CC BY
31"Крупногабаритные трансформируемые конструкции космических аппаратов
на упоры в разные моменты времени. В качестве расчетной схемы при определении напряженно-деформированного состояния элементов каркаса при развертывании принимается его форма в определенный момент развертывания, когда относительные скорости соседних звеньев максимальны. Тогда каркас представляет собой кинематически неизменяемую систему, что необходимо для проведения расчета на прочность. Такой подход идет в запас прочности, так как некоторая подвижность отдельных звеньев каркаса относительно друг друга в рассматриваемые моменты времени приводит к снижению значений напряжений, что обусловлено потерями кинетической энергии в шарнирных соединениях.
В результате расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкции без учета демпфирования получены значения эквивалентных напряжений, возникающих в ее узлах в выбранный момент времени.
Библиографическая ссылка
1. Крылов А. В., Чурилин С. А. Моделирование развертывания многозвенных замкнутых космических конструкций // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. «Машиностроение». Спец. Вып. «Крупногабаритные трансформируемые космические конструкции и материалы для перспективных ракетно-космических систем». 2012. С. 80-91.
A. V. Krylov, S. A. Churilin Bauman Moscow State Technical University, Russia, Moscow
TECHNIQUE TO ESTIMATE FUNCTIONALITY OF DEPLOYABLE MULTILINK SPACE STRUCTURES
Simulation of deployment of multilink space structures with finding a number of characteristics such as speed and duration of deployment, shapes of intermediate positions and mode of deformation when setting links on unilateral stop is under consideration.
© Крылов А. В., Чурилин С. А., 2012
УДК 621.396.677
И. Г. Крюков, Е. Ю. Узолин
ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева», Россия, Железногорск
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ РЕФЛЕКТОРОВ КОНТУРНЫХ АНТЕНН
Рассмотрена возможность применения полиномов Лежандра для описания деформированных поверхностей при синтезе рефлекторов для контурных антенн.
При проектировании однозеркальных антенн с одиночным облучателем, формирующих диаграмму направленности (ДН) специальной пространственной формы, необходимо решить несколько задач. На начальном этапе проектирования нужно рассчитать антенну, формирующую ДН простой формы, круглого или эллиптического поперечного сечения, лежащей внутри требуемой зоны обслуживания (ЗО), и получить ее полную геометрию: габаритные размеры рефлектора, облучателя, фокусное расстояние, угол наклона облучателя и т. д. Далее необходимо синтезировать (рассчитать) профиль отражающей поверхности рефлектора, за счет чего, собственно, и будет формироваться нужная по форме ДН, и покрывающая по некоторому уровню ЗО. Синтез рефлектора для формирования заданной контурной ДН реализуется путем внесения в его профиль, который принимается за начальный базовый профиль, различного рода де-
формаций. Деформации на рефлекторе вносят расфа-зировку в фазовое распределение вблизи рефлектора и, тем самым перераспределяя энергетику излучаемо -го сигнала в заданную область. Здесь немаловажную роль играет то, каким образом будет описываться профиль синтезируемой поверхности. Деформированный профиль можно описывать при помощи полиномов, одним из которых являются модифицированные присоединенные полиномы Лежандра в составе периодических тригонометрических функций, называемых шаровыми. В общем виде выражение, описывающее отражающую поверхность рефлектора, выглядит следующим образом:
г(P, ф) = г'(P, ф) + МP, ф).
То есть в базовый профиль, например в виде параболоида или эллиптического параболоида, описываемый следующей формулой:
Решетневскце чтения
Zh =
X 2 Y 2
4 Fx 4 Fj
(при FX = Fy - параболоид вращения),
вносятся деформации, которые можно записать в виде ряда шаровых функций, адаптированных к круглой апертуре:
Аг (р, ф) =
¥ 1 т т ¥ 1 т т
= Е Е а; Р/ (ч) со8(тф)+Е Е ЪгРг (Ч) sln(mф),
1= 0 т=0 /=1 т=1
где ч = 2р —1, ч е [—1; 1], р е [0; 1], р, ф - соответственно нормированный радиус и полярный угол точки на поверхности круглой апертуры рефлектора; Модифицированная присоединенная функция Ле-
жандра р"т(Ч) при т < / имеет вид
_ (l - m)! m
рГq -Pi
'(/+m)!
где р"т(ч) - обычная присоединенная функция Ле-
жандра.
Бесконечный набор функций
p"m(q) cos(m9), l = 0, 1, 2, ..., да; m = 0, 1, ..., l, pm(q) sin(m9), l = 1, 2, ..., да; m = 1, ..., l
является полным ортогональным базисом, где af, bf -неизвестные коэффициенты, которые требуется определить в процессе синтеза рефлектора.
На практике это бесконечномерный базис приходится ограничивать:
pf(q) cos(m9), l = 0, 1, 2, ..., L; m = 0, 1, ..., min{l,M} , p™m(q) sin(m9), l = 1, 2, ..., L; m = 1, ..., min{l,M} ,
задавая значения L и M (M < L). Например, задав M = 0, L = Lmax > 0, внесем в профиль рефлектора лишь симметричные деформации (не зависящие от
плоскости ф сечения рефлектора), пригодные для синтеза осесимметричных лучей антенн с осевой симметрией.
Итогом синтеза рефлектора является набор коэффициентов, определяющих деформации его базового профиля. Зная коэффициенты при составляющих полинома, можно вычислить координаты любой точки на поверхности синтезированного рефлектора и, таким образом, получить его трехмерную модель с любым шагом в зависимости от требуемой точности.
С применением представленных выше математических выкладок в ОАО «ИСС» разработано программное обеспечение, позволяющее синтезировать деформированные рефлекторы, поверхность которых описывается рядом из шаровых функций с радиальными деформациями в виде полиномов Лежандра. Это значительно упрощает и ускоряет процесс проектирования контурных антенн, дает возможность применять ту или иную форму представления радиальных деформаций (полиномы Цернике, полиномы Лежандра, полиномы Чебышева) в конкретном случае использовать наиболее подходящую. Так в некоторых случаях в антеннах, рефлекторы которых синтезированы с применением полиномов Лежандра, удается получить более высокие значения радиотехнических характеристик, главным из которых является коэффициент усиления в ЗО, по сравнению с антеннами, синтезирование рефлектора которых определяются другими математическими выражениями: полиномами Цернике или Чебышева. Это связано с тем, что при одних и тех же требованиях различные способы математического описания поверхностей синтезируемых рефлекторов дают, соответственно, разные результаты, так как каждый полином обладает своими преимуществами и недостатками.
Недостатком полиномов Лежандра является то, что при помощи них нельзя деформировать кромку рефлектора, но зато при достаточно небольших и несложных по своей форме деформациях рефлектора реализуется ДН требуемой формы с необходимыми значениями радиотехнических характеристик.
I. G. Kryukov, E. Yu. Uzolin JSC «Academician M. F. Reshetnev «Information Satellite Systems», Russia, Zheleznogorsk
APPLICATION OF LEGENDRE POLYNOMIALS FOR THE DESCRIPTION OF THE DEFORMED SURFACES OF REFLECTORS OF SHAPED ANTENNAS
Possibility of application of Legendre polynomials for the description of the deformed surfaces at synthesis of reflectors for shaped antennas.
© Крюков И. Г., Узолин Е. Ю., 2012
