CC BY
9
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 5.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-206-226
Применение теоретико-числовых сеток в задачах дифракции звука на упругих телах 12
Н. Н. Добровольский, С. А. Скобельцын, Л. А. Толоконников, Н. В. Ларин
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Скобельцын Сергей Алексеевич — доктор физико-математических наук, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Толоконников Лев Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: TolokonnikovLA @mail. ru
Ларин Николай Владимирович — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье рассматривается задача дифракции плоской гармонической звуковой волны на упругом эллипсоиде. Для рассеянного поля используется представление в виде интеграла Кирхгофа. Это приводит к необходимости решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для определения потенциала смещения в рассеянной волне на поверхности рассеивателя. Показано, что использование квадратурных формул на основе сеток Смоляка позволяет сократить число вычислений при приближенном вычисление интегралов, при решении интегрального уравнения и при вычислении рассеянного акустического давления в ближней зоне. Этот метод сравнивается с вычислением интегралов методом простых ячеек, который имеет тот же порядок точности. Проведено сопоставление времени решения задачи с вычислением давления в окрестности эллипсоида на основе решения интегрального уравнения двумя методами вычисления интегралов.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, линейные интегральные уравнения, квадратурные формулы, периодизация, сетки Смоляка, параллелепипедальные сетки.
Библиография: 19 названий. Для цитирования:
Н. Н. Добровольский, С. А. Скобельцын, Л. А. Толоконников, Н. В. Ларин. Применение теоретико-числовых сеток в задачах дифракции звука на упругих телах // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 5, с. 206-226.
1 Исследование выполнено за счет гранта РФФИ (проект № 19-41-710005_р_а.
2Исследование выполнено за счет гранта правительства Тульской области (договор № ДС/306 от 16.11.2021)
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 5.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-206-226
Application of number-theoretic grids in problems of sound diffraction by elastic bodies
N.N. Dobrovol'skii, S.A. Skobel'tsvn, L. A. Tolokonnikov, N. V. Larin
Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Skobel'tsyn Sergey Alekseevich — doctor of physical and mathematical sciences, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Tolokonnikov Lev Alekseevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula
State University (Tula).
e-mail: TolokonnikovLA @mail. ru
Larin Nikolai Vladimirovich — candidate of physical and mathematical sciences, department of applied mathematics and computer science, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]
Abstract
The article considers the problem of a plane harmonic sound wave diffraction by an elastic ellipsoid. To represent the scattered field, a representation in the form of a Kirchhoff integral is used. This leads to the need to solve the Fredholm integral equation of the second kind to determine the displacement potential in the scattered wave on the surface of the scatterer. It is shown that the use of quadrature formulas based on number-theoretic grids allows you to reduce the number of calculations for the approximate calculation of integrals, when solving the integral equation and when calculating the scattered acoustic pressure in near field. This method is compared with the calculation of integrals by the simple cell method, which has the same order of accuracy. The time of solving the problem is compared with the calculation of pressure in the vicinity of the ellipsoid based on the solution of an integral equation by two methods for calculating integrals.
Keywords: diffraction, sound waves, linear integral equations, quadrature formulas, periodization, Smolyak grids, parallelepiped grids.
Bibliography: 19 titles. For citation:
N.N. Dobrovol'skii, S.A. Skobel'tsyn, L.A. Tolokonnikov, N. V. Larin, 2022, "Application of number-theoretic grids in problems of sound diffraction by elastic bodies" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 206-226.
1. Введение
Многие задачи акустики эффективно могут быть решены методом граничных интегральных уравнений [1], основанный на интегральном представлении излучаемого или рассеянного
звукового поля в форме Кирхгофа-Гельмгольца, которая предполагает определение акустического поля вне рассеивателя (излучателя) по известным характеристикам поля на поверхности объекта в виде интеграла по этой поверхности. Представление рассеянной звуковой волны в форме Кирхгофа-Гельмгольца приводит к необходимости приближенного решения интегральных уравнений относительно потенциала скорости или смещения частиц жидкости в рассеянном поле.
Во многих источниках такой подход называют методом граничных интегральных уравнений или методом граничных элементов (ВЕМ, МГЭ). Он активно используется исследователями для решения задач о рассеянии звука различными объектами: с идеальной поверхностью, жидкими, упругими [2-6].
В монографии Шендерова [7] изложены принципы использования интегральных уравнении для решения задач излучения и дифракции звука, представлено решение некоторых задач.
Численная реализация метода граничных интегральных уравнений имеет ряд ограничений. Одно из них связано с обеспечением требуемой точности приближенного решения интегрального уравнения. При дискретизации интегрального уравнения для получения удовлетворительной точности возникает необходимость разбиения поверхности, по которой осуществляется интегрирование, на интервалы длиной не более одной десятой длины звуковой волны. Это ограничивает волновые размеры тела, так как порядок системы алгебраических уравнений, возникающей при дискретизации, не должен быть слишком большим для возможности практических вычислений. Таким образом, возникает проблема построения сетки со сравнительно небольшим числом узлов, чтобы решение задачи с требуемой точностью было пригодно в широком диапазоне волновых размеров тела.
Вторая проблема связана с тем, что использование функций источника приводит к тому, что подынтегральные функции часто имеют особенности и для вычисления таких интегралов приходится использовать специальные приемы.
В работе авторов [8] на основе решения эталонной задачи дифракции сферической звуковой волны на абсолютно жесткой сфере проведен сравнительный анализ решений интегральных уравнений с помощью классических формул численного интегрирования и формул, построенных на теоретико-числовых сетках. В данной работе поставлена задача оценки эффективности использования формул численного интегрирования, построенных на теоретико-числовых сетках, при решении задачи дифракции звука на упругом теле - эллипсоиде.
В данной работе теоретико-числовые сетки будут применяться при решении классической задачи численного интегрирования при реализации метода граничных ингрельных уравнений в задачах акустики. В работе будут применяться параллелепипедальные сетки (см. [9]), требующие периодизации и учитывающие класс гладкости при интегрировании периодических функций из класса Коробова
Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода и Вольттера описаны, как с применением теоретико-числовых методов [10], [11], так и с применением других методов [12, 13, 14].
Математические вопросы построения интерполяционных многочленов с использованием, как теоретико числовых, так и других методов описаны в работах [10, 15, 16, 17, 20].
2. Постановка задачи
Рассмотрим упругий эллипсоид О с полуосями а, Ь, с, находящийся в безграничном пространстве По заполненным идеальной жидкостью с плотностью ро и скоростью звука Со-Будем считать, что материал эллипсоид - однородный изотропный, имеющий плотность р и модули упругости Ламе А, р. Пусть из внешнего пространства на тело падает плоская звуковая волна с потенциалом смещения 'фр
= Аехр[г(к • г — <^£)}, (1)
где А - амплитуда волны; к - волновой вектор, определяющий направление распространения и частоту падающей волны; к = |к| = и/со = 2^/Ао - волновое число в окружающей жидкости; и - круговая частота; А0 - длина волны; г - радиус-вектор точки наблюдения; £ - время.
В дальнейшем временной множитель е-гшг у фр и всех параметров движения, зависящих от времени, будем опускать (колебания предполагаются стационарными).
Потенциал определяет вектор смегцения ир и давление рр в падающей волне
ир = grad^p, рр = ро и2 фр. (2)
Геометрия задачи представлена на рис. 1.
у
Рис 1: Геометрия задачи
Требуется определить акустическое иоле, рассеянное эллипсоидом
3. Математическая постановка задачи дифракции
Введем декартову систему координат
XI ,Х2 ,Х3. (3)
с началом О в центре эллипсоида так, чтобы полуоси эллипсоида а, Ь, с были направлены по осям 0x1, Ох2 и Ожэ, соответственно. Тогда уравнение поверхности эллипсоида Г(^) может быть записано в каноническом виде
222 ГУ* ^ ГУ* ^ гу* ^
Г : Х± + Х^ + Хз = !
Г ' а2 + Ъ2 + с2 1 1 ;
Единичные базисные векторы системы координат будем обозначать е15 е2, вз. Также будем использовать сферическую систему координат г, 0, связанную сж^ ж2, хз соотношениями
Х1 = Г Бт в СОВ Х2 = Г Бт в Бт Х3 = Г СОВ в.
Будем задавать направление вектора к углам и во, ^q. Тогда в баз исе он может быть представлен в виде к = (к sin в0 cos <pQ, к sin в0 sin ipQ, к cos 90).
Для решения задачи дифракции надо найти решения уравнений движения жидкости в Qo и упругой среды в Q, удовлетворяющих граничным условиям на поверхности эллипсоида и условиям излучения звука на бесконечности [23].
Решение проводится в рамках моделей движения идеальной жидкости [21] и линейной теории упругости [22].
В результате отражения падающей звуковой волны от упругого тела формируется отраженное акустическое поле, а в теле Q - упругие колебания. Обозначим потенциал смещения в рассеянном поле ф3, а вектор смещения в Q - и. При этом смещение частиц жидкости в Qo будет выражаться соотношением и0 = grad ф0, а акустическое давление р0 = р0ш2Ф0 (подобно (2)), где фо = фр + ф3.
Таким образом, искомыми функциями в задаче дифракции являются: потенциал смещения в рассеянном поле ф3 в области Qo и смещение частиц упругой среды и в Q.
С учетом гармонической зависимости ф3 и и от времени в отношении ф3 надо решать уравнение Гельмгольца [21]
Аф3 + к2ф3 = 0. (5)
и
ях [22]
Div а + р F = -рш2и, (6)
где Div ст - первый инвариант ковариантной производной тензора напряжений а\ F - вектор объемных сил, который обычно в задачах дифракции равен 0.
и
а = A divu S + 2ре, (7)
где 5 - тензор Кронекера; е - тензор малых деформаций Коши, компоненты которого в общем
и
В частности, в декартовой системе координат (3) компоненты тензора малых деформаций определяются соотношениями
^ = 1 / дик + дит\ кт 2 V дхт дхк ) .
На поверхности эллипсоида Г должны выполняться условия сопряжения движений частиц жидкости и упругого материала, которые состоят в равенстве нормальных смещений и напряжений и отсутствии касательных напряжений в упругой среде [21]
дфо
г е Г: ип = ; апп = —рошфо; Япп = 0; апТ2 = 0, (9)
где ип, апп - проекции векторов и и вектора напряжений р = а • п на внешнюю нормаль п к Г в точке г; &ПТП &пт2 ~ проекции р на два неколлинеарных вектора в касательной плоскости Гг
Условия излучения на бесконечности для потенциала рассеянной звуковой волны ф3 могут быть представлены в виде [23]
при г ^ те : ф3 = О ^, Г — ^'Ф^ = О ^. (10)
Таким образом, математически задача состоит в необходимости найти решения уравнений (5), (6), удовлетворяющих граничным условиям (9) и условиям излучения на бесконечности (10).
Уравнения (6) можно свести к уравнениям, содержащим в качестве неизвестных только компоненты смещения и. Для изотропного однородного линейно-упругого тела, используя (7), (8), можно получить
ч дакт Ш1у и д (дик дит\
(Б1У а)к = —-= \дкт—--+ ^^ Й--Ь ^— . (П)
дхк охк охк \дхт ох к)
Подставляя выражения этих частных производных в уравнения (6), получим
(А + р) ^¡^ + р(Аи)к + р + ш2 ик) =0. (12)
Полученные уравнения движения в перемещениях, содержащие три функции и^, называются дифференциальными уравнениями Ламе. Система уравнений (11) эквивалентна дифференциальному уравнению в векторной форме
(А + ^)VV■ и + рАи + р (Е - ш2 и) =0, (13)
которое получится из уравнений (12), если каждое из них умножить на ек, а затем просуммировать по индексу к, учитывая, что ¡1у и = V ■ и.
4. Решение задачи методом граничных интегральных уравнений
Согласно методу интегральных уравнений [7, 8] рассеянное телом акустическое поле записывается в виде
Мх) = J
г
йГ, (14)
где х - точка наблюдения, имеющая координаты {х\, Х2, Жэ); £ - точка на поверхности тела Г с координатами (£1, £2, £э); Ф _ функция Грина для свободного пространства, удовлетворяющая неоднородному уравнению Гельмгольца
АФ(х; £) + й2Ф(х; £) = -4^(х; £); (15)
й Г = й Г(£) - элемент поверхности в окрестности 5(х; £) = 5(с1) - дельта-функция; й = |1; Й = х - £ = (Ж1 - {1), Х2 - £2, Х3 - &); (й = у/(Х1 - {1)2 + (Ж2 - б)2 + (жэ - б)2)-Дифференцирование и интегрирование в формуле (14) производится по переменной Заметим, выражение ^о(х) в (14) через значение потенциала фо и его нормальной производной на Г
Решение (15) известно, оно приведено, например, в [7]
Ф(х; *) = ех^М, (16)
При этом
д Ф(х; £) ,т, (гкй - 1)ехр(гЫ), = gradФ ■ п, gradФ(x; £) = --^ --й.
дп ' ' (1э
Представим первые два граничных условия из (9) в виде
дф8
дп
I I / 1 /1-7\
= ип - ——, = -фр--2апп. (17)
дп г р0ш2
г
Будем рассматривать точки x £ Г, тогда из уравнения (14) с учетом(17) можно получить
\ф3(x) + -^J ann(Z)¿Г(£) + / «п(^)Ф(х; i)dF(i)
i/f^ W ф(х; £)
-ф3(x) +-2 ' -
2 Рош2
г г
f , /¿\ дФ(х; £)
/^(x; -fMZ)^ dr(^). (18)
ир\
г г
Здесь интегралы, содержащие известные функции перенесены в правую часть. В качестве неизвестных функций выступают ф3(х) и компоненты вектора смещения в упругом материале ик(х) на поверхности Г через которые выражаются и ип(£), и апп($).
Для нахождения компонентов ик (х) используем фундаментальное решение для уравнения движения упругой среды в форме (13) или (12).
Фундаментальное решение уравнения (13) для единичной сосредоточенной массовой силы = 5(х; £)вт, меняющейся по гармоническо му закону ехр(—г с ¿), т.е. решение уравнения
[рУ2 + ( А + р)УУ-] ит(х; £) + рш2ит(х; £) = -6(х; ^)вт,
определяется выражением [26, 22] для компонентов вектора смещения ит
Umn(x.; —
4ж рш2
$тпк2 j м м
d дхт.дх,
— - I - —
(¿ikid eik2d\ ~d d~)
(19)
; / i / X + 2^ [ß
где K\ — ш/C\, K2 — ш/c^ C\ — \ -, C2 — \--скорости продольных и поперечных волн
V р V р
в упругой среде соответственно.
В силу линейности модели приложенные в точке сосредоточенные нагрузки действуют независимо. Тогда для перемещения и напряжения соответствующих фундаментальному решению можно написать
Um — Umn(x.; £)en, Pm — Ртп(х.; ^)вra, (20)
где Umn(x; £) и Ртп(х; £) представляют собой перемещения и напряжения, возникающие в точке х в п-ом направлении и соответствующие единичной сосредоточенной нагрузке, действующей в m-ом направлении (направлении единичного вектора em) и приложенной в точке £ [26, 25].
Найти компоненты фундаментального вектора напряжений Р^к можно, подставив выражение (19) для Ukm, в формулу для компонентов напряжения р, приложенного к площадке с нормалью n — Пкek
'Рк — ^(jdifo + w) + Хиз,зпк. Учитывая (20) можем записать
Pi — ек + Ukj,inj еЛ + XUkjjHi ek —
+ Uk^ + ^Ukjjni
бк.
Последнее выражение, стоящее в квадратных скобках в соответствии с (20) задает компоненты фундаментального вектора напряжений Р^.
Решение уравнения (13) на основе формулы Сомильяны [27], построенной на основе тождества Бетти, с использованием фундаментального решения можно представить в виде
и(х) — У
Pi(€)Uij(х; £) -Ргз(х; $)иг($)
dr(i) + J -Fl(^)Ul3(х;£)dfi(£), (21)
п
где ^ (£) - компоненты вектора пап ряжений р = а ■ п на площадке ¿Г(£) с внешней нормалью п в точке
Если использовать (21) для точек границы Г с учетом того, что внешние объемные силы отсутствуют (Е = 0), то получим интегральное уравнение относительно неизвестных компонент смещений и напряжений ик, р% на границе Г
1 и3(х) = У (х; О - Рг3(х; ¿Г(£). (22)
г
Для проведения дальнейших рассуждений условимся, что вектор напряжений в упругой
Гп
Р = ('Р1, Р2, Рз)- Аналогично компоненты вектора смещения частиц упругой среды обозначим и = (и\, ь,2, из). Единичные касательные векторы и вектор нормали к поверхности Г в каждой точке границы обозначим соответственно тк = (тк\, тк2, ткз) (к = 1, 2) и п = (п\, П2, пз), при этом будем вводить так, что тройка век торов т^, Т2, п является правой.
Используем введенные обозначения для представления компонент граничных условий (9) на поверхности тела
д (ф + ф3)
и0п = grad(^p + ф3) ■ п =-р 3 , ро = рои2(фр + ф3),
ип = и ■ п = и\П1 + и2П2 + изПз, Рп = Р ■ п = Р1П1 + Р2П2 + Р3П3, Рт 1 = Р ■ П = Р1Т11 + Р2Т12 + РзТ\з, Рт2 = Р ■ Т2 = Р1Т21 + Р2Т22 + РзТ2з.
Тогда сами граничные условия (9) можно переписать в виде
дф3 дф
- (ШП1 + и2П2 + изПз) =--^,
дп дп
Фз--2 (Р1П1 + Р2П2 + РзПз) = -фр, (23)
рош2
Р1Т11 + Р2Т21 + РзТз1 = 0, Р1Т21 + Р2Т22 + РзТз2 = 0.
Здесь известные величины перенесены в правую часть.
Таким образом, интегральная формулировка поставленной задачи выглядит следующим образом: требуется найти решение уравнений (18), (22) при соблюдении граничных условий (23).
5. Дискретизация интегральных соотношений
Для численного решения полученных интегральных соотношений проведем их дискретизацию. Поверхность эллипсоида Г разобьем на М достаточно малых участков Гт так, чтобы Г = и т Гт, а изменение неизвестных функций ф3, и, р в предел ах т-то участка было столь незначительно, чтобы можно было бы считать постоянными на участке
дф
^(х)1гт ~ 'Фs(£m), '
дп
3 (€m), и(х)|Г™ ~ u(€m), Р(х)|Г™ ~ Р^т^
г дп
г т
где хт - некоторая фиксированная точка участка Гт, близкая к его геометрическому центру.
Таким образом, полагается, что ф3, щ, и,2, из, Р1, Р2, Рз являются постоянными в
дп
пределах каждого участка Гт. При введенных допущениях уравнение (18) примет вид
(хк) + Е / Рп(£т) ^Г(^т) + ^ I ип(и)Ъ(хк; £т )<1Г(£т) =
^0 т=1р т=1р
г т г т
= £ / ; ^Г(£т) - £ [фр(£т)9Ф(^; ^ ¿Г^). (24)
Введем обозначения
г„
Гт
= /га! (£т)Ф(х„; = 1п2(и)Щхк; ^Г^),
Гт Гт
= ! Пз(и)Ъ(хк; £т)с*Г(£т),
г
г т
Г^<1> I дгФр(£ш),ъ1 С \AT-fd \ I / <t \д^(хк; Ч = ^ дп ; - ^ -^-¿Г(£т).
(25)
г„
Тогда с учетом £к = хк (24) можно переписать в виде
1 м м м
-ф8 (хк) + £ Р<1>Р1(хт) + Е Р<>Р2(хт) + Е Р<1>Рз(хш) +
т=1 т=1 т=1
м м м м
+ £ (хт) + £ и<1>и2(хт) + £ и<Х>иг(хт) = £ С<\>. (26)
т=1 т=1 т=1 т=1
Аналогично, дискретную форму придадим уравнению (22)
1 М
2Щ (хк ) = (Рг(€™)игз(хк; $т) - Р^(хк; £т)щ(€т)^ ^Г(£т). (27)
Обозначим
{и<1>)гз = / игз(хк; £т) 0Г(£т), = - / Рг3(хк; ^Г(£т). (28)
Тогда (27) можно переписать в виде
1и1 (&) = ( £ (и<1>) и] Р1(£т) +( (и<1>) 2^ Р2(и) +
\т,= 1 / \т,= 1 /
+ ( £ (и<1>)Рз(*т) +( £ п) и1(^то) +
\т,= 1 / \т,= 1 /
+ ( £ (Р<1>) 21 ) ^+ ( £ з1 ) из(^т),
\т,= 1 / \т,= 1 /
2и2(а) = (£ (и<1>) Л р1(^т) +(£ (и<1>)^ ^
\т,= 1 / \т,= 1 /
+ (£ (и<1>)„) Рз(^) + (£ (Р<1>) 12) и1(^т)+ (29)
\т,= 1 / \т,= 1 /
+ ( £ (Р<1>) 22) и2(и) +( £ (Р<2>) ») из&»)
\т,= 1 / \т,= 1 /
2из(6) = ( £ (и<1>) Л р^) + ( £ (и<1>) 2^ +
\т=1 / \т=1 /
+ (£ №>)зз) рз(Ы + (£ (Р<2>) и1(и)+
\т,= 1 / \т,= 1 /
+ ( £ 2з) и2 (Ы +( £ (Р<1>) .) из(*т).
\т=1 / \т=1 /
Дискретный аналог граничных условий (23) представим в виде
дф
(€т) - (и1($т)П1($т) +и2 ($т)п2 (£т) + из(£т)Пз(£т)) = - (€т),
фз(€т) - рС2 (Р1($т )П1($т) +Р2(€т)П2 ($т) + Рз(£т)п2 ($т)) = -фр(^ш), (30)
Р1(€т)Т11 (€т) + Р2 (^т)т21 (£т) + Рз(€т)^ (£т) = 0, Р1($т)Т12 ($т) + Р2 (€т)т22 ($т) + Рз($т)Тз2 ($т) = 0,
где е Гт, т = 1, М.
Таким образом, если положить, что граница Г разбита на М граничных элементов и неизвестные функции постоянны на каждом элементе, то для нахождения 8 х М неизвестных: дф в
фз(хт), -¡П^(хт) и1(хт), и2(хт) из(хт), ^1(хт) р2(хт), Рз(хт) надо решать систему 8 х М линейных алгебраических уравнений (26), (29), (30).
Решение полученной системы позволяет найти значение искомой величины ф3 в любой точке области По по формуле
«х> = / (- «-(о) ф<х;«тю - / + Р-0) ¡^дп^^Г«>. (31)
г г
где х - произвольная внутренняя точка рассматриваемой области По; £ е Г.
6. О вычислении интегралов
Вычисление интегралов (25), (28) выполнялось методом ячеек [24] с использованием по-
Г
верхности эллипсоида [28]
Г: х = а sin] cos (, у = 6sin] sin (, z = с cos], (32)
где 0 < ] <ж, 0 < ( < 2ж.
Построение сетки предполагает равномерное разбиения интервалов [0, ж], [0, 2ж] изменения параметров ] и ( с фиксированным шагом h таким, что К = ж/h - целое. Участок Гт поверхности Г определяется двумя индексами (г, j) (г = 1, К, j = 1, 2К) и обозначается еще как Г у так, что m = 2 х (г — 1) х К + j. При этом сам участок Гт определяется диапазоном изменения параметров ( ]], £) G [(i — 1)h, ih] х [(j — 1)h, jh], а число участков равно M = 2К хК.
В качестве точки xm, характеризующей участок Гт выбирается точка, определяемая параметрами r]m = h(2i — 1)/2, (т = h(2j — 1)/2), т. е.
xm : Xm = а sin ]]т cos (т, Ут = Ь sin ]]т sin (т, Zm = С COs ]]т.
Общий вид интегралов вида (25) или (28) можно представить в форме
1тк = f(xk, Хт)г!Г(Хт), (33)
J Гт
где переменной интегрирования является точка хт.
В функцию f(xk, хт) входят функции источников, содержащие слагаемые вида T/d, где d = |xk — x^. Поэтому в интегралах вида 1тт (т. е. при к — m) подынтегральная функция
1/0
= m Г т т k
тегральную функцию постоянной в пределах участка.
Приближенное значение площади участка представляется в виде
dr^) ^д(т, (j)h2,
<J Гт
где д(щ, ^) - определитель матрицы первой фундаментальной формы поверхности (32) в точке хт (гц, ^). Тогда приближенное значение интеграла (33) при к = т, полагается равным
1тк ~ f(xк, xm )ф(0)h2.
При вычисление интеграла 1тт (при к = т) использовался прием [7], основанный на его представлении в виде
1шш = / \ /1(х)ОГ(х) (34)
^ Гт
где d = |х - хт|.
Согласно [7] для вычисления интеграла (34) в точке хт строится касательная плоскость П. По касательным к линиям двух главных кривизн поверхности Г в плоскости П вводятся координатные линии ж' и у' вспомогательной локальной системы координат с началом в точке касания. Третья координата - г' направляется то внешней нормали п в точке хт. Уравнение поверхности Г в пределах участка Гт аппроксимируется параболоидом (см. рис. 2; точке хт соответствует точка Q на рисунке)
/ х!2 у'2
2 Ri 2 R2J
где Ri, R2 — радиусы главных кривизн (кривизны дуг AQB, CQD).
С координатами х7, у' связывается полярная система координат: р = у/х'2 + у'2;
/ yf
р = аг^ап —-. Интеграл (34) записывается в полярных координатах р р х
2-к /(<?')
-/2(х) р-р-р, (35)
о о
где /2(х) - результат перевода функции Д(х) в локальную систему координат; р = /(р) -проекция границы участка Гш на плоскость П в полярных координатах локальной системы координат. Введем малый радиус К = шт{/(р)}/1000 (см. окружность с центром в ^ на рис. 2) и разобьем интеграл (35) на 2 слагаемых
2^ Я 2-к )
1тт = Ь + Ь, где Ь = J J -12 (х) р-р-р; 12 = J ^ А /2 (х) р-р-р.
0 0 0 Я
В силу малости К интеграл 1\ можно приближенно вычислить так
2^ Я 2-к Я 2-к Я
1\ = J J -/2(х) р-р-р « /2(хш) J ! \ р-р-р = /2(хш) J ! -р-р = 2^К/2(хш). о о о о о о
Возвращаясь к (35), получим
/шш = 2^ К /2 (хш ) + ^ J - /2 (х) р-р-р. (36)
о Я
2
Т. Построение теоретико-числовой сетки
Для вычисления интегралов из выражения потенциала смещения (31) вне поверхности тела использовались два метода:
- метод (А), основанный на стандартном методе ячеек, описанный в предыдущем разделе;
- метод (В) на основе квадратурных формул по параллепипедальным сеткам Коробова.
Рассмотрим один подход к построению квадратурных формул по параллепипедальным сеткам Коробова, впервые предложенные в работе [29].
В качестве базового соотношения вычисления двойных интегралов на основе параллеле-пипедальных сеток рассматривается формула вычисления интеграла на квадрате [0,1] х [0,1]
1 1 м-1 I ! д(Х, У) йХйУ = +тм(д), (37)
о о
где N - количество узлов параллелепипедальной сетки, а - оптимальный коэффициент, подбираемый экспериментально. Наиболее качественные сетки получаются, если N равно некоторому числу Фибоначчи Рп, а а = Рп-1-
Простейшую периодизацию функции по одной переменно проведем с помощью приема, предложенного в работе [8]. Для этого введем вспомогательную функцию
1 1 1 2 h(X,Y ) = { /^ }, 1 ^ £ ^ 1 , 2 || fi(X,Y)dXdY = J J Í2(X,Y )dXdY.
Л(х, у), 0 ^У < 1 2
Д(Х, 2 -У), 1 <У < 2 ,
0 0 0 0
На основе этого подхода, основанного на продолжении функции, по аналогии с интегра-лом(37) рассмотрим квадратурную формулу по растянутой параллелепипедальной сетке
1 2 м-1
оо
g(X, Y)dXdY = ^Y1g í¡((± \ N) +R2N(g). (38)
k=o ^^ ) '
2
ную формулу
1 1 1 2 N-1
J jh(X,Y)dXdY = Ц j f2(X,Y)dXdY = f) + R2n (/2) =
+ R2N (/2). (39)
00 00 k=0
1
N
2
(\f ] N 1 \ %({(г} D + ¿ /1 (M-2-1)
\k=0 ^ 7 k=\f ]+1 v ^ J 7 y
Заметим, что на основе параметрического представления уравнения поверхности эллипсоида (32) интегралы из представления (31) могут быть записаны в виде (40)
■к 2ж
=
00
Ж 2Ж
j Jg(V, О^дЩ) dCdrj, (40)
где д( г], О = sin2] [(ab cos])2 + (ас sin] sin ()2 + ( be sin ] cos £)2] - определитель матрицы первой фундаментальной формы поверхности в точке ( r¡, £). Сделаем замену переменных
X = r¡/i; Y = С/(2я-); r¡ = iX; ( = 2iY ; dr¡ = idX; d( = 2idY.
Тогда интеграл (40) можно представить в виде
1 1
I = 2ж2 G
II
Gi(X, Y) dXdY,
(41)
о о
где Gi(X, Y) = G(ttX, 2ttY)y/g(irX, 2ttY).
По аналогии с f2(X,Y) введем вспомогательную функцию G2(X, Y)
Y), 1 < Y < 2 •
0 < Y < 1
Заметим при таком задании С2(Х, У) ее вычисление при У > 1 приводит к необходимости вычислять С\(Х, 2 — У) в тех точках, где последняя определена.
При втором методе вычисления интеграла (31) используется представление (40) и приближенное значение находится из соотношений
8. Численные исследования
При проведении численных исследований проводились расчеты амплитуды нормированного давления р1 = |фо/фр| в окрестности упругого эллипсоида.
Для свойств сред были выбраны значения: Q: ро = 1000 кг/м3, со = 1485 м/с;
Q : р = 2700 кг/м3, Л = 5.3 х 10ю Па, р = 2.6 х 101оПа.
Рассматривались две формы эллипсоида со значениями полуосей а=1, 6=2, с=3 и а=3, 5=2, с=1. При этом "характерный" размер эллипсоида ао = (а + b + с)/3 = 2.
Частота падающей волны была зафиксирована значением као = 5. Направление распространения волны фр определялось изменением угла 0о при постоянном ^о = 0.
Расчеты р1 проводились в двух плоских сечениях Щи П2 сферической поверхности с центром в начале координат системы xi, Х2, хз и радиусом R = 3ао (ближняя зона). Плоскость П1 выбрана так, чтобы она содержала волновой вектор падающей волны k и начало координат (в рассматриваемых случаях она совпадает с координатной плоскостью Х2 = 0), а П2 повернута относительно П1 вокруг оси Охз на ж/2 и совпадает с координатной плоскостью Х1 = 0. Точки наблюдения/измерения давления р' фиксируются координатой (в) на контуре наблюдения г = R, так что демонстрация изменения давления в рассеянной волне выполняется диаграммами распределения р'(в).
В первой серии численных экспериментов определялись параметры сеток разбиения
поверхности Г на участки Гт с тем, чтобы обеспечивалась достаточная точность вычисления р'. Для этого решадась задача дифракции плоской звуковой волны на сфере (при а=Ь=с) и полученные результаты сравнивались с известными аналитическими решениями такой задачи [30, 31]. Выяснилось, что при использовании арифметических операций и библиотечных функций MATLAB с использованием чисел с плавающей точкой типа double (спецификация IEEE 754) для обеспечения совпадения численных решений по формуле (31) с аналитическим
решением с точностью до 5 знаков при использовании метода, основанного на стандартном методе ячеек, требуется выбирать М=4147200 (К= 1440), а при использовании квадратурной формулы (42) на основе параллепипедальной сетки Коробова - Ж=3524578 (а=2178309).
Заметим, узлы сетки формулы (42) в общем случае не совпадают с узлами стандартного метода ячеек даже при совпадающем числе узлов. Поэтому, при использовании формулы (42) выполняется билинейная интерполяция [24] предварительно вычисленных в точках хт значе-
дфр {(а • й] 2 к\ ([а • ^ 2 к
нии ип, рп для точек вида I > , — I, I < > , 2 - —
Иллюстрация первой серии численных экспериментов представлена на рис. 3. Здесь и далее горизонтальное направление соответствует оси Ох3. Вертикальная ось рисунка соответствует координате Х\. Пунктирная линия Г в окрестности начала координат схематично показывает сечение поверхности упругого тела (4) (здесь, для шара, это окружность; далее, для эллипсоида, - эллипсы). Окружность единичного радиуса соответствует р' = 1 показывает уровень амплитуды акустического давления в падающей волне на контуре наблюдения. Соотношение расстояний между пунктирными линиями на рисунке (между линией Г и р' = 1) характеризует отношение реальных расстояний от поверхности тела до поверхности, на которой производится измерение давления.
Рис 3: Распределение давления р' при а = b = с = 2
На каждом рисунке изображаются две диаграммы р'(в): первая - основная (сплошной линией) для эллипсоида; вторая вспомогательная (штриховой линией) для шара радиуса ао (для оценки влияния эллипсоидальной формы тела). Для шара (штриховая линия) представляются результаты аналитического решения, а сплошной линией строится диаграмма, полученная в результате вычисления интеграла (31). Заметим, что используемые параметры М, N обеспечивают совпадение значений р1, полученных двумя методами (А и В) вычисления интеграла (31), не менее, чем в трех знаках. Поэтому для численного решения строится одна сплошная линия.
Заметим, отношение числа точек M/N ~ 1,177 однако уменьшение времени расчета всей диаграммы на интервале в £ [0, ж] (в обеих полуплоскостях сечений Щи Щ) методом В - iß по отношению к tа составляет только 10-12%, поскольку при использовании метода В требуется
„ , ' дфр
интерполяция получаемых в точках xm значении wv, ——, ип, рп.
on
На рис. 3 представлены результаты расчетов нормированного давления р' в первой серии численных экспериментов при найденных М, N. Рисунок З.а) построен для случая во = 0.
Рисунок 3.6) - для случая О0 = ж/6. Как видно, диаграммы, построенные пунктирной лини-
а
численного решения.
серии численных экспериментов. В этой серии рассматривалось рассеяние звука эллипсоидом с полуосями а = 1, Ь = 2, с = 3.
Рис 4: Распределение давления р при а = 1, 6 = 2, с = 3, О0 = 0
Рис 5: Распределение давления р при а = 1, 6 = 2, с = 3, ®0 = 30°
Здесь и далее вариант а) (левая половина рисунка) показывает диаграмму в сечении Щ, на правой половине (6) показана диаграмма в сечении П2.
Несовпадение диаграмм, изображенных штриховой и сплошной линиями, показывает заметное влияние формы тела на распределение давления в ближнем поле рассеянной волны. Распространение волны вдоль большей полуоси эллипсоида приводит к тому, что лепестки диаграммы распределения для такого эллипсоида оказываются менее выраженными, чем на диаграмме для шара (штриховая линия).
Рис. 4 показывает, что геометрическая симметрия тела вдоль направления распространения волны обеспечивает симметрию диаграмм в обоих сечениях Щ, П2.
Диаграммы на рисунке 5 построены для случая во = ж/6. в этом случае симметрия диаграммы наблюдается только в сечении П^. А в сечении Щ диаграмма распределения р'(&) обладает явно выраженной асимметрией относительно направления распространения падающей волны. В теневой области величина изменения амплитуды давления в суммарном поле в зависимости от в имеет порядок амплитуды давления в падающей волне.
На рис. 6, 7 представлены результаты расчетов нормированного давления р1 в третьей серии численных экспериментов. В этой серии рассматривалось рассеяние звука эллипсоидом с полуосями а = 3 Ь = 2, с = 1. По сути эллипсоид в этой серии такой же, что и во второй. Но при во = 0 в этом случае падающая волна распространяется вдоль меньшей полуоси эллипсоида (по нормали к большей).
Рис 6: Распределение давления р1 при а = 3, Ь = 2, с = 1, во = 0
Рис 7: Распределение давления р1 при а = 3, Ь = 2, с = 1, во = 30°
Диаграммы распределения на рис. 6 показывают существенное их отклонение от варианта для шара и соответствующих вариантов для случая а = 1, Ь = 2, с = 3 в направлениях в = 0, ж.
Эти отклонения свидетельствуют об увеличении эффективной поверхности рассеяния при такой ориентации эллипсоида (таком направлении распространения падающей волны).
Диаграммы на рисунке 7 построены для случая Oq = ■к/6. Интересно, что в этом случае в сечении Щ максимальное изменение амплитуды давления в суммарном поле (порядок амплитуды давления в падающей волне) в зависимости от в наблюдается уже не в теневой области, а в освещенной.
9. Заключение
Сравнение двух схем приближенного вычисления интегралов показывает, что для получения погрешности в решении не превышающей 0.0001 по абсолютной величине при использовании схемы вычисления интегралов на основе параллелепипедальных сеток (по формулам (42)) можно получить сокращение времени вычислений интеграла от 10% до 12%.
Результаты данной работы можно развить применением Фурье интерполяции по тригонометрической системе функций и обобщенной Фурье интерполяции по сферическим гармоникам в узлах параллелепипедальной сетки. Также интерес представляет адаптация квадратурных формул по параллелепипедальным сеткам для вычисления возникающих несобственных интегралов.
Использование теоретико-числовых сеток при решении задач механики может обеспечить повышение эффективности процедур вычисления интегралов, в частности в задачах о рассеянии звуковых волн упругими телами на основе представления акустического поля в форме Кирхгофа- Гельмгольца.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Д. Колтон, Р. Кресс. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М. Мир. 1987. 311 с.
2. S. Kirkup. The Boundary Element Method in Acoustics: A Survey // Appl. Sci. 2019. V. 9. 1642.
3. S. M. Rao. An iterative method to solve acoustic scattering problems using a boundary integral equation //J. Acoust. Soc. Am. 2011. V. 130, issue 4, pp. 1792-1798.
4. J. A. Fawcett. Scattering from a finite cylinder near an interface //J. Acoust. Soc. Am. 2014. V. 136, issue 2, pp. 485-493.
5. A. M. A. Alsnavvan, J. Li, S. Hughev, A. Diaz, B. Shanker. Efficient isogeometric boundary element method for analysis of acoustic scattering from rigid bodies //J. Acoust. Soc. Am. 2020. V. 147, issue 5, pp.'3275-3284.
6. К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.
7. Е. Л. Шендеров. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 304 с.
8. И. И. Добровольский, С. А. Скобельцын, Л. А. Толоконников, И. В. Ларин. О применении теоретико-числовых сеток в задачах акустики // Чебышевский сборник, 2021. Том. 22, № 3. С. 368-382.
9. И. Ю. Реброва, В. И. Чубариков, И. И. Добровольский, М. И. Добровольский, И. М. Добровольский. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 4, С. 118—176
10. II. \ !. Коробов. Применение теоретико-числовых сеток в интегральных уравнениях и интерполяционных формулах // Сборник статей. Посвящается академику Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву к его шестидесятилетию, Тр. МИЛИ СССР, 1961, т. 60, с. 195—210.
11. Ю. Н. Шахов. О приближенном решении уравнений Вольтерра II рода методом итераций // Докл. АН СССР, 1961, т. 136, вып. 6, с. 1302-1305.
12. M. Z. Gecmen, Е. Celik. Numerical solution of Volterra-Fredholm integral equations with Hosova polynomials. // Math Meth Appl Sci., 2021, т. 44, с. 11166-11173.
13. W. Shatanawi, N. Mlaiki, D. Rizk, et al. Fredholm-type integral equation in controlled metric-like spaces // Adv Differ Equ, 2021, 358 (2021).
14. S. C. Buranav, M. A. Ozarslan, S. S. Falahhesar. Numerical Solution of the Fredholm and Volterra Integral Equations by Using Modified Bernstein-Kantorovich Operators // Mathematics, 2021, т. 9, 1193.
15. В. А. Быковский. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках // Докл. АН СССР, 1988, 302:1, с. 11-13.
16. Y. Kolomoitsev, J. Prestin. Approximation properties of periodic multivariate quasiinterpolation operators // Journal of Approximation Theory, 2021, т. 270, 105631.
17. S. С. Buranav, M. A. Ozarslan, S. S. Falahhesar. Numerical Solution of the Fredholm and Volterra Integral Equations by Using Modified Bernstein-Kantorovich Operators // Mathematics, 2021, т. 9, 1193.
18. H. H. Добровольский. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007, т. 8, вып. 1, с. НО—152.
19. H. М. Коробов. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.
20. H. М. Добровольский, А. Р. Есаян, О. В. Андреева, Н. В. Зайцева. Многомерная теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004, т. 5. Вып. 1. с. 122-143.
21. М. А. Исакович. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
22. В. Новацкий. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
23. Е. Скучик. Основы акустики. Т. 1. М.: Мир, 1976. 520 с.
24. H. Н. Калиткин. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
25. Ф. Морс, Г. Фешбах. Методы теоретической физики. Т.2. М.: ИЛ, 1960. 886 с.
26. П. Бенерджи, Р. Баттерфилд. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.
27. В. Д. Купрадзе. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 473 с.
28. Г. А. Корн, Т. М. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. 832 с.
29. H. М. Коробов. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19-25.
30. J. J. Faran. Sound scattering by solid cylinders and spheres //J. Acoust. Soc. Amer. 1951. t. 23. № 4. P. 405-418.
31. L. Flax, G. C. Gaunaurd, H. Uberall. Theory of resonance scattering // Physical Acoustics, edited by Mason W.P. and Thurson R.N. New York: Academic, 1981. t. 15. P. 191-294.
REFERENCES
1. D. Colton and R. Kress, 1983, Integral Equation Methods in Scattering Theory, New York, Wiley- Inter science.
2. S. Kirkup, 2019, "The Boundary Element Method in Acoustics: A Survey", Appl. Sei., vol. 9. 1642.
3. S. M. Rao, 2011, "An iterative method to solve acoustic scattering problems using a boundary integral equation", J. Acoust. Soc. Am,. vol. 130, issue 4, pp. 1792-1798.
4. J. A. Fawcett, 2014, "Scattering from a finite cylinder near an interface", J. Acoust. Soc. Am,. vol. 136, issue 2, pp. 485-493.
5. A. M. A. Alsnavvan, J. Li, S. Hughev, A. Diaz and B. Shanker, 2020, "Efficient isogeometric boundary element method for analysis of acoustic scattering from rigid bodies", J. Acoust. Soc. Am,. vol. 147, issue 5, pp. 3275-3284.
6. C. A. Brebbia, J. C. F. Teiles and L. C. Wrobel, 1984 Boundary Element Techniques. Theory and Applications in Engineering, Berlin, Springer-Verlag.
7. E. L. Shenderov, 1989, Sound emission and scattering, [Izluchenie i rasseianie zvukaJ, Leningrad, Shipbuilding.
8. N. N. Dobrovol'skii, S. A. Skobel'tsvn, L. A. Tolokonnikov and N. V. Larin, 2021, "About application of number-theoretic grids in problems of acoustics", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 368-382.
9. N. N. Dobrovol'skii, S. A. Skobel'tsvn, L. A. Tolokonnikov, N. V. Larin, 2021, "About application of number-theoretic grids in problems of acoustics" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 368-382.
10. I. Yu. Rebrova, V. N. Chubarikov, N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2018, "On classical numb er-theoretic nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 4, pp. 118—176.
11. N. M. Korobov, 1961, "Application of number-theoretical sieves to integral equations and interpolation formulas", Collection of articles. To the 60th anniversary of academician Mikhail Alekseevich Lavrent'ev, Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 60, pp. 195—210.
12. Yu. N. Shakhov, 1961, "The approximate solution of Volterra equations of the second kind by the method of iterations", Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 136, issue 6, pp. 1302-1305.
13. M. Z. Gecmen and E. Celik, 2021, "Numerical solution of Volterra-Fredholm integral equations with Hosova polynomials", Math Meth Appl Sei., vol. 44, pp. 11166-11173.
14. W. Shatanawi, N. Mlaiki, D. Rizk, et al., 2021, "Fredholm-tvpe integral equation in controlled metric-like spaces", Adv Differ Equ, 358 (2021).
15. S. С. Buranav, М. A. Ozarslan and S. S. Falahhesar, 2021, "Numerical Solution of the Fredholm and Volterra Integral Equations by Using Modified Bernstein-Kantorovich Operators", Mathematics, 9, 1193.
16. V. A. Bvkovskii, 1988, "Discrete Fourier transform and cyclic convolution on integral lattices", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 302:1, pp. 11-13.
17. Yu. Kolomoitsev and J. Prestin, 2021, "Approximation properties of periodic multivariate quasiinterpolation operators", Journal of Approximation Theory, vol. 270, 105631.
18. S. C. Buranav, M. A. Ozarslan and S. S. Falahhesar, 2021, "Numerical Solution of the Fredholm and Volterra Integral Equations by Using Modified Bernstein-Kantorovich Operators", Mathematics, vol. 9, 1193.
19. N. N. Dobrovol'skii, 2007, "Discrepancy of two-dimensional Smolvak grids", Chebyshevskii sbornik, vol. 8, no. 1, pp. 1Ю—152.
20. N. M. Korobov, 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic m,et,hods in approximate analysis], 2nd ed., MTSNMO, Moscow, Russia.
21. N. M. Dobrovol'skii, A. R. Yesavan, О. V. Andreeva and N. V. Zaitseva, 2004, "Multidimensional number-theoretic Fourier interpolation" [Mnogomernava teoretiko-chislovava Fur'e interpolyaciva], Chebyshevskii sbornik, vol 5, no 1, pp. 122 1 13
22. M. A. Isakovich, 1973, General acoustics [Obshchaya akustika], Moscow, Nauka.
23. W. Nowacki, 1963, Dynamics of elastic systems, New York, Wiley.
24. E. J. Skudrvzk, 1971, The Foundations Acoustic, New York, Springer-Verlag.
25. N. N. Kalitkin, 1978, Numerical methods [Chislennye metody], Moscow, Nauka.
26. P. M. Morse and H. Feshbach, 1953, Methods of Mathematical Physics, New York, McGraw-Hill.
27. P. K. Banerjee and R. Butterfield, 1981, Boundary element m,et,hods in engineering science, New York, McGraw-Hill.
28. V. D. Kupradze, 1965, Potential Methods in the Theory of Elasticity, Israel Program for Scientific Translations.
29. G. A. Corn and Т. M. Corn, 2000, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York, Dover Publications.
30. N. M. Korobov, 1959, "Calculation of multiple integrals by the method of optimal coefficients" [Vvchislenie kratnvh integralov metodom optimalnvh koefRtcientov], Vestn. Moscow university, no. 4, pp. 19-25.
31. J. J. Faran, 1951, "Sound scattering by solid cylinders and spheres", J. Acoust. Soc. Am,er., vol. 23, no.4, pp. 405-418.
32. L. Flax, G. C. Gaunaurd and H. Uberall, 1981, "Theory of resonance scattering", Physical Acoustics, edited by Mason W.P. and Thurson R.N., New York, Academic, vol. 15, pp. 191— 294.
Получено: 2.10.2022 Принято в печать: 22.12.2022
