Научная статья на тему 'Применение пороговых приближений для решения систем нелинейных уравнений в методе разделяющих плоскостей'

Применение пороговых приближений для решения систем нелинейных уравнений в методе разделяющих плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
124
18
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МЕТОД РАЗДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ / НЕЛИНЕЙНЫЕ БУЛЕВЫ УРАВНЕНИЯ / ПОРОГОВЫЕ ФУНКЦИИ / ПОРОГОВЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ / METHOD OF SEPARATING PLANES / NON-LINEAR BOOLEAN EQUATIONS / THRESHOLD FUNCTIONS / THRESHOLD INTERPOLATIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Никонов Владимир Глебович, Шурупов Андрей Николаевич

В методе разделяющих плоскостей предлагается перейти от системы линейных неравенств, эквивалентной нелинейному булеву уравнению, к системе линейных неравенств, являющейся следствием исходного уравнения. Вводится понятие им-пликативного k-приближения в пороговом базисе, которое характеризуется, с одной стороны, числом k линейных неравенств, а с другой стороны, дефицитом мерой близости импликативного приближения к исходной системе неравенств. Предельный случай 1-приближение, как и остальные, не является однозначным. Отказ от свойства импликативности позволяет ввести понятие статистического порогового приближения для булевой функции. Введённые понятия могут быть использованы для сокращения числа линейных неравенств в системе, порождённой исходным нелинейным уравнением, с сохранением возможности её решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Threshold interpolations in solving nonlinear boolean equation by method of separating planes

For solving non-linear Boolean equation, we consider implicative system of linear inequalities that can have the least number of inequalities and be solved more efficiently than equivalent system of linear inequalities. The implicative system of linear inequalities includes all the solutions of the original Boolean equation and can have another solutions, the number of which so called deficit also characterizes the quality of the implicative system. More exactly, for a fixed k, the system of linear inequalities aax1 +... + ai„x„ ^ bi, i = 1,..., k, is called an implicative threshold k-interpolation of the Boolean equation f (x1,...,xn) = 7 if all the solutions of this equation are the solutions of the system. As an alternative to this, a statistical threshold interpolation of Boolean function f (x1,...,xn) is defined. It is a threshold Boolean function т(x1,...,xn) with the probability P(f(x1,...,xn) = = т(x1,...,xn)) = 1/2 + 5, 5 > 0, where 5 is the quality of the interpolation. Using this notion instead of implicative interpolation can decrease the complexity of solving Boolean equations.

Текст научной работы на тему «Применение пороговых приближений для решения систем нелинейных уравнений в методе разделяющих плоскостей»

В данном примере порядок деноминации равен только 6, но практические эксперименты показывают значительный рост порядка деноминации при увеличении количества аргументов функции. Это обусловливает необходимость проверки принадлежности полученного в результате деноминации и округления решения к многограннику решений рассматриваемой системы неравенств. Поскольку в примере найдено решение системы (3), принадлежащее многограннику её решений, можно сделать вывод, что функция f принадлежит к классу пороговых; если бы метод эллипсоидов показал несовместность системы (3), то можно было бы утверждать, что функция не является пороговой.

Таким образом, сделаем вывод о возможности применения метода эллипсоидов для распознавания пороговых булевых функций. Детальное изучение процесса его работы и сравнительный анализ с итеративными алгоритмами, в том числе в к-значной области, представляет актуальное направление для дальнейших исследований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хачиян Л. Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании // ЖВМиМФ. 1980. Вып. 20. №1. С. 51-68.

2. Зуев А. Ю. Пороговые функции и пороговые представления булевых функций // Математические вопросы кибернетики. 1994. №5. С. 5-61.

3. Никонов В. Г. Пороговые представления булевых функций // Обозрение прикл. и про-мышл. математики. 1994. Вып. 1. №3. С. 458-545.

4. Кудрявцев Л. Г. Теория тестового распознавания // Дискретная математика. 2006. Вып. 18. №3. С. 3-34.

5. Бурделев А. В., Никонов В. Г., Лапиков И. И. Распознавание параметров узла защиты информации, реализованного пороговой к-значной функцией // Труды СПИИРАН. 2016. Вып. 46. С. 108-127 .

6. Дертоузос П. Пороговая логика. М.: Мир, 1967. 344 с.

7. Лапиков И. И., Никонов В. Г. Адаптивный алгоритм решения систем неравенств с к-знач-ными неизвестными // Труды Военно-космической академии им. А. Ф. Можайского. 2016. Вып. 1. С. 88-94.

УДК 512.55 Б01 10.17223/2226308Х/10/64

ПРИМЕНЕНИЕ ПОРОГОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В МЕТОДЕ РАЗДЕЛЯЮЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

В. Г. Никонов, А. Н. Шурупов

В методе разделяющих плоскостей предлагается перейти от системы линейных неравенств, эквивалентной нелинейному булеву уравнению, к системе линейных неравенств, являющейся следствием исходного уравнения. Вводится понятие им-пликативного к-приближения в пороговом базисе, которое характеризуется, с одной стороны, числом к линейных неравенств, а с другой стороны, дефицитом — мерой близости импликативного приближения к исходной системе неравенств. Предельный случай — 1-приближение, как и остальные, не является однозначным. Отказ от свойства импликативности позволяет ввести понятие статистического порогового приближения для булевой функции. Введённые понятия могут быть использованы для сокращения числа линейных неравенств в системе, порождённой исходным нелинейным уравнением, с сохранением возможности её решения.

Ключевые слова: метод разделяющих плоскостей, нелинейные булевы уравнения, пороговые функции, пороговые приближения.

Один из приёмов решения систем нелинейных булевых уравнений

/¿(хь ... ,Хп) = Ъ, г =1,...,^, (1)

основан на сведении их к равносильным системам линейных неравенств:

апх 1 + ... + а\пхп ^ Ъь ... (2)

ат1х1 + ... + атпхп ^ Ът.

Данный приём получил название метода разделяющих плоскостей [1, 2] ввиду того, что с геометрической точки зрения каждому линейному неравенству соответствует секущая гиперплоскость в (п — 1)-мерном пространстве. К числу параметров, характеризующих сложность этого метода, относится число неравенств т в системе (2) и их информативность, понимаемая как число отсекаемых неравенством вершин [1, 3].

Несмотря на достаточно глубокое изучение, в методе разделяющих плоскостей можно выделить широкий круг актуальных задач с точки зрения как построения результирующих систем линейных неравенств (2), так и их последующего решения.

В работе рассматривается возможность использования в методе разделяющих плоскостей так называемых приближений исходных нелинейных уравнений системы (1) вида

Л (х1,...,хп)= 1з (3)

а^хх + ... + а^пхп ^ , г = 1,..., к,-, (4)

неравенствами

таких, что система (4) не обязательно равносильна уравнению (3). При этом предлагается исключить малоинформативные неравенства в предположении, что за счёт избыточности исходной системы (1) неотсечённые системой (4) вершины будут отсечены другими неравенствами высокой информативности в результирующей системе.

Так как система нелинейных уравнений вида (1) равносильна одному нелинейному уравнению при отсутствии ограничений на функции, используемые в левых частях, то в дальнейшем будем рассматривать приближения в пороговом базисе для одного нелинейного уравнения.

Определение 1. Пусть к — фиксированное натуральное число. Для булева уравнения

Л (хх,...,хп) = 7 (5)

систему неравенств

ацхх + ... + агпхп ^ Ъг, г = 1 ,...,к, (6)

назовём импликативным к-приближением в пороговом базисе, если все решения (5) являются решениями (6). Если система (6) состоит из одного неравенства (к = 1), то такое приближение назовём импликативным пороговым.

Пусть А$ — множество решений (5), Аф —множество решений (6), тогда А$ С Аф. Определение 2. Дефицитом импликативного приближения назовём

= |Аф| — |А$ |.

При фиксированном числе неравенств k в (6) можно говорить об оптимальном им-пликативном k-приближении, для которого дефицит d наименьший. Отметим, что если k не меньше порогового индекса tY функции f (xi,..., xn), то всегда существует оптимальное приближение с нулевым дефицитом. Так как количество неравенств в системе прямо влияет на трудоёмкость решения, то особый интерес представляет оптимальное импликативное пороговое приближение и значение соответствующего дефицита.

Замечание 1. Для конкретного булева уравнения оптимальное пороговое приближение определяется неоднозначно.

В качестве примера рассмотрим сбалансированную булеву функцию f (xi , x2, x3) = = xix2 V x2x3 и уравнение

f (xi ,x2 ,x3) = 1. (7)

На рис. 1 и 2 единичные вершины функции (7) отмечены чёрными точками. Функция не является пороговой, поэтому можно ставить вопрос о поиске импликативного порогового приближения для уравнения (7).

Одно из таких приближений задаётся неравенством

xi + x2 + 2x3 < 2, (8)

отсекающим три нулевые вершины (011), (101), (111) с дефицитом d =1 (рис.1). Однако можно указать ещё одно импликативное пороговое приближение

-2xi + x2 - x3 < 1, (9)

отсекающее вершины (101), (111), (100) и также имеющее дефицит d =1 (рис.2). Очевидно, что неравенства (8) и (9) задают оптимальные импликативные пороговые приближения, и они различны.

Рис. 1. Приближение (8) Рис. 2. Приближение (9)

Эксперименты показали возможность эффективного применения импликативных приближений для некоторых классов систем, и этот вопрос требует дальнейшего изучения в непосредственной связи с конкретным алгоритмом решения систем линейных неравенств.

Определение 3. Статистическим пороговым приближением булевой функции f (х,..., хп) назовём пороговую булеву функцию т(х,..., хп), такую, что вероятность их совпадения равна

Р^ (Х1 ,...,Хп )= т (XI ,...,Хп )] = 2+ 5> 0' (10)

где 6 — мера близости приближения.

У произвольной булевой функции может быть несколько пороговых приближений с разными, вообще говоря, мерами близости.

Определение 4. Статистическое пороговое приближение т(хх,...,хп) булевой функции /(хх,... ,хп) назовём оптимальным, если мера его близости максимальная.

Как и в случае импликативного приближения, можно показать, что у конкретной булевой функции могут существовать различные оптимальные статистические пороговые приближения.

Особенности и параметры практического применения статистических пороговых приближений требуют изучения в непосредственной связи с конкретным методом решения результирующих систем линейных неравенств. В алгоритмах направленного перебора с минимизацией невязки ^(х) истинному решению будет отвечать уже не значение невязки, равное 0, а некоторое ненулевое определяемое конкретным алгоритмом, видом ^(х) и значением 8.

Обнаруженная авторами практическая эффективность как импликативных, так и статистических пороговых приближений приводит к постановке целого ряда актуальных задач не только экспериментального характера, но и теоретических, связанных с выбором оптимальных параметров методов, оценкой объёма необходимого материала, определением емкостной и временной сложностей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Балакин Г. В., Никонов В. Г. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. №3. С.389-401.

2. Рыбников К. К. Оценки сложности некоторых схем метода разделяющих плоскостей при решении систем булевых уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 2. №9. С. 442-443.

3. Анашкина Н. В., Шурупов А. Н. Применение алгоритмов локального поиска к решению систем псевдобулевых линейных неравенств // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 136-138.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/10/65

ДВУХФАЗНЫЙ АЛГОРИТМ МАРШРУТИЗАЦИИ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЕТЯХ

А. А. Солдатенко

Рассмотрена задача Time-Dependent Shortest-Path (TDSP), которая является расширением известной задачи о кратчайшем пути в ориентированном графе, когда вес каждой дуги (x,y) этого графа — функция от времени отправления из вершины x. Предложено задачу TDSP решать с помощью двухфазного алгоритма ALT, который осуществляет целенаправленный поиск по ориентирам от стартовой вершины s до целевой вершины d. На первой фазе выполняется расстановка ориентиров в узлах сети и вычисляются потенциальные функции, на второй фазе находится точное значение (s, d)-пути с учётом вычисленных потенциальных функций. Предложены формулы вычисления потенциальных функций и способ задания неравенства треугольника, обеспечивающие корректность алгоритма ALT, и полиномиальная по времени адаптивная эвристика для расстановки ориентиров, которая использует историю обработки запросов при многократном решении задачи TDSP.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.