Применение свойств функции в решении математических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ В РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Азимов Н.С.

Азимов Наби Саидович - старший преподаватель, кафедра общеобразовательных наук, факультет строительства и транспорта, Политехнический институт Таджикский технический университет им. академика М.С. Осимй, г. Худжанд, Республика Таджикистан

Аннотация: при решении некоторых классов уравнений или неравенств не всегда удается, использовав результат преобразования или удачной замены переменной, привести их к стандартному виду, для которого существует определенный алгоритм. В данной статье рассматриваются некоторые нестандартные методы решения этих уравнений и неравенств. Для достижения этой цели при решении уравнений и неравенств использовано свойство функции: монотонность, ограниченность, периодичность, четность или нечетность, область допустимых значений (ОДЗ). А также при нахождении решения уравнений использованы некоторые искусственные способы (умножение обеих частей уравнения на многочлен, угадывание корня уравнения). Ключевые слова: уравнение, неравенства, функция, монотонность, ограниченность, периодичность, четность или нечетность, область допустимых значений, симметричность, корень.

УДК-372.8

При решении некоторых классов уравнений или неравенств не всегда удается, использовав результат преобразования или удачной замены переменной, привести их к стандартному виду, для которого существует определенный алгоритм.

В данной статье рассматриваются некоторые нестандартные методы решения этих уравнений и неравенств.

Для достижения этой цели при решении уравнений и неравенств использовано свойство функции: монотонность, ограниченность, периодичность, четность или нечетность, область допустимых значений (ОДЗ).

А также при нахождении решения уравнений использованы некоторые искусственные способы (умножение обеих частей уравнения на многочлен, угадывание корня уравнения).

1. Рассмотрим применение свойства монотонности функции на примере уравнения.

Пример 1. Решите уравнение [7]: х ■ 2х2+2х+3 = 64

Решение. Так как при х < 0 х ■ 2ж2+2ж+3 < 0, то отсюда следует, что данное уравнение не имеет решения. Очевидно, что для х > 0 функция у = х ■ 2ж2+2ж+3 является возрастающим, так как представляет собой произведение двух функции Дх) = х и д(х) = 2ж2+2ж+3. Отсюда следует, что при х > 0 функция у=х ■ 2ж2+2ж+3 принимает значение, равное значению в одной точке. Очевидно, что х = 1 является решением данного уравнения. Следовательно, х=1 является единственным решением данного уравнения.

Ответ: {1}.

Рассмотрим применение этого свойства при решении неравенств.

Пример 2 [8]. Решите неравенство:

2Ж + Зж + 4Ж < 3.

Решение. На все оси каждая из функций у = 2 х, у = 3 х, у = 4х является непрерывной и строго возрастающей. Это означает, что исходная функция у = 2 х + 3 х + 4х также является непрерывной и возрастающей.

Очевидно, что при х = 0 значение функция у = 2 х + 3 х + 4х равно 3. Исходя из свойства непрерывности и строгой монотонности этой функции имеем, что при х > 0 2 х + 3 х + 4х > 3 , а при х < 0 2 х + 3 х + 4х < 3 . Следовательно, интервал х < 0 служит решением неравенства. Ответ: (-да; 0).

2. Рассмотрим решение уравнения с использованием свойства ограниченности функции.

Пример 3. Найти решение уравнения [7]. sin (х3 + 2х2 + 1 ) = х2 + 2 х + 2 .

Решение. Очевидно, что для любого действительного значения х выполняются неравенства. sin(x3 + 2х2 + 1) < 1, х2 + 2х + 2. = (х + 1 ) 2 + 1 > 1. Поскольку для всех значениий х левая часть не больше единицы а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при x=-1.

Но так как при х = — 1 , х2 + 2 х + 2 = 1 , sin (— 1 + 2-1 + 1 ) = sin 2 Ф 1 , то x=-1 также не является решением данного уравнения. Следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: 0.

1-х

Пример 4 [7]. Решить неравенство: <2 х

Решение. Область допустимых значений неравенства является вся числовая ось, кроме значения x=-1. Разобьем этот область на следующие три множества: да < x < - 1, - 1 < x < 0, 0 < x < +да.

Рассмотрим решение неравенства на каждом из этих множеств.

Пусть - да < x < - 1. При каждом значении x с этого множество функции.

1-х

< 0, f(x) = 2x > 0. Следовательно, любое значение х с этого множества являются решениями данного неравенства.

^ ^ 1-Х

Пусть - 1 < x < 0. При любом х имеем: д(х) = 1 — > 1 , f(x) = 2x < 1. Отсюда

следует, что ни одно из этих значений х не является решением данного неравенства. ^ 2Х Пусть 0 < x < +да. Для данного множества функции д (х) = 1 — < 1 , д (х ) =

. Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства. Следовательно, все значения х из данного множества являются решениями исходного неравенства.

Ответ: (—да; — 1 ) U (0 ; + да).

3. Рассмотрим применение свойства периодичности функции к решению задач:

Пример 5. Пусть функция f(x) периодическая с периодом T = 5 [9]. Найдите f(11)-3(f(-7)+f(3), если f(1)=4; f(-2)=1

Решение. Используя периодичность функции, имеем: f(11)=f(1+2-5)=f(1)=4

f(-7)=f(-2-5)=f(-2)=1

f(3)=f(-2+5)=f(-2)=1

Отсюда, подставляя численные значения, окончательно получаем:

f(11)-3f(-7)+f(3)=4-3-1+1=2

Ответ: 2.

4. Рассмотрим применение свойства четности функции к решению задач.

Пример 6. При каком значении а уравнение 2 х8 - 3 ах6 + 4х4 - ах 2 = 5 имеет пять корней?

Решение. Обозначим f(x) = 2 х8 - 3 ах6 + 4х4 - ах 2. Так как f(x) четная функция, тогда если является корнем уравнения, то - также является конем уравнения.

Очевидно, что х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ф 5). Отсюда следует, что число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому уравнение не может иметь пять корней. Ответ: нет.

5. Рассмотрим применение области допустимого значения функции к решению задач.

Пример 7. Решить уравнение [10]: = ^5(х — 3).

Решение. Находим область допустимых значений этого уравнения, которое состоит из всех х одновременно удовлетворяющих условиям 3-х>0 и х-3<0. Очевидно, что область допустимых значений является пустым множеством. Таким образом, установлено, что ни одно число не является решением данного уравнения. Ответ: 0.

6. Умножение уравнение на множитель.

Иногда при решении уравнения целесообразно умножив обе части уравнения на функцию, привести его к более простому уравнению [7]. Рассмотрим пример. Пример 9. Найти решение уравнения [11]: х8 — х6 +х4 — х2 + 1 = 0.

Решение. Обе части уравнения умножим на многочлен х2 + 1, который не имеет корней. Тогда получим равносильное уравнение: (х2 + 1)(х8 — х6 + х4 — х2 + 1) = 0.

После элементарных преобразований получим уравнение: х10 + 1 = 0. Полученное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, первоначальное уравнение также не имеет решений. Ответ: 0.

7. Использование метода проб. Пример 10. Решить уравнение. х3 + 3х — 36 = 123.

Решение. Преобразуем уравнение: х3 + 3х — 123 — 12 ■З = 0.

Очевидно, что х = 12 является корнем данного уравнения. Для нахождения двух других корней уравнения перепишем многочлен в виде:

х3 + Зх - (123 + 12 ■ 3) = (х3 - 123) + 3(х - 12) = (х - 12)(х2 + 12х + 122 + 3=(х- 12)(х2+12х+147)

Тогда уравнение примет вид: (х — 12)(х2 + 12х + 147)=0 Отсюда х-12=0, х2 + 12х + 147=0.

Уравнение х2 + 12х + 147 =0 не имеет действительных корней. Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень х=12. Ответ: {12}.

8. Исследование уравнения на промежутках действительной оси.

Пример 11. Найти решение уравнения: 2х9 — х5 + х — 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение: 2(х9 — 1) — х(х4 — 1) = 0. Разложив левую часть уравнения на множители получим: (х — 1)(2х8 + 2х7 + 2х6 + 2х5 + х4 + х3 + х2 + х + 2) = 0.

Очевидно, что х=1 является решением уравнение. Покажем, что уравнение 2х8 + 2х7 + 2х6 + 2х5 + х4 + х3 + х2 + х + 2 = 0 решений не имеет.

Для этого разобьем числовую ось на промежутки (—оо; —1], (—1; 0], [0; +оо). Для каждого значения х из промежутка [0; +оо) левая часть уравнения положительна. Следовательно, на этом промежутке уравнение решений не имеет. Разложим многочлен на множители:

2х8 + 2х7 + 2х6 + 2х5 + х4 + х3 + х2 + х + 2 = 2х8 + 2х6(х + 1) + 2х4(х + 1 +х2х+1 +х+1+(1-х4),

Очевидно, что для любого х из промежутка ( — 1 ; 0 ] этот многочлен положителен. Это означает, что на промежутке (—1 ; 0] данное уравнение также не имеет решений. Преобразуем многочлен в виде:

2х8 + 2х7 + 2х6 + 2х5 + х4 + х3 + х2 + х + 2 = 2х7(х + 1) + 2х5(х + 1) + х 3(х + 1 )+х (х + 1 ) + 2 ,

При любом значении х из промежутка этот многочлен положителен.

Поэтому на промежутке уравнение также не имеет решений.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение N=1.

Список литературы

1. Сканави М.И. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. М.: ОНИКС 21 век, 2003. 608 с.

2. Колгоморов А.Н. и др. Алгебра и начала анализа 10-11. М.: Просвещение, 2004. 384 с.

3. Потапов М.К. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. М.: Дрофа, 2002. 219 с.

4. Барвенов С.А. Методы решения алгебраических уравнений. М.: Аверсэв, 2006. 245 с.

5. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения. М.: Факториал, 1997. 219 с.

6. Горштейн П.И. «Задачи с параметрами». М. «Илекса», 1999.

7. Шыныбеков А.Н. «Алгебра 10 класс». Атамура, 2006.

8. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. «Как научиться решать задачи». Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение», 1987.

9. Теляковский С.Л. «Алгебра». Учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение», 1995.

10. Супрун В.П. «Нестандартные методы решения задач по математике». Минск. «Полымя», 2000.

11. Кушнир А.И. «Математическая энциклопедия». Киев «Астарта», 1995.