CC BY
11
tion of the considered vehicles on the territory of the Russian Federation are described. The prospects for the development of domestic motor vehicles are given.
Key words: small-sized vehicles, motor vehicles, import substitution, modularity.
Podkolzin Pavel Sergeevich, student, pavel2001sergeevich@;yandex. ru, Russia, Tula, Tula State
University
УДК 004.032.26
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-47-52
ПРИМЕНЕНИЕ СЕТЕЙ РАДИАЛЬНО-БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ В БЕСПОИСКОВЫХ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Н.А. Беззубов, C.B. Феофилов
В статье рассматриваются виды структур беспоисковых адаптивных систем управления с использованием нейронных сетей радиально-базисных функций, обучаемых по методу градиентного спуска. Представлено математическое описание нейросетевой адаптивной системы самонастройки с эталонной моделью и адаптивной системы с идентификатором на базе радиально-базисных нейронных сетей. Приведены примеры моделирования каждой структуры.
Ключевые слова: нейросетевое управление, градиентный спуск, адаптивное управление, самонастраивающаяся система, управление с эталонной моделью, сети радиально-базисных функций.
С момента появления в 1940-х годах идеи о вычислительных возможностях сетей, состоящих из простых моделей нейронов, нейросетевые методы претерпели значительные изменения и успешно применяются во многих инженерно-технических направлениях [1]. Основным преимуществом нейронных сетей, обуславливающим их активное исследование в части создания систем нейроуправления, является способность адаптироваться к изменению свойств объекта управления и внешней среды [2].
Во многих реальных технических системах существуют нелинейности, немоделируемая динамика, не поддающийся измерению шум, многоконтурность и другие явления, создающие трудности при синтезе регулятора динамической системы. Классическая и современная теория автоматического управления, включающая в себя методы адаптивного и оптимального управления, предполагает заранее определенную математическую модель управляемой системы, что как правило на практике невозможно в силу вышеперечисленного. Адаптивность нейросетевых структур позволяет корректировать в реальном времени функцию управления при неконтролируемых изменениях статических и динамических характеристик объекта, используя текущую измерительную информацию в системе.
Рассмотрим два вида беспоисковых систем адаптивного управления динамическим объектом с применением нейронных сетей радиально-базисных функций.
Типы адаптивных систем управления. Адаптивные системы управления включают в себя объект, регулятор и адаптор. Объект и регулятор, вырабатывающий управляющее воздействие на объект, образуют основной контур. Регулятор содержит варьируемые параметры. Адаптор на основе обработки доступной ему информации вырабатывает управляющий сигнал, производящий поднастройку варьируемых параметров. Регулятор совместно с адаптером образуют адаптивный регулятор. Адаптор выполняет две функции: изучение объекта и настройку регулятора [3].
Адаптивные системы делятся на самоорганизующиеся (системы с переменной структурой регулятора) и самонастраивающиеся системы (СНС). СНС бывают поисковые (системы, использующие специальные поисковые сигналы для поиска решения) и беспоисковые. Беспоисковые СНС в свою очередь делятся на системы с эталонной моделью, содержащие в своем составе в том или ином виде математическую модель с эталонными характеристиками и системы с идентификатором, содержащие в своем составе идентификатор для построения математической модели объекта управления в реальном времени.
Сети радиально-базисных функций. Нейронные сети радиально-базисных функций (Radial Basis Function Neural Network - RBFNN) были впервые предложены в работе [4]. Свое название сети получили из-за отличительной особенности в виде использования в качестве функций активации нейронов радиально-базисных функций вместо S-образных функций (гиперболический тангенс, сигмоида).
Классическим вариантом радиально-базисной функции является функция Гаусса:
2
x - cj
hj = exp(--2—), j=1,2,..., m'
j Tb)
где х = [х1,...,хп]т - вектор входа, с- = [1ср,...,с-п]т - вектор центра активационной функции нейрона, Ь- = [Ь-1,.,Ь]п]т - среднеквадратичное отклонение, характеризующее ширину радиально-базисной функции, значение веса у = [у1,...ут]т.
Сеть радиальных базисных функций (РБФ) содержит в наиболее простой форме три слоя: входной слой, выполняющий распределение данных образца для первого слоя весов; слой скрытых нейронов с радиально-симметричной активационной функцией, выходной слой (рис. 1).
Рис. 1. Структура сети радиально-базисных функций
Нейроуправление СНС с эталонной моделью на базе сетей РБФ. В системах нейроуправле-ния с эталонной моделью динамической системы осуществляется обучения прямого нейроэмулятора по методу градиентного спуска (рис. 5).
У«{Ь
Эталон нпя модель у-(к)
у
1 е<к), Нейронная ешь иЩ Объект У(к) ,
* РБФ (КВРШ) управления
Рис. 5. Структура адаптивной нейросетевой системы управления с эталонной моделью Выходной сигнал эталонной модели - ут(к), тогда ошибка слежения:
е(к) = Ут (к) " У (к).
Функция ошибки аппроксимации:
Е (к ) = 2 ес2(к ).
Выход нейрорегулятора на базе сетей РБФ:
и(к) = + ^¿2 + ••• + уткт , где т - количество нейронов в скрытом слое, у- - значение веса]-го нейрона, к- - вектор выхода функции Гаусса.
По методу градиентного спуска определяются значения весовых коэффициентов сети радиаль-но-базисных функций:
Ау] (к) = - г—= /• ес(к) • ду(к)• к , у](к) = у-(к -1) + Ау-(к) + аАу -(к):
у ду- ди(к) у
где п £ [0, 1], а £ [0, 1] - коэффициенты скорости обучения.
Теперь можем определить параметры радиально-базисных функций:
дЕ
ду (к) ди (к)
ду(к)
-у Iк,
ди(к) ] ]
Ь, (к) = Ь, (к -1) + г/АЬ, (к) + а(Ь,- (к -1) - Ь, (к - 2)),
АЬ- (к) =- г-=г • ес(к) —— = / • ес(к) • у к
у дЬ ^ " 4
X - С;
]
ди(к) дЬ
]
2
Л dE dy (k ) du (k ) dy (k ) * - cij
Ac j (k ) = - r-=r • ec(k ) • —— = r • ec(k ) • ' w ,-h,- - J
de/,
J J
b2
„У ды (к) доу ды (к)
си(к) = си(к -1 + ТАси(к) + а(си(к -1- си(к - 2)) •
Проведем моделирование системы с рассмотренной структурой и объектом управления, который описывается разностным уравнением:
) = ы(к -1) - 0,8у(к -1) 1 + у(к -1)2
Период дискретизации т = 1 мс. Сигнал на выходе эталонной модели: ут = 0,5ут (к -1) + уЛ (к), где уЛ (к) = 0,5зт(2^к) - входной сигнал. Примем у^(к), е(к), ы(к) в качестве входов сети РБФ и установим коэффициент скорости обучения ] = 0,35, момент обучения а = 0,05. Параметры радиально ба-"-3 -2 -112 3" -3 -2 -112 3
зисных функций: c =
b = [2 2 2 2 2 2] .
-3 -2 -112 3 Результат моделирования показан на рис. 6.
Сигнал на выходе эталонной модели Сигнал на выходе нейросегевой модели
Рис. 6. Работа адаптивной системы при синусоидальном входном сигнале и сигнал управления
Адаптивная система с идентификатором на базе сетей РБФ. Рассмотрим следующую дискретную систему:
y(k +1) = g[ y(k )] + v[ y(k )]u (k ), где y(k), u(k) - выходной и входной сигналы соответственно.
Примемyd(k) как желаемый сигнал по координате. Если функции g[y(k)] и ç[y(k)] известны, тогда сигнал управления самонастраивающейся системы:
u(k) -g[y(k)]+yd (k+1) ямт vyrn
Рассмотрим вариант, когда функции g[y(k)] и q[y(k)] не определены заранее. Для их идентификации можно использовать нейронные сети РБФ. Запишем закон управления следующим образом
u(k ) =-ш+,
V] V]
где g[.] и ф[.] - неизвестные функции. Их динамику ожидается получить на выходе идентифицирующей сети РБФ (рис. 7).
Принимая во внимание формулу (1) определим векторы весов радиально-базисных функций для идентификации g[.] и ф[.].
W = [w„..., wm]T, V = [v„...,vm]T, тогда выходы сетей радиально-базисной функции, соответствующих идентифицируемым функциям g[.]
и ф[\:
g(k) = ¿1 + ... к]у]... + ктут , Ф(к) = к1У1 + ... к V ... + ктУт
где т - количество нейронов скрытого слоя.
у-(к)
уЛ)
Идентификатор
«и
РеГЛ'ЛЯТОр
и(к)
Объект управления
у(к)
е(к)
Рис. 7. Структура адаптивной системы с идентификатором на базе сетей РБФ
Выход с идентификатора на базе сетей РБФ:
Ут (к) = g[y (к -1); Ж (к)] + <р[у (к -1); V(к)]и (к -1). Сигнал рассогласования для обучения сети РБФ:
е(к) = |( у(к) - ут (к ))2.
По методу градиентного спуска определяются значения весовых коэффициентов сети радиаль-но-базисных функций:
Ау- (к) =-/1 д®:=Г1 •( У(к) - Ут (к)) • к- (к), ^ ду- (к) ^
АУ] (к) = - /2 д^Т=Г2 • (У(к) - Ут (к)) • к- (к) • и(к -1),
-1 ду- (к) -1
Ж (к) =Ж (к -1) + АЖ (к) + а(Ж (к -1) - Ж (к - 2)), V(к) = V(к -1) + АV(к) + а(у(к -1) - V(к - 2)). Проведем моделирование системы с рассмотренной структурой и объектом управления, заданным в дискретной форме:
У(к) = g[ У(к)] + <р[ У(к )]и(к -1), где g[ У (к)] = 0^т(У(к-1)) и ф[У(к)] = 15. Входной сигнал: Уа (/) = зт(0.1^к). Структура сети ради-ально-базисной функции: 1-6-1. Параметры радиально базисных функций: Ж = [0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5]т, V = [0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5]т,
с. =[0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5]т, Ь = [5 5 5 5 5 5]т. Примем следующие коэффициенты скорости обучения: / = 0,15, г2 = 0,5, и момент а = 0,05.
Результаты моделирования представлены на рис. 8-10.
| 1 1 1 Отработка сигнала исходным объектом .....'Отработка сигнала нейросетевой моделью
1
^ о
10
20
30
40
50 I
60
70
КО
90
100
Рис. 8. Отработка сигнала нейросетевой моделью
50
1.5
: 1 1 Сигнал функции g .....Нейросетевая идентификация функции g
!
51) t
Рис. 9. Идентификация функции
16
•f
10
-i s
Сигнал функции f - Нсйроссгсвая идентификация функции f
50
t
Рис. 10. Идентификация функции/[.]
Заключение. Проведённое моделирование подтверждает возможность применения сетей ради-ально-базисных функций в структурах самонастраивающихся систем адаптивного нейросетевого управления, в том числе в системах с неопределенными параметрами. Для обучения идентифицирующих сетей РБФ был применен метод обратного распространения ошибки.
Реализованный в программном комплексе алгоритм обучения нейросетевой модели обеспечивает быструю сходимость и высокую точность совпадения с динамическим процессом исходного объекта управления.
Список литературы
1. McCulloch W.S., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity. Bull. Math. Biophys. 5, 1943. P. 115-133.
2. Hunt K.J., Sbarbaro D., Zbikowski R., Gawthrop P.J. Neural networks for control system-a survey. Automatica, 1992. 28(6). P. 1083-1112.
3. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие. М.: ФИЗМАЛИТ, 2004. 464 с.
4. Broomhead D.S., Lowe D. Multivariable functional interpolation and adaptive networks // Complex Systems. 1988. N 2. P. 321-355.
5. Liu J. Intelligent control design and MATLAB simulation: Tsinghua University Press, Beijing and Springer Nature Singapore Pte Ltd. 2018.
Беззубое Никита Андреевич, аспирант, nikobezzubov@smail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, профессор, svfeofilov@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
APPLICA TION OF RADIAL-BASIS FUNCTION NETWORKS IN SELF-ADJUST ADAPTIVE SYSTEMS
N.A. Bezzubov, S.V. Feofilov
The article discusses the types of structures of self-adjust adaptive control systems using neural networks of radial-basis functions trained by the gradient descent method. A mathematical description of a neural network adaptive self-tuning system with a reference model and an adaptive system with an identifier based on radial-basis neural networks is presented. Modeling examples of each structure are given.
Key words: neural network control, gradient descent rule, adaptive control, self-adjust system, model reference control, radial basis function neural network.
Bezzubov Nikita Andreevich, postgraduate, nikobezzubov@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,
Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, svfeofilov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 531.383
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-52-55
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КУРСОВОГО ГИРОСКОПА
Е.С. Козлова
Приводится система дифференциальных уравнений курсового гироскопа, в которой в качестве переменных использованы малые углы, характеризующие динамическую погрешность гироскопа. Эта система уравнений определяет поведение курсового гироскопа, установленного на подвижные объекты, чья пространственная ориентация в базовой системе координат определяется конечными углами, а его маневр осуществляется с угловыми скоростями, на значения которых ограничения не накладываются.
Ключевые слова: курсовой гироскоп, технические уравнения гироскопа, метод Кудревича, динамическая погрешность гироскопических приборов, высокоманевренный объект.
В технических уравнениях, применяемых для анализа работы различных гироскопических приборов, в качестве переменных используются относительные углы [1,2,3]. Поскольку эти уравнения являются уравнениями малого порядка значения относительных углов также являются малыми и, к тому же, представляют собой алгебраическую сумму углов отклонения объекта и углов, определяющих динамическую погрешностьгироприбора. Указанное обстоятельство накладывает ограничения на использование таких технических уравнений при анализе работы курсовых гироскопов, устанавливаемых на объекты, пространственная ориентация которых в базовой системе координат определяется конечными углами, (например, курсом), а маневр происходит с большими угловыми скоростями. В связи с этим назовем такие летательные аппараты высокоманевренными объектами (ВМО).
В связи вышеотмеченным возникает задача получения математической модели курсового гироскопа (КГ), в которой учитывались бы условия полета ВМО и в качестве переменных были использованы углы, характеризующие динамическую погрешность такого прибора.
Для измерения курса КГ устанавливается на объект таким образом, что его главная ось, реализующая на борту опорное направление (отклонена от полуденной линии на 900[1,2]), совпадает с бинормалью объекта, наружная ось подвеса направлена по нормали, а внутренняя параллельна продольной оси ЛА. Таким образом, оси подвеса КГ при неподвижном ВМО совпадают с осями связанной системы координат.
Ориентацию ВМОв полете относительно базовой системы координат (это могут быть
оси Дарбу) определим формулами
y/(t) = Ц0t + ц sin q-\t; 9(t) = 90t + $0 sin f(t) = 7 + Y0 sin #3¿. (1)
Здесь обозначено: Ц0, 90, f0-угловые скорости маневра; ц/q,q^, <0, #2 ? 70, - соответственно амплитуды и частоты колебаний ВМО по курсу, тангажу и крену.
Естественно, что гироскоп выдает опорное направление с погрешностью, оцениваемой малыми углами s, 5, в результате чего по осям опорной системы координатпоявляются проекции кинетического
момента гироскопа (рис. 1, а):
