CC BY
45
УДК 681.518.52
А. А. Иванов
ПРИМЕНЕНИЕ СИГНАЛОВ С ОРТОГОНАЛЬНЫМ ЧАСТОТНЫМ МУЛЬТИПЛЕКСИРОВАНИЕМ В СИСТЕМАХ БЛИЖНЕЙ ЛОКАЦИИ
Рассмотрены цифровые сигналы с ортогональным частотным мультиплексированием применительно к системам локации. Исследованы алгоритмы обнаружения и распознавания целей.
E-mail: ivanov.MGTU@mail.ru
Ключевые слова: системы ближней локации, ортогональное частотное
мультиплексирование, обнаружение, распознавание.
В настоящее время в системах локации все чаще используются сигналы с ортогональным частотным мультиплексированием (OFDM-сигналы). Форма спектра излучаемого сигнала при этом близка к прямоугольной [1, 2]. Обязательными элементами приемного устройства подобной системы являются схема синхронизации и блок определения импульсной характеристики (ИХ) канала распространения сигнала. С помощью схемы синхронизации определяется дальность до цели, для этого используются автокорреляционные свойства сигнала. В момент синхронизации (максимума корреляции) определяется относительная радиальная скорость цели. При совмещении приемника и передатчика известен излучаемый сигнал, поэтому нетрудно определить ИХ канала. Затем с помощью базы данных можно выделить информативные признаки, сравнить их с эталоном. Таким образом, реализуется система "свой-чужой".
Функциональная схема системы локации. Рассмотрим обобщенную функциональную схему системы ближней локации (СБЛ), использующей OFDM-сигнал (рис. 1). Для определения параметров цели введено периодическое повторение полезного излучаемого сигнала — защитный интервал (ЗИ). Момент прихода отраженного сигнала на приемную сторону изначально не известен. При относительном движении приемопередатчика и объекта локации возникает частотное рассогласование излученного и отраженного сигналов, которое обусловлено доплеровским сдвигом. Отраженный сигнал — это результат прохождения излученного сигнала через многолучевой канал распространения, ИХ которого определяется средой распространения и формой объекта локации.
Структура передаваемого OFDM-сигнала. Для анализа метода синхронизации необходимо рассмотреть формальное описание передаваемого сигнала. Полезная часть излучаемого сигнала по свойству
Рис. 1. Функциональная схема СБЛ, использующей OFDM-сигнал:
+ ЗИ — формирователь защитного интервала, -ЗИ — блок удаления защитного интервала, КМ и КД — квадратурные модулятор и демодулятор, ЦАП — цифроаналоговый преобразователь, АЦП — аналого-цифровой преобразователь, М — модулятор, Д — демодулятор, Гпч — генератор промежуточной частоты, Грч — генератор радиочастоты, С — схема синхронизации, * — оператор свертки, ВУ — вычислительное устройство, БЧ — боевая часть
дискретного преобразования Фурье (ДПФ) может быть представлена в виде
1 N/2-1
4п(кт) = < N х(г)е",ип|'т• к- 1]; (1)
0, [0,...,Ж - 1],
где X (г) — комплексная амплитуда; Тп = ЖТ — длительность сигнала
2п
без ЗИ; Т — период дискретизации; шп = —--расстояние по частоте
Тп
между гармониками; N — число отсчетов в ДПФ. До полезной части передается ЗИ длительностью Тз, который является ее периодическим повторением, тогда Т0 — длительность сигнала после введения ЗИ, при этом Т0 = Тп + Тз = Т (Ж + Жз). Для сигнала целесообразно выполнение условия Тп = Тз, т.е. N = Жз, поскольку в локации более важно обнаружение, нежели распознавание. Последовательно излучаются две одинаковые части длиной N, поэтому сигнал имеет вид
8 (к) = 8п (к - N) + 8п (к) ■ (2)
Искажения принятого сигнала относительно излученного. Согласно данным работы [2] с учетом выражения (1) представим принятый сигнал на входе приемника в виде
г (¿) = С (¿) + п (*);
(3)
с (¿) = к (¿) * 8 (* - т)
e
jAwct
где т — задержка излученного сигнала, а к (£) — ИХ канала распростра-
нения. Доплеровский сдвиг сигнала по частоте возникает вследствие относительного движения и равен Ашс = шшп + йш, где тшп — сдвиг частоты на целое число гармоник, йш — сдвиг сигнала по частоте на значение, которое не превосходит шп. При этом п (¿) — аддитивный гауссовый белый шум (БШ). Знак "*" в формуле (3) означает свертку сигналов. В дискретном представлении сигнал (3) имеет вид
Г (/) = й (/)+ п (1); (4)
d (Z) = h (Z) * s (Z - k) dw
jM m+Nfe) =
h (/) * s (/ - k)
где = —. Поскольку шп ^ шд для системы локации, где шд = 2п/д,
Шп
а /д — доплеровская частота, то т = 0 в формуле (4). Тогда из уравнений (2) и (4) получаем
d (/) = h (Z) * Sn (Z - k - N) + h (Z) * Sn (Z - k)
j 2п15щ oJ N
где
di (Z) = d (Z)
h (Z) * Sn (Z - k)
а также
d2 (Z)=d (Z)
= d (Z + N)
N<l<2N-i
0^1<N
h (Z) * Sn (Z-k)
eJ n eJ n
4 (1)= (1) (5)
Таким образом, реализация принятого сигнала г состоит из двух частей, а именно Г1 и г2, которые являются реакцией ИХ канала на защитную и полезную части вектора б соответственно, т.е.
г = [Г(0) г(1) ... - 1) ) ... г(2^ - 1)] = [г1 г2], (6)
где Г1 = [г1(0) Г1(1) ... Г1(^-1)], Г1(1) = й1 (1)+П1 (1), п (1) = п (1), а Г2 = [Г2 (0) ... Г2 (1), Г2 (^ - 1)], Г2 (/)=4 (О+П (1), П (1)=П (1 + N).
Стоит отметить, что в соответствии с выражениями (5) и (6) для любого отсчета Г (т) выполняется равенство
E {r (m) г* (m + i)} =
+ ,
0,
г = N; г = 0; г/ {0,N},
(7)
где а;:, — мощности сигнала и шума соответственно, а Е — оператор усреднения. Равенство Е {Г (т) Г* (т + г)} = 0 при г / {0,N} выполняется, поскольку в соответствии с выражением (1) спектр сигнала занимает всю полосу частот от 0 до шд, т.е. интервал дискретизации Т равен интервалу корреляции по свойству преобразования Фурье. При этом условие Е {Г (т) Г* (т)} = а^ + аШ выполняется для любого отсчета реализации.
2 nlö^
J
N
e
2 nlö^
J
N
e
Алгоритм обнаружения. Для синтеза соотношений, определяющих задержку до цели и доплеровский сдвиг, используем корреляционные свойства сигнала во временной области. Рассмотрим произвольный отрезок реализации принятого сигнала в виде набора дискретных отсчетов, который начинается с номера к, т.е.
Г = [г (к) г (к + 1) ... г (к + N - 1) ...г (к + N) ... г (к + - 1)].
(8)
Запишем совместную плотность распределения вероятностей (ПРВ) отсчетов вектора (3) в соответствии с равенством (4) в случае синхронизации, т.е. когда г представляет собой один символ, следующим образом:
W (г,^, к) = W (г| Жш, к) W W (к).
При этом распределения доплеровского сдвига W (¿ш) и задержки до цели W (к) являются априорно неизвестными, их можно опустить:
к+М-1
W (Мш,к) = W (Г| ¿ш,к)= Д Wп (г (г) ,г* (г + N)). (9)
г=к
В этом случае ПРВ W (Г,Лш, к) состоит из произведений ПРВ попарно коррелированных отсчетов полезной части сигнала и защитного интервала, т.е. Wп (г" (г), г* (г + N)). Согласно выражению (3) отсчет входного сигнала в момент времени £ = кТ обозначим как X = X (к + г) = г (к + г), а отсчет входного сигнала, который поступил на Тз позже — как у = у (к + г) = г (к + г + N). Сигнал — комплексный, поэтому ПРВ для X и у в случае нормального распределения шума п (£) в формуле (3) согласно данным работы [3] примет вид:
Wn[(r(i),r*(i + N )] = Wn(x,y) =
1
П2 |С |
exp
H
X C-1 X
y y
, (10)
где С = С =
E (XX*) E (Xy*) E (y X*) E (yy*)
a2 + ai
P* (ac2 + ai) условию (7) p =
P (ac2 + ai) ac2 + ai E [Xy*]
ковариационная матрица, при этом 1
Р*
P *1
согласно
v/E]xx*^v/E]yy*J
реляции.
После упрощений получаем
Wn (X, y) =-^-exp
( 'У) n2 (a2 + аШ)2 (1 - pp*) P
= (ac2 + ai )
2 — коэффициент кор-
a2ej2n5^
ac2 + a2
X*X - 2 Re (X*py) + y*y
" (ac2 + ai)(1 - pp*)
(11)
В дальнейшем будем рассматривать случай преобладания сигнала над шумом, т.е. ^ аЩ. Определим функцию правдоподобия (ФП) как логарифм Ш (г,^ш, к), т.е.
к+М -1
Ь (¿ш,к)=1п[Ш (г,Жш, к)] = 1п [Шп (Г (г) (г + N))], (12)
i=k
тогда
L (dw,k) = 2 R (k) cos(2n^ + arg R (k) )- K (k), (13)
k+N-1
где Ё (к) = х (г) у* (г) — корреляционная сумма на интер-
i=k
3 ащ
(ВД)\
и K (k) =
вале длиной N (^причем Ё (к) = Ё (к) е
к+М-1
= ^^ (|х (г)|2 + |У (г)|2) — энергетическая составляющая сигнала
г=к
на интервале длиной N.
Условие максимума ФП представляет собой систему уравнений
дЬ (¿ш, к)
дк дЬ (¿ш, к) д [¿ш]
что равносильно выполнению условия
=
= 0;
= 0,
arg [R (kr)J;
2П
kT = argmax|k 2R (k) - K (k)
(14)
Поскольку К (к) можно считать постоянной и независимой от к в соответствии с (7), то условие (14) можно представить в виде
=
ащ
R (kT)
2п
kT = argmax|k R (k)
(15)
Таким образом, получена максимально правдоподобная оценка сдвига отраженного сигнала по времени и частоте. На рис. 2. приведена функциональная схема, реализующая описанный алгоритм. Из условия (15) получаем радиальную относительную скорость цели и
Рис. 2. Функциональная схема, реализующая алгоритм определения грубой временной задержки и точного частотного сдвига:
( )* — комплексное сопряжение; abs и arg — вычислители модуля и аргумента комплексной величины; argmax — вычислитель аргумента максимального значения
дальность до цели:
А/д
V = = цор 2
Adw
А
4п
4п
R = Ткт,
4nNT
arg
Л(кт)
(16)
где Л — длина волны Грч на рис. 1.
Метод поражения цели. Основной задачей СБЛ является определение оптимального момента подрыва БЧ, т.е. выдача команды на подрыв. Поскольку решающее взаимодействие системы с целью происходит на расстоянии, не превышающем несколько километров, скорости ракеты, осколков БЧ и цели можно считать постоянными по модулю и направлению. Таким образом, для поражения цели необходимо и достаточно определить ее скорость по модулю и направлению, а также дальность до цели.
На рис. 3 представлен пример случайных условий встречи ракеты и цели. В абсолютной системе координат скорость ракеты Ур, а скорость цели Уц. Рассмотрим систему координат относительно ракеты, в которой скорость цели Уцо, скорость ракеты равна нулю, а осколки вылетают перпендикулярно оси ракеты со скоростью ус.
Диаграмма направленности представляет собой конус, ось которого совпадает с осью ракеты. В точке локации происходит обнаружение цели, определение параметров ее движения и формирование задержки на подрыв БЧ. Основной задачей СБЛ является формирование задержки сигнала на подрыв £ таким образом, чтобы осколок и цель встретились в одной точке при минимальных затратах ресурсов БЧ.
Каждый летательный аппарат имеет верхнее ограничение по скорости. Обозначим диапазон скоростей цели 0 . ..Уцтах и ракеты Уртт ...Уртах. Таким образом, годограф относительных скоростей Уцо в пространстве представляет собой вытянутый шар V, как показано на рис. 4.
При этом каждый осколок, движущийся со скоростью Кг, предназначен для поражения определенного диапазона относительных скоростей, годограф которых образует площадь Б. Для дальнейших расчетов
У
Рис. 3. Условия встречи ракеты и цели:
Л — точка локации цели, Р — ракета, Ц — цель, В — точка встречи осколка с целью
Г
Рис.4. Годограф относительных скоростей (Вх, В2 и Вз — возможные точки встречи осколков с целью
выберем максимальную из всех возможных площадей, которая образуется при параллельном курсе, поскольку в этом случае наблюдается максимальный разброс априорно неизвестных параметров встречи.
На рис.5. изображена максимально возможная по площади плоскость Б. Диаграмма направленности расположена под углом а к оси ракеты. Основная проблема измерения скорости заключается в том, что СБЛ измеряет радиальную относительную скорость рцор, а не
Рис. 5. Годограф относительных скоростей
абсолютную УЦо. При этом годограф относительных скоростей уменьшается до полоски Д£, практически равной отрезку. Предположим, что ракета и цель движутся параллельными курсами, и рассчитаем возможные потери при этом допущении. Рассмотрим три вектора скоростей: предполагаемый и два крайних, Уцо1 и V"o2, принадлежащих годографу Д£. В точке локации Л необходимо определить момент подрыва БЧ таким образом, чтобы конус разлета элементов был минимальным, что обеспечит высокую концентрацию поражающих элементов и тем самым увеличит вероятность поражения. Такое условие выполнимо в случае, когда осколки разлетаются не перпендикулярно оси ракеты, а перпендикулярно направлению локации, как показано на рис.5. В момент подрыва ожидаемая цель находится в точке Лt, а осколок должен лететь со скоростью VC. При этом цель может находиться в точках Л^ или Л^, поэтому для поражения необходимо обеспечить динамику разлета элементов БЧ в диапазоне от VC min до VCmax, что следует из свойства подобных треугольников на рис. 5. Таким образом, возможно поражение цели при нулевой ширине конуса разлета элементов и использовании одной антенны. Для этого необходимо обеспечить разброс скоростей разлета элементов VC, что ведет к существенному упрощению конструкции. По рис. 5 определяем задержку на срабатывание
_ Л _ Ё Л - Ё Л t
f=тцг = '
откуда с учетом уравнения (18) получаем
y BP
cos а цо VCi ъ ( 1 tg „ /1 tg а
t =-=-— = RH y---= Дц
Ко VKc cos a VCi / Ч^цср V^
Таким образом, с помощью OFDM-сигнала можно определить оптимальный с точки зрения поражающего эффекта момент подрыва БЧ.
Влияние помех. Для защиты от помех необходимо реализовать функцию селекции по дальности. С учетом уравнения (1) получаем энергетический спектр сигнала
Y (г) — |X (г)|2 = A — const. (17)
Тогда из уравнения (17) по свойству преобразования Фурье [4] находим автокорреляционную функцию (АКФ) полезной части OFDM-сигнала в виде
A N/2-1 A N-1
= N Е = ;
i=-N/2 i=0
A 1 — e-jN^kT
Rau —
ап N 1 -
. NwnkT
= Ae-j N-! u*fcT 2 = Ae-j N-! u*fcT sin(nk)
N . WnkT N sin(nk/N)'
sin--x ' '
2
A
|R-n(k)! = A
sin(nk)
(18)
На рис. 6 приведена АКФ
sin(nk/ N) сигнала. Нули функции находят-
Я а (к)
ся в точках к € за исключением к € {—N 0,^}, в которых наблюдаются глобальные максимумы. Максимум при к = 0 соответствует энергетическому обнаружителю, а максимум при к = N — квазиоптимальному обнаружителю (см. рис.2), при этом интервал корреляции тк = Т. Таким образом, изменяя N на 1 при каждом цикле сканирования, можно увеличить период функции селекции в несколько десятков раз.
Распознавание целей. Рассмотрим принятый сигнал в виде выражения (3). После компенсации задержки и частотного сдвига полезную часть сигнала можно представить как
Гп (/) = МО * ¿п (/)+ п(1) (19)
-64 -48 -32 -16 0 16 32 48 Рис. 6. Автокорреляционная функция символа
и по свойству прямого преобразования Фурье (19) преобразовать к виду
У (к) = Н (к) X (к) + Ж (к),
где У (к) = Е(Гп (/)), Н (к) = Е(к (/)) — частотная характеристика (ЧХ) канала в полосе пропускания системы, а Ж (к) = Е (п (/)). Тогда
Н (к)=У (к) хк- * (к) хк;
где G(к) =
1
H (к) = Y (к) G (к) + P (к), 1
а P (к) = W (к)
шумовой процесс, кото-
X (к) X (к)
рый не известен априорно. Таким образом,
Гп (1) * д (1) = к (1) + р (1) = еопу (1), (20)
где р (/) = Е-1 (к) ^ — БШ в полосе пропускания системы, а функция д (/) = Е-1 (к)^ заранее известна. Значит, рассчитанный сигнал Гп (1) * д (1) представляет собой сумму искомого сигнала к (/) и шума р (/).
При реализации прямоугольной полосы пропускания в результате свертки (20) получается не истинная ИХ канала к (/), а лишь ее усред-
X
ненная оценка — свертка к (/) с функцией вида -¿(/) = вт(п/)
х—-:———- в соответствии с выражением (18). Рассмотрим модель
зт(п1/Х)
объекта локации в виде набора г "блестящих" точек (БТ), тогда ИХ
Рис.7. Зависимости |ес1»¥(1)| = |гл(/) *д(1)\ без учета затухания согласно работе [2] можно представить в виде
z
h (i)^Yl &е-звг 5 (i - li),
i=1
(21)
где вг, 0 — амплитуда и фаза отраженного дельта-импульса, 1г — время появления ¿-го импульса относительно 1-го (при /1 = 0), /г+1 > /г. На рис. 7 приведены результаты расчета \conv (/)| = |Гп (1) * д (1)| для случая, когда истинная ИХ вида (21) равна
к (1) = (1) - 0,55 (1 - 8) + 0,75 (1 - 16).
В этом случае для данного ракурса цель имеет три БТ. Пиковая
мощность каждой БТ Рп (¿¿) = h (¿¿)
2N
E|h (l)
фективную мощность Рэф =
2N
Т значительно превышает эф-
в соответствии с формулой
(21), т.е. Рп (1г)/Рэф > 1, что равносильно условию к (/г) /кэф > 1, где
^^эф =
\
2N
Е
l=1
h (l)
2N
— эффективная амплитуда ИХ.
Таким образом, используя ограничение к (/г) > ркэф, где р — коэффициент запаса, можно выделить БТ. В примере кэф = 0,135, а р = 3, при этом можно выделить три БТ. Определив длительность между первым и последним отраженными импульсами на
2
2
рис. 7, можно оценить линейный размер цели для данного ракурса
L ст cAkT cAk
= Y = ^T = f.
Для расчета эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) каждой БТ необходимо использовать уравнение радиолокации
рпр G2A2
"¡^ = -5-а, (22)
Ризл (4п)3 R4 v 7
где Рпр — мощность отраженного сигнала в цифровом тракте обработки, Ризл — мощность излученного сигнала в цифровом тракте обработки, G — коэффициент усиления антенны, а а — ЭПР цели. Определив дальность до цели Лц по формуле (16) и рассчитав мощности сигналов, можно найти ЭПР:
а = (4п)3 ДцРпр. (23)
Поскольку интервал корреляции тк = T (по формуле (18)), то мощность сигнала от цели равна сумме мощностей сигналов от каждой
z
БТ, т.е. Рпр = Рпрг, поэтому
i=1
(24)
2
а = ^
г=1
где а — ЭПР БТ. Аналогично рассчитаем мощность отраженного сигнала при условиях (17), (19) и (21), тогда
N/2-1 i N/2-1
' Ш = AKy2
2
Шп + Рш, (25)
Рпр = ^ 1>(к) ^п = АКу2 ^ #(£)
к=-М/2 к=-М/2
где Ку — коэффициент усиления. В соответствии с равенством Пар-севаля [4] при условии преобладания сигнала над шумом Рпр > Рш получаем
N-1 , 2 2
Рпр = А^п^Ку2 = А^п^Ку2^ (26)
1=0 г=1
Таким образом, мощность отраженного сигнала пропорциональна
2
2
^Д2. Из выражений (21), (24) и (26) получаем
i
г=1
в2
а = а
Ев! £
fc=i fe=i
2 :
вг
z
причем а определяем по формуле (23), а ^ — по графику на рис. 7.
Рг
Априорное знание ИХ объекта локации позволяет реализовать систему распознавания. При этом распознать объект можно только после его обнаружения. Измерив ИХ известного объекта для каждого ракурса к^)в (I) (<£ — угол места, в — азимут), получаем усредненную ИХ по формуле
п п
(27)
ку (0= £ Е^.в (О^р (^,в),
<^=-п в=0
где (<£, в) — вероятность ракурса (<£, в). С помощью формулы (20) можно найти смесь к (/) + р (/), где к (/) — ИХ некоторого объекта, а р (/) — БШ неизвестной мощности. В связи с этим возникает вопрос: относится ли к (/) к усредненной ИХ ку (/), т.е. "свой" объект или "чужой"? С учетом формул (20) и (25) в случае локации "своего" объекта справедливо равенство
еопу (/)= Куку (/)+ р (/), (28)
где Ку — неизвестный заранее коэффициент, а в случае локации "чужого" объекта
еопу (/) = и (/), (29)
где и (/) — БШ, который является сигналом, отраженным от неизвестного объекта. При этом а^ — неизвестная мощность шума р (/), а^ — неизвестная мощность шума и (/). Таким образом, ПРВ свертки Гп (I) * 9 (I) для "своего" объекта согласно данным работы [3] имеет вид
W (conv| Ку,ст1) =
(П„т„-2\exp
а для "чужого" объекта —
conv — Kyhy
conv — Kyhy
W (coñvl a1) =-w~ exp
V ' 1 (2па1)Мих
2a1
conv ■ conv
, (30)
(31)
где ХИХ — длительность ИХ. Максимально правдоподобная оценка Ку может быть найдена из выражения (30):
д ln W (conv| Ky,a1)
дКу
= 0 Ky =
Re (hyconvH
(32)
Максимально правдоподобная оценка a1 может быть найдена из
H
1
i
выражения (30):
д ln W (conv| Ky,a2) да2
= 0 ^ a2 =
conv — Kyhy
conv — Kyhy
N
ИХ
(33)
Максимально правдоподобная оценка может быть найдена из
выражения (34) по формуле д 1п W ( сопу| а2)
= о а2 =
convconv
N
(34)
ИХ
Для получения границы раздела "свой-чужой" составим отношение правдоподобия, используя формулы (30) и (31), а затем сравним его с порогом Ь:
L < ln
W (coiiv| Ky,a2) W (coiiv| а2) '
а2
L < Nhx ln-2 —
coiiv — Kyhy
coiiv — Kyhy
a2
2a2
+ ^L (35)
+ 2a2 " (35)
Выражение (35) с учетом уравнений (33) и (34) преобразуется к виду
а2
Ь < ^их 1п-2, а2
. .. conv L < Nhx ln—^ conv
coiv — Ky hy
coiv — Kyhy
L
N
< ln
|coiv|2
ИХ
| coiv |2
h.
— Re2 (hycoiv
1 - e "их <
Re2 (hycolivH
|conv|2
hy
(36)
При выполнении условия (36) можно утверждать, что с вероятностью, определяемой порогом Ь, свертка гп (/) * д (/) является зашум-ленной ИХ "своего" объекта. На рис. 8 приведены результаты расчета
отношения О =
Re2(hycoivH) |conv|2|hy|2
и порога П = 1 — e
в случае,
когда =16, объект локации состоит из трех БТ, а положение ИХ в свертке гп (1) * д (1) не известно.
H
H
H
2
2
2
L
N
ИХ
1 /7 = 0.27 r пи L = 5
t ff =0,22 при 1 = 4
1 /7= 0.17 гтан L = 3
1 1 л А
Ша. 4/AL ÜJ .La.Li ivAL, Ul л/ M/W
О 16 32 48 64 80 96 112 I
„ „ ™ ^ Re2(/i„coii^) „ / _ь_\
Рис. 8. Расчет отношения O =-2—:-и порога П = (1 — e "их
|coAv|2|/g2 р V )
В случае обнаружения Ну (/) в свертке гп (/) * gg (/) происходит превышение порога, значит, объект "свой", в противном случае — "чужой".
Автор благодарит профессора Б.И. Шахтарина и доцента Н.С. Соболеву за ценные советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Moose P. H. A technique for orthogonal frequency division multiplexing frequency offset correction // IEEE Trans. Commun. - Vol. 42. - P. 2908-2914, Oct. 1994.
2. S chmidl T. M., C o x D. C. Robust frequency and timing synchronization for OFDM // IEEE Trans. Commun. - Vol.45, no. 12. - P. 1613-1621, Dec. 1997.
3. ЕвсиковЮ. А.,ЧапурскийВ. В. Преобразование случайных процессов в радиотехнических устройствах. - М.: Высш. шк., 1977.
4. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2003. -604 с.
Статья поступила в редакцию 30.10.2009
Андрей Андреевич Иванов родился в 1985 г. Канд. техн. наук, ассистент кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области статистического моделирования нелинейных систем управления, в том числе 2 монографий.
A.A. Ivanov (b. 1985) — Ph. D. (Eng.), assistant professor of "Systems of Near Location" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 20 publications, including 2 monographs, in the field of statistical simulation of nonlinear control systems.
