Применение теории планирования эксперимента для оценкипроцесса фильтрации через облицовки каналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Применение теории планирования эксперимента для оценки процесса фильтрации через облицовки каналов

Е. О. Скляренко, К. В. Гвозденко

Новочеркасский инженерно-мелиоративный институт им. А. К. Корутнова,

Новочеркасск

Аннотация: На основе размерностно-регрессионного метода планирования эксперимента, используя греко-латинский квадрат, авторами были проведены теоретические исследования по изучению процесса фильтрации через повреждения облицовок каналов, образование которых практически неизбежно при устройстве защитных покрытий поверх противофильтрационного полимерного элемента. Используя факторы в безразмерном виде, были построены графики, отображающие результат эксперимента, а также получено уравнение коэффициента фильтрации облицовки, адекватность которого подтверждается критерием Фишера.

Ключевые слова: планирование эксперимента, противофильтрационная облицовка, фильтрация, повреждение, латинский квадрат, размерностно-регрессионный метод.

В настоящее время при строительстве и реконструкции каналов гидромелиоративных систем и устройстве противофильтрационных облицовок, все большее применение находят различные материалы на основе полиэтилена, битума, каучука и других, получившие название геосинтетические [1]. Такие материалы характеризуются повышенной прочностью, гибкостью, долговечностью, химической стойкостью и водонепроницаемостью.

Как правило, создание любой конструкции противофильтрационного покрытия для каналов, водоемов и накопителей отходов [2 - 4] сопровождается комплексом мероприятий, направленных на сохранение целостности противофильтрационного элемента, что в конечном итоге не всегда удается достичь. Это связано с подготовкой грунтового основания и защитного покрытия, которое по всем техническим условиями и рекомендациям по созданию экранов из геомембран [5] не должно иметь острых включений, камней, растительности и других элементов, способных привести к нарушению целостности полотнища.

Тем не менее, многолетний опыт создания противофильтрационных покрытий [3, 5, 6] показывает, что выполнении противофильтрационных (в том числе на каналах гидромелиоративных систем) неизбежно образование повреждений, в виде различных проколов, отверстий, трещин, проваров, которые чаще всего образуются при устройстве защитных слоев или соединении покрытий [4]. Поэтому важным вопросом для применения современных геосинтетических материалов при строительстве и реконструкции каналов гидромелиоративных систем является оценка процесса фильтрации через такие повреждения.

Подобные работы по исследованию водопроницаемости малых отверстий в натурных условиях и с применением теоретических зависимостей проводились ранее Ю. М. Косиченко и О. А. Баевым, в том числе используя метод теории планирования эксперимента, только на основе логарифмирования зависимостей [7].

Данные теоретические исследования могут быть выполнены также на основе размерностно-регрессионного метода планирования эксперимента, используя греко-латинский квадрат [8 - 10].

Размерностно-регрессионный метод планирования эксперимента позволяет получить сравнительно универсальную зависимость, в которой имеется возможность учесть, как можно больше основных факторов, участвующих в решении той или иной проблемы. При использовании этого метода в теории планирования эксперимента применяются сложные безразмерные комбинации, получаемые на основании размерностного метода.

Для решения поставленной задачи рассмотрим факторы, от которых зависит водопроницаемость противофильтрационных покрытий из геосинтетических материалов, применяемых при строительстве и реконструкции каналов гидромелиоративных систем.

Факторами, оказывающими влияние на водопроницаемость в повреждениях противофильтрационных элементов являются: толщина противофильтрационного покрытия, г, м; толщина защитного слоя из грунта, ^ , м; глубина воды в канале, , м; площадь повреждения в

геомембране, £, м ; давление грунта над поврежденной частью экрана, О1

дг -

кН; давления столба воды над площадью повреждения, О, кН; ускорение

2 2 сил тяжести, g, м/с ; атмосферное давление, Райи, кН/м ; частота (количество)

1 2 -2 повреждений на 1 м , п, м .

Используя приведенные факторы с их обозначениями, функциональная зависимость может быть представлена в следующем виде:

к =фЮ , О , г, g, Р , п), (1)

защ т \ ^г5 5 о у аШ5 у ' V /

где к - коэффициент фильтрации грунта защитного слоя (искомая величина), м/с; Овг = (у^-К- давление грунта защитного слоя над отверстием; О = К^^ - давление воды над защитным слоем грунта.

Всем символам правой части зависимости (1) присваиваем показатели степени:

к =ф(О , О , г, g, Ре , п7). (2)

защ т \ ^г^ ^ су^ аШ "у V /

В размерных единицах символов функциональная зависимость (2) примет вид:

Ь

т = [Е ]а, [г ], И'

Ь й Г е 1

Т2 Ь2 5 Ь2

(3)

откуда, используя основные размерности, находим показатели степени:

- для Г: 0 = а + й + е;

- для Ь :1 = с + й - 2е - 2/;

- для Т: -1 = -2й.

Исключаем а, с и й, выразив их через остальные показатели степени. Тогда имеем а = -Ъ - е, й = 0,5, с = 0,5 + 21 + 2 f.

Подставив эти значения показателей в зависимость (2), имеем:

к = т(0-Ъ-е,оЪ,г0M2e+2f,я05,Р\ ,^). (4)

защ т \ ^ 5 яг~ 'О 5 агт "у V /

Объединив переменные факторы с одинаковыми показателями, окончательно получим:

к

защ _ ^

О р . г2

()Ъ (рагт—)е (пг2)f

о,,, о,,,

(5)

л1г§

Применив основные размерности, функциональную зависимость (2) удалось представить в критериальной форме, содержащей в правой части три безразмерных параметра, т. е. число независимых факторов, влияющих на процесс фильтрацию через повреждения в защитном экране, значительно сократилось. Однако, функциональная зависимость (5) является еще многофакторной, даже в критериальном виде.

Чтобы выполнить эксперимент с каждым безразмерным параметром, варьируя его в пределах, нужно сделать большое количество опытов. Сведем количество опытов к оптимальному минимуму, применив теорию планирования эксперимента.

Воспользовавшись выражением (5), применяем размерностно-регрессионный метод, обозначив безразмерные комплексы в обеих частях следующим образом:

к О „ р . г2

К = , К = (_^)Ъ, у = (Рагт 1 )е, 2 = (пг *у. (6)

В процессе эксперимента необходимо найти показатели степени Ъ, е, f при безразмерных параметрах и коэффициент пропорциональности у равенства (5).

Факторные планы в виде латинского и греко-латинского квадрата применяются не только в случае однофакторного эксперимента с несколькими внешними переменными, но и с несколькими факторами. Факторные планы чаще всего применяются для формул двух типов.

Первый тип формулы: зависимая переменная Ф представляет собой сумму функций от независимых переменных. В общем виде эта формула имеет вид:

Ф = Ш + Ш + Ш), (7)

где f, ^, fз - функция любой сложности.

Второй тип формул представляет собой произведений отдельных функций независимых переменных:

Ф = Ш. ш. fз(г). (8)

Функциональная зависимость (8) представляет собой частный случай выражения (7), так как после его логарифмирования получают уравнение эквивалентное зависимости (7):

18 Ф = 1в / (х) + 1в f2 (у) + 1в fз (г). (9)

Уравнение (8) включает выражение, применяемое при использовании метода размерностей (10), а также ряд других сложных зависимостей:

Ф = фа, уЪ, гс), (10)

В случае, если известно, что функция относится к классу, который описывается равенством (8), выполнение факторного эксперимента проводится в следующем порядке.

Пусть в сбалансированном эксперименте на трех уровнях применяется х, у, г, тогда латинский квадрат имеет вид:

У1 У2 Уз

Х1 Zl Z2 Zз

Х2 Z2 Zз Zl

Хз Zз Zl Z2

В этом случае составляется три логарифмических уравнения для строки, содержащей х и производится их суммирование:

(1в Ф)а = 1в /1( х,) + 1в /2( У1) + 1в /з( (1в Ф)Ь = 1в /1( Х1) + 1в /2( уг) + 1в /з( 21) (1В Ф)с = 1в /1( х,) + 1в /2( Уз) + 1в /з( 2 2)1

(11)

S lg Фхх = 3lgf(xj + lg [f2( yx)f2( y2)f2( y3)]+ lg [/з( z3)f3( z1)f3( z2)].

Аналогичный вариант может быть получен для строки, в которую входит х2, а затем х3, вплоть до п-й строки. В общем виде получим:

lg f (Xi) = S lg ФХ] - const n

, N S lg Фх7

lg fi (x2) =-2- - const

n

lg fi(Xn) =S lg Фхn - const n

(12)

где п - число уровней независимых переменных.

Системы уравнений (11) и (12) показывают, что если усреднения производить по соответствующим уровням переменной у , а затем 2 , то результат будет получен тот же самый, что и для случая усреднения по уровням переменной Х . В случае добавления еще одной или двух независимых переменных, получится греко-латинский квадрат, при этом правило влияния новых переменных на результат Ф останется прежним.

Пользуясь формулами системы уравнения (12), можно построить графики, которым будут соответствовать функции:

Фх = к/( х); Фу = к/2 (у); Ф2 = к7з(у), (13)

где Фх - антилогарифм X 1в Фх„; к - постоянная в формулах (13), которая получена по значениям у и 2 , исключаемых при использовании латинского квадрата; / (х) - функция переменной х.

>

Решая уравнения системы (13) и поставив /(х), /(у), / (z) в зависимость (8), получим:

Ф = к(Фх )(Фу )(Фz), (14)

где к = (кк'к") 1. С учетом этого систему уравнений (6) представим в следующем виде:

К = ^1( ХМ( УЖ( 2). (15)

Применив приведенные рассуждения к системе уравнений (5), которая удовлетворяет уравнению (8) с взятием переменных системы (6) на четырех уровнях латинский квадрат имеет вид:

У1 У2 Уз У4

Х4 Zl Z2 Zз Z4

Х3 Z2 Zl Z4 Zз

Х2 Zз Z4 Zl Z2

Х1 Z4 Zз Z2 Zl

В данном случае рассмотренную модель можно представить в виде следующей функции:

кзащ = Ь0 + Ь1Х + Ь2У + Ь32 + Ь4ХУ + Ь5Х2 + Ь6У2 + Ь7 ХУ2 . (16)

Параметры х , у, 2 данной зависимости, а также коэффициенты Ь0. . Ъп, были определены опытным путем.

При исследованиях по определению фильтрационных характеристик защитного слоя, факторы, входящие в зависимость (1), изменились в следующих пределах: t = 0,002 - 0,007 м; Л = 0,2 - 0,5 м; ^ = 5 -10 м;

5 = 0,05 - 0,20 м2; р = 15,0 - 21,0 кН/м2; п = 0,001 - 0,0001 м-2.

Для проведения экспериментов был выбран план с квадратом 4х4 (15), в котором безразмерные параметры х , у, 2 имели следующие значения:

О р

X = = 2,4 • 10-2 - 5,5 • 10-2; У = рт = 7,92 • 10-5 - 2,4 • 10-4; О О

Z = па2 = 4,0 • 10 10 - 4,9 • 10 8.

Латинский квадрат будет иметь следующую структуру (таблица №1) [8].

Таблица № 1

План эксперимента на четырех уровнях варьирования переменными в формуле (15)

Относительное давление на грунт защитного слоя, У 7,92 • 10 5 1,328 • 10 4 1,864 • 10 4 2,4 • 10 4

Коэффициент условий работы грунта защитного слоя, Относительная частота повреждений в противофильтрационном геосинтетическом материале, 2

5,5 -10-2 4,0 • 10-10 1,66 • 10 8 3,28 • 10-8 4,9 • 10 8

4,47 • 10 2 1,66 • 108 4,0 • 10-10 4,9 • 10-8 3,28 • 10 8

3,4 • 10 2 3,28 • 10 8 4,9 • 10 8 4,0 • 10-10 1,16 • 10 8

2,4 • 10 2 4,9 • 10 8 3,28 • 10 8 1,16 • 10-8 4,0 • 10-10

После проведения эксперимента при указанных 16 комбинациях по опытным данным был составлен квадрат (таблица № 2), содержащий значения зависимой переменной, которой является критерий

к

бурности (Г05) = Я = .

г

Таблица № 2

к

тл ^ п защ

Квадрат зависимой переменной Я = --щ

3,82 4,52 5,56 7,14

2,67 3,17 3,89 5,00

1,53 1,81 2,22 2,86

0,38 0,45 0,56 0,71

Для нахождения искомой зависимости от факторов, вошедших в зависимость (15), необходимо по данным полученного квадрата (таблица 1) вычислить средний логарифм, а затем определить антилогарифм по следующей схеме (рис. 1).

Относительная частота повреждений, z

Z = 4 -10"

Логарифм Я

Z = 1,66 -10~8 Z = 3,28 • 10-8 Z = 4,9 • 10-8 Сумма Среднее Антилогарифм

Относительное давление на грунт защитного слоя, Яу

Коэффициент условий работы грунта, х

Сумма Среднее Антилогарифм

2,83

1,28 1,29 1,27 1,29

0,71

2,22 0,56 0,60 0,15 -1,17 -0,29

0,32 0,32 0,318 0,32

5,10

3,60

1,41

0,51 Rx

2.09

2.10 2,08 2,10

Z = 4,9 -10"8 Z = 3,28 -108 Z = 1,66 -10"8 Z = 4 -10"10

Рис. 1 - Схема вычислений Я в функции от х , у и 2 формулы (15)

По данным этих вычислений построим графики (рис. 2), изображающие результат эксперимента.

Rz

3,0 2,0 1,0 0,0

1 R =2,0925

-

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Z10'1 Рис. 2 - Графики по результатам вычислений

С помощью метода наименьших квадратов, определены коэффициенты и получены уравнения результатов Я. = /(х • 10-2); Я = /'(у • 10 -4) и

Я = 2,0925. С учетом уравнения (14) определены коэффициенты ki для всех 16 комбинаций и найдено среднее значение постоянной к для всех условий равное 0,254.

Подставляя уравнения с графиков (см. рис. 2) и среднее значение коэффициентов к = 0,254 в зависимость (14) получено окончательное уравнение относительно результата Я:

Я = 0,254(1,385х - 2,85)(0,81н + 0,99)2,0925, (18)

или, выполнив арифметические действия, окончательно получено:

Я = 0,596ху -1,227у + 0,729х -1,5. (19)

Подставив безразмерные факторы из (6) в (19), выразим уравнение (19) через искомую величину к :

к = &

защ л I О

О Р л2 р г2 О

0,596( ^ агт ) -1227(———) + 0,729(--1,5)

КО2 • 106' О • 104^ Кв • 102 7

(20)

Проверим адекватность полученного уравнения по Р-критерию Фишера. Для этого производим сравнение полученного и табличного Г -значения, (Г > Гтабл), исходя из этого можно сделать вывод, что уравнение (20) адекватно результатам эксперимента. Уровень значимости при этом был принят по статистическим таблицам равным 0,05.

Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что полученное уравнение (20) на основе теории планирования эксперимента размерностно-регрессионным методом может быть использовано для расчета процесса фильтрации через повреждения в противофильтрационных облицовках каналов [11 - 13], выполненных из геосинтетических материалов.

Литература

1. Косиченко Ю. М., Баев О. А. Классификация геосинтетических материалов и их применение для противофильтрационных устройств. Актуальные вопросы гидротехники и мелиорации на Юге России сборник научных трудов. ФГБОУ ВПО «Новочеркасская государственная мелиоративная академия». Новочеркасск, 2013, с. 108-116.

2. Скляренко Е. О. Моделирование распространения загрязненного потока из накопителей промышленных отходов в грунтовых водах // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. 2007. № 4. С. 96-99.

3. Ищенко А. В. Повышение эффективности и надежности противофильтрационных облицовок оросительных каналов: монография. Изв.вуз. Сев. - Кавк. регион. техн. науки. 2006. 211 с.

4. Баев О. А. Противофильтрационные покрытия с применением бентонитовых матов для накопителей жидких отходов // Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, 2013. № 3 (11). С. 115-124.

5. Косиченко Ю. М., Баев О. А. Рекомендации по применению геосинтетических материалов для противофильтрационных экранов каналов, водоемов и накопителей. Новочеркасск, 2014. - 64 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.01.15, № 1-В2015.

6. Косиченко Ю.М., Баев О.А., Ищенко А.В. Современные методы борьбы с фильтрацией на оросительных системах // Инженерный Вестник Дона, 2014, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2593.

7. Баев О. А. Применение планирования эксперимента для изучения водопроницаемости экрана из геомембраны // Природообустройство. 2014. № 3. С. 46-51.

8. Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных. -Судостроение, 1980. С. 86-98.

9. Веников В. А. Теория подобия и моделирования. М.: Высшая школа, 1984. - 438 с.

10.Сидняев Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных: учебное пособие. М.: Юрайт, 2011. - 399 с.

11.Скляренко Е. О. Баев О. А. Анализ водопроницаемости противофильтрационных экранов в программном комплексе «Comsol multiphysics» // Инженерный Вестник Дона, 2015, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3104.

12.Offengenden C. P. Lining for irrigation canals / Washington: United States Government printing office, 1963. - PP. 15-65.

13.Rowe R. K. Performance of a geocomposite liner for containing / T. Mukunoki, R. J. Bathurst, S. Rimal, P. Hurst, S. Hansen // Geotextiles and Geomembranes. - 2007. - № 25 (2). - PP. 68-77.

References

1. Kosichenko Ju.M., Baev O.A. Aktual'nye voprosy gidrotehniki i melioracii na Juge Rossii sbornik nauchnyh trudov. FGBOU VPO «Novocherkasskaja gosudarstvennaja meliorativnaja akademija». Novocherkassk, 2013, pp. 108116.

2. Skljarenko E.O. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Severo-Kavkazskij region. Serija: Tehnicheskie nauki. 2007. № 4. pp.96-99.

3. Ishchenko, A.V. Povyshenie effektivnosti i nadezhnosti protivo-fil'tratsionnykh oblitsovok orositel'nykh kanalov: monografiya [Improving the efficiency and reliability of anti facing irrigation canals] Izv.vuz. Sev. Kavk. region. tekhn. nauki. 2006. 211 p.

4. Baev O.A. Nauchnyj zhurnal Rossijskogo NII problem melioracii, 2013. № 3 (11), pp.115-124.

5. Kosichenko Ju.M., Baev O.A. Rekomendacii po primeneniju geosinteticheskih materialov dlja protivofil'tracionnyh jekranov kanalov, vodoemov i nakopitelej. Novocherkassk, 2014. 64 p. Dep. v VINITI 12.01.15, № 1-V2015.

6. Kosichenko Ju.M., Baev O.A., Ishhenko A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2593.

7. Baev O.A. Prirodoobustrojstvo. 2014. № 3.pp. 46-51.

8. Montgomeri D.K. Planirovanie jeksperimenta i analiz dannyh [Experimental Design and Analysis]. Sudostroenie, 1980. pp. 86-98.

9. Venikov V.A. Teorija podobija i modelirovanija [Similarity Theory and Modeling]. M.: Vysshaja shkola, 1984. 438 p.

10. Sidnjaev N.I. Teorija planirovanija jeksperimenta i analiz statisticheskih dannyh: uchebnoe posobie [The theory of experimental design and analysis of statistical data]. M.: Jurajt, 2011. 399 p.

11.Skljarenko E.O. Baev O.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3104.

12.Offengenden C.P. Lining for irrigation canals. Washington: United States Government printing office, 1963. pp.15-65.

13.Rowe R.K., T. Mukunoki, R. J. Bathurst, S. Rimal, P. Hurst, S. Hansen. Geotextiles and Geomembranes. 2007. № 25 (2). pp.68-77.