CC BY
65
УДК 621.396.677
Е.Ю. Узолин, И.Г. Крюков
Синтез профиля поверхности рефлекторов однозеркальных контурных антенн с использованием полиномов Цернике
Рассмотрена возможность применения полиномов Цернике для описания деформированных поверхностей при синтезе рефлекторов для контурных антенн.
Ключевые слова: Однозеркальные антенны, контурная диаграмма направленности, полиномы Цернике.
Однозеркальные антенны, формирующие контурную диаграмму направленности (ДН), т.е. луч, покрывающий некоторую зону обслуживания (ЗО) со сложным контуром границ (пример на рис. 1), уже достаточно давно получили широкое распространение на космических аппаратах (КА). Глав -ным образом, это спутники-ретрансляторы, расположенные на геостационарной орбите, предоставляющие услуги телерадиовещания, широкополосного доступа в Интернет, связь и др. Такие антенны позволяют значительно увеличить уровень передаваемого или принимаемого сигнала в ЗО по сравнению с антеннами, формирующими ДН простой формы, большая часть сигнала которых приходится на территории вне ЗО. Задача расчёта подобных антенн гораздо сложнее расчёта антенн с простыми ДН, для этих целей требуются специальная методика расчёта и значительные вычислительные ресурсы персональных компьютеров.
Азимут, град.
Рис. 1. Покрытие контурной ДН территории Российской Федерации
При проектировании однозеркальных антенн с одиночным облучателем, формирующих диаграмму направленности (ДН) специальной пространственной формы, необходимо решить несколько задач. На начальном этапе проектирования нужно рассчитать антенну, формирующую ДН простой формы, круглого или эллиптического поперечного сечения, лежащей внутри требуемой зоны обслуживания (ЗО), и получить её полную геометрию: габаритные размеры рефлектора, облучателя, фокусное расстояние, угол наклона облучателя и т.д. [1-2]. Далее необходимо синтезировать (рассчитать) профиль отражающей поверхности рефлектора, за счёт чего собственно и будет формироваться нужная по форме ДН, покрывающая по некоторому уровню ЗО. Синтез рефлектора для формирования заданной контурной ДН реализуется путём внесения в его профиль, который принимается за начальный базовый профиль, различного рода деформаций. Деформации на рефлекторе вносят расфазировку в фазовое распределение вблизи рефлектора и тем самым перераспределяют энергетику излучаемого сигнала в заданную область. Здесь немаловажную роль играет то, ка-
ким образом будет описываться профиль синтезируемой поверхности. Деформированный профиль можно описывать при помощи полиномов, одними из которых являются радиальные полиномы Цернике в составе периодических тригонометрических функций, называемых шаровыми. В общем виде выражение, описывающее отражающую поверхность рефлектора, выглядит следующим образом:
2 (р,ф) = (р,ф) + Д2 (р,ф). (1)
То есть в базовый профиль (например, параболоид вращения или эллиптический параболоид), описываемый следующей формулой:
Zn =
X2 Y2
4Fx 4 Fy
при Fx = Fy - параболоид вращения, вносятся деформации, которые можно записать в виде ряда шаровых функций, адаптированных к круглой апертуре:
L min{/M},2 L min{/M},2
AZ (r ,ф) = Z Z аТЩ1 (?)сс8[т(Ф-Фо)] + Z Z (q)sin[mfo^0)] =
/=0 m={0,1} l=1 m={1,2} (2)
L,2 L min{/M},2
= Z a/0R/0(q) + Z Z Rf (q){amcos[mfa^o)] + b/msin[mfa^o)]},
/=0 /=1 m={1,2}
где L, M - задаваемые при синтезе контурного луча целые числа, ограничивающие в общем случае бесконечные ряды (M < L по определению); min{/, M} - обозначение операции выбора минимального из двух чисел:
..., 2 - изменение индекса с шагом 2; m = {0, 1} - m = 0 для чётных l, m = 1 для нечётных /; m = {1, 2} - m = 2 для чётных l, m = 1 для нечётных /;
a/m ,b/m - набор коэффициентов, определяющих деформации профиля базового рефлектора; R(9) -
I 2 2 2 2
_ „r ™a sin Ф + b cos Ф
граница в общем случае эллиптической апертуры; q =---------= —1-----, q е[0;1], -
R^) ab
обобщенный полярный радиус точки поверхности рефлектора в апертуре; R^ (q) - радиальные полиномы Цернике [3], определяемые следующим образом:
l-m
R? (q) = Z (-1)k—l—-----------------q/-2k,
l Й) il('^-i)!('^-t)l
l > 0, 0 < m < l, (l + m) - чётное значение; Ф0 - заранее задаваемый угловой параметр опорной плоскости деформаций.
Целевая функция, которой должна удовлетворять синтезированная ДН антенны, может быть записана в следующем виде:
ёгл
~ 1 Nrn
L =-------- Z
Nгл n=1
i2
,Фп )|' .
2
|Езад (vn ,Фп )|
+—Z
N6 k=1
где \Ё (у„ ,Фп )2 - плотность потока мощности излучения электромагнитного поля антенны в заданных направлениях (V,Ф); |.Езад^п, Фп)|2 - заданные уровни мощности для ^л тщательно выбранных главных направлений ^„, Фп), п = 1, ..., ^л внутри и на границах заданного контура; р - специальный весовой коэффициент для Nб тщательно выбранных направлений ^к, Фк), к = 1,...^б, в области бокового излучения вне заданного контура; £гл, gб - регулировочные коэффициенты целевой функции соответственно для области главных направлений и области бокового излучения; С - предварительно рассчитываемая действительная константа, взвешивающая, т.е. предварительно минимизирующая по тому или иному критерию, расчётные уровни ДН антенны в главных направлениях относительно заданных уровней.
В рассматриваемом здесь варианте однозеркальной антенны с одиночным облучателем, рефлектор которой претерпел малые деформации профиля отражающей поверхности, значения плотности
потока мощности в заданных направлениях внутри и на границах контура и вне него могут быть рассчитаны, используя известные формулы. Математически задача синтеза теперь сводится к тому, чтобы определить деформации начального профиля рефлектора для минимизации целевой функции (3).
В результате алгоритма синтеза однозеркальная антенна с одиночным облучателем и рефлектором, профиль отражающей поверхности которого описывается выражениями (1)-(2), формирует пространственную ДН, близкую к заданной. Естественно, форма формируемой пространственной ДН не может быть самоцелью. Кроме того, что она должна быть близка к заданной, формируя контурный луч в общем случае сложной формы и как можно более низкие уровни бокового излучения, что задается целевой функцией (3), необходимо, чтобы уровни сигнала, передаваемого или принимаемого антенной, внутри и на границах контура были выше, чем у антенны с ДН простой формы, например круглого или эллиптического поперечного сечения луча, покрывающего, но обычно с избытком, ту же зону обслуживания. Для этого необходимо оценить энергетические характеристики синтезированной антенны, рассчитав значения её КНД в пределах контура зоны обслуживания, и сравнить их с расчётными значениями КНД в этой области антенны с ДН простой формы поперечного сечения луча.
Итогом синтеза рефлектора является набор коэффициентов, определяющих деформации его базового профиля. Зная коэффициенты при составляющих полинома, можно вычислить координаты любой точки на поверхности синтезированного рефлектора и, таким образом, получить его трёхмерную модель с любым шагом, в зависимости от требуемой точности.
С применением представленных выше математических выкладок в ОАО «ИСС» разработано программное обеспечение, позволяющее синтезировать деформированные рефлекторы, поверхность которых описывается рядом функций с радиальными деформациями в виде полиномов Цер-нике. Это значительно упростило и ускорило процесс проектирования контурных антенн. Также это даёт возможность выбора применения той или иной формы представления деформаций (полиномы Лежандра, полиномы Чебышева) в конкретном случае для применения в итоге наиболее подходящего. Так, в некоторых случаях в антеннах, рефлекторы которых синтезированы с применением полиномов Цернике, удаётся получить более высокие значения радиотехнических характеристик, главным из которых является коэффициент усиления в ЗО, по сравнению с антеннами, синтезированные рефлекторы которых определяются другими математическими выражениями: полиномами Лежандра или Чебышева. Это связано с тем, что при одних и тех же требованиях различные способы математического описания поверхностей синтезируемых рефлекторов дают соответственно разные результаты, так как каждый полином обладает своими преимуществами и недостатками.
При помощи полиномов Цернике можно при достаточно небольших и несложных по своей форме деформациях рефлектора реализовывать ДН требуемой формы с необходимыми значениями радиотехнических характеристик.
В настоящее время в ОАО «Информационные спутниковые системы» им. академика М.Ф. Ре-шетнёва ведутся работы по наладке производства рефлекторов контурных антенн диаметром до
2 м. Поверхности рефлекторов, фронтальная и тыльная, изготавливаются из углепластика, между которыми укладывается сотовый заполнитель из алюминиевой фольги для придания конструкции антенны большей жёсткости. Сейчас отрабатываются технические процессы изготовления, контроля точности изготовленных рефлекторов, а так же методики сборки антенн и их настройки.
В рамках работ по созданию антенн с контурной ДН была рассчитана и изготовлена антенна С-диапазона для обслуживания территории Африки и Западной Европы диаметром 1200 мм и фокусным расстоянием 1100 мм. Амплитуды специального вида деформаций базового гладкого профиля рефлектора для формирования ДН формы, близкой к требуемой, находятся в диапазоне от -15,54 до +4,92 мм. Среднее квадратическое отклонение изготовленного рефлектора от оснастки равно 0,08 мм.
На борту КА разработанная антенна должна размещаться на западной панели и прицеливаться фокальной осью в направление минус 4° в азимутальной плоскости.
На рис. 2 представлены контуры расчётной ДН антенны (слева) на частоте 5,925 ГГц, покрывающей требуемую ЗО, и контуры ДН измеренного образца антенны (справа) на той же частоте. Измерение ДН проводились на специально оборудованном автоматизированном рабочем месте.
Расчетное значение КНД антенны в требуемой зоне обслуживания - не менее 24,2 дБ. По сравнению с антенной с эллиптическим лучом, также покрывающим территорию Африки и имеющим КУ в ЗО не менее 22,7 дБ, достигнут выигрыш в 1,5 дБ (+41%) в требуемой зоне обслуживания.
Рис. 2. Контуры расчётной и измеренной ДН антенны на частоте 5,925 ГГц
Сравнение расчётных и экспериментальных результатов показывает их хорошее совпадение.
На рис. 3 показаны расчётный контур ДН, покрывающий требуемую ЗО, и полученный в ходе эксперимента при одинаковом расположении и прицеливании антенн на КА.
Рис. 3. Сравнение результатов расчёта и измерений антенны, рабочая частота 5,925 ГГц. Больший контур - расчёт, меньший контур - измерения
Литература
1. Бахрах Л.Д. Зеркальные сканирующие антенны. Теория и методы расчета/ Л.Д. Бахрах, Г.К. Галимов. - М.: Наука, 1981. - 293 с - С. 50-77.
2. Айзенберг Г.З. Антенны УКВ/ Г.З. Айзенберг, В.Г. Ямпольский, О.Н. Терешин; под ред. Г.З. Айзенберга: в 2 ч. Ч. 1. - М.: Связь, 1977. - С. 311-328.
3. Полиномы Цернике [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.ru.wikipedia.org /wiki/ Полиномы_Цернике, свободный (дата обращения: 10.06.2012).
Узолин Евгений Юрьевич
Инженер-конструктор 2-й кат. ОАО «ИСС», г. Железногорск
Тел.: (391-9) 76-43-12
Эл. почта: Uzolin@gmail.com
Крюков Игорь Григорьевич
Ведущий инженер ОАО «ИСС», г. Железногорск Тел.: (391-9) 76-43-12
Uzolin E.Yu., Kryukov I.G.
Synthesis of the profile of reflector surface in shaped single reflector antennas with the use of Zernike polynomials
We investigate the possibility of application of Zernike polynomials for the description of the deformed surfaces at synthesis of reflectors for shaped antennas.
Keywords: single reflector antennas, shaped antenna pattern, Zernike polynomials.
