Применение теории групп к анализу некоторых физических моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

14

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП К АНАЛИЗУ НЕКОТОРЫХ

ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Бутырин Владимир Иванович

Доцент, канд. техн. наук, Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск

АННОТАЦИЯ

Приведен пример построения группы для анализа физической модели. Определено понятие включающего элемента. На примере показано приложение теории групп к анализу физических моделей. Показано, что математически непротиворечиво существование скоростей больше скорости света.

ABSTRACT

An example of derivation of a group for analysis of a physical model is considered. A concept of including element is defined. An example is given to demonstrate applicability of the group theory to analysis ofphysical models. The possibility of speed higher than the speed of light is shown to be mathematically not contradictory.

Ключевые слова: теория групп, включающий элемент, физическая модель, скорость света.

Keywords: group theory, including element, physical model, speed of light

Пример группы для анализа физических моделей

Пусть дана группа Gy элементов ay, by, Оу, ....

Рассмотрим множество G2 (Gy П G2 = 0) элементов

С2 , b2, c2, ... таких, что для них бинарная операция,

заданная на множестве Gy, определена следующим образом:

1. У ay е Gy, V«2 е G2 ^ ay □ a2 е G2;

2. Vc2 , b2 е G2 ^ С2 □ b2 е Gy;

3.

Va,b, c е Gy U G2 ^ a □ (b □ c) = (a □ b) □ c.

Следовательно ey □ b2 = b2, т.е. ey есть левый

единичный элемент в G = Gy U G2. Аналогично показывается существование правого единичного элемента.

2. Покажем существование обратных элементов на

множестве G. На множестве Gy обратные элементы существует по определению. Покажем существование

обратных элементов для всех элементов множества G2 .

Рассмотрим произвольный элемент a2 е G2.

Vb2 е G2 С2 □ b2 = ay е Gy, но

Vay е Gy Ela-y е Gy: a-y □ ay = ey

a-y □ (b2 □ C2) = a-y □ ay = ey.

Теорема 1. Множество G = Gy U G2 есть группа.

Доказательство: 1. Покажем существование (левого) единичного элемента на множестве G . На множестве

Gy единичный элемент существует по определению. Покажем существование единичного элемента для

элементов множества G2. Пусть ey е Gy левый

единичный элемент в Gy . Тогда Vay е Gy, Va2 е G2

(ey □ ay) □ a2 = ay □ a2 = b2,

В силу ассоциативности (ay y □ b2) □ Следовательно

Va2 е G2

ay y □ b2 е G2 :

a2 = ey. a-y □ a2 = ey.

Пример 1. Gy = ( 0; +&) группа положительных

рациональных чисел по умножению, G2 =(-»;0) множество отрицательных рациональных чисел. Покажем,

что множество G = Gy U G2 =(0; +OT) U (-OT;0) группа по умножению.

но

(ey □ ay) □ a2 = ey □ (ay □ a2 ) = ey □ Ы,

1. e = y единичный элемент в группе Gy ;

2.

Va2, b2 е G2 a2 □ b2 е Gy

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

15

« = -2, b>2 = -3, аг □ Ъ2 = (-2) □ (-3) = 6 е Gj); 3. Vaj е Gj, V«2 е G2 □ «2 е G2

(ai = 2, a2 = -2, аj □ a2 = 2 □ (-2) = -4 е G2)

4 . V«?2 е G2 e □ a2 = «2

( «2 = -3, e □ «2 = 1 □ (-3) = -3 = «2 );

к ней G2 . Тогда 2k = 2й , т.е. k = й . Следовательно k = Ш = й .

Число й может быть как четным, так и нечетным.

Пример 2. Рассмотрим множество G = ( aj, a2, «3, «4 )

, состоящее из четырех элементов. Определим коммутативную бинарную операцию:

aj □ aj = aj, aj □ a2 = a2, aj □ «3 = «3 , aj □ a4 = a4,

5. V«2 е G2

3«2j е G2 :

«2 j □ «2

т.е. aj есть единичный элемент,

(«2 = -2, =-1/2, «2j □ «2 =-1/2 □ (-2) = 1 = e)

Определение 1. Назовем группу Gj основной группой, множество G2 - дополнением к группе Gj, группу G = Gj U G2 - объединенной группой.

Построение объединенных групп

Далее будем рассматривать только коммутативные группы.

Теорема 2. Коммутативную группу G с конечным нечетным числом элементов 2й + \ нельзя разложить на

основную группу Gj и дополнение к ней G2 . Если группу с конечным четным числом элементов 2й можно разложить

на основную группу Gj, содержащую Ш элементов,

и дополнение к ней G2, содержащее k элементов, то k = Ш = й .

Доказательство: 1. Пусть группа G содержит 2й + \ элемента и разложена на основную группу Gj и дополнение к ней G2 . Рассмотрим элемент aj е G2. В G2 содержится k элементов. VЪ j е Gj j е G2 : «j□ Ъ

Если Следовательно

ЪЛ * Ъ1г • то

k > 2й +! - k.

«

«л * aj2

Далее

V«j е G2 ЗЪу е Gj: «j □ «j = bj

. Если a j * a j , то Ъj^ * Ъ j^ . Следовательно k < 2й + j - k . Тогда k = 2й + j - k или 2k = 2й + \ , что невозможно. Получили противоречие.

2. Пусть в группе G содержится 2й элементов и возможно разложение группы на основную группу Gj и дополнение

a2 □ a2 = aj, a2 □ «3 = a4, a2 □ a4 = «3 ,

«з □ «з = «2, «з □ «4 = aj, «4 □ «4 = «2.

Для a2 обратным элементом является сам элемент a2

. Элементы «3 и «4 являются взаимно обратными. Множество G является группой. Представим множество

G как объединение двух множеств Gj = ( aj, «2) и G2 =( a3, a4 ) .

Множество Gj является группой. V«j е G2 (' = 3,4)

1. Vj = 1,2 aj □ aj е G2;

2. Vj = 3,4 aj □ aj е Gj,

те. G2 является дополнением к группе Gj , а G

объединенной группой. Здесь й - четное.

является

Пример 3. Рассмотрим множество G = (aj, «2)

. Определим коммутативную бинарную операцию:

aj □ aj = aj, aj □ «2 = «2, «2 □ «2 = aj.

Здесь aj является единичным элементом, a2 есть обратный элемент к самому себе. Множество G является группой. Представим множество G как объединение двух

множеств G = Gj U G2, где Gj = (aj ), G2 = («2 )

. Множество Gj есть группа. Рассмотрим множество G2 :

aj □ «2 = «2 е G2, «2 □ «2 = aj е Gj,

т.е. множество G2 есть дополнение к группе Gj . Следовательно, множество G - объединенная группа.

16

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Здесь П - нечетное.

Следствие 1. В конечной объединенной группе существует, может быть не один, элемент обратный самому себе. Он может принадлежать как основной группе, если n - четное, так и дополнению к ней, если П - нечетное.

Теорема 3. Пусть дана группа Gy, содержащая П элементов Qj, и множество G2, содержащее П элементов bj. На множестве G2 можно построить дополнение к группе Gy, если, выбрав произвольный элемент Ьу 6 G2 , задать операцию Ьу П Ьу = a£ 6 Gy, выбрать для него

обратный элемент Ьу 1 : Ьу 1 П by = e (ay = e -единичный элемент) и Vj = 1,...,П определить операцию

Ь1 П ai = bi 6 G2 .

Доказательство: 1.

Vi, j bj П aj = (by П aj) П aj = by П (aj П aj ) = by П ai 6 G2 . Т.к. Vi by П ai операция определена, то определена и

операция bj П aj .

2 .

Vj, j bj П bj =(by П aj) П (by П aj) = (by П by) П aj П aj = ak П at П aj

, т.е. операция bj П bj определена.

3

GП ьу=GП (GП aj)П h=(ьу-1 п a-y)П (ajП ьу)=(ьу-1 п G)П bj=e

т.е. VI ВЬ- = by-1 П a- 6 G2.

Пример 4. Рассмотрим два множества Gy = ( Qy, 0^, Q3 )

и G2 =(by,Ь2,Ьз ) . Определим на множестве Gy бинарную операцию

ay П ay = ay, ay П 02 = 02, ay П 03 = 03,

т.е. ay - единичный элемент,

a2 П a2 = Оз, a2 П Оз = ay, аз П аз = 02,

т.е. элементы Q2 и Оз взаимно обратные. Множество Gy есть группа. Выберем на множестве G2 элемент Ьу. Определим бинарную операцию Ьу П Ьу = aз ,

выберем обратный элемент Ьу 1 = Ь2 : Ь2 П by = ay и определим операции

by П ay = by, by П a2 = b2, by П aз = Ьз.

Покажем, что определены бинарные операции

ay П b2, ay П Ьз, a2 П b2, a2 П Ьз, aз П b2, aз П Ьз, by П Ьз, b2 П b2, b2 П Ьз, Ьз П Ьз.

Действительно,

ay П b2 = ay П (by П a2 ) = (ay П by) П a2 = by □ a2 = b2 ay П Ьз = ay П (by П aз) = (ay П by) П aз = by П aз = Ьз

т.е. Qy - единичный элемент на множестве G2 . Далее,

Ьз П Ьз = (by П aз ) П (by П aз ) = (by П by) П (aз П aз ) = aз П a2 = ay

т.е. Ьз - элемент, обратный самому себе. Также

a2 П Ь2 = a2 П (by П a2 ) = by П (a2 П a2) = by П aз = Ьз,

Ь2 П Ьз =(by П a2 ) П (by П aз ) = (by П by) П (a2 П aз ) = aз П ay = aз

Аналогично показывается, что

a2 П Ьз = by, aз П Ь2 = by,

aз П Ьз = Ь2, by П Ьз = a2, b2 П Ь2 = a2

Очевидно, что G2 есть дополнение к группе Gy .

Следовательно, Gy есть основная группа, а G = Gy U G2 - объединенная группа.

Теорема 4. В коммутативной группе G с конечным нечетным числом элементов не существует элемента обратного самому себе, кроме нулевого.

Доказательство: Пусть

Bay 6 G: ay ф e, ay П ay = e. Тогда

Ba2 6 G: a2 ф ay, a2 ф e, a2 П a2 = e.

Рассмотрим элемент Оз 6 G : Оз = Qy П 02. Тогда

aз ф e, aз ф ay, aз ф a2, aз П aз = e

. Отсюда

3a4 6 G : a4 Ф aj (j = 1,2,3), a4 Ф e, a4 П a4 = e . Пусть существует последовательность 2k элементов

обратных самому себе aj П aj = e (j = 1,...,2k)

. Покажем, что эта последовательность бесконечная.

Рассмотрим элемент Q2£+y = Qy П Q2£ . Очевидно,

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

17

что °2к+i ф e, °2к+i ф °Ъ °2к+i ф °2к

. Покажем, что ^2к+1 Ф ®j (J = 2,...,2к — 1)

. Пусть J = 2i (i = 1,...,k — 1) . Тогда

ai □ @2k = a2i или ai D ai D &2k = ai □ @2i

, т.е. a2k = ai □ a2i = a2i+i, что неверно.

Пусть J = 2i + 1 (i = 1,..., k — 1). Тогда

ai □ a2k = a2i+i. Отсюда ai □ a2k = ai □ a2i

, т.е. a2k = a2i, что тоже неверно. Следовательно

Vk 3«2к+i : @2к+i □ ®2к+i = e . Следовательно, последовательность бесконечна. Получили противоречие.

элемент A (A П G = 0)

такой, что

1. A □ A = A,

2. Va e G ^ a □ A = A □ a = A;

3 .

Va,b e G ^ (a □ b) □ A = a □ (b □ A) = a □ A = A

Лемма 1. Объединение A U G не является группой. Доказательство: Пусть Б A i: A i □ A = e .Нотогда

Определение 2. Группу G с бесконечным числом элементов назовем нечетной группой (группой содержащей нечетное число элементов), если в ней не существует элемента, обратного самому себе кроме нулевого. В противном случае группу назовем четной (группой содержащей четное число элементов).

Пример 5. Рассмотрим множество

G = (—ю;0) U (0; +ю), на котором задана

операция умножения. Множество G является группой. Его можно представить как объединение множеств

G = Gi U G2 (Gi =(0; +«), G2 =(—®;0))

. Множество Gi является основной группой, множество

G2 есть дополнение к группе Gi , множество G есть объединенная группа (см. пример 1). Каждому элементу

множества a e Gi можно поставить в соответствие

элемент множества b e G2 : b = —a, т.е. множество G является четной группой. И, действительно,

БЬ = —1 e G2 : b □ b = (—1) □ (—1) = 1 = e e Gi

, т.е. в G существует элемент обратный самому себе и

отличный от единичного элемента. Т.к. b = — i e G2 , то П - нечетное (см. следствие 1). Действительно, каждому

элементу a e Gi можно поставить в соответствие элемент

a_i e Gi: a_i □ a = e и дополнительно существует

единичный элемент e .

Va e G (a Ф e) ^ A_i □ A = A_i □ (A □ a) = (A_i □ a) □ a = e □ a , т.е. e □ a = e . Получили противоречие.

Определение 3. Назовем элемент A - включающим

элементом, а объединение Gi U G2 U A - объединенной группой с включающим элементом.

Можно ввести понятие объединенных групп с П включающими элементами, но для них операция

Ai □ AJ (i ф J) не определена.

Пример 6. Рассмотрим объединенную группу по умножению

G = Gi U G2 (Gi = (0; +«), G2 = (—»;0))

(см. пример 5) и элемент A = 0. Покажем, что A -включающий элемент. Va e G ^ a □ A = a □ 0 = 0

. Далее, не существует A i : A _i □ A = e = 1 .Т.е.

A включающий элемент и множество Gi U G2 U A есть объединенная группа с включающим элементом.

Пример применения теории групп к анализу физических моделей

Пусть задано одномерное пространство скоростей V e V = (—ю; +да) на котором задана операция

Vi + V2

сложения [1, с. 58] V =-------, где С - скорость света.

i +

viv2

Покажем, что V есть объединённая группа с включающими элементами.

Включающий элемент

Рассмотрим множество Vi = (—С; с) .

Рассмотрим объединенную группу G = Gi U G2, где 1. VVi = kiC, V2 = k2C (|ki\ < 1,|k2 < 1) Gi - основная группа G2 - дополнение к Gi и некоторый

18

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

v - v П г - klC + k2c _ k1 + k2 c _ k c rV v _ v I I v _ k1c + k2c _ k1 + k2 c _ k c rV

v _ v1 П v2 _----VCk~C л \ I i _ k3C r V1 v _ v1 П v2 _----kck c ~л , i i C _ k3c r V1

, 1 + k1ck2c 1 + «1^2 1 + k1ck2c 1 +

c2 c2

т.к. < 1, что легко проверяется Vkj, «2 . Например, . i

, т.к. < 1.

«1 _ «2 _ 0,5 . Тогда

5. Vv1 _ kyc (|&1I > 1) By- 1 _ -k^c:

_ 0,5 + 0,5 __l_ < 1.

3 1 + 0,5 • 0,5 1,25

2. Существует нулевой (единичный) элемент e _ 0: Vv1 _ kyc (|k^ < 1) т.к.

e + v 0 + k1c

v_eП v _—^=-ikc=k'c_v‘.

1 + 2 1 + 2

c c

-1 ^c - k1c k1 - h

v _ v1 П v1 _ —y— _ — 2 c _ 0 _ e r V

1 + k1ck1c 1 + k12

+

c2

т.е. существует обратный элемент.

Итак, множество V2 есть дополнение к группе V. Рассмотрим элементы v1 _ k1c r V2, v2 _ k2c r V2

. Для всякого элемента v _ kc (|k| < 1) существует (^1 ^ +^ «2 ^ ^).

обратный элемент v 1 _ -kc такой, что

Vv3 _ k3c r V U V2 (|кз I Ф 1)

„ -1 kc - kc к - к

v _ v П v _---------_-------------- c _ 0 _ e.

1-

kckc

~T

1 - k

2

Итак, множество V _ (-c; c) есть группа. Рассмотрим множество V2 _ (--c) U (c; +w) .

1. Vv1 _ k1c, v2 _ k2c (|Ц < 1,|k2 > 1)

v _ v П v _ k1c + k2c _ k1 + k2 c _ k c r V

v _ v1 П v2 _----k c _ c _ k3c r V2

. + k1ck2c 1 + k1k2

, т.к. \k3\> 1. c 2

2. Vv1 _ k1c, v2 _ k2c (|Ц > 1,> 1)

kic + k3c л. ki + k3 c

v _ v П v3 _ lim —f— _ lim —-----------------— c _ —

, «1 1 + k1ck3c «1 1 + &1&3 «3

1. ko c + k3 c 1. ko + k3 c

v _ v2 П v3 _ lim —^——— _ lim —— c --

«2 ^-^ 1 + k2ck3c «2 ^-ro 1 + ^^£3 &3

т.е.

элементы

v1 _ k1c (k1 ^ +w), v2 _ k2c (k2 ^ -w)

эквивалентны.

Рассмотрим бинарные операции

v _ v П v _ lim

k1c + k1c

_ lim -^L

к1 ^+да 1 + k1ck1c 1 + fa2

c2

c _ 0 _ e

k2c + k2c 2k2 ,

v _ v2 П v2 _ lim —;г— _ lim -----^ c _ 0 _ e

2 2 «2 1+k2ck2c «2 1+«22

3

c

c

c

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

19

Следовательно, элементы щ = , гр= — являются

включающими элементами. Необходимо отметить, что

v = Vj □ V2

kjc + k2c kj + k2 .

lim —f— = lim —----------— c = 0 = e

kj ^+я j + k1ck2c kj ^+я 1 + kjk2

&2 ^—я ^2 k2 ^-—я

Следовательно, элементы Vj и V2 суть эквивалентные и обратные самим себе.

Значит, множество Vj есть основная нечетная группа (см.

следствие 1), множество V2 является дополнением к ней,

множество V = v U v2 есть объединенная четная группа (т.к. существует элемент обратный самому себе и не равный

нулевому). Группа Vj содержит нечетное число элементов.

Рассмотрим элементы

% = , 2c=— . VV3 = k2c е Gj U G2 (k2\ф j

c + k3c j + k3

V = Vi □ V3 =---7-— =------- c = c = Vi,

j 3 j + ck^c j + k3 1

c

— c + k3c -j + k3

V = V2 □ V3 =-T2— =----- c

2 3 1 ck3c j — k3

j—-r

-c = V2.

операция Vj □ V2 не определена.

Значит, множество V есть объединенная группа с включающими элементами c и — c .

Заключение

1. Полученные результаты говорят о том, что теория групп позволяет анализировать структуру физических моделей. В частности, математически непротиворечиво существование скоростей больше скорости света.

2. Проводя аналогичные рассуждения можно прийти к понятию радиуса вселенной (включающий элемент), расстояниям меньше радиуса вселенной (основная группа) - наша вселенная и расстояниям больше радиуса вселенной (дополнение к основной группе) -альтернативная вселенная.

3. Аналогичные построения могут привести к понятию абсолютного ускорения (аналог скорости света).

4. Значение включающего элемента A в каждой точке пространства может быть различным и зависеть от физических характеристик точки измерения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001. - 542с.