Применение системы остаточных классов для спектрального анализа на основе вейвлет-преобразования и распределенной арифметики Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ». № 3, 2013

удк 004.315 Лавриненко И. Н. [Lavrinenko I. N.]

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА НА ОСНОВЕ

ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕННОЙ АРИФМЕТИКИ

Application of a system of residual classes for spectral analysis based on wavelet transforms

В статье приведен сравнительный анализ методов и алгоритмов определения характеристик сигналов; показано, что метод преобразования со смешанными основаниями эффективно может реализовать эти процедуры в модулярном компьютере.

Ключевые слова: система остаточных классов, обобщенная позиционная система счисления, вейвлет-преобразование.

This article provides a comparative analysis of methods and algorithms for identification of characteristics of signals;it is shown that the method of converting a mixed base can effectively implement these procedures in a modular computer.

Key words: system of residual classes, generalized positional system, the wavelet transform.

Спектральный анализ сигнала можно проверить на основе преобразования Фурье [1], но его нельзя отнести к частотно-временному, так как в каждый момент времени доступна только либо временная, либо частотная информация и нельзя получить совместное частотно-временное представление. Временная локализация необходима при анализе нестационарных сигналов, так как каждая конкретная частота может присутствовать в них не глобально, а локально и лишь на некотором отрезке времени. С практической точки зрения и с позиций точного представления произвольных сигналов преобразование Фурье имеет ряд ограничений и недостатков. Обладая хорошей локализацией по частоте, оно не обладает временным разрешением, частотные компоненты не могут быть локализованы во времени.

В отличие от традиционного преобразования Фурье, вейвлет-пре-образование обеспечивает хорошее разрешение как по частоте, так и по

времени. Вейвлет-анализ позволяет использовать большие временные интервалы, где нам нужна более точная информация о низкой частоте, и более короткие области, когда нам нужна информация о высокой частоте. Вейвлеты занимают промежуточное положение между синусоидой и дельта-функцией и образуют набор функций, удовлетворяющих определённым условиям.

Метод одномерного дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) ^го порядка последовательности хп определяется следующими рекуррентными соотношениями [2]:

N -1

а} = Е ёОЛ, / = 1,2,..., 3 (1)

т=0

N -1

¿п}=т ьал, «г - хи,

п ^^ к 1п-к~п п '

к=0

„(0 Л 0

где ап и ип являются аппроксимирующими и детализирующими

коэффициентами /-го уровня, а gk и Ц, (к = 0, 1, ..., N - 1) - коэффициенты низкочастотного и высокочастотного анализирующих фильтров соответственно.

С другой стороны, сигнал хп может быть восстановлен по

коэффициентам {аП\^\d<nJ11,...,d<'n"l } путем последовательных итераций по формулам

('-1) а —<

т

N-1 2 _

I в

к=0

-1 т - четное

+ 1 Ь2кЛт ,т-С5Б=>5

2 кат-к 2 -к к=0

—к

N-1 2 _

N-1 2

т - нечетное

^ - -(') ^ - =(')

I в2к+1 ат . + 1 ^к+1 ,т - =5Ш =>5 к=0 2 к к=0 2

(2)

где и Нк являются коэффициентами низкочастотного и высокочастотного фильтров соответственно.

Для того чтобы восстановленный сигнал соответствовал исходному, должны быть соответствующим образом подобраны анализирующий (раскладывающий) и синтезирующий (собирающий) фильтры.

Для вейвлет-преобразования функции ^х) необходимо вычислить серию коэффициентов {ап, dn, dn х, ..., dx}, где ап - аппроксимация функции, dt - детализирующие коэффициенты функции, i = 1, ..., п. Каждый коэффициент находится интегрированием (3, 4):

aJ-N,k = (/>Ф^,к ) = \/(хЖ(Х)^Х (3)

dJ-N,k = (/,VJ-m,к ) = \/(X)WJ-т,к (х)^х , где т = 1, 1,3, ..., N.

Возникает проблема вычисления большого количества интегралов с необходимой точностью. Следует также учитывать, что при высоком уровне разрешения J носители функций фJ к (х) и У J к (X становятся малыми порядка 1/21. Быстрое вейвлет-преобразо-вание, предложенное Малла, позволяет решить эту проблему. Алгоритм Малла даёт возможность вычислять коэффициенты вейвлет-раз-ложения без интегрирования, используя алгебраические операции на основе свёртки (4).

Эти равенства обеспечивают быстрые алгоритмы вычисления вей-влет-коэффициентов (каскадные алгоритмы, алгоритмы Малла). Термин «быстрые» означает не только, что в выражении (1) используются более быстрые алгебраические процедуры, но и то, что при каждом преобразовании общее число новых коэффициентов не увеличивается в два раза, а остаётся прежним.

Для двумерных сигналов-изображений алгоритм разложения аналогичен тому, что применяется в одномерном случае (1). Пусть ф (х) - масштабирующая вейвлет-функция и у/ (х) - материнский вейвлет. Как из-

вестно, они порождают базисные функции ф3 к (х) и Ул^ (х) . Двумерный сигнал а(п1 П2) раскладывается по базисным в 1} (Я2) функциям

Ф,п (Х)ф,т (У) , Ф,п (,т (У) , Уз,п (Х),ф,т (У) .

Соответствующие коэффициенты принято называть следующим образом.

Аппроксимирующие коэффициенты а(() (пг п2) получаются как коэффициенты разложения по вейвлет-базису фJ п (х) , фJ т (у) . На рис. 1(а) показано распределение пикселов после пошаговой обработки исходного изображения банком фильтров.

Горизонтальные детализирующие коэффициенты (\п1п2) получаются как коэффициенты разложения по вейвлет-базису фJ п (х) т (у) .

Вертикальные детализирующие коэффициенты ] \п1п2) получаются как коэффициенты разложения по вейвлет-базису щ} п (х), ф} т (у) .

Диагональные детализирующие коэффициенты d3{ 1 )(п1 п2) получаются как коэффициенты разложения по вейвлет-базису п(х) т(у) .

Схема разложения сигнала а0(п1п2) изображена на рис. 1(б).

а(0)(П1,П2) а(1)(П1,П2) ) (П1,П2) а(2)(л1,л2) d(2) (Л1.Л2)

Л,1 ) (П1,П2) ) (П1,П2) ^ 1 (П1,П2) (П1,П2) 1 (Л1П2)

(а)

а(1)(П1,П2)

ряды

ряды

............I.............

а(0)(П1,П2) —

(б)

6(2) К®— 12

г 6(2)

Ь Н(2)

|-| 6(2) [-(ф-Н(2)

6(2) |—(¡2-> а(2)(П1,П2)

Н(2) [-(^-> С? (П1, П2)

6(2) ->" ^ (П1 ,П2)

->- (П1 ,П2)

->- с/Ч) (П1,П2)

) (П1,П2)

->■ С2 ) (П1,П2)

Рис. 1. Последовательность получения вейвлет-коэффициентов третьей октавы для двумерного сигнала:

(а) - распределение пикселов после пошаговой обработки исходного

изображения банком фильтров;

(б) - в виде последовательности фильтров Н(2), 6(2) соответственно,

высокочастотные и низкочастотные анализирующие фильтры в 2-представлении.

В аналитическом виде разложение двумерного сигнала фильтрами можно записать следующим образом:

а (М)(п, п

N-1 N-1

(п1» п2 ) = X X 8(к)8к )а(} (2п1 - к1,2п2 - Ю '

к,=0 к2 =0

N-1 N-1

^(г+1)(п1,п2) = ££g(к1)к(к2)а(г)(2п1 -к152п2 -к2);

к]=0 к2 =0

N-1 N-1

п2)=ад я (^у0^ - к,2п - кг);

к =0 к2 =0

N-1 N-1

йъ{1+1)(п1, п2) = КК)Ь(к2)а0 )(2п1 - к1,2п2 - к2). (4)

¿1=0 к2 =0

В качестве собственно фильтров могут использоваться фильтры До-беши D4 четвёртого порядка [2]. Вейвлеты Добеши являются вейвлетами с компактным носителем, что обеспечивает хорошие свойства приближения вейвлет-разложений. Они не имеют эксплицитного (явного) выражения, а задаются коэффициентами фильтрации. Анализирующие (разлагающие) высокочастотные (И) и низкочастотные (ё) коэффициенты фильтра Добеши задаются следующими коэффициентами:

и 1 + ^ И ,

, 3 + >/3 И =

И =

з-у[ъ 4^2

, 1 -л/3

И=-412 , (5)

_ 1 -У3 ёо _ аЛ ,

3-У3

ё _ ф ,

_ 3 + >/з ё2 _ 4!2 ,

1 + у[ъ

ё3 =

472

Традиционно проблемами применения системы остаточных классов являются преобразования из позиционной системы счисления в СОК

и обратно [3], для преобразования кодов предлагается новый метод ускоренного преобразования из двоичной формы в СОК, нейронная сеть которой соответствует выражению

X.[п] = \\х[п;8...5]24 | + |х[п;4...0]2

(6)

Из выражения (6) видно, что все операции определены как операции умножения и суммирования по модулю р.

Прямое преобразование двоичного числа в модулярное осуществляется с помощью модулярного суммирования остатков по модулю р. (/ = 1,2,...,и) В разрядов п форматов с учетом их весов. На основании сказанного любое двиочное число может быть записано в виде

м в—

X = £ (I * 2 )2'

у=0 ¿=0

(7)

где В - количество разрядов выбранного формата;

М - степень формата;

х1 - коэффициент 0 и 1; j = 0, В, 2В, ...,

МВ - позиция формата;

1 - позиция разряда в формате.

Развернув выражение (7), получим:

X = (х020 + х121 +... + хв-12в !)20

+(х020 + х121 +... + хВ-12В-1 )2В +.................................................. (8)

+(х020 + х121 +... + хв_12в-1)2мв

Из выражения (8) видно, что число X может быть представлено двоичным кодом шириной МВ разрядов.

Обратное преобразование числа из модулярного представления в двоичную форму базируется на Китайской теореме об остатках (КТО).

Хотя этот метод в принципе прост, применение его неэффективно, так как желательно, чтобы модулярный компьютер выполнял арифметические операции по модулямр„ где i = 1, 2, ..., n, а не по модулю р = \\p,, как требуется по Китайской теореме остатков. В противоположность этому метод преобразования со смешанными основаниями эффективно может реализовать в модулярном компьютере, так как в нем необходимы только операции по модулю р.

Для перехода от вычислений по модулю Р к вычисления по pt предлагается метод восстановления чисел на основе совместного использования КТО и обобщенной позиционной системы счисления (ОПСС).

Тогда КТО можно представить в виде

n n

X = £ aiBi mod P = £ aiBi - R(x)P, (9)

i=i i=i

где a - остатки (вычеты) числа X по модулю р;

R(x) - ранг числа,

B ¡ - ортогональные базисы в ОПСС:

B¡ = = 1(modp¡),i = 1,...,n ,

Pi

где m ¡ - веса ортогональных базисов.

Представим ортогональные базисы Bi в ОПСС, тогда

Bi = bil + bilPl + bi2PlPl + - + binPlPl-Pn , (10)

где bt - коэффициенты в ОПСС.

На основании (10) запишем ХОПСС, выражение (9) в виде

хопсс = аКА^-Ап) + «2(°A2>-An) + ••• + a) ,

полученные значения коэффициентов ОПСС числа x используем для образования двоичного кода.

ЛИТЕРАТУРА 1. Яковлев А. Н. Основы вейвлет-преобразования сигналов. Радиотехника: учебное пособие. М.: САЙНС-ПРЕСС, 2003. 80 с.

2. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

3. Червяков Н. И., Сахнюк П. А., Шапошников А. В., Макоха А. Н. Нейрокомпьютеры в остаточных классах. Книга 11: учебное пособие. М.: Радиотехника, 2003. 272 с.

ОБ АВТОРЕ Лавриненко Ирина Николаевна, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказс-

кий федеральный университет», Институт математики и естественных наук, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей алгебры и геометрии, тел. (8652) 35-32-73, E-mail: [email protected]

Lavrynenko Irina N., North-Caucasian Federal University, Institute of Mathematics and Natural sciences, Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor of the Department of Algebra and Geometry,

E-mail: [email protected]