CC BY
13
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. № 4 (20). С. 16-23.
2. Мартьянов В. И., Пахомов Д. В., Архипов В. В. Организация рационального управления содержанием региональной сети автомобильных дорог // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 2 (22). С. 55-62.
3. Мартьянов В. И., Архипов В. В., Каташевцев М. Д. Обзор приложений логико-эвристических методов решения комбинаторных задач высокой сложности // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 4(28). С. 61-67.
ш
4. Codd, E. F. The Relational Model For Database Management Version 2. Reading, Mass. : Addison-Wesley, 1990.
5. Мальцев А. И. Алгебраические системы М. : Наука. 1967. 324 с.
6. Мартьянов В. И. Логико-эвристические методы сетевого планирования и распознавание ситуаций // Труды Междунар. конф. «Проблемы управления и моделирования в сложных системах». Самара, 2001. С. 203-215.
7. Вермишев Ю. Х. Основы автоматизации проектирования. М. : Радио и связь, 1988.
УДК 622.23.05 Петров Юрий Сергеевич,
д. т. н., профессор, зав. кафедрой теоретической электротехники и электрических машин,
Северо-Кавказский горно-металлургический институт (Государственный технологический университет) (СКГМИ (ГТУ)), г. Владикавказ,
тел. (8672) 76-21-80, +7-918-833-06-07 Рогачев Леонид Викторович,
к. т. н., доцент кафедры теоретической электротехники и электрических машин СКГМИ (ГТУ),
тел. (8672) 51 09 99, +7 928 069 77 48 Саханский Юрий Владимирович, к. т. н., доцент кафедры теоретической электротехники и электрических машин СКГМИ (ГТУ),
тел. (8672) 74-99-51, +7-918-827-30-49, е-mail: 749951@rambler.ru
ПРИМЕНЕНИЕ СИГНАЛЬНЫХ ГРАФОВ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ЭЛЕКТРОВЗРЫВНЫХ ЦЕПЕЙ
Y.S. Petrov, L.V. Rogachev, Y.V. Sakhansky
THE USE OF SIGNAL GRAPHS IN MATHEMATICAL MODELS OF ELECTROEXPLOSIVE CHAINS
Аннотация. Приведено теоретическое обоснование и методика расчёта электровзрывной цепи методом сигнальных графов. Определены основные параметры безотказного инициирования электродетонаторов - ток и импульс тока. На основании приведённых расчётов даны практические рекомендации по повышению безопасности и безотказности электровзрывания.
Ключевые слова: теория графов, электровзрывание, электродетонатор.
Abstract. The theoretical basis and method of electroexplosive chain calculation by signal graphs are given. The main parameters of the failsafe of electric detonators initiation - current and current pulse are determined. On the basis of calculations practical recommendations for improving the safety and reliability of electroblasting are provided.
Keywords: graph theory, electroblasting, elec-trodetonator.
В настоящее время в связи с развитием техники, усложнением применяемых в этой области устройств и повышением требований к их точности, для анализа работы и расчета характеристик электровзрывных цепей большое внимание уделяется компьютерным методам расчёта. К таким методам, в первую очередь, относятся матрично-топологические методы, благодаря которым процедура формирования математических моделей линейных электрических цепей в виде матричных уравнений наиболее наглядна, проста и согласована с последующим их численным решением при помощи стандартных программ или универсальных математических пакетов (MathCAD, MatLAB и др.).
Удельный вес матрично-топологических методов в последние годы продолжает возрастать, поэтому метод расчёта электровзрывных цепей
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
методом графов является актуальным, своевременным и легко реализуемым в большинстве современных прикладных компьютерных программных моделей.
Для расчёта электровзрывных цепей можно применить как метод топологических (ненаправленных), так и метод сигнальных (направленных) графов, причём для расчёта электровзрывных цепей удобнее применять второй метод.
Эквивалентная электрическая схема электровзрывной цепи в общем случае может быть представлена лестничной цепью (рис. 1).
Такой цепью можно представить электровзрывную цепь, как при последовательном, так и при параллельном и смешанном соединении электродетонаторов (ЭД).
При последовательном соединении ЭД сопротивления Хх, Хъ, Хъ имитируют сопротивления ЭД или однотипных групп ЭД и соединительных проводов, а сопротивления Х2, Х^, Х6 - сопротивления утечек (обусловленные, в частности, несовершенством изоляции скруток), Х0 - внутреннее сопротивление источника ЭДС.
При параллельном соединении Хх, Хъ, Х5 имитируют сопротивления соединительных проводов, а Х2, Х^, Х6 - сопротивления ЭД.
В общем случае необходимо учитывать как активную, так и реактивную составляющую отдельных звеньев электровзрывной цепи, поэтому сопротивление Х можно считать или комплексным, или обобщённым комплексным сопротивле-
нием; при расчёте переходного процесса сопротивление Х будет операторным сопротивлением. В частном случае сопротивление может быть ре-зистивным.
Методика применения графов к расчёту электровзрывных сетей не зависит от формального содержания сопротивления Х .
Для описания электрического состояния схемы на рисунке можно применить, например, метод контурных токов. Уравнения, составленные по методу контурных токов, в матричной форме будут иметь вид:
+ 2, + 2,
+2,
-2,
0...0 0...0 0...0
-7 7 +7
еых
V ~Е '
0
1 0
К Е„
Л. 0
(1)
Уменьшения числа контуров и, соответ-
2
О
о
0
0
о
0
ш
ственно, уравнений для сложной цепи можно достичь, объединяя несколько проводимостей утечек в одну эквивалентную.
Для построения нормализованного направленного графа выразим соответствующие токи в явном виде:
Ё 7,
7+7+7 7
- ^ + 72 7,
■Л;
74 + 75 + 76
- + Д
22ЛГ + 22ДГ+1 + 72ДГ+2
'74 +75 +76~
- + /„
22Лг + 72ДГ+1 + 72ДГ+2
7 +7
т еыл-
На основе системы уравнений (2) строим граф (рис. 2).
На рис.
7
7 ИГ
2:
7 2
7 4
7 +7
—2Ы ^ в,
- передачи ветвей обратной связи
(3)
А
Граф анализируемой электровзрывной цепи содержит только один прямой путь и не содержит контуров, не касающихся этого пути, следовательно:
7
—2Ы
2а + 2, + 26
72ЛГ + 72ЛГ+1 + 72ЛГ+2
(4)
7
—2Ы
^.2 N + 7вы.т
Определитель графа находится обычным способом:
Д = 1- +£3+...+£ЛГ_1 +
А А + А-А+ ••• — X А,АА>
где ^ - величина соответствующей петли обратной связи;
7 7
г, ^-I
ь2=-
и т. д.
графа. При этом истоком является ЭДС Ё , стоком - ток 4.
Передачи ветвей графа изображены на рис. 2. Общую передачу графа (отношение выходной величины к входной) найдём по формуле Мэзона:
ЁАА _ _
Предварительный анализ состава определителя показывает всё уменьшающееся влияние слагаемых с повышением их порядка, т. е. с ростом числа их сомножителей.
Авторами были проведены расчёты определителя 10-го порядка по формуле (1) для схемы, представленной на рис. 1, с параметрами: = 5 Ом, сопротивлением в продольном плече 7 = 3 Ом и сопротивлением поперечного плеча 2 = 1000 Ом при числе контуров N = 10, которые показали, что если последовательно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими произведения трёх и более петель обратной связи, то ошибка в вычислении определителя составит не более 2,5 %, что согласуется с ожидаемыми результатами [1].
1
7
7
4
7
7
7
з
Т а б л и ц а 1
Распределение точности вычисления в зависимости от количества учитываемых слагаемых_
Число исключённых слагаемых 0 (исходная формула) 3 5 7
Коэффициент передачи схемы по току, Т 0,87874 0,87044 0,86307 0,85956
Коэффициент передачи схемы по напряжению, Ти 0,09521 0,09418 0,09338 0,09300
Расхождение в %о 0 % 0,86 % 1,7 % 2,1 %
Результаты расчётов можно представить в виде табл. 1.
Таким образом, для более точных инженерных расчётов можно рекомендовать уточнённую формулу для определения передачи Т :
Т = -
Р\
, (6)
1- + L1L3+L1L1+■■■ + L^Lм+■
ДлЯ определения передачи графа (рис. 2) можно воспользоваться методом упрощения, однако применение правил упрощения ко всему графу приводит к громоздким операциям. Непосредственное вычисление передачи по формуле Мэзо-на значительно рациональнее.
Для определения тока на входе цепи вычис-лнм передачу, создав новый искусственный сток
к--
р
т; =—=
- Е
А
(7)
Ток /0 определяется по формуле
Ё
/0 = Т2Е = /0, а входное сопротивление Ъвх = — .
Формулы (3) и (7) отличаются только числителями. В соответствии с графом рис. 2 имеем:
=
г.
г0 I \ I
Л;
л1 =1 - IX + X 1м1ы * - Е
Знак (*) означает, что контуры Ьк, и т. д. не касаются друг друга.
На основе анализа влияния различных слагаемых на величину передачи получены упрощённые формулы для определения /0 и ^ :
А+4+4+-+^-! 4А/ *] -(8) А + а + А +...+¿д , ^ + ^ Ьм Ьм J
[1- А+А+А+-+Ау-1 +Е АЛ/ ]. (9)
-
1 - А + А +4 + -+Ач + X 1м1м Рассмотрим случай питания цепи источником тока. В этом случай граф электровзрывной цепи будет иметь вид, представленный на рис. 3.
Если электровзрывная цепь питается от источника тока, то исходные уравнения и граф цепи несколько изменяются. Как и в предыдущем случае, основой построения нормализованного графа будет система (2), однако в ней первое уравнение должно быть заменено равенством /0 = I, где I -ток источника тока (рис. 3). Теперь источником графа является узел I.
Расположение стока будет определяться целями расчёта. При определении коэффициента передачи по току к для ЭД, обтекаемого наименьшим током, сток будет расположен так, как показано на рис. 3 пунктиром.
Как и в предыдущем случае, между истоком и стоком имеется только один прямой путь. Его величина определяется формулой (4), в которой первый множитель равен единице.
■ 0 1 -1 2 А N-1
Рис. 3. Граф для случая электропитания электровзрывной цепи от источника тока
ш
Определитель графа находится по формуле (5), в которой отсутствует контур обратной связи Ц . В остальном формулы (4) и (5) как при определении Т, так и при определении Т2 остаются идентичными [3].
Рассмотрим случай, когда электровзрывная цепь расположена в зоне распространения блуждающих токов и, следовательно, когда возможно воздействие на неё сторонних источников энергии. В зависимости от условий взаимодействия сторонний источник энергии может быть источником тока или источником ЭДС. Будем для определённости считать его источником тока и отнесём его к к -му узлу графа (рис. 4).
В этом случае можно воспользоваться методом наложения, рассчитывая передачи от отдельных источников, однако лучше воспользоваться искусственным объединением нескольких источников в один с соответствующей передачей к (рис. 4).
Вычисления по выведенным формулам можно реализовать как на ЭВМ, так и используя настольные вычислительные устройства. Рассмотрим пример расчёта электровзрывной цепи (рис. 5) методом сигнальных графов.
Рассмотрим резистивную четырёхконтур-ную электровзрывную цепь (рис. 1) с параметрами: внутреннее сопротивление взрывного прибора: = 5 Ом, сопротивление ЭД с выводными проводами: 2^=2ъ=25=2вь1х=Ъ0ж, эквивалентное сопротивление утечки: Z2 = Z4 = Z6 =1000 Ом.
Граф для определения передачи по току рас-
сматриваемой резистивной электровзрывной цепи имеет вид, представленный на рис. 5. Определим вес каждой передачи:
1
а=-
Z0 I ^^\ I 2
, Ъ=-
z„
2 I з I
■■> с = ■
Z,
d = -
Z«
Zft+Z
о ei
Z,
Zq I ^
, 8 =
Z4+Z5+Z6
Z4
I ^ I ^
m = -
Ток на выходе цепи определяется по формуле (3), где в нашем случае
, \-a-b-c-d Т =-—-;-—, откуда /гз
-Е-Т .
1 - bf + cg + dn + bfdn
Ток на входе цепи также определяется по формуле (3), где в данном случае
и 1 • а 1 - cd + dm ц
Т" =-, откуда 1ех=Е-Т .
1- bf + cg + dn +b fdn
Окончательно формула Мэзона для рассматриваемого случая будет иметь вид: 1-a-b-c-d
L,
Т = -
1 - bf + cg + dn + bfdn
bcd
(11)
1ех 1 • а 1 - cd + dm 1 - cd + dm
1 - bf + cg + dn + bfdn Подставив искомые численные данные в формулу (11), получим коэффициент передачи по току: 7} =0,97. Проверка полученного результата другими способами расчёта подтвердила правильность предложенной методики.
Определим передачу схемы по напряжению. При этом вершинами графа будут служить
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
узловые напряжения, а весами передач - проводимости. Сам граф электровзрывной цепи в данном случае будет иметь вид (рис. 6).
Веса передач графа будут равны:
к к к к к
А.1 --, /V-, --, А. о --. Д.1 --А. г- — .
1 /О 7 ^ /О 7 ^ /О 7 Ч /О /О
Цц ^22 Ц33 Ц22 Ц11
где С/, =
1
= —. С, = —. С, =-
1 1
2,
2
вг
1 1 1
н---1--, 0^=--1---1--
20 + 21 23 22
2^ 2^ 24
=--1---1--.
2
2„
вых 6
Тогда передача по напряжению:
кхк2къ
Т =-
1 к5
(12)
После подстановки известных значений проводимостей ветвей схемы, получаем передачу схемы по напряжению Ти = 0,175 .
Ниже приведены графики зависимости передачи по току и передачи по напряжению (рис. 7) для лестничной схемы с сопротивлением продоль-
ного плеча 2 = 3 Ом и поперечного плеча 2 = 1000 Ом, в зависимости от числа контуров схемы.
Рассмотрим зависимость импульса тока от числа контуров схемы при инициировании электровзрывной цепи конденсаторным взрывным прибором синусоидального переменного тока.
При моделировании и анализе электровзрывной цепи основной задачей является исследование распределения токов и импульсов токов в цепи.
Исследуя эти зависимости, можно оценить количество сработавших электродетонаторов в цепи, что является основным результатом при инициировании.
Основной энергетической характеристикой при инициировании является импульс тока К:
г
К = .
о
Рассмотрим два основных типа воздействия на электровзрывную цепь (в соответствии с типами применяемых взрывных приборов): постоянное напряжение и разряд конденсаторного взрывного
1
к 5 к_(
Рис. 6. Сигнальный граф электровзрывной цепи для расчёта передачи по напряжению
ш
прибора.
При воздействии на электровзрывную цепь постоянного напряжения и, реактивные составляющие цепи можно не учитывать; тогда ток на входе цепи будет пропорционален входной проводимости.
При действии постоянного напряжения импульс тока на входе цепи:
К = Г-г,
где 7 - время протекания тока в цепи, с.
Импульс тока Кп в «п»-й ветви электровзрывной цепи:
где Т - коэффициент передачи по току в «п»-й ветви электровзрывной цепи.
Для рассматриваемой нами электровзрывной цепи (рис. 1) можно построить семейство графиков импульсов тока, полученных электродетонаторами схемы в зависимости от числа контуров цепи и коэффициента передачи схемы.
Графически данные зависимости приведены на рис. 8.
На рис. 8 кривой 1 соответствует число контуров Ы = 30, кривой 2 - N = 40, кривой 3 -N = 50. При этом график линии 4 соответствует импульсу тока К = 1,2-10~° А2-с [2], гарантирующему инициирование электродетонатора, получившего данный импульс. Другими словами, область импульсов тока, лежащая над графиком 4, -зона срабатывания электродетонаторов, область ниже графика 4 - зона отказов: если число контуров N таково, что соответствующий им график импульса тока за время инициирования электро-
взрывной цепи 7 = 0,001 с пересёк кривую 4, то процесс инициирования электровзрывной цепи удачно завершён, если же график импульса тока за время 7 = 0,001 с не достиг кривой 4 - процесс инициирования завершён неуспешно.
При разряде конденсатора на электровзрывную цепь (конденсаторные взрывные приборы) ток на входе цепи определяется выражением:
и -Я
где и - напряжение на конденсаторе-накопителе, В;
С - ёмкость конденсатора-накопителя, Ф;
Я - входное сопротивление электровзрывной цепи.
Импульс тока Кпс, который получит электродетонатор в «п»-й ветви электровзрывной цепи за промежуток времени от нуля до 7:
-ТТ-Г* __*_
К = (\-е~яс).
2Я
Графически распределение импульса тока при различных значениях коэффициента передачи и, соответственно, числа контуров А, можно представить в виде семейства кривых, изображённых на рис. 9.
Расчёты выполнены для исходных данных конденсаторного прибора взрывания и = 600 В, С = 9-10-6 Ф [4].
На рис. 9 кривой 1 соответствует число контуров А^ = 30, кривой 2 - А^ = 40 , кривой 3 -N = 50. При этом график линии 4, как и в случае инициирования электровзрывной цепи постоянным током, соответствует импульсу тока
4,С душ '
Рис. 9. Зависимости импульса тока, получаемого электродетонаторами схемы при инициировании конденсаторным взрывным прибором
К = \,2Л(ТЪ А2-с.
При этом подробный расчёт показывает, что максимальное число контуров, при всех вышеупомянутых параметрах, при инициировании постоянным током: N = 46; при использовании конденсаторного взрывного прибора: N = 42 .
Подводя итоги, можно отметить, что значение коэффициента передачи по току Т и входного сопротивления ^ необходимо учитывать при проектировании САПР взрывания, создании новых взрывных приборов, при ведении электровзрывных работ в соответствии с условиями современного горного предприятия.
Предложенная методика позволяет относительно просто производить расчёт сложной электровзрывной цепи с учётом основных электрических связей между её элементами. Эти расчёты важны как на стадии проектирования приборов взрывания, так и во многих случаях непосредственно на горных предприятиях при одновременном инициировании большого количества ЭД.
Выведенные математические зависимости позволяют эффективно применить теорию сигнальных графов к электровзрывным цепям, установить оптимальный тип взрывного прибора для конкретного соединения электровзрывной цепи, токораспределение в электровзрывных цепях при различных типах воздействия, определить импульсы токов, которые получают электродетонаторы, оценить количество электродетонаторов, которые получают достаточный для инициирования импульс.
Зная распределение электродетонаторов по импульсам воспламенения, можно определить число отказавших и сработавших электродетонаторов, установить с определённой степенью надёжности число отказов в электровзрывной цепи, что очень важно с практической точки зрения.
Анализ электрических процессов в электровзрывной цепи позволит определить параметры оптимальной электромагнитной совместимости в системе электрического инициирования зарядов, установить параметры взрывных приборов, необходимые для надёжного инициирования электродетонаторов различного типа.
Использование результатов расчётов позволит более качественно проводить инициирование ЭД, повысить безопасность и надёжность электровзрывных работ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кормен Т. М. Алгоритмы для работы с графами Ч. VI // Алгоритмы: построение и анализ. М. : Вильямс, 2006.
2. Лурье А. И. Электрическое взрывание зарядов // М. : Недра 1973. С. 273.
3. Основы теории электровзрывания : монография / Ю. С. Петров. Владикавказ : Терек, 1998.
4. Справочник по электрическому взрыванию зарядов взрывчатых веществ / М. М. Граевский. М : Рандеву-АМ, 2000.
