ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ К ФУНКЦИЯМ, ЗАДАННЫМ НА ОТРЕЗКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ К ФУНКЦИЯМ, ЗАДАННЫМ НА ОТРЕЗКЕ

Е.А. Подковалихина, канд. физ.-мат. наук, доцент, Запорожский национальный технический университет,

г. Запорожье, УКРАИНА, И.Г. Величко, канд. физ.-мат. наук, доцент, Запорожский национальный университет,

г. Запорожье, УКРАИНА

Продемонстровано можливгсть розв 'язку крайових задач для звичайних диференцтних р1внянь за допомогою ¡нтегрального перетворення Фур 'е, яке зазвичай використовуеться дляр1внянь, в яких незалежна змтна пробггае всю числову пряму.

Ключовi слова: Iнтегральне перетворення Фур 'е, диференцшне р1вняння, крайова задача, фттна функщя, скачок функци.

Постановка проблемы. Изучение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных уравнений в частных производных является частью фундаментальной подготовки студентов математических и инженерных специальностей. Интегральное преобразование Фурье обычно применяют в случае, когда аргумент функции пробегает всю числовую прямую и функция на бесконечности достаточно быстро стремится к нулю. В случае, когда функция задана на отрезке, для решения задачи применяют разложение функции в ряд Фурье, что позволяет получить решение в виде рядов. Применение к таким задачам интегрального преобразования Фурье (с заменой функции, заданной на отрезке, финитной функцией, заданной на всей числовой прямой) позволит получить решение в виде интегралов, что в некоторых случаях оказывается более удобным. В случае интегрального представления решения можно исследовать различные асимптотики, а найти значение решения в определенной точке можно двумя способами: 1) вычислить интеграл аналитически; 2) при помощи математических пакетов, область

применения которых в последнее время активно расширяется [1].

Способ решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных при помощи интегрального преобразования Фурье можно рекомендовать как часть следующих курсов: численные методы, уравнения математической физики, дифференциальные уравнения. При изучении этого способа студенты ознакомятся с интегральным преобразованием Фурье, научиться применять прямое и обратное преобразования на практике и обратят внимание на суть преобразования.

Обзор результатов и публикаций. За последнее время широкое распространение получили методы, связанные с использованием интегральных преобразований. Эти методы были успешно применены к решению дифференциальных и интегральных уравнений, вычислению интегралов и т.д.

Преобразование Фурье играет важную роль при решении широкого класса задач, например, краевые задачи для уравнения Лапласа, Гельмгольца и Фурье в области, имеющей вид бесконечной полосы и по-

© РоакоуаИЫпа е., УеИеИко I.

луполосы, бесконечного цилиндра и полуцилиндра и т.д. Применение преобразования к некоторым классам задач (задача гидродинамики, задача теплопроводности, вычисление некоторых интегралов, задача

0 колебании бесконечной струны и т.д.) рассмотрено в ряде книг, например, [2-4]. Возникает вопрос, можно ли применять преобразование Фурье для функции, определенной на отрезке?

Цель статьи: обосновать и привести примеры применения преобразования Фурье для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основной материал. Пусть функция

1 (х) абсолютно интегрируема на прямой, т.е. I(х)е Ь1 (Я)

Ч < ~.

Л I (Ч )&

В литературе приведены шесть видов формул интегрального преобразования Фурье [2]. Приведем формулы прямого и обратного преобразования Фурье, которые

будем использовать в данной статье:

_

I (* ) = Л I (Ч У ,

—оо л +оо

I(х) = — Л I у -.

—оо

Пусть задана краевая задача для дифференциального уравнения на отрезке [а, Ь]. Тогда неизвестную функцию I (х) продолжим на всю числовую прямую, доопределив таким образом: I(х) = 0 при х £ [а, Ь]. Поскольку функция является непрерывной, дифференцируемой и абсолютно интегрируемой, то можно применить к обеим частям заданного дифференциального уравнения интегральное преобразование Фурье. Тогда

__Ь

I*) = ЛI(х= ЛI(ху*&х,

а Ь

г (х)=ЛI'(х ух&х=ЛI (х =

и = е

&и = ¡%в

* х

I (х )е

= I' ( х ) &х V = I (х)

Ь _

XI (х У^&х = #-XI (X),

где ¥ = У(х )у

г*х

(1)

т°° и

7ц) = ЛI (х)у*х&х=ЛI (хух&=

и = У

*х

* х

&и = *У = I' ( х ) &х V = I (х)

I ( х ) в'Хх\а -X ЛI ( х )У* х&х:

= ¥ 1 ю-ж

где Ы' = I '(хУ *

Если функция является дифференцируемой на всей числовой прямой, имеет

место формула:

_ _

I '*)= ЛI' (х уь&х = -гЦ *).

—оо

Обратим внимание, что в случае, когда функция задана на отрезке, появляется дополнительное слагаемое А! в формуле (1). Аналогично для производных более высокого порядка.

Рассмотрим в качестве примеров следующие задачи из сборника [5].

№ 751. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным краевым условиям:

У" - У = 2х, (2)

у(0) = 0, у(1) = -1.

Применим интегральное преобразование Фурье к уравнению (2): 2 у-г'^Ау + Ау' = у =

(

■■ 2еи

1

__

1+7

л

(3)

где Ау = у(хУ11 = у(1У - y(0) = -eг1,

Ду' = у ' (х у* Ю = у (1У- у (0). Введем обозначения: В0 = у '(0),

а

Ь

а

а

Ь

а

Ь

а

а

B1 = y '(l). С учетом обозначений выразим y из уравнения (3):

— iX x B1 x B0 y = —ex +—Цт ex--+

l+x l+f l+f

+

2i

2

-ex +-

2

(1+х2 (1(1+Х2 К2'

Применив обратное преобразование Фурье, получим решение уравнения (2):

У = — ех +

2яЦ 1 + £2

1 +00 л

2р J1+г2 ее

1 в

2p_{ 1 )2 2i

+

-t

— f-2р Ml

eiXe-*xd£-

2P_i(l + X2 )

- ^ f Отг J

ex e~)xd% +

2p_i(l + ))2

+

1

— f — 2p J„(l-

e-)xd%. (4)

2p£(l + )2)2

Значение решения (4), если известны значения B0, Bl, в конкретной точке можно найти при помощи математических пакетов, например, Maple.

Интегралы в (4) можно посчитать аналитически. Рассмотрим проделанные преобразования для пятого и шестого слагаемых:

1 +=*= — f-

2p Ml

2

ex e^xd%-

2p£(l + ))2

1 +=*=

— f-2p Ml

2P_i(l + )2)

l +Г e)(l~x) - e~)x

e )xd% =

p

fe

L (l

(l+)2)2

= 2 7 cos ()(l - x))-cos ) x )d = P f ^ - ^ - dx =

p

4 p

(l+) )2

sin i-

■JXL

Л

sin I ) I x -

2

(l+X2)2

'-d) l

x — -

2

4 . f l YT ЧС sin(X

Для дальнейшего преобразования слагаемых воспользуемся тождеством, полученным при помощи математического пакета Maple l3:

"sin ax sin bx , p

г sin ax sin

f0 (l + x2 )x2 4

dx = -p[2aH (- a + b)- e " a+b + e "a+bH (■

0.

-a

+ b)-ea~ bH (- a + b)+ 2b - 2bH (- a + b) + e "a"b ],(5) x < 0,

где a > 0, b > 0, H (x) = <!' - функция Хевисайда.

Тогда

4 . f lVf8infSsinf)

+ e

Ml

—+ x-- f l

2 2l "I l

HI - 2 +

0 l

x--

2

d) = sign | x - —

i\/ l l

hi —+ x -

_ I 2 2

M l

—+ x— 2 2 - e 2 2 +

-e

Ml — x— f l 2 2l "I l

HI - 2 +

l 1 + 2 l - 2 l h f - ^ + l 1 + e " 2 "Ix

x — x-- x — x -

2 ) 2 2 I 2 2 )

Аналогично преобразуем оставшиеся слагаемые в (4), рассматривая каждое по отдельности. Приведем тождества, использовавшиеся для преобразования [6]:

xsinmxdx = -e-ma, где a > 0, m > 0, (6) a 2 + x2 2

ll0

))

2

0

l

2

0

2

2

l

f

0

-dx = pe~ma, где a > 0, m > 0, (7) a 2 + x 2 2a

Sin mx dx = —(1 _ e-ma ),

x(a 2 + x 2)

2a2

где a > 0, m > 0, (8). Приведем окончательный результат:

T- i.4. e x e = sign(x -1)e

2— jL 1 + x

■\x-11

2

1 R

L f_®L_ e Xe~*dX =

-J 1 +x2

" 1" x D

e 1 B,

.1 f^ e Xe~lX*dX =

2-L 1+ X 2

I T1-*-1 — f-

2— J (1-

e

2i

-e Xe~Xxd% =

2-1(1 + X2 X

= sign (1 - x) (-1).

Следовательно, формула точного решения уравнения (2) имеет вид:

У = sign(x -1) — +

e 2 e 2_Bl "e 20 +sign(1"x)(e"|1_x|"1)_ sign{x ~ 2

i\/ 1 1

H\ — + x -

_ { 2 2

1 1

—+ x—

2 2

- e 2 2 +

+ e

11 —+ x— I 1

2 2 1

H 2

1

x — 2

- e

11

— x—I I 1

2 2 1

H 2

1 1 + 2 1 - 2 1 h f 1 1 + e " 2 "I'

x-- x — x-- x-

2 ) 2 2 { 2 + 2 )

. (9)

Определим B0, B1 из предположений: y(x) = 0 при x < 0 и x > 1:

х-1

3, B1 f B,

- + — - e 2 2

+1

f 1 , B1 1 B

I —0 _ 1

22

2

= 0.

= 0.

Решив полученную систему уравнений, получим:

B0 = .2

2e

- 2, B1 =

e 2 +1 e 2 -1

■2.

е~ -1

Подставим значения в (9), раскрыв модули с учетом х е (0, 1), получим решение уравнения (2):

У

„ shx „ x - 2 x =--2 x .

1 - е2 1 - е2 Решение уравнения (2), полученное при помощи интегрального преобразования Фурье, совпадает с точным решением.

№ 752. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным краевым условиям:

/Ч у' = 1, (10) у'(0) = 0, у(1) = 1. Применим интегральное преобразование к уравнению (10):

X2У-i&y + Ay' + Ay-XУ = ^т--1, (11)

X

1

X X

где

Ay = y(x)eiX |0 = y(1)ex - y(0) = ex- y(0),

Ay' = y'(x)eiX\0 = y'(1)eiX -y'(0) = y'(1)ex.

Введем обозначения: B0 = y(0), B1 = y'(1). С учетом обозначений выразим y из уравнения (11):

y = ■

- +

(B1 +1)

X2X+i) <*(<?+i) X(5+i)

— ex+ B0i _ B 0

!+г Х+г ¿;(Х+г)

Применив обратное преобразование Фурье, получим решение уравнения (10):

y

1+00

r i

f

-e~ Xxdf +

2-U 2(£ + i) +¥

+— f-Г71-reXe~Xxd£ +

+ _!_ +f (B +1) exe-&dX + +i)ee dX+

2-IX + i Ь In + i

f

2

0

f

0

2

2

—x

e

e

e

e

e

1 В

¡ТлЫ^ (12).

Слагаемые в решении (12) преобразовывались аналогично задаче №751 с учетом тождеств (5)-(8) (первое и второе слагаемые рассматривались совместно, остальные по отдельности). Приведем окончательный результат:

l

e~ )xd) +

1 +oo

+— f „2, i ^e'7e~*xd

2p jL X, + i) = - 2 sign (x )(l- e_l x)-1 sign (l- x )(l- e~+

2

+2sign f x - 2

H

— + 2

l

x--

2

l l

--+ x—

-e 2 1 2| +

И

1

- +

2

_ 1

2

H

1 1

f_l_e)e-&diX = e 1 +

2p{ £(£ + i) S 2

■he

+sign (l - x)

1

— f —i—ei)e~i^xd) =

2p_J) + i

l - e"

-sign (l-x)-

2

2

l , -| x| -| x|

2^ 7+7 = V + sign(x)"

—oo 7

2

2

2p))i+i)

sign ( x)

l - e"

2 х 7 2 Следовательно, формула точного решения уравнения (10) имеет вид:

Н

1 1 У* 1

—

2 Д 2 ) Д 2

1-x

2

-1-x

- 11-x

e

x

e

y = - 2 sign (x )(l-e"'x|)-2 sign (1- x )(l- eHH ) + 2 sign^ x~ 2)

H

— + 2

l

x — 2

--+ \x—I

-e21 2| +

/

+ e

l l

x— f l 2 2l "I l

Hi-^ +

l

x--

2

- e

l l

— x— f 1

2 2l "I l

H - 2 +

1 1 + 2 l -2 l нf

x — x-- x--

2 ) 2 2 I 2 +

l

x--

2

+e

1 J -1

2 Г 2

+ (l+Bl)

-1-x

2

+ sign(l - x)

1 - e

- 1-x

-1-x

+ sign(l - x)-

-1-x

+B

e x e ' x

--+ sign(x)-

22

-B

2

^— sign(x)1^2—

2 (13)

+

+

e

e

2

Определим В0, В1 из предположений: у(х) = 0 при х < 0 х > 1:

Во = В1 = 1 - 2.

е

Подставим значения в (13), раскрыв модули с учетом х е (0, 1) получим решение уравнения (10):

-х 1

у=е х+х--.

е

Решение уравнения (10), полученное при помощи интегрального преобразования Фурье, совпадает с точным решением.

Выводы. Показано, что метод интегрального преобразования Фурье эффективен также для решения задач, требую-

®

щих нахождение функций на отрезке. Приведенные здесь результаты могут быть адаптированы для включения в такие курсы, как: численные методы, уравнения математической физики, дифференциальные уравнения. При решении учебных задач можно получить аналитическое решение, проделав все выкладки до конца. Для практического применения можно ограничиться получением решения в виде интегралов с последующим вычислением его значения в точках с наперед заданной точностью при помощи математических пакетов. В дальнейшем планируется распространить способ на уравнения, порядок которых выше двух.

1. Гетьман I.A. Використання систем комп 'ютерног алгебри для розе 'язуеання мате-матичних завдань / 1.А.Гетьман, М.А.Гетьман // Дидактика математики: проблеми i дош-

дження: мгжнар. зб. наук. робШ - Вип. 33. -Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2010. - С. 57-61.

2. Диткин В.А. Интегральные преобразования и оперционное исчисление / В.А.Диткин, А.П.Прудников. - М.: Госиздат. физ.-мат. литры, 1961. - 524 с.

3. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С.Кошляков, Э.Б.Глинер, М.М.Смирнов. - М.: «Высшая школа», 1970. - 712 с.

4. Трантер К.Д. Интегральные преобразования в математической физике /КД.Трантер. - М.: Госиздат. техн.-теор. лит-ры, 1966. -204 с.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / АФ.Филижов. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. -176 с.

6. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б.Двайт. - М. : Наука, 1978. - 228 с.

Резюме. Подковалихина Е.А., Величко И.Г. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ К ФУНКЦИЯМ, ЗАДАННЫМ НА ОТРЕЗКЕ. Продемонстрирована возможность решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи интегрального преобразования Фурье, которое, как правило, используется для уравнений, в которых независимая переменная пробегает всю числовую прямую.

Ключевые слова: интегральное преобразование Фурье, дифференциальное уравнение, краевая задача, финитная функция, скачок функции.

Abstract. Podkovalihina Е., Velichko I. APPLICATION OF FOURIER TRANSFORM TO FUNCTIONS DEFINED ON THE INTERVAL. The possibility of solving the boundary value problems for ordinary differential equations using the integral Fourier transform, which is normally usedfor equations in which the independent variable ranges over the entire real line, has been demonstrated.

Key words: integral Fourier transform, differential equation, boundary problem, finite function, the jump function.

Стаття представлена професором Г.В.Горром.

Надшшла доредакцп 11.03.2011 р.