна, то

£(t) = eAt0(t) + |>A(t-kh) Bk0(t - kh) .

k=l k!

В этих предположениях однозначная разрешимость начальной задачи (1), (2) изучена автором в [14]. Другой специальный случай, когда B = aA, ае R, рассмотрен в [15].

Как показано выше, единственным обобщенным решением начальной задачи (1), (2) является распределение (4). В условиях теоремы 1 известен вид s(t), с учетом которого справедлива формула

+да

~(t) = 9(t)(0(t + h) - 0(t))+ X eA(t-kh)Uk (t - kh)9(0)0(t - kh) +

k=0

+да 0

+ X JeA(t-(k+1)h-s)Uk (t - (k + 1)h - s)Bq(s)ds 0(t - kh) +

k=0 - h +да t - kh

+ X JeA(t-kh-s)Uk (t)(t - kh - s) f (s)ds 0(t - kh) + k=0 0 +да t

+ X J eA(t-S)Uk (t)(t - s)Bq(s - (k + 1)h) ds (0(t - kh) -0(t - (k + 1)h)). k=0(k+1)h

Распределение и (t) е K + (E) является регулярным и порождена функцией и = u(t) , заданной кусочно на полуинтервалах [(k - 1)h; kh) , k е {0} и N . Эта функция является классическим решением начальной задачи (1), (2) при условии f (t) е C([0;+ да);E).

Пусть f (t) е Cn 1 ([0;+да);E), тогда в точках t = kh , кратных запаздыванию, где k = 0,..., n -1, решение имеет k порядком сильной непрерывной дифференцируемости, а в других точках интервала (0; + да) он равен n . Эти факты согласуются с известными сведениями [16] о скалярных (E = R) уравнениях с отклоняющимся аргументом.

Предлагаемый подход применим к задачам более общего вида

и' (г) - Аи(г) - Ви(г - к) = I(г), г > 0, (1)

и (г) = ф(г), - к < г < 0, и(0) = и0, (5)

где функция ф(г) е С([0; к];Е) и вектор и0 е Е известны, причем и0 Ф ф(0) . Данную задачу можно трактовать как начальную задачу с начальной функцией и начальным значением, либо как начальную задачу с разрывной в точке г = 0 начальной функцией.

В пространстве К + (Е) распределений с ограниченным слева носителем начальная задача (1), (5) принимает вид сверточного уравнения

(15' (г) - А5(г) - В5(г - к)) * ~ (г) = ~(г), (6)

с правой частью

к (г) = /(г)0(г) - Аф(г)(е(г + к) - 0(г))+5'(г) * ф(г)(е(г + к) - 0(г))+и05(г).

Единственным решением уравнения (6) (обобщенным решением начальной задачи (1), (5) с разрывной в точке г = 0 начальной функцией) является распределение

и (г) = г(г) * и (г),

где обобщенная оператор-функция г(г) уже известна из сформулированной выше теоремы 1. В ее условиях начальная задача (1), (5) имеет единственное обобщенное решение вида

+да

~ (г) = ф(г )(0(г + И) - 0(г)) + X еА(г - кИ)ик (г - кИ)и0 0(г - кИ) +

к=0

+да 0

+ X |еА(г-(к+1)к-')ик (г - (к + 1)к - 5)Вф^^0(г - кк) +

к=0 - к + да г - кк

+ X |еА(г-кк-5)ик (г)(г - кк - 5)I(¡¡)еЬ 0(г - кк) + к=0 0 +да г

+ X |еА(г-5)ик (г)(г - 5)Вф(5 - (к + 1)к)с1у(0(г - кк) - 0(г - (к + 1)И)).

к=0(к+1)И

Распределение и (г) е К + (Е) является регулярным и порождено функцией и = и(г) , которая при условии I(г) е С([0;+ да);Е) является сильно непрерывно дифференцируемой на интервале (0;+да), за исключением точки г = к, обращает в тождество уравнение (1) и удовлетворяет начальным условиям (5).

Пусть I(г) е Сп 1 ([0;+да);Е), тогда функция и = и(г) претерпевает разрыв в точке г = 0, имеет сильную гладкость порядков к -1 в точках г = кк , где к = 1,..., п , и п в остальных точках положительной полуоси. Также было установлено, что, если оператор В необратим, и вектор (^0 - ф(0)) е Е попадает в ядро (нуль-пространство) N (В) оператора В, то разрывное

в точке г = 0 решение рассматриваемой начальной задачи (1), (5) обладает в остальных точках интервала (0; + да) такими же свойствами, что и классическое решение начальной задачи (1), (2).

Пример. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

Г и{ (г) - ащ (г) - Ьи2 (г) - щ (г - И) - и2 (г - И) = (г), \и2 (г) - Ьщ(г) - аи2 (г) - их(г - И) - и2(г - И) = !2(г);

с начальными условиями

щ (г) = о, - И < г < о, щ (0) = -с,

и2(г) = о, - И < г < о, и2(0) = с.

Здесь

Е = Я2, А = Га Ь^ Г1 Г о > Г- с ^

ч Ь а J , В = ч1 Ъ , ф(о) = ч о ^ , ио =

1с,

и / (г), /2 (г) е С^О'+ю)' Фундаментальное решение соответствующего дифференциального оператора представляет собой обобщенную матрицу-функцию

£(г) =

Геа*Л Ы еаsh ЫЛ чеаsh Ы еа^

0(г) +

+ 1

к=1

Г 2к - кИ)к (а+Ь)(г-кИ) 2к (г - кИ)к е(а+Ь)(г -кИ) ^ к! к! 2 к (У - кИ) к е (а+Ь)(г - кИ) 2 к 0 - кИ) к е (а+Ь)(г - кИ)

0(г - кИ),

к! к!

а обобщенное решение поэлементно определяется следующим образом:

2 к г-кИ

~1 (г) = -се(а-Ь)г0(г) + X ^ I (г - кИ -,)ке(а+Ь)(г-кИ-5) (/1 (*) + /2 &)ф0(г - кИ).

к=о к! о 2к г-кИ

~2(г) = се(а-Ь)г 0(г) + X ^ I (г - кИ - s)ke(a+V(t-kИ-sHfl(s) + /2(*))Ж0(г - кИ).

к=о к! о

Компоненты непрерывного решения рассматриваемой задачи имеют вид

|о

и1 (г) =

- се(а-Ь)г + | е(а+Ь)(г - ^ /1 (,) + /2^, о

- с^ - - +}е(а+Ь)('- в)С/1 С*) + /^»Ж +

- И < г < о, о < г < И,

?(а-Ь)г + | е(а + Ь)(г - в), о

п 2 к г - кИ

+ X ^ I (г - кИ - *)ке(а+Ь)(г-кИ - ^ (*) + /^М, пИ < г < (п + 1)И;

и2(г) =

к=1 к! о

се(а - Ь)г +} е(а+- ^ /1 (5) + /ЖШ

о

с^ ""+}е(а+Ь)(г-5)(/1 (5) + /2(з))ф +

- И < г < о, о < г < И,

,(а - Ь)г +| е (а+Ь)(г - в),

о

п 2 к г - кИ

+ X ^ I (г - кИ - 5) ке(а+Ь)(г-кИ - ')(/ (5) + /2^, пИ < г < (п + 1)И.

к=1к! о

В данном примере матрица В вырождена, и (ио - ф(о)) е N (В) . Решение рассматриваемой задачи претерпевает разрыв в точке г = о, а в остальных точках интервала (о;+ю) имеет первый порядок гладкости, что согласуется с изложенными выше результатами.

Автор считает новыми постановку в классе распределений задачи с начальной функцией для дифференциально-операторного уравнения с отклоняющимся аргументом. Исследование проблемы однозначной разрешимости рассматриваемой задачи проведено с помощью

о

концепции фундаментального решения. Этот подход доставляет конструктивные методы доказательства теорем существования и единственности обобщенного и классического решений, а сами рассуждения становятся компактными. Из теории дифференциально-операторных уравнений хорошо известно [12], что начальные задачи для уравнений с необратимым оператором при старшей производной разрешимы лишь при жестких ограничениях на входные данные. В представленной работе показано, что наличие необратимого оператора при слагаемом с запаздыванием в задаче с разрывной начальной функцией может наоборот улучшать свойства решения. Обнаруженный эффект, по мнению автора, также является новым.

Литература

1. AzbelevN.V., Maksimov V.P., RakhmatullinaL.F. Introduction to the Theory of Functional Differential Equations: Methods and Applications. - New York; Nasr: Hindawi Publ. Corp., 2007. 318 p.

2. Lizama C., Poblete F. Characterization of Well-Posedness for Abstract Cauchy Problems with Finite Delay // J. Math. Anal. Appl. 2018. Vol. 457. № 1. P. 410-435.

3. Ashyralyev A., Agirseven D., Ceylan B. Bounded Solution of Delay Nonlinear Evolutionary Equations // J. Comput. Anal. Appl. 2018. Vol. 318. P. 69-78.

4. Vrabie J.I. A Local Existence Theorem for a Class of Delay Differential Equations // Topol. Meth. Nonlin. Anal. - 2016. - Vol. 48, № 2. - P. 597-612.

5. Федоров В.Е., Омельченко Е.А. Неоднородные линейные уравнения Соболевского типа с запаздыванием // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53. № 2. С. 418-429.

6. Lauran M. Existence Results for Some Differential Equations with Deviating Argument // Filomat. 2011. Vol. 25. № 2. P. 21-31.

7. Чистяков В.Ф. О разрешимости дифференциально-алгебраических уравнений с запаздыванием // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3. № 2. С. 103-116.

8. Dhage B.C., Heikkila S. On Discontinuous Second Order Boundary Value Problems with Deviating Arguments in Ordered Banach Spaces // Indian J. Pure Appl. Math. 1999. Vol. 30. № 8. P. 787-800.

9. Назаров В.И. Дифференциально-операторное уравнение первого порядка с запаздыванием в пространствах Румье // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 9. С. 1540-1548.

10.Алиев Р.Г. О разрешимости уравнения с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // Доклады АН СССР. 1980. Т. 251. № 1. С. 11-14.

11..Атряхин В.А., Шаманаев П.А. О приложении систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом к моделированию процесса воспроизводства научных кадров // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2013. Т. 25. № 1. С. 82-90.

12.Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Logi-nov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. - Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publ., 2002. 568 p.

13.Hall B.C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. - New York: Springer, 2015. 453 p.

14.Шеметова В.В. Фундаментальное решение одного функционально-дифференциального оператора в банаховом пространстве // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Выпуск 7, Часть I: Материалы Междунар. молодежн. науч. шк. «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы». - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2017. С. 213-214.

15. Орлов С.С. Построение решений в классе распределений дифференциально-операторных уравнений с отклоняющимся аргументом // Тез. докл. Всерос. конф. с междунар. участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященной памяти профессора Н. В. Азбелева и профессора Е. Л. Тонкова. - Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 2015. С.107-108.

16.Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М.: Наука, 1971. 296 с.

Сведения об авторе

Валентина Владимировна Шеметова

студент

Иркутский государственный университет Эл. почта: уа1епгта501@таИги Россия, Иркутск

About the author

Valentina Vladimirovna Shemetova

student

Irkutsk State University E-mail: [email protected] Russia, Irkutsk