CC BY
86
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м X 19 7 9
№ 2
УДК 629.735.33.018.4:620.178,3
ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО СУММИРОВАНИЯ УСТАЛОСТНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПРИ СЛОЖНО-НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ КОНСТРУКЦИИ
В. Л. Ильичев
На основе гицотезы спектрального суммирования получены оценки усталостного повреждения при случайном стационарном динамическом сложно-рапряженном состоянии. На основе метода конечных элементов и полученных оценок разработан эффективный вычислительный метод определения расчетных по усталости зон конструкции летательного аппарата. Предложен способ учета статической составляющей сложного напряженного состояния при оценке усталостной долговечности методом спектрального суммирования повреждений.
1. Вычислительный метод комплексного исследования прочности и выносливости летательного аппарата (ЛА) в целом (см. [1|) основан на использовании метода конечных элементов (МКЭ), см. [2], и включает несколько стадий расчета:
— вычисление параметров дискретной многоуровневой расчетной схемы ЛА п матричных фрагментов единой системы уравнений ЛА на различных уровнях разрешающей способности расчетной схемы ЛА,
—- синтез матричной модели, связывающей параметры воздействия на ЛА с параметрами напряженного и деформированного состояния (НДС) конечных элементов;
— параметрические исследования, вообще говоря, случайного напряженного состояния, нагрузок, прочности и выносливости конструкции в различных условиях эксплуатации.
Многоуровневая расчетная схема позволяет описывать геометрию конструкционных элементов ЛА с любой степенью геометрического подобия, но при этом возникает трудная задача перебора всех конечных элементов схемы конструкции ЛА для определения зон, расчетных по выносливости.
Для эффективного использования комплексного прочностного расчета (КПР) в автоматизированном проектировании необходимо на два-три порядка уменьшить машинное время оценки величины
5—.Ученые записки" Л» 2
65
усталостного повреждения (в единицу времени) по сравнению с методом полных циклов и статистических испытаний (см. [3]). Это необходимо именно на стадии выбора расчетных зон, даже за счет некоторого огрубления метода расчета.
В статье предлагается такой метод, основанный, во-первых, на использовании матричной модели КПР, а во-вторых, на полученной с ее помощью спектральной оценке усталостного повреждения при случайном стационарном сложно-напряженном и деформированном состоянии.
Вычислительный метод первого приближения КПР основан на соединении двух методов: МКЭ и метода заданных форм (МЗФ) (или, что почти то же самое, метода Бубнова — Ритца — Галерки-на). В этом случае матричную модель для произвольного конечного элемента можно записать в частотной области в виде (см. [1]):
оэ (/со) = ЬэZ(ш) = 0Э /?г(г<о) и (Ы), (1.1)
а во временной в виде
в. (О = в.^(0- (1-2)
Здесь и(ш) — Р[С/(1)\ — Фурье-преобразование вектора параметров
случайного стационарного внешнего воздействия на «ПА; г(ш)=*Р[2(П\ — Фурье-преобразование вектора обобщенных перемещений МЭФ; вэ({'ш) = .Г[<зэ (;)]—Фурье-преобразование вектора компонентов случайного тензора НДС в расчетной точке некоторого конечного элемента.
6Э — вещественная матрица фундаментальных НДС элемента. Ее столбцы соответствуют формам возможных перемещений МЗФ, принятым в качестве координатных функций;
/?г0)(/ш) — комплексная матричная обобщенная частотная характеристика ЛА (МЧХ), связывающая 0(ш) с о3(ш) и равная произведению двух комплексных матричных частотных характеристик ЛА;
/?<°> (гш) = Ф° (гш) а0 (ш), (1.3)
где Ф°(гш) — обобщенная матрица динамической податливости ЛА,
а°(гш) — МЧХ обобщенных внешних сил.
Матричная характеристика ЛА для квазистатического внешнего воздействия на ЛА является вещественной и не зависит от си. В общем случае она комплексная и зависит от со.
Замена фрагмента [6Э] в (1.1) позволяет легко переходить от одного конечного элемента к другому, а также переходить от расчетных схем МКЭ с малой разрешающей способностью (на уровне ЛА в целом) к расчетным схемам с большей разрешающей способностью (на уровне агрегатов ЛА и далее его конструкционных элементов, концентраторов и т. д.).
Таким образом, множество матричных фрагментов, составляющее матричную модель, позволяет проводить широкие параметрические исследования прочности по укороченному циклу, почти не возвращаясь к трудоемкой первой стадии КПР.
Матричная явная форма выражения параметров НДС конечных элементов через параметры воздействий или через параметры обобщенных сил, обобщенных перемещений узловых перемещений (или узловых сил) и т. д. позволяет квалифицировать эти воздействия как расчетные воздействия или как расчетные нагрузки для последующей модификации прототипа ЛА и выбора расчетных условий прочности (см. [4]). Причем знание параметров НДС всех конечных элементов, с одной стороны, позволяет, как показано ниже, получить для них характеристики выносливости, с другой — граничные условия (нагрузки, перемещения) на конструкционные элементы ЛА на следующем уровне разрешающей способности многоуровневой конечноэлементной идеализации.
Матричная модель связывает и поэтому делает равно пригодными для выбора расчетных условий прочности параметры НДС, параметры внешних воздействий и все промежуточные параметры воздействий и взаимодействий. Матричная форма модели представляет любое текущее воздействие в виде линейной комбинации фундаментальных воздействий и само текущее НДС конечного элемента как линейную комбинацию фундаментальных (псевдоста-тических) НДС.
Определение характеристик прочности и выносливости конечных элементов через параметры НДС и матричную модель позволяет, с одной стороны, выбрать расчетные нагрузки на агрегаты и элементы ЛА для модификации их в направлении, например, к равнопрочности в системе ЛА, с другой — непосредственно управлять параметрами НДС путем соответствующего изменения варьируемых размеров конечных элементов для придания им требуемой выносливости или прочности.
В качестве соотношений, связывающих случайный тензор НДС с эквивалентным (равноопасным по прочности и выносливости) однопарамегрическим НДС будем использовать известную (см. [5]) формулу Мизеса
З- Щ-. экв • 7
~2~ 1(3л — Зу)2 + («у — О2 + (Зг -или любое линеаризованное (линейное) выражение вида
-'экв(^) = К* Зх А’°у І’г Зг "Ь І.\у *ху ^угхуг ^гххгх\- 0-5)
Утверждение о равноопасности по выносливости сложного и простого НДС является, конечно, допущением, требующим экспериментальной проверки и контроля.
2. Произведем оценку вероятностных характеристик случайного эквивалентного напряженного состояния во временной и спектральной областях. Выражение (1.4) для о^кв(^) представим в матричной форме
4кв(І) = ат (і)Мз(і),
где
3(0Н
М =
У*
2 -1 - 1 0 0 0
- 1 2 -1 0 0 0
1 — 1 — 1 2 0 0 0
”2 0 0 0 6 0 0
0 0 0 0 6 0
0 0 0 0 0 6
(2.1)
* Заметим, что | М = 0, так как по определению зэкв==0 при равномерном всестороннем сжатии или растяжении.
Введем новые компоненты напряженного состояния, линейно связанные с компонентами о, так что
|(*)~Ла(0 И а.в(0-{вт(0Л1о(0}Ч'»-{Г(06(^},/* =
1/2
Для (2.2) достаточно, чтобы соблюдалось равенство
ЛМ - М.
Легко убедиться, что можно взять
А=А№\
(2.2)
(2.3)
(2.4)
где № — матрица собственных векторов симметричной матрицы М, а Л2 — диагональная матрица ее собственных чисел, т. е.
МIV = и7Л2,
причем
Решив уравнение (2.5), получим
(2.5)
(2.6)
Л2 =
3 0 /3 2 0 0 0
-1 1 2 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 УЪ 0 0
0 0 0 1оо 0
0 0 0 0 уз
3 2 0 0 0 0 0 1
0 3 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 3 0 0 1
0 0 0 0 3 0
0 0 0 0 0 3
(2 7)
(2.8)
причем ААГ = Л2, а ЛМ = УИ.
Для дальнейшего весьма важным является также следующее тождество:
Зэкв= [?т-?1,/2 = [5р (Ъ?)]'* = \8р(А^-А'))'* (2.9)
Если напряженное состояние в точке меняется со временем и является многомерным случайным процессом с несколькими, в общем случае с шестью компонентами, то зЭК1> также является случайным процессом*. Попытаемся связать вероятностные характе-
* 8р [ ] — след матрицы [ ]. Приписав аэкв знак относительного измене-
ния объема, положительный при увеличении объема, можем рассматривать
5экв (0 как знакопеременный случайный процесс, а именно
ристики зэкв(0 с вероятностными характеристиками с (О, полагая а (О стационарным эргодическим многомерным процессом. Тогда оэкв(0, очевидно, будет также обладать двумя первыми свойствами. По определению математическое ожидание еэкв и дисперсия d3KB для зэкв(£) равны
= s {[1т(<Ж011/а} = const, (2.10)
^кв =--«{КкЛО-^2} =»{[Гт(0Г«)]1/2-в[Г(01(0Г}2 =
= /ИЭЬв —г,кв = const, (2.11)
t
где
т,ы — г [IT {t)1 (0] = const. (2.12)
t
Здесь e[ ] — математическое ожидание матрицы [ ].
Таким образом,
^ЭКВ == ^ЭКВ ”4” £ЭКВ' (2.13)
С другой стороны, можно представить \(t) в виде
Щ=Д■*«) + £ [F(0] = т*(0 +те, (2.14)
где
« [1(01 = const и 8 f|* (/)1 — 0- (2.15)
Подставляя (2.14) в (2.12), получим
т,кв = * [Г1 (ОТ* (01 + Ч h = (2.16)
где обозначено
£экв = И s£p = const; (2.17)
d3кв = з [?* (0 • 6* (0] - ^ К т (0 Afo* (0] - const. (2.18)
t
Покажем, что
£ЭКВ ^ гЭКВ1 d3KB. (2.19)
Действительно, как известно [6], (2.9) представляет собой норму столбцовой матрицы $(0, т. е.
бэкв (0 = |РК01- (2.20)
Аналогично
N
£экв =£ И (*)1 ~ XIIM0II (2.21)
k = 1
при достаточно большом числе N реализаций %{t). По определению (см. [6]) норма (2.21) обладает следующими свойствами:
1л <Хйу к к
;|Ж|<.|/4||1| при любой матрице Л, где норма А
|Л|| = [£р(ЛЛт)Г (2.22)
ИИ = |с|Ш, где с —скаляр.
Следовательно,
так как
“ЭКВ > W3KB1
4в=Ьт-®е],/2=«^1:
N
Л'
у* &
jLd 'Ь
к~\
N
•.«—«{[«T(05WF}~7r2 Is* I
Но тогда, согласно (2.13) и (2.16)
5 > d
•^экв ^экв>
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
что и требовалось. Очевидно, что d3Ktt = d3l!B при зэкв —0.
Теперь, считая вектор %(t) центрированным, рассмотрим выражение для ковариационной функции k3KB(i) процесса оэкв(/).
По определению
, т ________________________
АГэкв(т)-Иш-у- f VlT(t)l№T(t+mt + x)dt.
Согласно неравенству Коши,
[fT (0 \ (/)]42 [? (t + г)| {1 + т)]1/2 > ( р {t) j + т)]_ Поэтому справедливо соотношение
Л'экв (*) > lim -4- f ^ (*) 5 (* + Т) dt = ^экв О) ,
7Wco 7 J
(2.27)
(2.28) (2.29)
где Кэкв(^) будем рассматривать как оценку снизу для /СэквС5)-Легко убедиться в том, что знак равенства в (2.29) и в (2.28) имеет
место при т = 0, что очевидно, и при
Г(0=!„-г(0, (2-30)
т. е. при любом однопараметрическом НДС, возникающем, например, при синхронном пропорциональном нагружении конструкций. Таким образом,
К*кь (0) = К9кв (0) — дакв. (2.31)
Согласно теореме Винера — Хинчина
(2.32)
Л'экв М = j ^ЭКВ (w) еш do> ,
(2.33)
следовательно, при четных п производные я-го порядка от АГЭКВ ('=) по 1, обозначаемые Юп), при т = 0 выражаются через 5экв(ш) следующим образом
со со
К[пк\ (0) - (+ /)* ± | 5ЭКВ (»)«« \ 5ЭКВ («) ш« (2.34)
Справедливо и обратное соотношение
:о оо
5»”в (0) = (- О" | ЛГэкв (') * = (і)" 2 | /Сэкв (т) т" Л . (2.35)
При л нечетных
КЙ(0) =
лп кэк
гітп
1=0
= 0; 5І"в (0) =
^эк*
СІо>П
<0 = 0
В силу (2.29) и (2.35) очевидно
5'")в(0)<5'лк)в(0), л = 0,2,4,..............
00
где 5здв (0) = (/)" |
— ОО
С другой стороны, согласно (2.33)
ОО 00
1
:0. (2.36)
(2.37)
~г- } ^экв (ш) } '^экв {ш) <іш — ^экв^^вкв-
(2.38)
Дифференцируя подынтегральные выражения в (2.27) и (2.29) соответственно по т и полагая т = 0, получим тождество для первых производных
Г(*) К (<) = [* (*Л (0Г{^ [?(* + т) ё(* + О]1/2}х=0 (2-39)
и неравенство для вторых производных
5т(0 ~£ (о < [1т(0 * «)]|,а ит (*+') 5 (* + о],,2}т=0 =
- Г (0^(0 +
[е:т(о 14(0] іГ(оі«)]-[Г(оі;(о] [Г (0-ко]
(2.40)
где второе слагаемое неотрицательно в силу неравенства Коши. Следовательно, кЦ’в (0) < КЩ (0) и, в силу соотношения (2.35), для производных от ковариационных функций имеем
- ] 59кв («) ш2 (/и> < -І- j 5,кв («) (В2 (іш.
(2.41)
3. Теперь обратимся к спектральному суммированию усталостных повреждений и определению расчетных зон конструкции ЛА.
Согласно [7] усталостное повреждение в единицу времени при стационарном случайном внешнем воздействии
Цт)
2 па
(3.1)
Здесь при р = 2//я; /,(т)=(]/2),пг|—, Г — гамма-функция,
зт. а, т — показатель кривой Велера, 5а (ш) — спектральная плотность дисперсии а (/) случайного одноосного НДС, где О (О предполагается центрированным стационарным случайным процессом. Автор [7] предложил и обосновал (3.1) при (3 = 2/т как функционал спектрального суммирования усталостных повреждений,
который при р = 2 может интерпретироваться как функционал спектрального суммирования для гак называемого „метода пере-сечений1* линейного суммирования усталостных повреждений и получается с помощью формулы Райса (см. [8]).
Воспользовавшись приведенными выше выражениями для спектральной плотности дисперсии зэкв(^), распространим метод спектрального суммирования усталостных повреждений на сложное случайное стационарное НДС конечных элементов. В результате получим
считая в (0, а значит, и зэкв(г) центрированными. Тогда в частотной области
Тогда спектр дисперсии оэкв(г) однозначно связан с матричной спектральной характеристикой 5^(ш) обобщенных случайных перемещений
Здесь ( )" —означает комплексное сопряжение и транспонирование одновременно.
Подставляя (3.6) в (3.2), получим
есть обобщенная матричная характеристика усталостного повреждения, не относящаяся ни к какому конечному элементу, а только к ЛА в целом. Переход от одного конечного элемента к другому достигается заменой матрицы 09 в (3.8), а К*(,8)для ЛА в целом может быть вычислена вообще даже без привлечения МКЭ. Это дает возможность построить чрезвычайно эффективные алгоритмы определения расчетных зон усталостной прочности. Однако пока нет экспериментально обоснованных линейных теорий эквивалентных напряжений для сложного НДС, дающих выражения для аэкв
(3.2)
и
Запишем (3.2) в матричном виде. Согласно (1.5) возьмем
09кв(*)=ГТ?(<),
(3.3)
Зэки («<**)■ = £т « (*“)
и, в соответствии с матричной моделью (1.1),
Зэкв (1ш) = £Т 6,2(1»).
(3.4)
(3.5)
где
5эквН = Ат09.52(«)0и,
5г(<“) = 11т е \2(ЫТ) 2 ‘ (іо>, 7)];
(3.6)
(3.7)
г(ш, т)= [ г [і)е~шм.
б
(3.8)
где
оо
(3.9)
О
в виде (3.3). Поэтому воспользуемся нелинейной формулой Мизеса и полученной выше оценкой 5ЗКВ(<«), связав ее с матричной моделью (1.1). Для этого, учитывая (2.9), запишем (2.30) в виде
1 г-
к*кВ (*) = иш — Г г (/)!(/ + Т)Ш =
Т 00 ' у
о
= 1101-*- (,5/>[6(0-Г'(( + ^)|Л=5/>/Гб('с), (3.10)
г-=° ' л
где, согласно (2.2),
1 г -
А'г (т) = Иш 4- С 5 (О г (* + х) Л = л • К. (х) Л т. (ЗЛ 1)
Г-.0С 1 $
Далее, и силу перестановочности операций /*[ ], $ [ ], Яр [ ]
получим
5ЭКВ («) = /=• \SpKz (X)] = Бр [РК* (*)] = Бр [5е («0)1 (3.12)
и, аналогично (3.7),
2г. _
5эКВИ = 5/?[5е(ш)] = 5/7 Но, согласно (1.1),
5ЭКВ (ш) =5/> Г Нш £ з (Г(»«, Г)^(?Ч Г))
11туе(£М$'Н) • (3.13)
/ -►00
I Т Т
= Бр \а% ит 21 е (г (ш) («»)) е; л1
[_ г Т
(3.14)
Подставляя (3.14) в (3.2), получаем не менее удобное для вычислений, чем (3.8), соотношение и для нелинейной формулы Мизеса, а именно
{^[Л6Э)>ЭЛЧ}^ (3.15)
позволяющее построить такие же как на основе (3.8) эффективные алгоритмы определения расчетных зон усталости и в этом случае.
Заметим, что спектры дисперсии эквивалентного напряжения связаны с матричной спектральной характеристикой тензора НДС, 5а (ш)
[$>)]=/ЧКЛ^)] -Ит^ф(*Ч Т)ё'(Ы, Г)]. (3.16)
7'-+се ■*
Для линейной теории ’эта связь, согласно (3.3), имеет вид
8т{*) = 1'8'(т)1, (3.17)
а для нелинейной, согласно (3.13),
5ЭКВ («) = Нш Цг г [V (*«, Т) Нш, Т)\ =
7'->оо 1
— е[от(к», Т) Мч (ш, Т)} = V (ЗЛ8)
Т-гЖ 1
/. /= 1
где Шц, 5г/((о) —элементы матриц М и 50(со),
{иу| =М- {Би(«>)} - 5,(4 и - 1, 2..........,6. (3.19)
Вспомним теперь, что оценка йэки дисперсии нецентрированного процесса завышена, см. (2.38)
ОС те
Кэкв (0) = Кзкв (0) = 4- / 5ЭКВ (Ш) ««о.—І-/ 5ЭКВ (») = Зэкв > <*экв. (3.20)
• ‘ О "о
Поэтому в таком случае ошибка заниженной при ^ = 2 согласно (2.41) оценки второго момента 5экв(<и) может частично компенсироваться.
При оценке величины усталостного повреждения вида (3.8) или (3.15) весьма желательно приближенно учитывать „эквивалентную статическую подгрузку*. Для линейной формулы (3.4) это
£экв = ®з> (3.21)
а для нелинейной формулы Мизеса [см. (2.18)]
Ькв = [е^Г. (3.22)
Сформулируем способ учета статической составляющей гэкв с помощью корректирующей функциональной зависимости. Эту зависимость можно определять с помощью метода полных циклов, который является альтернативой изложенному спектральному методу оценки усталостной повреждаемости при сложном НДС.
Временной метод выделения ПОЛНЫХ ЦИКЛОВ 39КВ(0 С помощью статистических испытаний описан в [3]. Этот метод, в отличие от спектрального, позволяет учесть влияние на усталостную долговечность статической составляющей тензора НДС, т. е. так называемой статической подгрузки. Усталостную долговечность 7=1/8, рассчитанную методом полных циклов, можно считать функцией двух параметров:
з9к„ - среднего эквивалентного статического напряжения и Е>эка = ^экв — среднеквадратичного динамического напряжения, т. е.
Т — Т(р9КВ, еэкв).
С помощью метода полных циклов рассчитаем значения корректирующей функции
Л(Р,„, .„.)=«■■ (3.23)
По определению
<0 при £экв>0 (растяжение),
>0 при £экв <0 (сжатие),
= 0 при £экв = 0.
По рассчитанным значениям /г(рэки, гэкв) построим аналитическое выражение /р аппроксимирующее /г(р,кв, гэк„):
ЭКВ! £экв) ~ /т (Рэкв> °экв)-
Это выражение можно использовать для оценки усталостной долговечности при зэкв ф 0, если известны $экв, рэкв и величина долговечности при гэкв = 0.
Действительно, согласно (3.23),
Т( рэкв, 5ЭК») ~ т (?#кв, 0)1(А(Р-“' г""> . (3.24)
Используя (3.24) в том случае, когда долговечность при гэкв = 0, выражаемая как
Т (Рэка, 0) = ,ПГ~1’ а1 \Рэкв1
где повреждаемость 0, (рэьв) определена спектральным методом [см. (3.2)] получаем возможность учета статической составляющей НДС в спектральном методе вычисления усталостной долговечности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильичев В. Д. Матричные методы синтеза динамических и упругих характеристик линейных неконсервативных конструкций. .Ученые записки ЦАГИ", т. 6, № 2, 1975.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., „Мир*, 1975.
3. Вронский Г. В. Применение быстрого преобразовании Фурье и метода Монте-Карло для расчета повторяемости нагрузок и усталостного повреждения элементов авиационных конструкций при колебаниях от стационарной случайной внешней нагрузки. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 7, № 4, 1976.
4. Мака реве кий А. И., Корчем кин Н. Н., Фран-
цуз Т. А., Чижов В. М. Прочность самолета (методы нормирования расчетных условий прочности самолета). М., „Машиностроение", 1975. *
5. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М., Физмат-гиз, 1963.
6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., „Наука", 1969.
7. Райхер В. Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее применение для определения усталостной долговечности при действии случайных нагрузок. Труды ЦАГИ, вып. 1134, 1969.
8. Б о л о т и н В. В. Статистические методы в строительной механике. 2-е изд. М., Стройиздат, 1965.
Рукопись поступила 151X11 1977 г.
